第一讲：不等式的性质和解集
第一讲：不等式及其性质、解集教师:卢鹏学生: 日期:
课题不等式的基本性质及其解集
学习目标与考点分析学习目标：
1、理解、掌握不等式的基本性质
2、3，会用不等式的基本性质2、3进行简单的不等式的变形；
2、掌握不等式解集的概念；会用两种方式来表示不等式的解集；
3、培养逻辑思维能力。
考点分析：不等式是中考中的必考点，而求不等式的解集是不等式中的核心，所以必须充分理解不等式解集的概念并会求不等式的解集。
学习重点
重点：理解不等式解集的概念；会正确表示不等式的解集。不等式的基本性质3及其运用。
学习方法探究法、练习法
学习内容与过程
一、引入新课
a)提出问题：
能否解不等式：3x＞11？
根据我们现有的知识无法解决这个问题，但是我们如果将问题中的“＞”改成“＝”便成了我们所熟悉的一元一次方程----3x＝11。解这个方程，并指出求解过程中运用了哪些方程的简单变形？
就像学习方程的简单变形之前要首先学习其变形的依据一样，学习不等式的简单变形之前也应先学习其变形的依据——不等式的性质。上节课我们已经研究了不等式的性质1，回顾性质1：----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
这堂课我们便来一起学习不等式的性质2、3
b)探究新课
阅读教材，尝试解决下面的问题：
问题1：
7 4
7×3 4×3
7×2 4×2
7×1 4×1
7×0 4×0
7×（-1） 4×（-1）
7×（-2） 4×（-2）
7×（-3） 4×（-3）
7 × a 4 × a
讨论：①请注意观察前面八个小问题，从数的符号的改变到不等号方向的改变，可以发现引起不等号方向改变的直接因素是乘了-----------------。
②试概括不等式的基本性质2、3
不等式的性质 2：
如果a ＞b ， 。
即：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 。
不等式的性质 3：
如果a ＞b ， 。
即：不等式的两边都
③根据我们刚刚总结出的规律，“ 7 × a 4 × a”该怎样回答呢？
二、 综合训练
1. 不能由063<-x 变形得到的不等式是（）
A .713<+x B. 63->-x C. 6x<12 D..-3x<-6
2.若不等式2x ≥a-3的解集是x ≥-1，则a 的值为（）
3.若（a+4）x>a+4的解集是x<1,则a 的取值范围是---------------
4.若a
⑴-ab -b 2 ⑵ 10a+b 10b+a
⑶a(c 2+1) b(c 2+1) ⑷2a a+b
⑸3-a 3-b ⑹ -3a+5 -3b+5
5、若x ＞y ，则ax ＞ay.那么一定有( )
A 、a ＞0
B 、a ≥0
C 、a ＜0
D 、a ≤0
6、已知关于x 的不等式(1－a)x ＞2的解集是x ＜21a
-，则a 的取值范围( ) A 、a ＞0 B 、a ＞1 C 、a ＜0 D 、a ＜1
7、若0<-b a ，则下列各式中一定正确的是（ ）
A ．b a >
B ．0>ab
C ．b
a >0 D ．
b a ->- 8、用不等号填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：
若x ＋2＞5,则x 3，根据 ；
若34
x -＜－1，则x 43，根据 ；
若25x ＜－3，则x 152
-，根据 ； 9、若a-b>a,a+b
（A ）ab<0 （B ）a b
>0 （C ）a+b>0 （D ）a-b<0 10．利用不等式的性质，将下列不等式转化为“x>a ”或“x ⑴2x+3<3x-2 ⑵-ax>2(a ≠0 ) ⑶2x+3>3x ⑷ 223-x ≤3711+x 11、a ＞1，－1＜b ＜0,试分别比较: （1）1a ,b a -的大小 （2）b a ,ab 2,ab, －a 的大小． 三、拓展训练 1、试判断下列各对整式的大小： (1)522+-m m 和－2m+5； (2)342+-a a 和－4a+1． 2、a ＞1，－1＜b ＜0,试分别比较: （1） 1a ,b a -的大小 （2）b a ,ab 2,ab, －a 的大小． 第二堂课：不等式的解集 练：某班同学去植树,原计划每位同学植树4棵,但由于某组的10名同学另有任务,未能参加植树,其余同学每位植树6棵,结果仍未能完成计划任务,若以该班同学的人数为x,此时的x 应满足怎样的关系式? 知识点1：不等式 概念： 例1：判断下列哪些式子是不等式 （1）a+b=b+a ； （2）-3＞-5； （3）x ≠1； （4）x+3＞6； （5）2m ≤n ； （6）2x-3. 练：用不等式表示 (1)a 与1的和是正数; (2)y 的2倍与1的和大于3; (3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数; (4)c 与4的和的30%不大于-2; (5)x 除以2的商加上2,至多为5; (6)a 与b 两数的和的平方不可能大于3. 知识点2：不等式的解 不等式的解: 例2：:①要使不等式503 2>x ,成立,那么x 可取哪些值? ②能使不等式503 2>x 成立的x 的值有几个? 知识点3：不等式的解集 例3：下列说法中正确的是( ) A.x=3是不等式2x>1的解 B.x=3是不等式2x>1的唯一解 C.x=3不等式2x>1的解 D.x=3是不等式2x>1的解集 ●不等式解集的表示方法： 数轴表示法步骤： 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 课内练习与训练 一、选择题 1.下列不等式的解集,不包括-4的是( ) A.X ≤-4 B.X ≥-4 C.X<-6 D.X>-6 2.下列说法正确的是( ) A.X=1是不等式-2X<1的解集 B.X=3是不等式-X<1的解集 C.X>-2是不等式-2X<1的解集 D.不等式-X<1的解集是X<-1 3. 不等式X-3>1的解集是( ) A.X>2 B. X>4 C.X-2> D. X>-4 4.不等式2X<6的非负整数解为( ) A.0,1,2 B.1,2 C.0,-1,-2 D.无数个 5.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( ) A. X ≥-2 B. X>-2 C. X<-2 D. X ≤-2 6.下列说法中,错误的是( ) A.不等式X<5的整数解有无数多个 B.不等式X>-5的负数解集有有限个 C.不等式-2X<8的解集是X<-4 D.-40是不等式2X<-8的一个解 7.-3X ≤9解集在数轴上可表示为( ) 8．－3x ≤6的解集是 （ ） 0-1-2 0-1-2 012 012 A 、 B 、 C 、 D 、 9．用不等式表示图中的解集,其中正确的是( ) A. x ≥－2 B. x ＞－2 C. x ＜－2 D. x ≤－2 10.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－2 B 、 x ＜1 C 、x ≠0 D 、x ＜0 11.－3x ≤6的解集是 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、 001 0-1-20-1-20 -1-2012012 12．下列说法中,错误的是( ) A.不等式x ＜5的整数解有无数多个 B.不等式x ＞－5的负数解集有有限个 C.不等式－2x ＜8的解集是x ＜－4 D.－40是不等式2x ＜－8的一个解 13．下列说法正确的是( ) A.x ＝1是不等式－2x ＜1的解集 B.x ＝3是不等式－x ＜1的解集 C.x ＞－2是不等式－2x ＜1的解集 D.不等式－x ＜1的解集是x ＜－1 二、填空题 1．不等式X-3<1的解集是_____________. 2.如图所示的不等式的解集是_____________. 3．当x_______时,代数式2x －5的值为0,当x_______时,代数式2x －5的值不大于0. 4．不等式－5x ≥－13的解集中，最大的整数解是__________. 5．不等式－2x ＜8的负整数解的和是______. 6．直接写出不等式的解集： （1） x ＋3＞6的解集 ;（2）2x ＜12的解集 ;（3）x －5＞0的解集 ;（4）0.5x ＞5的解集 ； 10．一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是＿＿＿. 43210-1 三、解答 1、用不等式表示下列各式。 ⑴a 的3 1是非负数 ⑵m 的2倍与1的和小于7 2、在数轴上表示下列不等式的解集. (1) X>2.5; (2) X<-2.5; (3) X ≥3 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法.三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：>b a a b ⇔ > - a a =b b - = ⇔ a b b，那么b 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 不等式的基本性质及其解集 一、不等式的性质 1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +?> c a b a c b +?<+, c b + 2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若：0,>>c b a ，可得ac bc ． 3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 若ac c b a ?<>0, bc ． 二．不等式的解集 1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。如1-≤x 或x <-1等。 x < ②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需 要变号。 典型例题 例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7 （2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围. 例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。 A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围． 思考题．设c b a ,,均为正数，若a c b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小． y k 2x (第3题图) 6.1 不等式的性质 学习指导 1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。 依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。 对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。 不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。 2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论： （1）一个公理：a <=> b ? a-b < => 这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法——比较法。 （2）三个基本性质： ① a>b ?bb ，b>c ?a>c ③ a>b ?a+c>b+c 在传递性中，称a>b ，b>c ?a>c ，从左向右是缩小；称ab ?a+c>b+c ，推论：a>b ，c>d ?a+c>b+d ；a>b ，c 第一讲：不等式及其性质、解集教师:卢鹏学生: 日期: 课题不等式的基本性质及其解集 学习目标与考点分析学习目标： 1、理解、掌握不等式的基本性质 2、3，会用不等式的基本性质2、3进行简单的不等式的变形； 2、掌握不等式解集的概念；会用两种方式来表示不等式的解集； 3、培养逻辑思维能力。 考点分析：不等式是中考中的必考点，而求不等式的解集是不等式中的核心，所以必须充分理解不等式解集的概念并会求不等式的解集。 学习重点 重点：理解不等式解集的概念；会正确表示不等式的解集。不等式的基本性质3及其运用。 学习方法探究法、练习法 学习内容与过程 一、引入新课 a)提出问题： 能否解不等式：3x＞11？ 根据我们现有的知识无法解决这个问题，但是我们如果将问题中的“＞”改成“＝”便成了我们所熟悉的一元一次方程----3x＝11。解这个方程，并指出求解过程中运用了哪些方程的简单变形？ 就像学习方程的简单变形之前要首先学习其变形的依据一样，学习不等式的简单变形之前也应先学习其变形的依据——不等式的性质。上节课我们已经研究了不等式的性质1，回顾性质1：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 这堂课我们便来一起学习不等式的性质2、3 b)探究新课 阅读教材，尝试解决下面的问题： 问题1： 7 4 7×3 4×3 7×2 4×2 7×1 4×1 7×0 4×0 7×（-1） 4×（-1） 7×（-2） 4×（-2） 7×（-3） 4×（-3） 7 × a 4 × a 讨论：①请注意观察前面八个小问题，从数的符号的改变到不等号方向的改变，可以发现引起不等号方向改变的直接因素是乘了-----------------。 ②试概括不等式的基本性质2、3 不等式的性质 2： 如果a ＞b ， 。 即： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 。 不等式的性质 3： 如果a ＞b ， 。 即：不等式的两边都 ③根据我们刚刚总结出的规律，“ 7 × a 4 × a”该怎样回答呢？ 二、 综合训练 1. 不能由063<-x 变形得到的不等式是（） A .713<+x B. 63->-x C. 6x<12 D..-3x<-6 2.若不等式2x ≥a-3的解集是x ≥-1，则a 的值为（） 3.若（a+4）x>a+4的解集是x<1,则a 的取值范围是--------------- 4.若a 高中数学-不等式的性质及其解法-不等式专题 第一部分：基础回顾 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,；bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02 >++c bx ax 和)0(02 ≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 不等式的性质与解集 不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。 与等式不同，不等式存在多种形式和性质。本文将探讨不等式的性质 和解集，并分析其应用。 一、不等式的基本性质 1.1 不等式的传递性 在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导 出a < c。这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递， 可以得到更多的大小关系。 1.2 不等式的加减性质 对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。 1.3 不等式的乘除性质 对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。即a * c < b * c，若c > 0；a * c > b * c，若c < 0。 二、一元不等式的解集表示 一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。它的 解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。 2.1 严格不等式的解集表示 对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。 2.2 非严格不等式的解集表示 对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。 三、二元不等式的解集表示 二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。解集表示了使得不等式成立的所有实数对。 3.1 不等式的图解法 可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。 3.2 不等式的符号法表示 对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。 四、不等式求解的应用 不等式求解在实际问题中有着广泛的应用。 不等式的基本性质与解法 不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、 两个量或两个函数之间的大小关系。在解决实际问题时，不等式的理 解和运用至关重要。本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过 一些例子来进一步说明。 一、不等式的基本性质 不等式有以下基本性质： 1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方 向不变。例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。 2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。 3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也 要倒置。例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。 二、不等式的解法 1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1 和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等 式的解集。 2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。例如， 对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。 3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法 来求解。例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式 x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。 4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。例如，对于 不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据 乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。 三、示例分析 1. 例题1：求解不等式2x + 1 > 5。 解法：首先将不等式转化为等价形式2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0，进一步得到x > 2。因此，不等式的解集为x > 2。 2. 例题2：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。 解法：首先将不等式转化为等价形式(x - 1)(x - 3) > 0。接下来我们 需要分析函数x^2 - 4x + 3在x轴上的正负性。通过计算得知，当x < 1 或x > 3时，函数值为正。因此，不等式的解集为x < 1或x > 3。 3. 例题3：求解不等式|x - 2| < 3。 解法：首先将不等式拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3。分别求解可得x < 5和x > -1。取两个不等式的交集，得到解集为-1 < x < 5。 不等式的性质与解集表示 不等式是数学中常见的一种表达式形式，它描述了数值之间的大小 关系。在这篇文章中，我将探讨不等式的性质以及如何表示其解集。 一、不等式的性质 1.1 相等性质 与等式相似，不等式也满足一些性质。首先是假设不等式两边的表 达式相等，可以使用等号代替不等号。例如，如果a > b，那么a + c > b + c。 1.2 倍数性质 其次，不等式的性质也可通过乘除以常数来改变不等号的方向。例如，如果a > b，且c是一个正数，那么ac > bc。 1.3 加减性质 不等式的加减性质与等式类似。如果一个不等式两边同时加上或者 减去相同的数，不等式的方向不变。例如，如果a > b，那么a + c > b + c。 二、解集表示 当我们解一个不等式时，通常需要找出使得不等式成立的数值范围。这个数值范围可以用解集来表示。 2.1 开区间表示 一个不等式解集可以用开区间表示。例如，对于不等式a > b，它的解集可以表示为(a, ∞)，表示所有大于b的实数a。 2.2 闭区间表示 除了开区间，我们还可以使用闭区间来表示不等式的解集。闭区间 包括指定的数值。例如，对于不等式a ≥ b，它的解集可以表示为[a, ∞)，表示所有大于或等于b的实数a。 2.3 不等式组表示 有时候，我们需要同时考虑多个不等式的解集。这时，可以使用不 等式组来表示解集。例如，对于不等式组： a > b c < d 它的解集可以表示为{a | a > b} ∩ {c | c < d}，表示满足a > b和c < d 的实数a和实数c的交集。 三、实例分析 下面，我将通过几个实例来展示不等式的性质和解集表示。 例1：解不等式2x + 5 > 9 首先，我们可以通过减法和除法来解这个不等式。首先，我们将5 从两边减去，得到2x > 4。然后，我们再将两边都除以2，得到x > 2。 这个不等式的解集可以用开区间表示为(2, ∞)。 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪ ⎩⎪()()()000 2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。 3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。 不等式的性质可分为： 1）、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩ 0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的 大小，转化为恒等变形问题的依据。 2）、基本性质：（1）对称性a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如： a b ab a b R +≥∈2(,)这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种 形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2）传递性a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3）移项法则a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321，相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+, （2）减法运算：统一成加法运算a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>⇒>>>>⇒>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>⇒>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,) 不等式的解集表示与解集性质不等式是数学中常见的一种关系符号，用来表示一些数量之间的大 小关系。解不等式就是找出满足该不等式的所有数值，这些数值构成 了不等式的解集。解集的表示形式有多种，并且解集还具有一些特定 的性质，在数学中有着重要的应用。本文将探讨不等式的解集表示以 及解集的性质。 一、不等式的解集表示 解不等式表示的是满足不等式条件的数值范围。不等式的解集可以 用不同的方式表示，常见的有集合的表示、区间的表示和图形的表示。 1. 集合的表示 集合的表示是最常见也是最常用的一种表示方法。不等式的解集可 以用大括号{}将满足条件的数值列出来。例如，对于不等式x > 2，其 解集表示为{x | x > 2}，表示满足条件的数值x是大于2的。 2. 区间的表示 不等式的解集也可以用区间的表示方法。区间可以分为开区间、闭 区间和半开半闭区间。开区间表示为(a, b)，闭区间表示为[a, b]，半开 半闭区间表示为(a, b]或[a, b)。例如，对于不等式x > 2，其解集可以表 示为区间(2, +∞)，表示满足条件的数值x大于2且没有上界。 3. 图形的表示 对于一些简单的不等式，可以用图形的方式表示其解集。例如，对 于不等式x < 3，其解集可以表示为一条从负无穷延伸到3的封闭曲线。 不等式的解集表示方法可以根据不同的题目要求和具体情况选用。 在实际解题中，我们可以根据题目的要求来选择合适的表示形式。 二、解集性质 不等式的解集具有一些特定的性质，这些性质可以帮助我们更好地 理解和分析不等式。 1. 解集的有界性 解集的有界性是指解集是否存在上界或下界。如果解集存在上界或 下界，则解集称为有界解集；如果解集没有上界或下界，则解集称为 无界解集。例如，对于不等式x > 2，其解集是无界解集，因为没有上界；而对于不等式x < 5，其解集是有界解集，因为解集上界为5。 2. 解集的包含关系 当两个不等式同时成立时，它们的解集之间存在一定的包含关系。 例如，对于不等式组x > 2和x > 3，它们的解集分别为{x | x > 2}和{x | x > 3}，显然前者的解集包含在后者的解集中。这表明当两个不等式都 成立时，后者的条件更加苛刻。 3. 解集的交集和并集 解集之间可以进行交集和并集的运算。交集表示满足多个不等式条 件的数值范围；并集表示满足至少一个不等式条件的数值范围。例如， 不等式的性质及求解方法 不等式是数学中常见的一种关系表达式，描述了两个数或多个数之间的大小关系。在解决实际问题中，不等式的性质及求解方法起着重要的作用。本文将介绍不等式的常见性质以及常用的求解方法。 一、不等式的性质 1. 不等式的传递性 对于不等式 a < b 和 b < c，可以推导出 a < c。这是因为如果 a 比 b 小，而 b 又 比 c 小，则可以得出 a 比 c 小的结论。 2. 不等式的加减性 对于不等式 a < b，如果两边同时加上（或减去）相同的数 c，则不等式的关系 不变。即 a + c < b + c 或 a - c < b - c。 3. 不等式的乘除性 对于不等式 a < b，如果两边同时乘以（或除以）正数 c，则不等式的关系不变。但如果乘以（或除以）负数 c，则不等式的关系会发生改变，需要改变不等式的方向。即 a * c < b * c（或 a / c < b / c），当 c > 0 时，不等式的方向不变；当 c < 0 时，不等式的方向需要改变。 4. 不等式的倒置性 对于不等式 a < b，将不等式两边同时取负号，则不等式的关系会发生倒置， 即 -a > -b。 5. 不等式的平方性 对于不等式 a < b，如果 a 和 b 都是非负数，则可以对不等式两边同时进行平方操作，即 a^2 < b^2。但如果 a 和 b 中存在负数，则不等式的关系会发生改变，需 要改变不等式的方向。 二、不等式的求解方法 1. 图像法 图像法是一种直观的求解不等式的方法。对于一元不等式，可以将其在数轴上 绘制出来，然后根据不等式的性质找出满足不等式的解集。例如，对于不等式 x > 2，可以在数轴上标出 2，并用一个开口朝右的箭头表示大于 2 的数，这样就得到 了不等式的解集。 2. 辅助方程法 对于一些复杂的不等式，可以通过构造一个辅助方程来求解。首先，将不等式 转化为一个等式，然后求解该等式的解集，最后根据等式的解集确定不等式的解集。例如，对于不等式 x^2 - 4 > 0，可以构造辅助方程 x^2 - 4 = 0，求解得到 x = -2 和 x = 2，然后根据辅助方程的解集确定不等式的解集为 x < -2 或 x > 2。 3. 区间判断法 对于一些复杂的不等式，可以通过判断不等式在每个区间上的符号来确定解集。首先，找出不等式的零点，然后根据零点将数轴分成若干个区间，再在每个区间上判断不等式的符号。例如，对于不等式 (x - 1)(x + 2) > 0，可以找出不等式的零点 为 x = 1 和 x = -2，然后将数轴分成三个区间：(-∞, -2)，(-2, 1)，(1, +∞)，在每个区 间上判断不等式的符号，最后确定不等式的解集为 x < -2 或 x > 1。 4. 常用不等式的求解方法 在解决不等式问题时，还常用到一些常见的不等式的求解方法，如二次函数不 等式、绝对值不等式、分式不等式等。这些方法需要根据具体的不等式形式进行分析和求解。 不等式的性质及其解法 一 不等式的性质 （1）对称性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >. （2）传递性：如果a b b c >>且，那么a c >. （3）加法法则：如果a b >，那么a c b c +>+. 推论1 移向法则：如果a b c +>，那么c b >-a ， 推论2 同向可加性：如果a b >且c d >，那么a c b d +>+. （4）乘法法则：如果a b >，且0c >，那么ac bc >. 如果a b >，且0c <，那么ac bc <. 推论1：同向可乘性：如果0a b >>，且0c d >>，那么ac bd >. 推论2：乘方法则：如果0a b >>，那么(,1)n n a b n N n +>∈>且. 推论3：开方法则：若果0a b >>,1) n N n +∈>且. 注：比较两个实数的大小可采用两种方法： （1）作差法：作差，变形，判断符号，得出结论.依据移向法则.关键是判断差的正负，变形时通常采用配方，因式分解，分子（分母）有理化等. （2）作商法：判断商与1的大小关系，得出结论.特别注意当商与1大小关系确定后必须对商式分子分母的正负做出判断. 例 （调研）已知,,a b c 是实数，则222a b c ++与ab bc ca ++的大小关系是_______________.222a b c ab bc ca ++≥++ 练习 已知 ,a b .（作差，作商） 二 不等式的性质及其应用 1.在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的，如,a b b c ≤<，则a c <. 2.在乘法法则中，特别要注意“乘数c 的符号”，应该分0,0,0c c c >=<三种情况考虑. 3.利用不等式性质判断大小关系时可以根据前面学习的函数单调性，或者用特殊值带入排除法，给我们解决问题带来方便. 4.应用不等式性质求多个变量线性组合的范围是，由于变量间的相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，故解决此类题目一般采用换元法或者待定系数法解决. 例1 设a b >，（1）22ac bc >；（2）22a b >；（3） 11a b <；（4）33a b >；（5）22a b >中正确的结论有_______.（2）（4） 例2 设1a >，且2( 1)log a a m +=，(1)log a a n -=，(2)log a a p =，则,,m n p 的大小关系为__________.m p n >>. 第一讲不等式的基本性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用. 【知识总结】 一、不等式的概念 一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立． 二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集． 不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围 不等式的解集是一个集合,是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点． 三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须 1．不等式的基本性质 1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大． (2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b. (3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质 由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a. (2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c. (3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac 不等式的性质及解法 一．不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<。 性质1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。 说明：性质1也称为不等式的对称性。 性质2：若a b >，且b c >，则a c >。 说明：性质2也称为不等式的传递性。 性质3：若a b >，则a c b c +>+。 说明： （1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； 注：同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。 （2）由性质3可以得出 b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()( 一般地，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。 性质4：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0 性质5：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。说明： 性质5可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向； 性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。 说明： （1）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向； （2）性质6可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。 性质7：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。 性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且。 以上关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。 例1.已知b c a c c b a ><>>，求证，00不等式的基本性质及解法
不等式的性质、解集与解法
不等式的性质(第1讲)
第一讲：不等式的性质和解集
高中数学-不等式的性质及其解法
不等式的性质与解集
不等式的基本性质与解法
不等式的性质与解集表示
不等式的性质及解法
不等式的解集表示与解集性质
不等式的性质及求解方法
不等式的性质及其解法
北师大版八年级数学下册第一讲 不等式的基本性质(基础讲解)(含解析)
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质讲义(含解析)新人教A版选修4_5
不等式的性质与解法