运筹学中整数规划问题的近似算法

运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。

整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。

一、近似算法的概念

近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。

二、近似算法的分类

近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。

1. 线性松弛算法（Linear Relaxation）

线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。

2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search）

近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索，

通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。该算法在每一步

都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。

3. 启发式算法（Heuristic Algorithm）

启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜

索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。在解决整数规划问

题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而

节省计算资源和时间。

三、近似算法的应用案例

近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，

介绍近似算法的应用。

假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库

和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。目标是找到一种最

优的配送方案，使得总配送距离最短。

针对这个问题，可以使用整数规划模型进行建模，并通过近似算法

来寻找最优解。其中线性松弛算法可以将整数规划问题转化为线性规

划问题，通过求解线性规划问题得到最短配送距离，即为近似最优解。

另外，近似局部搜索算法和启发式算法也可以在该问题中应用。近

似局部搜索算法通过多次局部搜索来逐渐改进配送方案，从而得到接

近最优解的近似解。而启发式算法则可以通过启发式规则和策略，快

速搜索整数规划问题的解空间，并找到较好的近似解。

四、近似算法的优缺点

近似算法作为解决整数规划问题的方法，具有以下优点和缺点。

优点：

1. 近似算法相对于准确解算法，具有更高的计算效率和较低的计算

复杂度；

2. 近似算法的实现相对简单，可以通过调整参数或改进算法来优化

解的质量；

3. 近似算法通常能够在合理的时间内找到较接近最优解的近似解。

缺点：

1. 近似算法得到的解通常只是问题的近似最优解，并不能保证得到

问题的准确最优解；

2. 近似算法在解决某些特定问题时，可能会受到问题的特性和解决

方法的影响；

3. 近似算法需要合理的参数选择和启发式规则，否则可能会得到较

差的近似解。

综上所述，近似算法在解决整数规划问题中具有重要的作用。通过

合适的近似算法，可以在可接受的计算时间内找到问题的近似最优解，从而在实际应用中发挥重要的作用。未来随着计算机技术的不断发展

和近似算法的改进，相信近似算法在整数规划问题中将会有更广泛的应用。

运筹学整数规划

运筹学整数规划 运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。 整数规划问题的数学模型可以表示为： max/min c^T x s.t. Ax ≤ b x ≥ 0 x ∈ Z 其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是 约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。 整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难 的任务。 求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。 分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。

割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。 启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。 综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。常用的求解方法包括 分支定界法、割平面法和启发式算法等。这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

运筹学中整数规划问题的近似算法

运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。 整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。 一、近似算法的概念 近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。 二、近似算法的分类 近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。 1. 线性松弛算法（Linear Relaxation） 线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。

2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search） 近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索， 通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。该算法在每一步 都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。 3. 启发式算法（Heuristic Algorithm） 启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜 索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。在解决整数规划问 题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而 节省计算资源和时间。 三、近似算法的应用案例 近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例， 介绍近似算法的应用。 假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库 和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。目标是找到一种最 优的配送方案，使得总配送距离最短。 针对这个问题，可以使用整数规划模型进行建模，并通过近似算法 来寻找最优解。其中线性松弛算法可以将整数规划问题转化为线性规 划问题，通过求解线性规划问题得到最短配送距离，即为近似最优解。 另外，近似局部搜索算法和启发式算法也可以在该问题中应用。近 似局部搜索算法通过多次局部搜索来逐渐改进配送方案，从而得到接

《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)

第５章整数规划（割平面法） 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x 1+3x2≤14 4x1+2x2≤18 x1,x2≥0，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有： Max Z=3x1+2x2 2x 1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x2≥0，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4

根据上表，写出非整数规划的约束方程，如： x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即： (1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x4 0，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1

由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3) 或 x3+x4≥1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x2≤11 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。 图1

运筹学第五章 整数规划

第五章 整数规划 主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。 重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。 要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。 §1 问题的提出 要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。 例1 求解下列整数规划问题 211020max x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数2 1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为： 96max ,0,8.421===z x x 。

50 用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次 遇到“+”号点（ 1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。 由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。 §2 分枝定界法 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性 规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值 * z 的上界，记为 z ； 而A 的任意可行解的目标函数值是* z 的一个下界 z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最 终求得* z 。现举例说明： 例2 求解A 219040max x x z += ?????? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0 ,7020756 79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下 图）。 ① ② ③ ④ ⑤

第六章 运筹学 整数规划案例

第六章整数规划 6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。 1、 max z=3x1+2x2 S.T. 2x1+3x2≤12 2x1+x2≤9 x1、x2≥0 解： 2、 min f=10x1+9x2 S.T. 5x1+3x2≥45 x1≥8 x2≤10 x1、x2≥0

6.2 求解下列整数规划问题 1、 min f=4x1+3x2+2x3 S.T. 2x1-5x2+3x3≤4 4x1+x2+3x3≥3 x2+x3≥1 x1、x2、x3=0或1 解：最优解（0，0，1），最优值：2 2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3 S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2 -2x1+4x2+2x2+4x2≥4 x1+x2-x2+x2≥3 x1、x2、x3、x3=0或1 解：此模型没有可行解。 3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4 S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤30 2x1+5x2-x2+3x2≤20 -x1+3x2+5x2+3x2≤40 3x1-x2+3x2+5x2≤25 x1、x2、x3、x3=正整数 解：最优解（0，3，4，3），最优值：47 4、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+ 5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19 约束条件x1 + x2+x3≤30 x4+ x5＋x6-10 x16≤0 x7+ x8＋x9-20 x17≤0 x10+ x11＋x12-30 x18≤0 x13+ x14＋x15-40 x19≤0 x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30 x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20 x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20 x i为非负数（i=1,2…..8） x i为非负整数（i=9,10…..15） x i为为0－1变量（i=16,17…..19） 解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860 6.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：

运筹学中的线性规划与整数规划

运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。 一、线性规划 线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。线性规划模型一般可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到

交点来确定最优解。而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐 步接近最优解。 二、整数规划 整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。整数规划模型可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 由于整数规划中决策变量的取值范围更为限制，整数规划的求解更加困难。常用的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法和整数规 划启发式算法等。 三、线性规划与整数规划的应用 线性规划和整数规划在实际应用中有着广泛的应用。以下列举几个常见的应用领域：

运筹学中的线性规划和整数规划

运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。 一、线性规划 线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。其数学模型可以表示为： $\max c^Tx$ $s.t. Ax \leq b,x\geq 0$ 其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。

如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解 方法来确定决策变量的最优值。线性规划的求解方法一般分为单 纯形法和内点法两种方法。 单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的 情况。 内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数 值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解 在可行域内部，直到找到最优解为止。这种方法对大规模问题求 解能力强，使用较多。 二、整数规划 整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过 程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。

与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。 分支定界是一种常用的整数规划求解方法。它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。 总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。未来，在更加复杂的实际应用场景下，这两种技术也将不断发展和创新，为各种决策分析和优化问题提供更加高效和精确的解决方案。

运筹学习题解答(chap4 整数规划与分配问题)

第四章 整数规划与分配问题 一、建立下列问题的数学模型 1、P143, 4.1 利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件 (a) 221≤+x x 或53221≥+x x ； (b) x 取值0,3,5,7中的一个； (c) 变量x 或等于0，或50≥； (d) 若21≤x ，则12≥x ，否则42≤x ； (e) 以下四个约束条件中至少满足两个： 6225433121≥+≥≤≤+x x x x x x ，，，。 解：(a) 设 ⎩⎨ ⎧=否则。 ，个条件起作用； 第1 i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。 则有 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=+≥++≤+1 y y My -5x 3x 2My 2x x 21 221121 (b) 设⎩⎨ ⎧=≠=i x i x y i , 1, 0，7,5,3,0=i ，则原条件可表示为 ⎩⎨⎧=++++++=175307530 7 530y y y y y y y y x (c) 设⎩⎨ ⎧≥==50 , 10, 0x x y ，则原条件可表示为 ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥--≥≤0)1(50x M y x yM x (d)⎩⎨ ⎧=否则。 ，组条件起作用； 第1i , 0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。 则有

⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧=++≤->-≥+≤. 1, 4,2,1,2212 2211211y y My x My x My x My x (e)设⎩⎨ ⎧=个条件不成立 第个条件成立 第i , 1i , 0y i ，4,3,2,1i =，则原条件可表示为： ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧≤+++-≥+-≥+≤+≤+2 y y y y M y 6x x M y 2x M y 2x M y 5x x 43214 433321121 2、P143, 4.2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位确定5个钻井探油，目的是使得总的钻探费用最小。若10个井位代号为101S ,...,S ，相应的钻探费用为 101C ,...,C ，并且井位的选择要满足下列条件： （1）或选择1S 和7S ，或选择8S ； （2）选择了3S 或4S 就不能选择5S ，反过来也一样； （3）在10962S ,S ,S ,S 中最多只能选两个。 请建立该问题的数学模型。 解：设⎩⎨⎧=个井位未被选择 第，个井位被选择 第i i x i 0,1，则 目标函数是：10102211......MIN x c x c x c Z +++= 约束条件： 10 (21105) 2 1115 1 876554538171，，，型变量，是=-=≤+++≤+≤+=+=∑=i x x x x x x x x x x x x x x i i i

运筹学方法总结

一．线性规划 1.问题背景：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人 们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 2.求解方法： a.单纯形法： 适用的问题：约束条件全部为≤，右边常数全部为非负，对目标函数的系数没有要求。 min z=3x1-2x2 s.t. x1+2x2≤12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0 求解步骤： STEP 0 将线性规划问题标准化 STEP 1 是否有明显的初始基础可行解，如果有，转STEP 3，否则，转STEP 2。 STEP 2 构造辅助问题，用两阶段法求解辅助问题。如果辅助问题最优解的目标函数值大于0，原问题无可行解，算法终止。否则转STEP 3。 STEP 3 写出单纯形表，将基变量在约束条件中的系数消为单位矩阵，将基变量在目标函数中的系数消为0。转STEP 4。 STEP 4 如果所有非基变量的检验数全为负数或0，则已获得最优解，算法终止。否则，选择检验数为正数并且绝对值最大的非基变量为进基变量。转STEP 5。 STEP 5 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，目标函数无界，算法终止。否则根据右边常数和正的系数的最小比值，确定离基变量。转STEP 6。 STEP 6 进基变量列和离基变量行交叉的元素称为主元。对单纯形表进行行变换，将主元变为1，将主元所在列的其他元素变为0。转STEP 4。 b.对偶单纯形法： 适用的问题:约束条件中至少有一个是≥，相应的右边常数为非负，目标函数系数全部为非负。 min z=3x1+2x2 s.t. x1+2x2≥12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0 求解步骤： 步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验数，即是对偶可行解，建立初始单纯形表。 步骤2 检查基变量的取值，若≥0，则已得最优解，计算停；否则求确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。 步骤3 若所有,则原问题无可行解，计算停；否则，计算确定对应的为旋入变量。 步骤4 以为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表，转步骤2。可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行解。 二．运输问题 1.问题背景：一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产 地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。

整数规划的特点及应用

整数规划的特点及应用 整数规划是运筹学中的一种优化方法，它是线性规划问题的一种扩展形式。与线性规划相比，整数规划要求变量的取值必须为整数。整数规划具有以下几个特点： 1. 计算复杂度高：整数规划问题通常是NP-hard问题，即在多项式时间内无法找到最优解，只能采用近似算法进行求解。这是因为整数规划问题中整数约束的引入使得问题的解空间呈离散形式，导致搜索空间大大增加。 2. 解空间离散：整数规划问题的解空间是离散的，通过枚举搜索过程来寻找最优解。在搜索的过程中，需要遍历所有可能的整数解，所以解的数量随着问题规模的增大指数增加。 3. 解空间约束：整数规划中的整数变量需要满足约束条件，这些条件可能是线性不等式、等式约束或者非线性约束。这些约束条件限制了整数规划问题的解空间，使得问题的求解变得更有挑战性。 整数规划在实际应用中具有广泛的应用领域，以下是几个常见的应用场景： 1. 生产计划：在企业的生产计划中，为了最大程度地满足需求并降低生产成本，往往需要考虑许多约束条件，如产能约束、人力资源约束等。整数规划可以用来优化生产计划，确保每个生产批次的选择都是整数数量，以便满足实际生产需求。

2. 设备配置：在一些需要配置设备的问题中，整数规划可以帮助企业确定最佳设备配置方案。比如，在供应链中，如何最优地安排仓库、生产设备等资源的配置，以降低运营成本和提高服务质量，整数规划可以提供有效的优化算法。 3. 项目调度：在项目管理过程中，整数规划可以用于确定最优的项目调度方案。通过考虑项目的资源约束、任务优先级、工期等因素，整数规划可以帮助确定任务的调度顺序，以最小化项目的总工期或成本。 4. 网络设计：在网络设计中，如何选择最佳的网络节点位置、链路配置以及网络容量规划等问题，可以通过整数规划来解决。整数规划可以帮助确定网络节点的选择，以最大化网络的覆盖范围或服务质量。 5. 旅行商问题：旅行商问题是一个经典的整数规划问题，它研究的是如何确定一条最短路径，使得旅行商可以依次访问多个城市而不重复，并最终回到起点。整数规划算法可以用来求解旅行商问题，以提供最优的路径选择方案。 总之，整数规划在各个领域的应用非常广泛。虽然整数规划问题的求解比较困难，但通过合适的算法和技术手段，可以提供有效的解决方案，帮助企业降低成本、提高效益。

求解线性规划问题的整数规划算法研究

求解线性规划问题的整数规划算法研究 Introduction 线性规划问题是运筹学中最基本的问题之一，是一种优化问题，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。而整数规划算法则是针 对线性规划问题中所有变量都必须取整的情况而设计的一类算法。在实际应用中，很多情况下最优解需要得到整数解。本文主要研 究求解线性规划问题的整数规划算法，并介绍其中比较常见的两 种算法：分支定界法和割平面法。 分支定界法 分支定界法是将整数规划问题分成若干个子问题，每个子问题 是原问题的一个部分，可以得到其最优解。该算法的基本思想是 先找到一个松弛线性规划问题的最优解，然后选择一个变量进行 分支。具体实现方式是拆分成两个子问题，一个子问题中该变量 小于等于其整数部分，另一个子问题中该变量大于等于其整数部 分加1，然后分别对这两个子问题进行求解，直到找到最优解。当子问题的最优下界大于等于全局最优解的上界时，就可以在子问 题中停止搜索。分支定界法的主要思想是通过不断地削减搜索空间，来避免不必要的计算。

割平面法 割平面法是将整数规划问题转化成线性规划问题，并在每个子问题中添加一些割平面来逼近整数解。该算法的基本思想是先转化成松弛线性规划问题，在其中添加限制条件，即割平面，来求出一组整数解。割平面是原问题整数约束条件的线性组合，可以有效地削减搜索空间，进而提高搜索效率。该方法的主要难点在于如何构造合适的割平面，以减小搜索空间的大小并在短时间内找到最优解。 相比于分支定界法，割平面法在求解时需要添加额外的限制条件，使得问题转化为线性规划问题。因此，该算法需要更多的计算资源。但是，相对于分支定界法，割平面法的搜索空间更小，因此在实际应用中经常会使用这种方法来求解整数规划问题。 Conclusion 整数规划问题作为线性规划问题的一种扩展，广泛应用于各个领域。分支定界法和割平面法是求解整数规划问题时使用较为频繁的算法。虽然它们的实现细节不同，但都具有削减搜索空间、

组合优化问题的整数规划建模与求解方法研究

组合优化问题的整数规划建模与求解方法研 究 组合优化是运筹学中的一个重要分支，主要研究在给定一组约束条件下，如何 选择最优的组合使得某个目标函数的值最大或最小。整数规划是组合优化问题的一种常见形式，其中决策变量被限制为整数。 在实际应用中，我们经常面临各种组合优化问题，例如货物配送、资源调度、 排课等等。这些问题的规模庞大，约束条件复杂，直接求解往往是不现实的。因此，我们需要研究有效的建模方法和求解算法来应对这些挑战。 在组合优化问题的整数规划建模中，一个重要的步骤是定义决策变量和约束条件。决策变量表示问题中需要做出选择的部分，而约束条件限定了变量之间的关系。合理地定义这两个部分可以帮助我们更好地描述问题，并找到最优解。 对于建模的一般方法，我们可以采用0-1整数规划、混合整数规划等方法。0-1整数规划中，决策变量只能取0或1，可以用来表示选择或排除某个元素的情况。 而混合整数规划允许决策变量既可以取整数，又可以取非整数值。在建模时，我们需要根据问题的特点选择合适的整数规划形式。 除了建模方法，求解组合优化问题的整数规划也是一个关键的步骤。对于小规 模问题，我们可以采用穷举法、分支定界等精确求解方法，通过遍历所有可能的解空间来找到最优解。然而，对于大规模问题，这些方法往往是不可行的，因为计算复杂度过高。 因此，我们需要研究高效的求解算法来解决大规模组合优化问题。常用的方法 包括启发式算法、近似算法、元启发式算法等。启发式算法通过启发式规则来搜索解空间，帮助我们找到一个较好的解。近似算法则通过对问题进行适当的简化，找

到一个近似最优解。元启发式算法结合了启发式和近似思想，通过多次迭代来改进解的质量。 同时，求解组合优化问题的整数规划还可以利用现有的优化软件和工具，如MATLAB、Gurobi、CPLEX等。这些工具提供了丰富的求解接口和优化算法，可以快速求解大规模的整数规划问题。 总之，组合优化问题的整数规划建模与求解方法研究涉及到了建模方法和求解算法两个方面。在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的建模形式，并采用适当的求解方法来获得最佳解。随着优化算法和工具的不断发展，我们相信在未来的研究中，组合优化问题的整数规划建模与求解方法将会得到更多的突破和改进。

整数规划问题的数学算法设计与实现

整数规划问题的数学算法设计与实现 整数规划问题是数学中的一个重要分支，它在实际问题中有着广泛的应用。整数规划问题的数学算法设计与实现是解决这类问题的关键步骤，本文将对整数规划问题的数学算法进行探讨。 一、整数规划问题的定义与特点 整数规划问题是指在约束条件下，目标函数为线性函数，决策变量为整数的优化问题。与线性规划问题相比，整数规划问题更加复杂，其解空间是离散的，求解难度较大。 整数规划问题的特点在于，它能够描述现实生活中的离散决策问题。例如，在生产调度中，我们可能需要决定生产多少个产品，而不能生产部分产品。这就是一个典型的整数规划问题。 二、整数规划问题的常用算法 1. 分支定界法 分支定界法是解决整数规划问题最常用的算法之一。它通过将整数规划问题分解成一系列子问题，并对子问题进行求解，最终得到整数规划问题的最优解。 分支定界法的基本思想是通过不断分割问题的解空间，将问题转化为一系列线性规划问题。通过求解线性规划问题，可以得到问题的下界和上界，从而缩小解空间，提高求解效率。 2. 割平面法 割平面法是另一种常用的整数规划问题求解算法。它通过引入一系列线性不等式，将问题的解空间切割成更小的区域，从而提高求解效率。

割平面法的基本思想是通过求解线性规划问题，得到问题的一个可行解。然后，通过添加一系列线性不等式，将可行解排除，直到得到整数规划问题的最优解。 三、整数规划问题的实现技巧 1. 线性松弛 线性松弛是整数规划问题求解中常用的技巧之一。它通过将整数规划问题转化 为线性规划问题，求解线性规划问题的松弛问题，得到问题的一个可行解。 线性松弛的基本思想是将整数规划问题的整数约束放松，将决策变量变为连续 变量。通过求解松弛问题，可以得到问题的一个可行解。然后，通过对可行解进行修正，得到整数规划问题的最优解。 2. 启发式算法 启发式算法是整数规划问题求解中另一种常用的技巧。它通过引入一系列启发 式规则，对问题进行近似求解，得到问题的一个近似最优解。 启发式算法的基本思想是通过一系列启发式规则，对问题的解空间进行搜索。 通过搜索过程，可以得到问题的一个近似最优解。虽然这个解不一定是最优解，但是它能够在较短的时间内得到一个可行解。 四、整数规划问题的应用领域 整数规划问题在实际问题中有着广泛的应用。它可以用于生产调度、资源分配、网络设计等领域。 例如，在物流配送中，我们需要决定如何将货物分配到不同的仓库，以最小化 总运输成本。这就可以通过整数规划问题来建模和求解。 在网络设计中，我们需要决定如何布置网络节点和连接，以最小化总建设成本。这也可以通过整数规划问题来解决。

整数规划问题的近似算法设计与分析

整数规划问题的近似算法设计与分析在实际生活和工作中，我们经常遇到需要进行决策的问题。有些问题可以用整数规划问题来建模，在满足一定条件下，找到最优解。然而，整数规划问题存在着困难，它是NP难问题，很难在多项式时间内找到精确解。因此，近似算法成为解决整数规划问题的有效方法。 近似算法是一种权衡时间和精确性的算法，它可以在多项式时间内找到一个接近最优解的解。设计好的近似算法可以在实际问题中高效地运行，并且结果接近最优解。本文将介绍整数规划问题的近似算法设计与分析。 一、整数规划问题简介 整数规划问题是线性规划问题的扩展，在线性规划问题的基础上，增加了约束变量必须取整数的条件。整数规划问题可以表示为如下形式： max cTx s.t. Ax ≤ b, x ∈ Z^n， 其中，c是一个n维向量，x是一个n维向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维向量，Z表示整数集合。 整数规划问题的目标是找到满足所有约束条件的整数向量x，使得目标函数值cTx达到最大或最小。

二、近似算法的基本思想 在设计近似算法之前，我们需要先了解一些基本概念和思想。首先是近似比的定义。对于最优化问题，如果算法A可以找到不超过最优解的k倍的解，并且k是一个常数，我们称算法A具有k近似比。 为了设计近似算法，我们可以采用贪心算法、松弛算法和修剪算法等。贪心算法是一种自顶向下的思想，它不考虑全局最优解，每一步局部地选择最优解。贪心算法可以求解整数规划问题的近似解，但不能保证这个解是最优解。 松弛算法则是一种放宽约束条件的方法，将整数规划问题转化为线性规划问题，通过求解线性规划问题得到精确解或近似解。然后再对松弛解进行修剪，得到整数规划问题的近似解。 修剪算法是对可能解空间进行修剪，去除一些不可能达到最优解的情况。通过对问题进行数学建模和分析，找到可能的最优解范围，并进行修剪，得到问题的近似解。 三、近似算法的设计与分析 在设计近似算法时，我们需要考虑问题的特性和约束条件。根据问题的要求，选择合适的算法和方法。 具体的设计策略是根据问题的特点来确定的。一般来说，比如对于背包问题可以采用贪心算法。首先对资源进行排列，按单位资源的价值从大到小进行排序，然后依次选择单位资源价值最高的资源，直到不能再添加。这个方法可以得到一个接近最优解的近似解。

运筹学算法的使用方法

运筹学算法的使用方法 运筹学是一门研究如何通过数学模型和优化方法来解决实际问题的 学科。它涉及到许多算法和技巧，可以帮助我们在各种场景下进行决 策和规划。本文将介绍几种常用的运筹学算法及其使用方法，帮助您 更好地应用运筹学于实际问题中。 一、线性规划 线性规划是运筹学中最基本也是最常用的方法之一。它的目标是在 给定的约束条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的最佳决策方案。线性规划的模型可以表示为以下形式： max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ subject to: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂ … aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, …, xₙ ≥ 0 其中，x₁, x₂, …, xₙ为待决策的变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数 的系数，a₁₁, a₁₂, …, aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, …, bₙ为约束

条件的边界。要求解线性规划问题，可以使用单纯形法、内点法等算法。 二、整数规划 整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量的取值必须是整数。整数规划广泛应用于许多实际问题，如生产计划、货物配送、员 工排班等。解决整数规划问题的算法主要包括分支定界法、割平面法、动态规划法等。这些算法可以将整数规划问题转化为线性规划问题， 并通过逐步迭代来搜索最优解。 三、网络流优化 网络流优化是研究网络中最大吞吐量、最短路径、最小费用等问题 的一类方法。它可以应用于交通路网规划、电力调度、物流配送等领域。在网络流优化中，常用的算法有最小费用流算法、最大流算法、 最小费用最大流算法等。这些算法可以帮助我们找到网络中的最优方案，并且具有良好的可扩展性和效率。 四、排队论 排队论是研究排队系统的数学模型和解决方法的学科。它可以应用 于餐厅、银行、交通等场景中的排队问题。排队论的模型包括顾客到 达模型、服务模型和排队模型。常用的排队论算法有马尔可夫链、泊 松过程、离散事件模拟等。这些算法可以用来评估系统性能，优化服 务水平，提高效率。 五、模拟优化

运筹学的优化算法

运筹学的优化算法 运筹学是一门研究如何对复杂问题进行优化的学科，通过利用数学、 统计学和计算机科学等方法，运筹学可以帮助解决各种决策和优化问题。 在该领域中，存在着许多不同的优化算法，下面将介绍其中几种常见的算法。 1. 线性规划（Linear Programming，LP）：线性规划是一种常见的 数学规划方法。它的目标是优化一个线性目标函数，同时满足一组线性约 束条件。通过将问题转化为标准形式（即将约束条件和目标函数都表示为 线性等式或不等式），线性规划可以使用诸如单纯形法、内点法等算法进 行求解。 2. 整数规划（Integer Programming，IP）：整数规划是一种在线性 规划的基础上，引入了变量为整数的约束条件。这样的问题更具挑战性， 因为整数约束使得问题成为NP困难问题。针对整数规划问题，常用的方 法包括分支定界法、回溯法、割平面法等。 3. 非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）：与线性规划不同，非线性规划的目标函数或约束条件至少有一个是非线性的。非线性规划的 求解需要使用迭代算法，例如牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。这些算法 通过逐步优化解来逼近最优解。 4. 动态规划（Dynamic Programming，DP）：动态规划通过将问题分 解为子问题，并使用递归方式求解子问题，最终建立起最优解的数学模型。动态规划方法常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。例如，背 包问题、最短路径问题等。

5. 启发式算法（Heuristic Algorithm）：启发式算法是一种近似求 解优化问题的方法，它通过启发式策略和经验知识来指导过程，寻找高质 量解而不必找到最优解。常见的启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法等。 6. 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）：蒙特卡洛模拟是一 种基于概率的数值模拟方法，用于评估随机系统中的不确定性和风险。它 通过生成大量随机样本，并使用这些样本的统计特征来近似计算数学模型 的输出结果。 7. 随机优化方法（Stochastic Optimization）：随机优化方法采用 了随机性质的优化算法，特别适用于存在不确定性的问题。这些方法包括 遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。随机优化方法通过引入随机性，能够跳出局部最优解，提高全局能力。 总之，运筹学的优化算法有多种多样，不同的问题需要选择适当的算 法来求解。这些算法通过不同的数学模型和算法策略，为我们提供了强有 力的工具来解决各种实际问题，促进决策的科学化和优化化。

求解整数规划的方法

求解整数规划的方法 整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。 一、分支定界法 分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。具体步骤如下： 1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。 2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。 3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。 4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。 5. 最终，得到整数规划的最优解。 分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。 二、整数规划的近似算法 当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可

以考虑使用近似算法来求解。近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。 三、割平面法 割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。 2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。 3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。 4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。 5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。 6. 最终，得到整数规划的最优解。 割平面法的优点是在求解过程中动态地添加割平面约束，可有效地减小可行解空间，提高求解效率。然而，添加割平面约束的过程可能会导致问题规模增大，加大计算复杂度。 四、启发式算法

数学建模应用中整数线性规划问题的常用解法初探

数学建模应用中整数线性规划问题的常用解法初探 作者：*** 来源：《现代职业教育》2021年第07期

[摘要] 在数学建模应用中，整数线性规划问题是一种常见的运筹学问题，其常用的解法有分支定界法、割平面法、蒙特卡罗法等。试图从数学建模实践的角度，淡化理论证明，仅对这几种典型方法的原理、优缺点、应用范围等作一个简要的分析比较，以供读者在实际的数学建模过程中灵活应用。 [关键词] 整数线性规划;分支定界法;割平面法;蒙特卡罗法 [中图分类号] O151.2 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）07-0178-02 一、整数线性规划问题 规划问题是运筹学的一个重要分支，从表达形式上看，可以分为线性规划（linear programming，LP）和非線性规划（non-linear programming，NLP）;从变量的可行域要求来看，也可以分为整数规划（integer programming，IP）和非整数规划（non-integer programming，NIP），若既有表达式上的线性特征，又有变量的取整要求，这样的规划问题我们一般称之为整数线性规划（integer linear programming，ILP）问题[1]。 整数线性规划问题的传统解法是先求解与之对应的松弛问题（即先不考虑变量的整数约束而形成的新的线性规划问题），若刚好得到整数解，则求解过程结束;否则，再通过适当方法（切割平面或分支定界）生成一个或多个新的松弛问题（最初松弛问题加上新的切割或分支条件），重复以上步骤直至求得最优解。 一般而言，整数线性规划问题的求解难度要比普通线性规划问题大，其根本原因在于自变量取值增加了离散特性，但在工程上，离散特性恰好可以被计算机利用。蒙特卡罗算法是一类随机方法的统称。这类方法的基本思路是，可以通过随机采样进行计算而得到近似结果，随着采样的增多，得到正确结果的概率将逐渐加大，经过一定的步骤之后，就会尽可能趋近最佳结果。 二、割平面法 1958年，美国应用数学家R.E.戈莫里（Ralph Edward Gomory）首先提出了用割平面法求解整数线性规划问题的经典思路：先求解相对应的松弛问题，若该松弛问题的最优解就是整数解，则求解过程结束，否则通过适当的变形增加一个新的线性约束条件，再重复上述过程，直到最终求出原问题的最优解[2]。新增的约束条件实际上缩小了变量的可行域，因此称为“割平面”，割平面法的基本操作步骤如下：

运筹学整数规划模型

运筹学整数规划模型 5.某企业利用一种设备生产某种试件。该设备可以在高，低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下生产的试件产量是投入生产设备数量的10倍，设备年完好率为75%；低负荷下生产的试件产量是投入生产设备数量的8倍，设备年完好率为90%。现在企业有完好的设备200台，试制定一个5年计划，确定每年投入投入高，低两种负荷下生产的设备数量，使5年内试件的总产量达到最大。 整数规划模型 设立第i年资金投入高负荷下生产的较完整的设备数量为xi，生产的试件数量为 10xi；第i年资金投入高负荷下生产的较完整的设备数量为yi，生产的试件数量为8yi。模型为： maxz?10?xi?8?yi i?1i?155x1?y1?200 s.t.?0.75xi?+?0.9yi?-xi?1-yi?1=0 xi,yi?0且为整数，（i=1,2,3,4,5） lingo程序为： max=10*(x1+x2+x3+x4+x5)+8*(y1+y2+y3+y4+y5); x1+y1=200; z1=@floor(0.75*x1);u1=@floor(0.9*y1);z1+u1-x2-y2=0; z2=@floor(0.75*x2);u2=@floor(0.9*y2);z2+u2-x3-y3=0; z3=@floor(0.75*x3);u3=@floor(0.9*y3);z3+u3-x4-y4=0; z4=@floor(0.75*x4);u4=@floor(0.9*y4);z4+u4-x5- y5=0;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@ gin(y4);@gin(y5); lingo解结果为： objectivevalue:6362.000variablevalue x1200.0000x21.000000x30.000000x4119.0000x589.00000y10.000000y2149.0000y3134.00 00y41.000000y50.000000