运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习

第五章整数规划

1．整数规划的特点

(1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。

（2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。

(3)整数规划的可行域为离散点集。

2．整数规划的建模步骤

整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。

3．求解整数规划的常用方法

1）分支定界法

没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z＊的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小和增大，最终求得z＊。

将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。

(1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之一:

①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。

②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。

③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。

(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作。以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。

下面进行迭代.

分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x

i ，其值为b

i

。

构造两个约束条件

x

j ≤［b

j

］①

和

x

j ≥[b

j

］+1 ②

其中［b

j ］为不超过b

j

的最大整数。

将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。

定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。

第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ；

第二步:若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解,否则转下步;

第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。

第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。若某个子问题的解是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。

第五步：重复第三、四步直至获得原问题最优整数解为止.

2）割平面法

割平面法既可以求解纯整数规划，也可以用于求解混合整数规划.其基本思路与分支定界法类似,它也是在求解整数规划（Ⅰ)的相应的线性规划(L）的基础上，不断增加新的约束,通过求解一系列线性规划问题,最终得到原问题（I）的整数最优解。但在此方法中，新约束的求法与分支定界法中不同，此外新增加的约束叫做割平面或切割方程，它使得由原可行域中切割掉一部分,此部分只包含非整数解，但不切割掉任何整数可行解。

割平面法求解整数规划的求解步骤：

（1）先不考虑整数条件，求解(Ⅰ)相对应的线性规划问题(L）,与分支定界法步骤（1）一样,同样可得到三种结果之一。

（2）求一个切割方程：切割方程可由单纯形表的最终表中的任一个含有非整数基变量的等式约束演变而来，因此,切割方程不唯一.

1°令x

i

为相应的线性规划（L)的最优解中为分数值的一个基变量，由单纯形的最终表得到：

其中i∈Q（Q表示构成基变量号码的集合)，k∈K（K表示构成非基变量号码的集合）。

2°将b

i 和a

ik

都分解成整数部分N和非负真分数f之和,即

而N为不超过b的最大整数，即N=［b]。并将①代入②，得

3°提出变量为整数的条件（当然还有非负条件）,由③式左边看必须是整数，

但右边因为0〈f

〈1，所以不能为正，故得切割方程

i

(3)在(L)的基础上，增加第一个切割方程，即构成线性规划问题(L1）,用单纯形法或对偶单纯形法求最优解，若(L1)得到的仍为非整数解,则返回步（2），继续求第二个切割方程。

4．指派问题

(1）指派问题的特点.

把m项工作分派给n个人去做，既发挥各人特长又使效率最高。这是一类特殊0—1规划问题.

(2)求解方法——匈牙利法.

该方法由库思提出，他引用了匈牙利一位数学家的定理。

①指派问题的标准型.

目标为min;系数矩阵为方阵(即人数与工作数相等，或者说每项工作只能由一人来做,每个人只能做一项工作)且其所有元素均为非负。满足这两个条件的指派问题叫做标准型的指派问题。

②标准型指派问题的求解。

5．0-1规划问题

（1)一般形式。

仅取0或1,它和一 0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量x

i

般整数规划的约束条件形式是一致的。

(2）求解方法——隐枚举法。

0—1规划常用隐枚举法和过滤法,都是利用变量只能取0或l两个值的特性。隐枚举法是一种特殊的分支定界法，它适用任何0—1规划问题的求解。但用隐

枚举法要经过一些模型的变换。过滤法实际上就是隐枚举法的一个特殊情况,在计算的过程中确定一个过滤条件，不断地检验，由于0—1的特性，其工作量在维数不大的情况下也是可以很快完成的,但当维数很大时不可取.

要用隐枚举法，首先应将0—1规划化成以下规范形式：

①如果目标函数是求最小值，则对目标函数两边乘以-1，改求最大值。

②如果目标函数中某变量x

j 的系数c

j

〉0，则令x

j

=1—y

j

替换x

j

,其中y

j

为0

—1变量，于是变量y

j

在目标函数中的系数变成小于0。

③如果约束条件是“≥”形式，则可两边乘以-1，改为“≤”的形式。

④如果约束条件中含有等式，则可将每个等式化成两个“≤”形式的不等式,例如

0—1规划的隐枚举法的基本思想是：首先令全部变量取0(因为目标函数的系数全非正，此时，相应的目标函数值s=0就是上界）.如果此解可行，则为最优解，计算终止；否则，选择某个变量为0或1,将问题分析成两个子问题，继续分别对它们进行检验，即令没有被选择的变量全部为0,检查是否可行。如此下去,或者再分支，或者使所有的子问题停止分支,并以最大下界值对应的可行解

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运筹学资料

运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 第一章、线性规划的图解法 1.基本概念 线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。 线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。 目标函数：是变量的线性函数。 约束条件：变量的线性等式或不等式。 可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。 可行域：可行解的集合称为可行域。 最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。 唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。 凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。 等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。 松弛变量：对于“”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。 剩余变量：对于“”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。 2.线性规划的标准形式 约束条件为等式（） 约束条件的常数项非负（）

决策变量非负（） 3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对 最优解产生什么影响。 4.目标函数中的系数的灵敏度分析 目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。 5.约束条件中常数项的灵敏度分析 对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。 当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。第二章、线性规划问题在工商管理中的应用 1.人力资源分配问题（P41） 设为第班次开始上班的人数。 2.生产计划问题（P44） 3.套材下料问题（P48） 下料方案表（P48） 设为按各下料方式下料的原材料数量。 4.配料问题（P49） 设为第种产品需要第种原料的量。 5.投资问题（P53） 设为第年初投资于项目的金额。 第三章、运输问题 1.产销平衡问题（P133）

考研运筹学知识点解析

考研运筹学知识点解析 运筹学是一门涉及数学、统计学、经济学和计算机科学等多个学科的综合性学科，主要研究如何对复杂的决策问题进行建模、分析和优化。在考研中，运筹学是管理类专业中的必考科目之一，掌握运筹学的知识点对于考研学子来说非常重要。本文将对考研运筹学的一些重要知识点进行解析，帮助考生全面了解和掌握这门学科。 一、线性规划 线性规划是运筹学中的基本方法之一，广泛应用于企业生产、物流配送、资源调度等领域。线性规划的目标是求解一个线性目标函数在一组线性约束条件下的最优解。其中，线性目标函数是一个关于决策变量的线性函数，线性约束条件指的是约束条件的关系式为线性等式或不等式。 二、整数规划 整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。整数规划常用于需要对决策变量进行离散分配的问题，如生产线的切割、网络节点的选址等。整数规划的求解相对于线性规划来说更为困难，通常需要借助于分支定界算法、割平面算法等优化方法进行求解。 三、动态规划 动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。它通过将原问题分解为多个阶段，并逐步求解每个阶段的最优解，最终得到原问题的

最优解。动态规划常用于最短路径问题、最优化问题等。在动态规划 的求解过程中，需要建立状态转移方程，利用递推关系进行计算。 四、网络优化 网络优化是研究网络中资源配置和流量分配的问题。常见的网络优 化问题包括最小生成树问题、最短路径问题、最大流问题等。网络优 化可以应用于交通规划、通信网络设计等领域，通过优化网络中的资 源分配，提高资源利用效率，降低成本和能源消耗。 五、排队论 排队论是研究人员如何优化队列系统中的资源安排和人员调度的学科。排队论常用于服务系统的设计和管理，如银行的柜台服务、交通 信号灯控制等。排队论的研究内容包括排队模型的建立、系统性能的 评估和优化策略的设计等。 六、决策分析 决策分析是研究如何进行决策的方法和技术。在复杂的决策问题中，决策分析可以帮助决策者从多个候选方案中选择最优方案。决策分析 常用于风险管理、投资决策等领域，通过对决策问题的建模和分析， 为决策者提供决策支持。 综上所述，考研运筹学涉及的知识点包括线性规划、整数规划、动 态规划、网络优化、排队论和决策分析等。掌握这些知识点对于考生 来说至关重要。在备考过程中，建议考生加强对运筹学基本概念的理解，熟悉各类问题的建模思路和解题方法，并通过大量的习题训练提

运筹学复习

2014-2015复习 一、名词解释（5道，15分） 1.优化 2.线性规划生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。 3.可行解:满足约束条件解为可行解。 4.可行域所有可行解的集合为可行域。 5.基:设A为约束条件②的m× n阶系数矩阵(m

《运筹学》知识点总结

1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 ?? ???≤≤≤≤≤++=8 3105120106max 21212 1x x x x x x z 2.将下述线性规划问题化成标准形式。 （1）?????? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 4,03,2,12321422245243min 43214 32143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 解：令z z -='，' '4' 44x x x -= ???????≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214 2222455243'max 6 5''4'43216' '4'43215' '4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应

图解法中的可行域的哪个顶点。 ??? ??≥≤+≤++=0,825943510max 2 121212 1x x x x x x x x z 解：①图解法： ②单纯形法：将原问题标准化： ??? ??≥=++ =+++=0,,,825943510max 4 32142 13 212 1x x x x x x x x x x x x z C j 10 5 0 0 θ 对应图解法中的点 C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0 x 4 8 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10 x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5 x 2 3/2 0 1 5/14 -3/14 B 点 10 x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj 35/2 -5/14 -25/14 最优解为（1,3/2,0,0），最优值Z=35/2。

运筹学--第五章

１２９ 习题五5.1 试将下述非线性的0－1规划问题转换为线性的0－1规划问题 max z ＝x 12＋x 2x 3－x 33 st. －2x 1＋3x 2＋x 3 ≤3 x j ＝0或1（j ＝1,2,3） 5.2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为s 1，s 2，…，s 10，相应的钻探费用为c 1，c 2，…，c 10，并且井位选择上要满足下列限制条件： （1） 或选择s 1和s 7，或选择钻探s 8； （2） 选择了s 3或s 4就不能选s 5，或反过来也一样； （3） 在s 5，s 6，s 7，s 8中最多只能选两个。 试建立此问题的整数规划模型。 5.3 用分枝定界法求解下列整数规划问题 (1) max z ＝x 1＋x 2 st. x 1＋149 x 2 ≤1451 －2x 1 ＋x 2 ≤31 x 1，x 2≥0且为整数 (2) max z ＝2x 1＋3x 2 st. 5x 1＋7x 2≤35 4x 1＋9x 2≤36 x 1，x 2≥0且为整数 5.4 用割平面法求解下列整数规划问题 (1) max z ＝7x 1＋9x 2 st. －x 1＋3 x 2 ≤6 7x 1 ＋ x 2 ≤35 x 1，x 2≥0且为整数 (2) min z ＝4x 1＋5x 2 st. 3x 1＋2x 2≥7 x 1＋4x 2≥5 3x 1＋ x 2≥2 x 1, x 2≥0且为整数 5.5 用隐枚举法求解0－1整数规划问题 max z ＝ 3x 1＋2x 2－5x 3－2x 4＋3x 5 st. x 1＋ x 2 ＋ x 3＋2x 4＋ x 5≤ 4 7x 1 ＋3x 3－4x 4＋3x 5≤ 8 11x 1－6x 2 ＋3x 4－3x 5≥ 3

运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习

第五章整数规划 1．整数规划的特点 (1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。 （2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。 (3)整数规划的可行域为离散点集。 2．整数规划的建模步骤 整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。 3．求解整数规划的常用方法 1）分支定界法 没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z＊的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小和增大，最终求得z＊。 将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。 (1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之一: ①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。 ②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。 ③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。

(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作。以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。 下面进行迭代. 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x i ，其值为b i 。 构造两个约束条件 x j ≤［b j ］① 和 x j ≥[b j ］+1 ② 其中［b j ］为不超过b j 的最大整数。 将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。 第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ； 第二步:若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解,否则转下步; 第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。 第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。若某个子问题的解是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。

运筹学考试重点(精简后的)

运筹学考试重点(精简后的)随着2020研究生考生的结束，21的考生逐渐紧张起来，即将开始他们的考研之路，在这里给大家汇总一下重要知识点，我们主要总结一些学生考管理科学与工程时部分院校考查的运筹 学这门课程。 运筹学这门课程偏向理科，基本都是计算类的题型，大部分学校都是考查计算题，少部分学校会加点选择、判断题，极个别学校会有一道证明题，但是考查的概率比较小。所以我们主要针对大部分院校常考的知识点进行讲解。 首先是线性规划问题，这个考查的形式相对比较固定，大家一个是要掌握线性规划问题的建模、其次是化标准型，会用单纯形法进行求解，以及明白单纯形表里各个数据代表的意义，最后是对于线性规划问题解的几种形式要了解什么 情况下是什么类型的解; 第二个知识点是对偶问题及灵敏度分析，这个主要是和上个线性规划结合着在一题中进行 考查，大家要会写线性规划模型的对偶问题，以及对偶问题解怎么找，当然最重要的是灵敏度分 — 1 —

析，单位资源的变化对我们的目标值有什么样的影响，不同数据的变化如何去求解是一个重点。 第三个是运输问题，我们重点是如何把产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的问题，然后再用表上作业法去求解最优的配送方案。 第四个是目标规划，这个知识点考查的学校相对没有那么多，大概有50%的学校会考，他主要考查多目标的线性规划问题，应用到实际问题中比较多，大家重点掌握它的建模就可以了，求解基本没怎么考查过。 第五个是整数线性规划问题，他第一个考查点是0-1型整数规划建模，第二个是分支定界或割平面的求解整数规划问题，第三个是指派问题的求解，这个考查频率比较高，大家要掌握匈牙利法求解的方法。 第六个知识点是动态规划问题，这个知识点相对比较难理解，但是大部分学校都会考查到，所以大家要重点关注，我们要弄清建模时明确的5个内容，你的阶段变量、状态变量、决策变量、递推关系数、状态转移方程分别是什么，然后不同的类型采用不同的求解方式。 — 2 —

运筹学期末复习题及答案

19、简述线性规划模型主要参数（p11） （1）、价值系数：目标函数中决策变量前的系数为价值系数 （2）、技术系数：约束条件中决策变量前的系数 （3）、约束条件右边常数项 15、简述线性规划解几种可能的结果（情形）（ppt第二章39或89页） （1）.有唯一最优解 (单纯形法中在求最大目标函数的问题时，对于某个基本可行解，所有δj≤0) （2）.无可行解，即可行域为空域，不存在满足约束条件的解，也就不存在最优解了。 （3）.无界解，即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小，一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件 （4）.无穷多个最优解，则线段上的所有点都代表了最优解 （5）退化问题，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，用图解法无退化解 1、简述单纯形法的基本思路（p70） 从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。 17、简述线性规划中添加人工变量的前提（p85） 在系数矩阵中直接找不到初始可行解，进而通过添加人工变量的方法来构造初始可行基，得出初始基本可行解 10、简述线性规划对偶问题的基本性质（p122） （1）对称性（2）弱对偶性（3）强对偶性（4）最优性（5）互补松弛型原函数与对偶问题的关系 1）求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件，其约束条件都为大于等于不等式。 2）原问题的目标函数中的价值系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并

运筹学期末复习题及答案

19、简述线性规划模型主要参数（pll） （1）、价值系数：目标函数中决策变量前的系数为价值系数（2）、 技术系数：约束条件中决策变量前的系数（3）、约束条件右边常数项15、简述线性规划解几种可能的结果（情形）（ppt第二章39或89页） （1）.有唯一最优解（单纯形法中在求最大目标函数的问题时，对于某个基本可行解，所有8 jW0） （2）.无可行解，即可行域为空域，不存在满足约束条件的解，也就不存在最优解了。 （3）.无界解，即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小，一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件 （4）.无穷多个最优解，则线段上的所有点都代表了最优解 （5）退化问题，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，用图解法无退化解 1、简述单纯形法的基本思路（p70） 从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。 17、简述线性规划中添加人工变量的前提（P85） 在系数矩阵中直接找不到初始可行解，进而通过添加人工变量的方法来构造初始可行基，得出初始基本可行解 10、简述线性规划对偶问题的基本性质（p122） （1）对称性（2）弱对偶性（3）强对偶性（4）最优性（5）互补松弛型原函数与对偶问题的关系 1）求目标函数最大值的线性规划问题中有n个变量m个约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件，其约束条件都为大于等于不等式。 2）原问题的目标函数中的价值系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并

运筹学期末考试复习资料

《运筹学》课程综合复习资料 一、判断题 1.求解LP 问题时，对取值无约束的自由变量，通常令" -'=j j j x x x ，其中：0≥"' j j x x ，在用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现0 >"'j j x x 。 答案：错 2．在PERT 计算中，将最早节点时刻等于最迟节点时刻、且满足 0)(),()(=--i t j i t j t E L 节点连接而成的线路是关键线路。 答案：对 3．在一个随机服务系统中，当其输入过程是一普阿松流时，即有 (){}()t n e n t n t N P λλ-==! ，则同一时间区间内，相继两名顾客到达的时间间隔是相 互独立且服从参数为λ的负指数分布，即有()t e t X p λλ-==. 答案：对 4.已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝０，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余。 答案：对 5.用单纯形法求解单纯形表时，若选定唯一入基变量k x （检验数>0），但该列的 1,2...m =i 0 ik a ≤，则该LP 问题无解。 答案：对 6.对偶单纯形法中，若选定唯一出基变量i x （i x <0），但i x 所在行的元素（系数矩阵中）全部大于或等于0，则此问题无解。 答案：对 7.LP 问题的可行域是凸集。 答案：对 8.动态规划实质是阶段上枚举，过程上寻优。 答案：对 9.动态规划中，定义状态变量时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。 答案：对

10.目标规划中正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。 答案：错 11.LP问题的基可行解对应可行域的顶点。 答案：对 12.若LP问题有两个最优解，则它一定有无穷多个最优解。 答案：对 13.若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定有无穷多最优解。答案：对 14.对偶问题的对偶问题一定是原问题。 答案：对 15．对于同一个动态规划问题，逆序法与顺序法的解不一样。 答案：错 16.线性规划模型中增加约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少约束条件，可行域的范围一般将扩大。 答案：对 17.线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示。 答案：对 18.在求解目标规划时，遵循的基本原则就是在考虑低级目标时，不能破坏已经满足的高级目标。 答案：对 19.在PERT网络图中，连接最早、最迟节点时刻相等的节点所成的线路是关键线路。 答案：错 20.运输问题是一种特殊的LP问题，总有可行解存在。 答案：对 二、单选题 1．箭线式网络图中的关键线路是指（） A．具有结点数目最多的线路 B．从始点出发，由各个关键活动连续相接，直到终点的线路 C．具有活动数目最多的线路 D．具有活动数目最少的线路

运筹学期末考试试题及答案

运筹学期末考试试题及答案 运筹学是一门应用数学学科，旨在寻找最优决策方案，即在有限的资源条件下，通过合理调配，实现目标函数的最优解。运筹学在各个领域都有广泛的应用，如管理、生产、物流、交通等领域。在期末考试中，运筹学试题及答案的撰写需要围绕以下几个要点展开： 一、确定文章类型 本文将采用论述题的格式，以一道实际的运筹学问题为例，介绍如何运用运筹学方法解决实际问题，并给出相应的答案解析。 二、梳理关键词 本文的关键词包括：运筹学、最优决策、资源有限、合理调配、目标函数、最优解、管理、生产、物流、交通等。 三、编写引言 运筹学是一门应用数学学科，旨在寻找最优决策方案，即在有限的资源条件下，通过合理调配，实现目标函数的最优解。运筹学在各个领域都有广泛的应用，如管理、生产、物流、交通等领域。本文将以一道实际的运筹学问题为例，介绍如何运用运筹学方法解决实际问题，并给出相应的答案解析。 四、主体部分

假设某公司有一项任务，需要将一批货物从A地运送到B地，其中有两种运输方式可选：公路运输和铁路运输。公路运输的费用为每单位货物10元，运输时间为每单位货物2小时；铁路运输的费用为每单位货物5元，运输时间为每单位货物4小时。任务要求在不超过1000元费用预算和200单位货物运输量的限制下，完成该项任务，并确保总运输时间最短。请运用运筹学方法，制定最优运输方案。 首先，我们可以将该问题转化为一个线性规划问题。设x1为公路运输的单位货物量，x2为铁路运输的单位货物量，则目标函数可表示为min(2x1+4x2)，即在限制条件下，使得总运输时间最短。限制条件可表示为： 10x1+5x2≤1000 x1+x2≤200 x1,x2≥0 接下来，我们可以使用线性规划求解方法，如单纯形法等，求得最优解。在本例中，最优解为x1=100，x2=0，即最优运输方案为全部采用公路运输，总运输时间为200小时，总费用为1000元。 五、总结 本文以一道实际的运筹学问题为例，介绍了如何运用运筹学方法解决实际问题。通过将问题转化为线性规划问题，并使用线性规划求解方法求得最优解，我们可以得到在限制条件下最优的决策方案。运筹学作为一门应用数学学科，可以为实际问题的解决提供有效的工具和方法。

山东交通学院运筹学期末复习题

运筹学A 复习题 一、判断题(每小题2分，共计20分) 1．求目标函数最小值问题不可能转换为求目标函数最大值问题。（×） 2．不平衡运输问题不一定有最优解。（×） 3．部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划。（×） 4．在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。（√） 5．对于一个动态规划问题，应用顺推或者逆推解法可能会得出不同的最优解。（×） 6．排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响。（×） 7．在折中主义准则中，乐观系数a的确定与决策者对风险的偏好有关。（√） 8．用层次分析法解决问题，构造好问题的层次结构图是解决问题的关键。（√） 9．目标规划模型中的目标函数按问题要求分别表示为求min或max。（×） 10．所谓主观概率基本上是对事件发生可能性做出的一种主观猜想和臆测，缺乏必要科学依据。（×） 二、选择题（每小题3分，共30分） 1．关于互为对偶的两个模型的解的存在情况，下列说法不正确的是（ C ）。 A. 都有最优解 B. 都无可行解 C. 都为无界解 D. 一个为无界解，另一个为无可行解 2．有6个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征（ B ）。 A. 有10个变量24个约束 B. 有24个变量10个约束 C. 有24个变量24约束 D. 有9个基变量10个非基变量 3．人数大于任务数的指派问题中，应该采取的措施是（ B ）。 A. 虚拟人 B. 虚拟任务 C. 都可以 D. 不需要 4．容量网络的条件包括（ D ）。 A. 网络中有一个始点和一个终点 B. 流过网络的流量都具有一定方向 C. 每边（弧）都赋予了一个容量，表示容许通过该弧的最大流量 5.用逆序法求解资源分配问题时，为保证独立性，状态变量取值一般为（ C ）。 A. 各阶段分配的资源数 B. 当前阶段开始时前部过程已分配的资源数 C. 当前阶段开始时剩余给后部过程的资源数 D. 资源的总数 1

运筹学期末复习重点

一、线性规划问题 约束条件：不超过各工序可用时间非负约束1）0.7x1+x2≤6302) x1,x2≥0 图解法：设定Z值然后带入值取各个公式的两个端点描点画图 二、单纯形法 步骤：标准化目标函数最大约束条件等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e 右端非负Max Z=x1+x2. x1+2x2≤6 ,2x1+x2≤16,x1,x2≥0 z−x1−x2=0 x1+2x2+s1=6 ,2x1+x2+s2=16 ,x1,x2,s1,s2 ≥0两组约束四个变量故有2个非基本变量，2个基本变量 进入变量与离开变量的确定从非基本变量中找一个进入变量（进入到基本变量中），从基本变量中找一个离开变量（作为非基本变量）在Row 0 中，从左往右选择非基本变量中系数最小的作为进入变量（前面化为单位矩阵，为最优解） 大M法：步骤同上，约束等式化≤引入松弛变量S ≥剩余变量e+人工变量a（=也是加a）min z=4x1+x2. s.t 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6, x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−4x1−x2−Ma1−Ma2(M=100) s.t 3x1+x2+a1=3 , 4x1+3x2−e2+a2=6, x1+2x2+s3=4, x1,x2,e2,s3,a1,a2 ≥0 M假定为无限大正值1.判断是否为最优解ROW a1 a2 系数化为0. 由于此时ROW 0 非基本变量的系数不全为非负数，因此，并非最优解。进入变量与离开变量的确定重复以上步骤化为单位矩阵取得最优解。

两阶段法：第一阶段：引入人工变量a1,a2 min z=a1+a2 , max z=−a1−a2 min z=4x1+x2, s.t. 3x1+x2=3 ,4x1+3x2≥6 ,x1+2x2≤4,x1,x2≥0 max z=−a1−a2 s.t.3x1+x2+a1=3,4x1+3x2−e2+a2=6 x1+2x2+s3=4,x1,x2,e2,s3,a1,a2≥0 经过前面变换单位矩阵得到最优解的单纯形表 第二阶段：min z=4x1+x2→max z=−4x1−x2将第一阶段最后最优解的单纯形表Row 0 替换为z+4x1+x2=0的系数然后重复上述步骤得到最优解。 二次规划：一类特殊的非线性规划问题，即目标函数为二次函数，约束条件为线性的（非线性规划问题：即目标函数或约束条件至少有一个为非线性函数） 三、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。系数变化引起最优解变化。 递减成本：绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须改进多少，才可以得到该决策变量正数解。0表示不需要改进。 允许增量（减）：表示目标函数中的系数在允许增量与减量范围内变化，其最优解不变影子价格：显示了约束右端值，每增加（减少）1单位，目标函数值（或最优值）相应增加量（减少），若所变化的百分比总和不超过100%，那么影子价格仍有效，否不确定。 四、建模思维连续多阶段（画表格罗列条件简单问题）养老金问题（投资分配）动态规划（大问题化小问题，递归思想） 投资战略货车租赁策略库存问题员工培训劳动力安排问题财务计划投资问题 货车租赁问题：每月各种租赁期限下的租车量目标函数：成本最小 五、最短路径计算：确定一条路径能最小化节点1 到节点6 之间的距离。所有的道路都是双向的，（闭回路法or规划求解）方法一：闭回路法以每一个节点为出发节点，检查每一个回路；依次去掉回路中的最长弧，确定最短路径为：①→③→②→④→⑥。 方法二：规划求解画表格不到的点赋值M 给M赋比最长路程更大的数（回避掉同一节点进出），目标函数：路径最短，路径数与路程数乘积的累加 最小支撑树：求解类似破圈法：在图中随意构成圈的图形，去除其权重最大的一条边。若存在权重相同的边。则随便去除一条即可直到图中不再有圈即可。

《运筹学》期末复习题

《运筹学》期末复习题 一、单项选择题 1、下列叙述正确的是（）。 A．线性规划问题，若有最优解，则必是一个基变量组的可行基解B．线性规划问题一定有可行基解 C．线性规划问题的最优解只能在最低点上达到 D．单纯形法求解线性规划问题时，每换基迭代一次必使目标函数值下降一次答案：A 2、线性规划的变量个数与其对偶问题的（）相等。A．变量目标函数C．约束条件个数答案：C 3、在利用表上作业法求各非基变量的检验数时，有闭回路法和（）两种方法。A．西北角法C．最低费用法答案：B 4、下列各项（）不是目标规划的特点。A．多目标C．具有优先次序答案：B 5、下列关于图的说法中，错误的为（）。A．点表示所研究的事物对象C．无向图是由点及边所构成的图答案：D 6、利用单纯形法求解线性规划问题时，首先需要（）。A．找初始基础可行基C．确定改善方向答案：A 7、对偶问题最优解的剩余变量解值（）原问题对应变量的检验数的绝对值。A．大于C．等于答案：C 第1页共17页

B．变量约束条件D．不确定 B．位势法D．元素差额法 B．单一目标D．不求最优 B．检验当前基础可行解是否为最优解D．确定入变量的最大值和出变量 B．小于D．不能确定 8、当某个非基变量检验数为零，则该问题有（）。A．无解B．无穷多最优解C．退化解D．惟一最优解 答案：B 9、PERT网络图中，（）表示一个工序。A．节点B．弧C．权D．关键路线 答案：B 10、假设对于一个动态规划问题，应用顺推法以及逆推解法得出的最优解分别为P和D，则有（A．P>DB．P 答案：C 11、下列有关线性规划问题的标准形式的叙述中错误的是（）。A．目标函数求极大 B．约束条件全为等式C．约束条件右端常数项全为正D．变量取值全为非负 答案：C

运筹学期末复习及答案

《运筹学》期末复习及答案(总 14页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--

运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subject to 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量 B变量 C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性 C 阶段性 D再生性

运筹学期末考试复习资料

1.最小费用最大流 例1 求下图所示网络中的最小费用最大流,弧旁的权是（bij，cij）。 解：(1）取初始可行流为零流f（0)=｛0}，构造赋权有向图M（f（0)),求出从vs到vt的最短路(vs，v2，v1，vt）,如下图中双箭头所示。 （2）在原网络D中，与这条最短路相对应的增广链为μ=(vs,v2,v1,vt）。 (3）在μ上对f（0)={0｝进行调整，取θ=5，得到新可行流f（1），如下图所示。按照以上的算法,依次类推，可以得到f（1)，f（2)，f(3），f(4），流量分别为5，7，10，11，并且分别构造相对应的赋权有向图 M（f（1)）,（Mf（2))，（Mf(3）)，(Mf（4)） 由于在Mf(4）中已经不存在从vs到vt的最短路，因此，可行流f(4)，v（f(1))=11是最小费用最大流。

2.灵敏度分析 (1）资源数量br 变化的分析 最优单纯形表如下 这里B=⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡0125.0-5.015.02-025.00求b2的增量br 变化范围： ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=168160.12520.54-0.254-a b -1 所以b2的增量 br 变化范围是[-8，16］，显然b2的变化范围是[8，32］。 （2）目标函数中价值系数cj 的变化分析 1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析 例 Max z = —2x1 — 3x2 — 4x3 S 。t. —x1—2x2-x3+x4 = - 3 —2x1+x2—3x3+x5 = — 4 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0 求C3的变化范围？ 解：最优单纯形表 从表中看到可得到Δc3 ≤ 9/5 时，c3 ≤ -4+9/5=-11/5原最优解不变。 2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析 例 Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5 s.t 。 x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

《运筹学》期末复习题

《运筹学》期末复习题 第一讲运筹学概念 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据. 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件,它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性. 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系. 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法,具有典型综合应用特性. 8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程. 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析,定议待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15。数学模型中，“s·t"表示约束。 16．建立数学模型时,需要回答的问题有性能的客观量度,可控制因素，不可控因素. 17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18。1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ) A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（A )阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 4。建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ） A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数 5。模型中要求变量取值（D ） A可正B可负C非正D非负 6.运筹学研究和解决问题的效果具有( A ） A 连续性 B 整体性 C 阶段性 D 再生性 7.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标.可以说这个过程是一个 (C) A解决问题过程B分析问题过程C科学决策过程D前期预策过程8。从趋势上看，运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段,其中最主要的是（ C ) A数理统计B概率论C计算机D管理科学

运筹学期末复习题

运筹学期末考试试卷A 学院班级姓名学号 一、填空题 以下是目标函数求最大值的单纯行表的一些结论,请根据所表述的意思判断解的情况： 1.所有的检验数非正,这时的解是 ; 2.有一个正检验数所对应的列系数均非正,这时线性规划的解 ; 3.非基变量检验数中有一个为零时,线性规划的解 ; 4.在两阶段法中,如果第一阶段的最优表中的基变量中有人工变量,则该线性规划 ; 6.基变量取值为负时的解为 ; 7.最优表中的非基变量检验数的相反数就是 ; 8.已知一个线性规划两个最优解是：3,2,和5,9,请写出其他解： 9.线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种; 10.在求运费最少的调度运输问题中,如果某一非基变量的检验数为4,则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 ; 11.“如果线性规划的原问题存在可行解,则其对偶问题一定存在可行解”,这句话对还是错错 12.如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2

X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数 所对应的线性规划松弛问题的最优解为X 1=3/2,X 2=10/3,MaxZ=6/29,我们现在要对X 1进行分枝,应该分为 X1≤1 和 X1≥2 ; 13.在用逆向解法求动态规划时,f k s k 的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 ; 14. 假设某线性规划的可行解的集合为D,而其所对应的整数规划的可行解集合为B,那么D 和B 的关系为 D 包含 B 15. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表极大化问题,约束条件均 问：1写出B -1 =⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---1003/20.3/131 2 2对偶问题的最优解： Y ＝5,0,23,0,0T 16. 线性规划问题如果有无穷多最优解,则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______； 17. 极大化的线性规划问题为无界解时,则对偶问题_ 无解_____； 18. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求,假设X i =b i 不符合整数要求,INTb i 是不超过b i 的最大整数,则构造两个约束条件：Xi ≥INTb i ＋1 和 Xi ≤INTb i ,分别将其并入上述松驰问题中,形成两个分支,即两个后继问题; 19. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表极大化问题,约束条件均为“≤”型不等式其中X4,X5,X6为松驰变量; 问：对偶问题的最优解： Y ＝4,0,9,0,0,0