第六章运筹学整数规划案例

第六章运筹学整数规划案例

第六章整数规划

6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。

1、 max z=3x1+2x2

S.T. 2x1+3x2≤12

2x1+x2≤9

x1、x2≥0

解：

2、 min f=10x1+9x2

S.T. 5x1+3x2≥45

x1≥8

x2≤10

x1、x2≥0

6.2 求解下列整数规划问题

1、 min f=4x1+3x2+2x3

S.T. 2x1-5x2+3x3≤4

4x1+x2+3x3≥3

x2+x3≥1

x1、x2、x3=0或1

解：最优解（0，0，1），最优值：2 2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3 S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2

-2x1+4x2+2x2+4x2≥4

x1+x2-x2+x2≥3

x1、x2、x3、x3=0或1

解：此模型没有可行解。

3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4 S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤30

2x1+5x2-x2+3x2≤20

-x1+3x2+5x2+3x2≤40

3x1-x2+3x2+5x2≤25

x1、x2、x3、x3=正整数

解：最优解（0，3，4，3），最优值：47

4、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+

5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19

约束条件x1 + x2+x3≤30

x4+ x5＋x6-10 x16≤0

x7+ x8＋x9-20 x17≤0

x10+ x11＋x12-30 x18≤0

x13+ x14＋x15-40 x19≤0

x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30

x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20

x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20

x i为非负数（i=1,2…..8）

x i为非负整数（i=9,10…..15）

x i为为0－1变量（i=16,17…..19）

解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860

6.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：

公司办公会决定选择原则如下：

（1）B5、B3和B7只能选择一个。

（2）选择了B1或B14就不能选B6。

（3）B2、B6、B1、B12，最多只能选两个。

（4）B5、B7、B10、B8，最少要选两个。

问应选择哪几个点，使总的建店费用为最低？

解：数学模型：

min f＝1.2 x1+1.5 x2+1.7 x3+2.1 x4+3.3 x5+1.2 x6+2.8 x7+2.5 x8+1.9 x9+3 x10+2.4 x11+2.4

x12+2.1 x13+1.6 x14

S.T.

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14=8 x3+ x5-2 x7=2

x1+ x6=1

x6+ x14=1

x1+x2+x6+x12≤2

x5+x7+x8+x10≥2

x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3， (14)

最优解：（1，1，1，1，1，0，0，0，1，0，0，0，1，1）最优值：15.4。

即：B1，B2，B3，B4,B5,B9,B13,B14选中，建店的最低费用15.4万元。

6.4有四个工人（甲、乙、丙、丁），要分别指派他们完成四项不同的工作（A、B、C、D），请按以下要求求解指派问题。

1、每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何分配工作，才能使总的消耗时间为最少？

2、每人做各项工作所创的利润如下表所示，问应如何指派工作，

才能使总的创利为最多？

解：1、消耗时间为最少问题

线性规划数学模型：

min

f=18x1+16x2+19x3+20x4+16x5+20x6+19x7+18x8+17x9+21x1 0+12x11+15x12+20x13 S.T. x1+x2+x3 =1

x4+x5+x6=1

x7+x8+x9+x10=1

x11+x12+x13=1

x1+x7+x11 =1

x2+x4+x8 +x12 =1

x5+x9+x13 =1

x3+x6+x10 =1

x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3， (13)

最优解：（0，1，0，0，1，0，0，0，0，1，1，0，0，），最优值：65。

即：给甲分配工作B，给乙分配工作C，给丙分配工作D，给丁分配工作A，所用最少的时间为65小时。

2、总的创利为最多问题

线性规划数学模型：

max Z =41+52+73+94+75+5x6+6x7+8x8+3x9+4x10+3x11+5x12+7x1

3+6x14+8x15+8x16

S.T. x1+x2+x3 +x4 =1

x5+x6+x7+x8=1

x9+x10+x11+x12=1

x13+x14+x15+x16=1

x1+x5+x9 +x13 =1

x2+x6+x10+x14=1

x3+x7+x11+x15=1

x4+x8+x12+x16=1

x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3，…，16

最优解：（0，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0,1,0），最优值：28。

即：给甲分配工作D，给乙分配工作A，给丙分配工作B，给丁分配工作C，所创最多的利润为28元。

6.5 某企业在A1地已有一个工厂，其产品的生产能力为3万箱，为了扩大生产，打算在A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在A2地建厂的固定成本为1

7.5万元，在A3地建厂的固定成本为30万元，在A4地建厂的固定成本为37.5万元，在A5地建厂的固定成本为50万元，另外，五个产地建成后的产量、销地的销量以及产地到销地的单位运

（1）问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总

的固定成本和总的运输费用之和最小；

（2）如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂？

解（1）

整数规划数学模型：

min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x40+7 x11+

5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+17.5 x16+30x17+37.5 x18 +50 x19

S.T. x1 + x2+x3≤3

x4+ x5＋x6- x16≤0

x7+ x8＋x9-2x17≤0

x10+ x11＋x12-3x18≤0

x13+ x14＋x15-4x19≤0

x1 + x4+ x7+x10+ x13＝3

x2 + x5+ x8+x11+ x14＝2

x3 + x6+ x9+x12+ x15＝2

x i为非负整数(i=1,2…..15)

x i为0－1变量(i=16,17…..19)

最优解：（3，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，2，2，0，0，0，1）最优值：86。

即：安排A1地到B1地3万箱，A5地到B2，B3地各2万箱，选中A5地。

(2) 我们只要在以上模型上加上一个约束条件：x16+ x17=1，就得到了问题（2）的数学模型：

min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x40+7 x11+

5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+17.5 x16+30x17+37.5 x18 +50 x19

S.T. x1 + x2+x3≤3

x4+ x5＋x6- x16≤0

x7+ x8＋x9-2x17≤0

x10+ x11＋x12-3x18≤0

x13+ x14＋x15-4x19≤0

x1 + x4+ x7+x10+ x13＝3

x2 + x5+ x8+x11+ x14＝2

x3 + x6+ x9+x12+ x15＝2

x16+ x17=1

x i为非负整数(i=1,2…..15)

x i为0－1变量(i=16,17…..19)

最优解：（0，1，2，0，1，0，0，0，0，3，0，0，0，0，0，1，0，1，0）

最优值：94。

即：安排A1地到B2地1万箱，B3地2万箱

A2地到B2地1万箱

A4地到B1地3万箱

A4地到B1地3万箱

选中A2，A4两地。

6.6某航空公司经营兰州、北京、广州三个城市之间的航线，其中兰州—北京飞行时间为2小时；北京—广州飞行时间为3小时；广州—兰州飞行时间为3小时；这些航线每天班机

设飞机在机场停留期间的费用与停留时间的平方成正比，又每架飞机从降落到再起飞至少需要2小时的时间准备。确定一个使总的停留费用损失为最小的方案。

解：现在有两本题需注意的两个问题

1、三个城市间的飞行，航班的安排分别是在三个城市中完成的；

2、到站的航班必须2小时后才能起飞。

这是一个指派问题，

（1）城市兰州

效益表：

指派结果：

（2）城市北京

指派结果：

（3）城市广州收益表：

指派结果：

用的最少时间为117 a。

6.7 某地区有两个镇，它们每周分别产生700吨和1200吨固体废物。现拟用三种方式（焚烧、填海、掩埋）分别在三个场地对这些废物进行处理。两城镇至各处理场所的运输费

解：

混合整数规划问题数学模型：

min

f=19.5x1+21x2+21x3+17x4+23.5x5+18.5x6+3850y1+1150y2+1 920y3

S.T. x1+x2+x3=700

x4+x5+x6=1200

x1+x4-1000y1≤0

x2+x5-500y2≤0

x3+x6-1300y3≤0

x i (i=1,2….6) y1、y2、y3=0—1

结果：

即两城镇处理固体废物的方案

城镇1焚烧100吨，掩埋600吨

城镇2填海500吨，掩埋700吨

总的最小费用：46170元。

6.8 某建设公司有四个正在建设的项目，按目前所配给的人力、设备和材料，这四个项目将分别可以在15、20、18和25周内完成，管理部门希望提前完工，决定追加35000元资金分配给这四个项目，并规定追加资金只能以5000元为单位进行分配。对于各个项目，资金追加后的工期变化情况如下表：

本问题的0-1整数规划数学型：

min f = 15x1+20x2+18x3+25x4+12x5+16x6+15x7+21x8+10x9+13x10+ 12x11

+18x12+8x13+11x14+10x15+16x16+7x17+9x18+9x19+14 x20+6x21

+8x22+8x23+12x24+5x25+7x26+7x27+11x28+4x29+7x30 +6x31+10x32

S.T. x1+x5+x9+x13+x17+x21+x25+x29=1

x2+x6+x10+x14+x18+x22+x26+x30=1

x3+x7+x11+x15+x19+x23+x27+x31=1

x4+x8+x12+x16+x20+x24+x28+x32=1

0x1+1x5+2x9+3x13+4x17+5x21+6x25+7x29+

0x2+1x6+2x10+3x14+4x18+5x22+6x26+7x30+

0x3+1x7+2x11+3x15+4x19+5x23+6x27+7x31+

0x4+1x8+2x12+3x16+4x20+5x24+6x28+7x32≤7

x i≥0 (i=1.2......32)

用模板求解结果见《第六章习题9.XLS》

求得最小时间为55周，比不追加投资节省了（15+20+18+25）-55=23周。

6.9 某公司要生产2000件某种产品，这种产品可利用设备A、B、C中的任意一种来加工，但若要使用这三种设备中的任意一种，都需要垫付相应的生产准备费（若不用该设备就不用垫付）

本问题的混合整数规划数学模型：

min f=7x1+2x2+5x3+100y1+200y2+300y3

S.T. 0.5x1+1.8x2+x3≤2500

x1+x2+x3=2000

x1-800y1≤0

x2-1200y2≤0

x3-1400y3≤0

x1、x2、x3≥0

y1、y2、y3=0,1

其结果为：分别安排在设备B，C上加工625，1375件，最低费用为8625元。

运筹学：整数规划习题与答案

一、单选题 1、下列说法正确的是（）。 A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解 B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解 C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝 D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值 正确答案：A 2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。 A.决策变量不是整数 B.没有要求 C.决策变量至少有一个是整数 D.决策变量必须都是整数 正确答案：D 3、下列（）可以求解指派问题。 A.梯度法 B.牛顿法 C.单纯形法 D.匈牙利法

4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。 A.隐枚举法 B.0-1规划法 C.分支定界法 D.割平面法 正确答案：D 5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。 A.都不对 B. m*m C. m D.2m 正确答案：B 二、判断题 1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。（） 正确答案：× 2、整数规划的可行解集合是离散型集合。（） 正确答案：√ 3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。（）

4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。（）正确答案：× 5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。（） 正确答案：√

运筹学案例

资源分配问题 某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高效率的设备5台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备之后，可以为国家提供的利益如下表： 问这五台设备如何让分配给各工厂，才能使国家得到的利益最大 解 将问题按照工厂分为三个阶段，甲乙丙三个工厂编号分别为1、2、3 设Sk表示分配给第k各工厂至第n个工厂设备的台数。 Xk表示为分配给第k个工厂的设备台数。 则Sk+1=Sk—Xk为分配给第k+1个工厂至第n个工厂的设备台数。Pk（Xk）表示为Xk台设备分配到第k个工厂所得的利益值。 Fk（Sk）表示为Sk台设备分配给第k各工厂至第n个工厂时所得的

最大营业值。 所以可得逆推关系式 Fk（Sk）=max[Pk（Xk）+ Fk+1(Sk—Xk)],k=3,2,1 0<= Xk<= Sk F4(S4)=0 下面从最后一个阶段开始向前逆推计算。 第三阶段： 设将S3台设备（S3=0，1,2,3,4,5）全部分配给工厂丙时，则最大盈利值为F3（S3）= max[ P3（X3）] 数值计算表如图所示 其中X3*表示使F3（S3）取最大值时的最优决策。 第二阶段： 设将S2台设备（S2=0，1,2,3,4,5）分配给工厂丙和工厂乙时，有一

种最优分配方案，使最大盈利值为 F2（S2）=max[P2（X2）+ F3 (S2—X2)] X2 其中X2=0,1,2,3,4,5 其中给乙工厂X2台，剩下的就给丙工厂，先要选择X2的值，使 P2（X2）+ F3 (S2—X2)的值最大，计算结果如下图 第一阶段： 设把S1台（S1=5）设备分配给甲乙丙三个工厂时，则最大利益值为F1（5 ）=max[P1（X1）+ F2 (5 —X1)] X1 其中X1=0,1,2,3,4,5， 其中给甲工厂X1台，盈利为P1（X1）剩下的(5 —X1)台分配给乙和丙工厂，利益最大值为F2 (5 —X1)

运筹学案例

运筹学案例（第一部分） 案例1 高压电器强电流试验计划的安排某高压电器研究所属行业归口所，是国家高压电器试验检测中心，每年都有大量的产品试验、中试、出口商检等任务.试验计划安排及实施的过程一般如下：·提前一个月接受委托试验申请 ·按申请的高压电器类别及台数编制下月计划 ·按计划调度,试验产品进入试验现场 ·试验检测，出检测报告 ·试验完成,撤出现场 高压电器试验分强电流试验和高压电试验两部分，该研究所承担的强电流实验任务繁重,委托试验的电器量很大，因此科学地计划安排试验计划显得非常重要。 高压电器分十大类，委托试验的产品有一定随机性,但是试验量最多的产品(占85%以上)是以下八类： 1．35KV断路器 2．10KV等级断路器 3．35KV开关柜 4．10KV等级开关柜 5．高压熔断器 6．负荷开关 7．隔离开关 8．互感器 这八类产品涉及全国近千个厂家，市场广阔，数量庞大。当前的强电流产品试验收费标准见表1—1。 表1-1 强电流产品试验收费标准 由于强电流试验用的短路发电机启动时，会给城市电网造成冲击,严重影响市网质量，故只能在中午1点用电低谷时启动，从而影响全月连续试验工时只有

约108小时,任务紧张时只能靠加班调节。正常情况下各种试验所需试验工时见表8—2。 表1—2 各类产品试验所需工时 强电流试验特点是开机时耗电量大,而每次实验短路时,只持续几秒钟,虽然短路容量在“0”秒时达2500 MVA,但瞬时耗电量却很小.每天试验设备提供耗电量限制为5000千瓦,每月135千千瓦，那麽每种产品耗量如表8-3所示。各类产品的冷却水由两个日处理能力为14吨的冷却塔供给.每月按27天计，冷却水月供给量为14×27=378吨.每月各类产品冷却水处理量见表8-3。 表1—3 各类产品试验耗电量与冷却水处理量 根据以往的经验和统计报表显示第一类产品和第二类产品每月最多试验台数分别为6台和4台，第三类和第四类产品则每月至少需分别安排8台和10台。 根据上述资料，尝试建立数学模型辅助产生排产计划，对模型的优化结果进行解释，并与实际情况做对比分析.

第六章 运筹学 整数规划案例

第六章整数规划 6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。 1、 max z=3x1+2x2 S.T. 2x1+3x2≤12 2x1+x2≤9 x1、x2≥0 解： 2、 min f=10x1+9x2 S.T. 5x1+3x2≥45 x1≥8 x2≤10 x1、x2≥0

6.2 求解下列整数规划问题 1、 min f=4x1+3x2+2x3 S.T. 2x1-5x2+3x3≤4 4x1+x2+3x3≥3 x2+x3≥1 x1、x2、x3=0或1 解：最优解（0，0，1），最优值：2 2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3 S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2 -2x1+4x2+2x2+4x2≥4 x1+x2-x2+x2≥3 x1、x2、x3、x3=0或1 解：此模型没有可行解。 3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4 S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤30 2x1+5x2-x2+3x2≤20 -x1+3x2+5x2+3x2≤40 3x1-x2+3x2+5x2≤25 x1、x2、x3、x3=正整数 解：最优解（0，3，4，3），最优值：47 4、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+ 5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19 约束条件x1 + x2+x3≤30 x4+ x5＋x6-10 x16≤0 x7+ x8＋x9-20 x17≤0 x10+ x11＋x12-30 x18≤0 x13+ x14＋x15-40 x19≤0 x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30 x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20 x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20 x i为非负数（i=1,2…..8） x i为非负整数（i=9,10…..15） x i为为0－1变量（i=16,17…..19） 解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860 6.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：

运筹学案例

案例11 运筹学作业

【摘要】:公司须货物从生产厂运往中转仓库或用户，中转仓库也须将货物运往用户，运 输过程就会出现许多方案，厂方如何确定一个可行且实惠的调配方案，使总调运费用最小。为实现合理调配，就运用相关数学方法，软件或工具，本案例属于运筹学原理中整数规划与分配问题，除具体方法，数据处理用到LINGO 软件，相应的就减少了运算量。 关键词：运输问题，分支界定法，0-1规划，最小费用 1.问题的重述 红梅食品公司有两个生产厂1A 、2A ，四个中转仓库1B 、2B 、3B 、4B ，供应六家用户1C 、 2C 、3C 、4C 、5C 和6C 。各用户可从生产厂家直接进货，也可从中转仓库进库，其所需 的调运费用（元/t ）如表4-24所示： 表1-1 1B 2B 3B 4B 1C 2C 3C 4C 5C 6C 1A 50 50 100 20 100 —— 150 200 —— 100 2A —— 30 50 20 200 —— —— —— —— —— 1B —— 150 50 150 —— 100 2B 100 50 50 100 50 —— 3B —— 150 200 —— 50 150 4B —— —— 20 150 50 150 注：表中“——”为不允许调运。 部分用户希望优先从某厂或某仓库得到供货。他们是：11C A -,21C B -,52C B -,63C B -或4B 。 已知各生产厂月最大供货量为：1150000A t -，2200000A t -；各中转仓库月最大周转量为：170000B t -，250000B t -，3100000B t -，440000B t -；用户每月的最低需求 为：150000C t -，210000C t -，340000C t -，435000C t -，560000C t -，620000C t -。 要求回答：（a ）该公司采用什么供货方案，使总调运费用最小；

运筹学实验6整数规划

实验六、用EXCEL 求解整数规划 用单纯形法求解线性规划问题，最优解可能是整数，也可能不是整数，但在很多实际问题中，要求全部或部分变量的取值必须是整数，如所求的解是安排上班的人数，按某个方案裁剪钢材的根数，生产设备的台数等等。对于整数解的线性规划问题，不是用四舍五入或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法加以解决，如分枝定界法和割平面算法。这些算法比单纯形法更为复杂，因此，一般的学习者要想掌握整数规划的数学算法有一定的困难。然而事实上，由于Excel 的[工具][规划求解]可以求解整数规划问题，所以，对于一个真正有志于运用运筹学方法解决生产经营中问题的管理者来说，算法将不是障碍因素。 一、实验目的 1、 掌握如何建立整数线性规划模型，特别是0～1逻辑变量在模型中的应用。 2、 掌握用Excel 求解整数线性规划模型的方法。 3、 掌握如何借助于Excel 对整数线性规划模型进行灵敏度分析，以判断各种可能 的变化对最优方案产生的影响。 4、 读懂Excel 求解整数线性规划问题输出的运算结果报告和敏感性报告。 二、 实验内容 1、 整数规划问题模型 该问题来自于《运筹学基础及应用》（第四版）胡运权主编P126习题4.13,题目如下: 需生产2000件某种产品，该种产品可利用A 、B 、C 、D 设备中的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用、生产该产品时的单件成本以及每种设备限定的最大加工数量（件）如表1所示，问企业应该如何安排设备生产该产品才能使得总的生产成本最少，试建立该问题的数学模型并求解。 该产品可以利用四种不同的设备加工，由于采用不同的设备加工需要支付不同的准备结束费用，而如果不采用某种设备加工，是不需要支付使用该设备的准备结束费用的，所以必须借助于逻辑变量来鉴定准备结束费用的支付。 再设 ，种设备加工的产品数量 为利用第设;4,3,2,1=j j x j ⎪⎩⎪⎨ ⎧=>=）种设备生产（即，若不使用第 ）种设备生产（即若使用第000,1j j i x j x j y 4,3,2,1=j 则问题的整数规划模型为： 43214321281624207008009801000min x x x x y y y y z +++++++= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨ ⎧==≥≤≤≤≤=+++4 ,3,2,110,01600120010009002000..4 43322114321 j y x y x y x y x y x x x x x t s j j ，或

运筹学实验报告四整数规划

2018-2019学年第一学期 《运筹学》 实验报告（四） 班级：交通运输171 学号： 1000000000 姓名： ***** 日期： 2018.11.22

实验一： 用Lingo 软件求解下列整数规划问题（要求附程序和结果） 12 121212max 2506221 0,1,2i z x x x x x x x x x i =++≤?? -+≤?? +≤??≥=?且取整数 12312323123123 123max 232 45 2244 ,,01 z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≤??+≤?? +-≤??+-≤?=??或 解：例题（左）解题程序及运行结果如下： sets : bliang/1,2/:x,a; yshu/1,2,3/:b; xshu(yshu,bliang):c; endsets data : a=2,1; b=5,0,21; c=1,1 -1,1 6,2; enddata max =@sum (bliang(i):a(i)*x(i)); @for (yshu(j):@sum (bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j)); @for(bliang(i):@gin(x(i))); Global optimal solution found. Objective value: 7.000000 Objective bound: 7.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X( 1) 3.000000 -2.000000 X( 2) 1.000000 -1.000000 A( 1) 2.000000 0.000000

运筹学中的线性规划和整数规划

运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。 一、线性规划 线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。其数学模型可以表示为： $\max c^Tx$ $s.t. Ax \leq b,x\geq 0$ 其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。

如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解 方法来确定决策变量的最优值。线性规划的求解方法一般分为单 纯形法和内点法两种方法。 单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的 情况。 内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数 值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解 在可行域内部，直到找到最优解为止。这种方法对大规模问题求 解能力强，使用较多。 二、整数规划 整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过 程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。

与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。 分支定界是一种常用的整数规划求解方法。它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。 总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。未来，在更加复杂的实际应用场景下，这两种技术也将不断发展和创新，为各种决策分析和优化问题提供更加高效和精确的解决方案。

运筹学整数规划例题

练习 4.9 连续投资问题 某公司现有资金10万元, 拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4 万元, 第二. 三. 四年不限. 项目B:第三年初需要投资, 到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为 5 万元. 项目C:第二年初需要投资, 到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为 4 万元, 或为 6 万元, 或为8 万元. 项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还, 并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额, 使到第五年末拥有最大的资金收益. (1)x 为项目各年月初投入向量。 (2)x ij 为i 种项目j 年的月初的投入 (3)向量c中的元素cij为i 年末j种项目收回本例的百分比 (4)矩阵A中元素aij为约束条件中每个变量xij的系数。 (5)Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。因此目标函数为 max Z 1.15 x4 A 1.28 x3B 1.40x2C 1.06 x5 D 束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金 第 1 年年初该投资者拥有10 万元资金, 故有 x1A x1D 100000 . 第 2 年年初该投资者手中拥有资金只有 1 6% x1D , 故有 x2A x2C x2D 1.06 x1D . 第3 年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 1.06x2D , 及从项目 A 中第 1 年投资收回的本金: 1.15x1A , 故有

运筹学经典案例

运筹学经典案例 案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。 当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的P.M.S.Blachett为首，组织了一个小组，代号为“Blachett 马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团”是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。

简单的运筹学实际应用案例

运筹学的实际应用 学生会晨读考勤巡视人员分配建模 晨读考勤制度是我校对大学一年级及二年级学生的特殊制度,针对上午第一节有课的班级——周一至周五上午第一节课有课（包括任何课程）的班级需7:30到教室组织英语晨读，未按时到达学生录入考勤系统，按迟到处理. 晨读考勤状况的盘点与巡视工作由校学生会负责。因为每天上晨读的班级数目都不一样，所以每天需要的巡查人员数目也并不同，根据每天晨读班级数目制定的每日所需巡查人数如下表所示.巡视工作枯燥繁重,所以成员在连续参与巡视工作3天后，可以连休两天。（周二至周四巡视过得人员可以在周五和下周一休息）. 学生会人数有限,所以请设计一套方案，需满足每天所需的巡查人数，又使 项目解决: 一，项目内容要求提取 （1）忽略星期六和星期日 （2）巡视人员连续工作3天后连续休息2天，忽略请假情况 （3）分配休息两天后周一至周五每天开始工作的人员,使总工作人数最少。二，分析建模 此问题是一个典型并且简单的线性规划问题,所以接下来是建立目标函数以及对应的约束条件,并设法求解. 建立模型： Z为所需巡视人员总的人数。 设：x i(i=1，2，3,4，5）为休息两天后,周一至周五每天开始工作的学生会成员。 minZ=x1+x2+x3+x4+x5 x1+x4+x5≥40 x1+x2+x5≥55

x1+x2+x3≥30 x2+x3+x4≥48 x3+x4+x5≥30 x i≥0,i=1，2,3,4,5 三，求解 运用Matlab的linprog函数求解 编写命令： c=[1，1，1,1,1］ A=［—1 0 0 -1 —1; -1 -1 0 0 —1； -1 -1 -1 0 0； 0 -1 -1 —1 0； 0 0 -1 -1 —1；］ b=［—40；-55;-30;-49；-30]; Aeq=[]；beq=[]； vlb=［0;0；0；0；0］;vub=[] [x,fval］=linprog(c，A,b，Aeq，beq，vlb,vub) 求解得出: x = 4.3625 32。0000 0。0000 17。0000 18。6375 fval = 72.0000

整数规划例题

〈运筹学〉补充例题 例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。这两种产品在市场上是畅销产品。该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。 产品A 产品B 资源总量 机器（时） 6 8 120 人工（时） 10 5 100 产品售价（元） 800 300 MAX 800X1 +300X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 X1, X2 >=0 例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。产品A和B的价格调整为600元和400元。假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。 X 600X1 +400X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 X1, X2 >=0 例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。有关信息在下表中给出。 产品A 产品B 资源总量 机器（时） 6 8 120 人工（时） 10 5 100 原材料(公斤) 11 8 130 产品售价（元） 600 400 MAX 600X1 +400X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 11X1 +8X2 <= 130 X1, X2 >=0 例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。工厂的各种产品所需要的机时、人

2.6-运筹学应用实例汇总

一、生产计划问题 例：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备每月可利用的时数如下表所示，求使总利润最大的月度生产计划。

建模思路 ■用线性规划制订使总利润最大的生产计划。 ■设变量X1为第i种产品的生产件数(i=1, 2, 3, 4),目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润。在加工时间以及利润与产品产量成线性关系 的假设下，可以建立如下的线性规划模型： 建模 max z= 5.24X1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4 目标函数 1.5Xj +1.0x2+ 2.4X3+1.0X4<2000 LOX1 +5.0X2+1.0X3+3.5X4<8000 约束条件 1・5X] +3.0X2+3.5X3+1.0X4<5000 Xp X2, X3, X4 >0 变量非负约束

练习：某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？ 甲 .乙丙资源限制铸造工时（小时/件）51078000机加工工时（小时/件）64812000 装配工时（小时/件）32210000 自产铸件成本（兀/件）354 外协铸件成本（兀/件）56一 机加工成本（元/件）213 装配成本（元/件）322 产品售价（元/件）231816 解：设孙孙寺分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，同，幅分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求占的利润：利润二售价-各成本之和产品甲全部自制的利润 产品甲铸造外协，其余自制的利润 产品乙全部自制的利润 产品乙铸造外协，其余自制的利润产品丙的利润可得到毛（i = 1,2, 3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9=23-（3+2+3）=15 =23-（5+2+3）=13 =18-（5+1+2）=10 =18-（6+1+2）=9 =16-（4+3+2）=7

运筹学应用案例集

运筹学应用案例集 运筹学是一门应用数学学科，它在各种行业中都有着广泛的应用。本文旨在介绍几个运筹学应用案例，以便更好地理解其在实际问题中的应用。 1、供应链管理 供应链管理是运筹学的一个重要应用领域。在这个领域中，运筹学算法被用来优化供应链中的各种因素，例如运输成本、库存水平和交货时间等。例如，一家汽车制造公司使用了运筹学算法来优化其供应链管理。通过这种方法，该公司不仅能够减少库存成本和运输成本，还能够在交货时间方面获得更大的灵活性。 2、生产计划 生产计划是运筹学的另一个应用领域。在这个领域中，运筹学算法被用来优化企业的生产计划，以便在保证生产效率的同时，降低生产成本和交货时间。例如，一家电子产品制造公司使用了运筹学算法来制定其生产计划。通过这种方法，该公司不仅能够提高生产效率，还能够在生产成本和交货时间方面获得更大的优势。

3、交通运输 交通运输是运筹学的一个重要应用领域。在这个领域中，运筹学算法被用来优化交通运输系统中的各种因素，例如路线规划、车辆调度和配货等。例如，一家快递公司使用了运筹学算法来优化其车辆调度和路线规划。通过这种方法，该公司不仅能够在运输成本方面获得更大的优势，还能够在送货时间和路线方面获得更大的灵活性。 总之，运筹学在供应链管理、生产计划和交通运输等领域都有着广泛的应用。通过使用运筹学算法，企业能够更好地优化其生产、运输和配送等环节，从而提高效率、降低成本并获得更大的竞争优势。 运筹学在工商管理中的应用：优化决策，提高效率 随着全球市场竞争的日益激烈，企业对于管理技术的需求日益旺盛。运筹学作为一门跨学科的综合性学科，为企业提供了优化决策、提高运营效率的重要工具。本文将通过分析运筹学在工商管理中的应用案例，探讨运筹学的重要性和应用价值。 一、运筹学概述 运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决

管理学-运筹学实验报告四整数规划

运筹学实验报告四整数规划《运筹学》实验报告 2018-2019学年第一学期 《运筹学》 实验报告（四） 班级：交通运输171 学号：1000000000 姓名：***** 日期：2018.11.22 《运筹学》实验报告 实验一： 用Lingo 软件求解下列整数规划问题（要求附程序和结果）12 121212max 2506221 0,1,2i z x x x x x x x x x i =++≤⎧⎧ -+≤⎧⎧ +≤⎧⎧≥=⎧且取整数

12312323123123 123max 232 45 2244 ,,01 z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≤⎧⎧+≤⎧⎧ +-≤⎧⎧+-≤⎧=⎧⎧或 解：例题（左）解题程序及运行结果如下： sets : bliang/1,2/:x,a; yshu/1,2,3/:b; xshu(yshu,bliang):c; endsets data : a=2,1; b=5,0,21; c=1,1 -1,1 6,2; enddata max =@sum (bliang(i):a(i)*x(i)); @for (yshu(j):@sum (bliang(i):x(i)*c(j,i))Global optimal solution found. Objective value: 7.000000 Objective bound: 7.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost

运筹学案例集

运筹学案例集 运筹学的一些典型性应用 • 合理利用材料问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下，如何获取最大收益 • 投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定最佳调运方案，使总运费最少 一、生产计划问题 案例1（2-4）、某工厂用A 、B 、C 、D 四种原料生产甲、乙两种产品，生产甲和乙所需各种原料的数量以及在一个计划期内各种原料的现有数量见下表所示。又已知每单位产品甲、乙的售价分别为400元和600元，问应如何安排生产才能获得最大收益？ 产 品 所 需 原 料 A B C D 甲 乙 4 4 4 2 8 0 2 4 现有原料 数量 28 20 32 24 案例2（2-6）、某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表： 问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最 Ⅰ Ⅱ 资源限制 设备 1 1 300台时 原料A 2 1 400千克 原料B 0 1 250千克 单位产品获利 50元 100元

多？ 案例3（2-25）、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量，数据如下表所示。 问题：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？ 案例4（2-28）、永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过 A 、 B 两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A 、B 的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A 设备上加工，但对B 工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备 上加工，数据如下表所示。 甲 乙 丙 资源限制 铸造工时(小时/件) 5 10 7 8000 机加工工时(小时/件) 6 4 8 12000 装配工时(小时/件) 3 2 2 10000 自产铸件成本(元/件) 3 5 4 外协铸件成本(元/件) 5 6 -- 机加工成本(元/件) 2 1 3 装配成本(元/件) 3 2 2 产品售价(元/件) 23 18 16 产品单件工时 设备 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 设备的 有效台时 满负荷时的设备费用 A 1 5 10 6000 300 A 2 7 9 12 10000 321 B 1 6 8 4000 250 B 2 4 11 7000 783 B 3 7 4000 200 原料（元/件） 0.25 0.35 0.50 售价（元/件） 1.25 2.00 2.80

运筹学案例分析

运筹学案例分析报告 — 一. 案例描述 泰康食品公司生产两种点心甲和乙，采用原料A和B。已知生产每盒产品甲和乙时消耗的原料数，月供应量、及两种点心的批发价（千元/千盒）如下表所示。 据对市场的估计，产品乙月销量不超过2千盒，产品乙销量不会超过产品甲1千盒以上。 （a）要求计算使销售收入最大的计划安排； （b）据一项新的调查，这两种点心的销售最近期内总数可增长25%，相应原料的供应有保障。围绕如何重新安排计划存在两种意见：意见之一是按（a）中计算出来的产量，相应于甲，乙产品个增长25%； 意见之二是由一名学过线性规划的经理人员提出的。他首先计算得到原料A 和B的影子价格（对批发价的单位贡献）分别为3.33千元/t和13.33千元/t，平

均为8.33千元/t。如按（a）中计算的总批发收入增加25%即31.667千元计，提出原料A和B各增加3.8t，并据此安排增产计划。 试对上述两种意见发表你自己的意法，并提供依据。 二. 案例中关键因素及其关系分析 该案例的关键因素是销售量，但是同时我们也应考虑到生产产品所需的原料支出，只有销售量最大化而原料支出最小，才能取得最大的销售收入。又据市场部门调查预测，两种点心Ⅰ和Ⅱ的销售最近期内总数可增长25%，相应原料的供应有保障。计算出来的产量，相应于产品Ⅰ，Ⅱ各增长25%，这样可使公司盈余（只考虑批发收入-原料支出）保持最大。 首先计算得到原料A和B的影子价格（对批发价的单位贡献）分别为3.33千元/t和13.33千元/t，平均为8.33千元/t。并按①中计算的总批发收入增加25%即31.667千元计，提出原料A和B各增加3.8t，并据此安排增产计划。该问题的关键所在，便是销售量。而决定批发收入的，则是各个销售量对应的批发收入，所以说，销售量是本问题的核心，即应采取什么样的销售量的分配方案。 三、模型构建 1、决策变量设置 两种点心Ⅰ和Ⅱ，采用原料A和B，月供应量C，单价P，批发价格N， Ⅰ产品批发价格为30千元，Ⅱ产品的价格为20千元，A原料的单价为9.9千元 /t，B原料的单价为6.6千元/t。 用变量xi（i=1，2，）表示各发点到收点的销售量，也就是说xi为决策变量，显而易见，xij表示的是销售量，只能取正数，即xij≥0。 2、目标函数的确定：

运筹学 案例

《运筹学》案例分析 案例1：超级食品公司的广告混合问题 超级食品公司的营销部副总裁克莱略·希文生正面临着一个棘手的挑战：如何才能大规模地进入已有许多供应商的早点谷类食品市场。值得庆幸的时，该公司的早点谷类食品“脆始”（Crunchy Start）有许多受欢迎的优点：口味佳、营养、松脆。克莱略·希文生对这一切都如数家珍，她知道这一食品是能够赢得这次促销活动的。 然而，克莱略清楚她必须避免上一次产品促销活动中所犯的错误。那是她晋升以后第一项重大任务，结果简直是个悲剧！她本以为已经大功告成，却没想到那次活动并没有触及至关重要的目标市场——幼年儿童以及幼年儿童的父母。同时，她还领悟到未将优惠卷包含在杂志与报纸的广告中是另一大失误。哎，学习是永无止境的。 这一次，必须吸取上次的教训。公司的总裁大卫·斯隆已经向她表示脆始这一产品成功与否对公司前途有着重要影响。她清楚地记得大卫在结束与她的谈话时说：“公司的股东对公司的现状极为不满，我们必须再次纠正方向，增加公司收入。”克莱略以前也曾听到过这样的语调，但这一次，她从大卫极为严肃的目光中意识到了问题的严重性。 克莱略在攻读MBA管理运筹学课程时，曾经学习过如何通过建立数学模型来解决管理决策问题。现在是时候让她仔细考虑一下问题，并准备应用所学知识解决问题了。 问题 克莱略已经雇佣了一家一流的广告公司G&J公司来帮助设计全国性的促销活动，以使脆始取得尽可能多的消费者的认可。超级食品公司将根据该广告公司所提供的服务付给一定的酬金（不超过100万美元）并已经预留了另外的400万美元作为广告费用。 G&J公司已经确定了这一产品最有效的三种广告媒介： 媒介1：星期六上午儿童节目的电视广告。 媒介2：食品与家庭导向的杂志上的广告。 媒介3：主要报纸星期天增刊上的广告。 现在，要解决的问题是如何确定各广告活动的使用水平（levels）以取得最有效的绩效。

《管理运筹学》第三版案例题解

《管理运筹学》案例题解 案例1：北方化工厂月生产计划安排 解：设每月生产产品i （i=1，2，3，4，5）的数量为X i ，价格为P 1i ，Y j 为原材料j 的数量，价格为P 2j ，a ij 为产品i 中原材料j 所需的数量百分比，则： 5 10.6j i ij i Y X a ==∑ 总成本：TC=∑=15 1 2j j j P Y 总销售收入为：5 11 i i i TI X P ==∑ 目标函数为：MAX TP （总利润）=TI-TC 约束条件为： 10 30 24800215 1 ⨯⨯ ⨯≤∑=j j Y X 1+X 3=0.7∑=5 1 i i X X 2≤0.05∑=5 1 i i X X 3+X 4≤X 1 Y 3≤4000 X i ≥0,i=1,2,3,4,5 应用计算工具求解得到： X 1=19639.94kg X 2=0kg X 3=7855.97kg X 4=11783.96kg X 5=0kg 最优解为：348286.39元

案例2：石华建设监理工程师配置问题 解：设X i 表示工地i 在标准施工期需要配备的监理工程师，Y j 表示工地j 在高峰施工期需要配备的监理工程师。 约束条件为： X 1≥5 X 2≥4 X 3≥4 X 4≥3 X 5≥3 X 6≥2 X 7≥2 Y 1+Y 2≥14 Y 2+Y 3≥13 Y 3+Y 4≥11 Y 4+Y 5≥10 Y 5+Y 6≥9 Y 6+Y 7≥7 Y 7+Y 1≥14 Y j ≥ X i （i=j ，i=1,2,…,7） 总成本Y 为： Y=∑=+7 1)12/353/7(i i i Y X 解得 X 1=5；X 2=4；X 3=4；X 4=3；X 5=3；X 6=2；X 7=2； 1Y =9；2Y =5；3Y =8；4Y =3；5Y =7；6Y =2；7Y =5; 总成本Y=167.