运筹学笔记4、5-特殊线性规划(整数规划、对偶问题)

每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题。

简单考虑如下的生产分配问题

我们有下面的对偶问题：

该问题的任意一个可行解对应的目标函数值都不小于原问题的目标函数值，但是两个问题的最优目标函数值（有限）相同。

一般而言：

1、每个对偶变量对应原问题的一个约束条件

2、原问题是等式约束则对偶变量无不等式约束（非负约束）

3、原问题是不等式约束则对偶变量有不等式约束

4、原问题变量和对偶问题约束条件同样具有如上规律

任何原问题和对偶问题之间都存在下述相互关系：弱对偶性：原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界（推论：原对偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解）

强对偶性：原对偶问题只要有一个有最优解，另一个就有最优解，并且最优目标值相等

互为对偶的线性规划问题解之间关系有如下四种：原问题与对偶问题之间存在互补松弛性：

一般形式的线性规划互补松弛定理：

经济学中有所谓影子价格的概念：如果增加某些约束条件的数值，原问题的最优目标值应该增加，增加单位约束使得原问题最优值的增加量为该约束条件的影子价格。影子价格可以由对偶线性规划问题清楚地描述：

对偶单纯形法：

当线性规划问题中地某个约束条件或价值变量中

含有参数时，原问题称之为参数线性规划，它有如下的处理方法：

1）固定λ的数值解线性规划问题

2）确定保持当前最优基不变的λ的区间

3）确定λ在上述区间附近的最优基，回2）

如以下问题：

在实际问题中，许多变量以及它们的约束条件往往是离散的，或者说限定在整数域上，这便引入了整数线性规划的概念。

具体而言，整数线性规划包含纯整数线性规划（所有变量是整数变量）、混合整数线性规划（同时包含整数和非整数变量）、0-1型整数线性规划（变量等于0或1）

去除整数规划的整数约束后的问题称为其松弛问题。一般情况，原问题的解并不一定是其松弛问题的最优解附近的整数解，例如：

通常的解决办法是在松弛问题的基础上出发，不断地引入整数的约束条件，从而求出整数规划的解。

现在，问题便转化为找到合适的约束条件（割平

面），以实现不改变原问题可行域，将松弛问题的最优

解“割去”。

总结前面的讨论可知：根据前面的讨论，若对松弛问题增加不等式约束：

那么当前不满足整数约束的最优解将被切割掉，而原问题的所有的可行解都仍然包含在新的可行集中。

可以观察得到，每次增加一个不等式约束后，可以

用新的不等式约束的松弛变量做新增加的基变量，从而上一个松弛问题的非基变量都没有改变，因此其检验数也不改变，每次增加一个不等式约束后，可以在上一个松弛问题的最后的单纯型表的基础上用对偶单纯型法求解新的松弛问题。

比如某次松弛问题的优化过程已经得到以下的最优单纯形表：

引入变量x6随后的优化过程如下

上面的“割平面”方法在实际使用的过程中依然有很多不便之处，所以我们引入一种新的分枝定界法。依据松弛问题最优解进行如下的分支：

所谓的定界是指，对于上面两张图所示的可行集，已经找到最优解，最优目标函数值等于 4 ，由此确定了该问题最优目标函数的一个下界，如果某个分枝的松弛问题的最优值小于这个界，由于整数最优目标值更小，所以可断定该枝不含最优解，不用再分枝。

回到尚未确定最优解的一枝，如下图所示，由于其松弛问题的最优值小于前面确定的下界4，因此可断定该枝不含最优解，因此不用再分枝，从而确定了该整数规划问题的最优解

0-1型整数线性规划在一般的线性规划问题中有特殊的用途，一般而言，我们用0-1变量统一互相排斥的约束条件，比方说下面的问题：

《运筹学》知识点总结

1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 ?? ???≤≤≤≤≤++=8 3105120106max 21212 1x x x x x x z 2.将下述线性规划问题化成标准形式。 （1）?????? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 4,03,2,12321422245243min 43214 32143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 解：令z z -='，' '4' 44x x x -= ???????≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214 2222455243'max 6 5''4'43216' '4'43215' '4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应

图解法中的可行域的哪个顶点。 ??? ??≥≤+≤++=0,825943510max 2 121212 1x x x x x x x x z 解：①图解法： ②单纯形法：将原问题标准化： ??? ??≥=++ =+++=0,,,825943510max 4 32142 13 212 1x x x x x x x x x x x x z C j 10 5 0 0 θ 对应图解法中的点 C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0 x 4 8 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10 x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5 x 2 3/2 0 1 5/14 -3/14 B 点 10 x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj 35/2 -5/14 -25/14 最优解为（1,3/2,0,0），最优值Z=35/2。

运筹学复习

本科运筹学复习 一、复习思考 1.线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2.求解线性规划问题时其解可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时可能有错误？ 3.什么是线性规划问题的标准形式？如何将一个非标准形式的线性规划问题转化为标准形式？ 4.单纯形表是如何工作的，如何确定进基和出基变量，如何进行迭代计算的？ 5.如何在单纯形表上去判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解？ 6.在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中添加人工变量？ 7.线性规划原问题与对偶问题之间的形式对应关系。 8.什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别？ 9.最小元素法确定运输问题的初始基可行解的基本思路。 10.为什么用伏格尔法求出的运输问题的初始基可行解，较之用最小元素法确定的更接近于最优解？ 11.求解整数规划时先不考虑变量的整数约束条件，而求解其相应的线性规划问题，然后对求解结果 中为非整数的变量凑整，这种方法可行吗？为什么？ 12.为什么求解目标规划时要提出满意解的概念，它与最优解有什么区别？ 13.多阶段决策问题有哪些特征？ 14.建立动态规划模型时应注意几个步骤？ 15.图论中的图（Graph）与一般的工程图、几何图的主要区别。 16.图论中的树图（Tree）的特点。 17.对于网络流问题，什么是增广链，为什么只有不存在关于可行流f* 的增广链时，f* 即为最大流？ 18.什么是网络的重心、网络的中心？

二、判断题，判断下列说法是否正确 1.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范 围一般将扩大。√ 2.线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。× 3.如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的唯一一个点。× 4.用单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值 为负。√ 5.对一个有n个变量、m个约束条件的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为C n m个。× 6.单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。√ 7.对偶问题的对偶问题一定是原问题。√ 8.线性规划原问题有可行解则对偶问题一定有可行解。× 9.若某种资源的影子价格等于C，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的 目标函数值将增大5C。× 10.按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一 的闭回路。√ 11.用位势法求检验数时，位势不同则求出的检验数一定不同。× 12.指派问题效率矩阵的每个元素都乘上一个常数k，将不影响最优指派方案。√ 13.目标规划问题中的正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。× 14.目标规划模型中，应该同时包含绝对约束条件和目标约束条件。× 15.动态规划问题第k+1阶段的状态S k+1由第k阶段的决策u k唯一确定。× 16.采用顺序解法与逆序解法求解一个动态规划问题，将求出不同的最优解。× 17.序列5，4，3，2，1 可以是某个简单图的点的次的序列。× 18.序列6，6，5，5，3，3可以是某个图的点的次的序列。√ 19.给定图G=（V，E），则G一定有生成树。× 20.在任一图G中，当点集合V确定后，树图（Tree）是G中边数最少的连通图。√ 21.网络的中心或重心一定唯一。× 22.求网络最大流问题可以归结为一个线性规划问题。√

运筹学复习题及答案

四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为 250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的钢 筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3

运筹学 第4章 整数规划

第四章整数规划 整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。 整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。 本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。 第一节整数规划问题及其数学模型 一、问题的提出 在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。 整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。先来看下面的例子。 例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？ 表4－1 12 量都要求为整数，建立模型如下：

运筹学知识点

运筹学知识点： 绪论 1.运筹学的起源 2.运筹学的特点 第一章线性规划及单纯形法 1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。 2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。 3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。 线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。 4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负 5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量 6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系 7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解 8.用图解法只有解决两个变量的决策问题 9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。 10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。 11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。 12.单纯形法的计算过程，可能出计算题 13.入单纯形表前首先要化成标准形式。 14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。 15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。 16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表 17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合

运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习

第五章整数规划 1．整数规划的特点 (1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。 （2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。 (3)整数规划的可行域为离散点集。 2．整数规划的建模步骤 整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。 3．求解整数规划的常用方法 1）分支定界法 没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z＊的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小和增大，最终求得z＊。 将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。 (1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之一: ①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。 ②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。 ③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。

(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作。以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。 下面进行迭代. 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x i ，其值为b i 。 构造两个约束条件 x j ≤［b j ］① 和 x j ≥[b j ］+1 ② 其中［b j ］为不超过b j 的最大整数。 将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。 第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ； 第二步:若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解,否则转下步; 第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。 第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。若某个子问题的解是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。

运筹学考试重点(精简后的)

运筹学考试重点(精简后的)随着2020研究生考生的结束，21的考生逐渐紧张起来，即将开始他们的考研之路，在这里给大家汇总一下重要知识点，我们主要总结一些学生考管理科学与工程时部分院校考查的运筹 学这门课程。 运筹学这门课程偏向理科，基本都是计算类的题型，大部分学校都是考查计算题，少部分学校会加点选择、判断题，极个别学校会有一道证明题，但是考查的概率比较小。所以我们主要针对大部分院校常考的知识点进行讲解。 首先是线性规划问题，这个考查的形式相对比较固定，大家一个是要掌握线性规划问题的建模、其次是化标准型，会用单纯形法进行求解，以及明白单纯形表里各个数据代表的意义，最后是对于线性规划问题解的几种形式要了解什么 情况下是什么类型的解; 第二个知识点是对偶问题及灵敏度分析，这个主要是和上个线性规划结合着在一题中进行 考查，大家要会写线性规划模型的对偶问题，以及对偶问题解怎么找，当然最重要的是灵敏度分 — 1 —

析，单位资源的变化对我们的目标值有什么样的影响，不同数据的变化如何去求解是一个重点。 第三个是运输问题，我们重点是如何把产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的问题，然后再用表上作业法去求解最优的配送方案。 第四个是目标规划，这个知识点考查的学校相对没有那么多，大概有50%的学校会考，他主要考查多目标的线性规划问题，应用到实际问题中比较多，大家重点掌握它的建模就可以了，求解基本没怎么考查过。 第五个是整数线性规划问题，他第一个考查点是0-1型整数规划建模，第二个是分支定界或割平面的求解整数规划问题，第三个是指派问题的求解，这个考查频率比较高，大家要掌握匈牙利法求解的方法。 第六个知识点是动态规划问题，这个知识点相对比较难理解，但是大部分学校都会考查到，所以大家要重点关注，我们要弄清建模时明确的5个内容，你的阶段变量、状态变量、决策变量、递推关系数、状态转移方程分别是什么，然后不同的类型采用不同的求解方式。 — 2 —

运筹学方法总结

一．线性规划 1.问题背景：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人 们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 2.求解方法： a.单纯形法： 适用的问题：约束条件全部为≤，右边常数全部为非负，对目标函数的系数没有要求。 min z=3x1-2x2 s.t. x1+2x2≤12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0 求解步骤： STEP 0 将线性规划问题标准化 STEP 1 是否有明显的初始基础可行解，如果有，转STEP 3，否则，转STEP 2。 STEP 2 构造辅助问题，用两阶段法求解辅助问题。如果辅助问题最优解的目标函数值大于0，原问题无可行解，算法终止。否则转STEP 3。 STEP 3 写出单纯形表，将基变量在约束条件中的系数消为单位矩阵，将基变量在目标函数中的系数消为0。转STEP 4。 STEP 4 如果所有非基变量的检验数全为负数或0，则已获得最优解，算法终止。否则，选择检验数为正数并且绝对值最大的非基变量为进基变量。转STEP 5。 STEP 5 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，目标函数无界，算法终止。否则根据右边常数和正的系数的最小比值，确定离基变量。转STEP 6。 STEP 6 进基变量列和离基变量行交叉的元素称为主元。对单纯形表进行行变换，将主元变为1，将主元所在列的其他元素变为0。转STEP 4。 b.对偶单纯形法： 适用的问题:约束条件中至少有一个是≥，相应的右边常数为非负，目标函数系数全部为非负。 min z=3x1+2x2 s.t. x1+2x2≥12 2x1+ x2≤18 x1,x2≥0 求解步骤： 步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验数，即是对偶可行解，建立初始单纯形表。 步骤2 检查基变量的取值，若≥0，则已得最优解，计算停；否则求确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。 步骤3 若所有,则原问题无可行解，计算停；否则，计算确定对应的为旋入变量。 步骤4 以为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表，转步骤2。可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行解。 二．运输问题 1.问题背景：一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产 地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。

运筹学

《运筹学》 第一章线性规划 规划问题的数学模型由三个要素组成：（1）变量（决策变量）（2）目标函数（3）约束条件 如果规划问题模型中，决策变量的取值是连续的，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则称该类规划问题的数学模型为 线性规划的数学模型。 例：将下述线性规划化为标准形式32132min x x x z +-=⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎨⎧≥≤-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x 解：令33 311 ,,x x x x x z z ''-'=-='-=' 54332100332m a x x x x x x x z ++''+'-+'=' ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧≥''''=''+'--'-=-''-'+-'-=+''-'++'-0,,,,,522327543321332153321 43321 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 注：4x ——松弛变量 5x ——松弛变量（剩余变量） 可行域的性质 线性规划的可行域是凸集 凸集：如果C 中任意两个点连线上的所有点也都在C 中，称C 为凸集。 线性规划的最优解在顶点上 定理1：若线性规划问题存在可行解，则问题的可行域是凸集 定理2：线性规划问题的基可行解，对应线性规划问题的可行域（凸集）的顶点 定理3：若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解 例：用单纯形法求解线性规划问题 P 3，P 4，P 5是单位矩阵，对应的基变量是 x 3，x 4，x 5 。令非基变量 x 1，x 2 等于零，即找到一个基可 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨⎧≥=++=++=+-0 5 24 2615 5 5152142132x x x x x x x x x 5 43210002max x x x x x z ++++=

运筹学总复习

《运筹学》总复习 第1章线性规划及其对偶问题 ●基本概念 基本要素：决策变量、目标函数、约束条件 线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。标准形式：目标函数取“max”、约束条件取“=”、约束右端项非负、决策变量非负 解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称为线性规划的可行域,使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。 ●数学建模与求解 建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择 单纯形法与对偶单纯形法： 单纯形法对偶单纯形法 两阶段法： 第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰

变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。 第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。 ● 练习题： 1.某厂利用原料A 、B 生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件 2.每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员？（列出该问题线性规划模型，不求解） 3.1231231231~3 min 232315 ..25200w x x x x x x s t x x x x =++++=⎧⎪ ++=⎨⎪≥⎩ 4.用对偶单纯形法求解线性规划问题： 1231231231~3 min 524324 ..635120w x x x x x x s t x x x x =++++≥⎧⎪ ++≥⎨⎪≥⎩ 第2章 整数规划与分配问题 ● 0-1变量的用法及建模 理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握 （1）多个取1：110, 1.n j j j x x ===∑，或

《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案

第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量） ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量 的检验数 （标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将 的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解

将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 ，说明在最优生产计 划中，第 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 ，说明在最优生产计 划中，第 种资源一定还有剩余。

8．对于 来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为 ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加 个单位，相应的目标函数值增加 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 ，且 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题 （1） （2） ；

运筹学第五版习题答案

运筹学第五版习题答案 运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它涉及到数学、统计学和计算机科学 等多个领域。运筹学的应用范围非常广泛，包括生产调度、物流管理、供应链 优化等等。而《运筹学第五版》是一本经典的教材，它提供了大量的习题供学 生练习和巩固所学知识。本文将为大家提供《运筹学第五版》习题的答案，希 望对学习者有所帮助。 第一章：引论 1. 运筹学的定义是什么？ 运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它利用数学和统计学的方法来解决实 际问题。 2. 运筹学的应用领域有哪些？ 运筹学的应用领域包括生产调度、物流管理、供应链优化、金融风险管理等。3. 运筹学方法的基本步骤是什么？ 运筹学方法的基本步骤包括问题建模、模型求解、解的验证和实施。 第二章：线性规划模型 1. 什么是线性规划模型？ 线性规划模型是一种数学模型，它描述了一种目标函数和一组线性约束条件下 的最优化问题。 2. 如何确定线性规划模型的最优解？ 线性规划模型的最优解可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法、内点法等。 3. 什么是对偶问题？ 对偶问题是与原始线性规划模型相对应的另一个线性规划模型，它可以用来计

算原始问题的下界。 第三章：网络优化模型 1. 什么是网络优化模型？ 网络优化模型是一种描述网络结构的数学模型，它可以用来解决最短路径、最 小生成树、最大流等问题。 2. 最短路径问题如何求解？ 最短路径问题可以通过迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法来求解。 3. 最大流问题如何求解？ 最大流问题可以通过Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法来求解。 第四章：整数规划模型 1. 什么是整数规划模型？ 整数规划模型是一种线性规划模型的扩展，它要求决策变量取整数值。 2. 整数规划问题如何求解？ 整数规划问题可以通过分支定界法或割平面法来求解。 3. 什么是混合整数规划模型？ 混合整数规划模型是一种整数规划模型的扩展，它要求部分决策变量取整数值，部分决策变量取连续值。 第五章：动态规划模型 1. 什么是动态规划模型？ 动态规划模型是一种描述决策过程的数学模型，它将问题划分为一系列的阶段，并通过递推关系求解最优解。 2. 动态规划模型的求解方法有哪些？

运筹学(胡运权)第五版复习提纲汇总

《运筹学1》复习提纲 第一章线性规划和单纯形法 1. 规划问题的三要素 2. 线性规划问题的条件 3. 线性规划问题的标准形式 4. 标准化方法 5. 作用在目标函数中的系数 松弛变量化不等式约束为等式约束0 人工变量使系数矩阵有单位矩阵-M（大M法） 6. 可行解、可行域、最优解 7. 基、基向量、基变量、非基变量、基解、基可行解（至多个）、可行基、最优基 8. 各种解之间的关系 9. 图解法 10. 检验数

11. 线性规划问题 解的类型 用最终表判别的方法 无可行解有非0人工变量 有可行解有唯一最优解无非0人工变量，非基 变量的检验数全为负数 有无穷多最优解无非0人工变量，非基变量的检验数全非正，且有一个非基变量的检验数为0 有无界解无非0人工变量，有一个 非基变量的检验数为正数 且这一列的系数全非正 12. 单纯形表的结构：前两行，后一行，前三列，后一列，主体部分 13. 单纯形法的步骤 14. 人工变量法（1）大M法 （2）两阶段法 15. 单纯形法的向量矩阵描述（不考）

初始表中的基变量在最终表中的矩阵是B-1最终表中的基变量在初始表中的矩阵是B 课后练习 1.1,1.2(b,1.3(a,1.6(a,1.7(a,1.8,1.12,1.14 第二章线性规划的对偶理论 1、原问题的基本形式 对偶问题的基本形式 2、原问题与对偶问题的互化 3、对偶问题的基本性质 1 弱对偶性 2 最优性 3 无界性 4 强对偶性 5 互补松弛性（由松得紧性） 6 互补的基解 4、利用对偶理论求最优解的方法 5、影子价格 6、灵敏度分析（不考） 1 分析Cj，可使最优解不变

运筹学复习答案

一、选择题2’*5 二、名词解释4’*5 1.影子价格:当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。〔影增〕 2.对偶价格:当约束条件中的常数项增加一个单位时，最优目标函数值改进的数量。 3.灵敏度分析:对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析。 4.0-1规划:所有决策变量只能取0 或1 两个整数的整数线性规划。 5.分支定界法:分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优解不符合整数条件，那么求出整数规划的上下界，用增加约束条件的方法，把相应的线性规划的可行域分成子区域〔称为分枝〕，再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下界的距离，最后得整数规划的最优解。 6.生成子图:给定一个无向图G=〔V,E〕，保存G的所有点，而删掉局部G的边或者说保存一局部G的边，所获得图G，称之为G的生成子图。 7.松弛问题:不考虑整数约束条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题。 8.欧拉回路:图G的一个回路，假设它恰通过G中每条边一次,那么称该回路为欧拉回路。 9.样本信息:研究中实际观测或调查的一局部个体的信息。 10.最小生成树:在一个赋权的连通的无向图G找出一个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和最小。 11.目标约束:在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并且等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，参加到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。

12.偏差变量:指目标规划中实现值与目标值之间的差异。其中实现值超过目标值的局部记为d+,实现值未到达目标值的局部记为d-。d+，d-这样的变量称为偏差变量。 13.状态变量：描述各阶段状态的变量称为状态变量。 14.根本可行解：满足非负条件的根本解叫根本可行解。 15.后验概率：利用样本情报对先验概率修正后得到的概率。 16.定性分析：借助决策者的知识,经历,分析和判断能力等进展决策的方法。 17.定量分析：量化决策问题并建立数学模型进展决策的方法。〔基于事物的数据和数量关系,建模、计算找出解决方案〕 18.状态与状态变量：状态是指每个阶段开场所处的自然状况或客观条件，而描述过程状态的变量就是状态变量。能够完全描述动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的状态变量。 三、简答题7’*3 1.简述单纯形法的根本思路 从可行域中某一个顶点开场，判断此顶点是否是最优解，如不是,那么再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。 2.简述运筹学中背包问题的一般提法：对于N种具有不同重量和不同价值的物品，在携带物品总重量限制的情况下，决定这N种物品中每一种物品多少数量装入背包，使得装入背包物品的总价值最大。 3.简述著名的哥尼斯堡七桥难题及答案 河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

运筹学--第二章 线性规划的对偶问题

习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋x4≥3 3x1＋x2＋x3＋x4≥6 x3 ＋x4＝2 x1 ＋x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） ４７

运筹学-第4章--整数规划习题

第四章 整数规划 ４.1 某工厂生产甲、乙两种设备,已知生产这两种设备需要消耗材料A 、材料B,有关数据如下,问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？(只建模不求解） 解:设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x １、x 2,由于是设备台数,则其变量都要求为整数,建立模型如下: 2123max x x z += ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥≤+≤+为整数 21212121,0,5 .45.01432x x x x x x x x ４．2 2197max x x z += ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤+≤+-且为整数 0,35 76 3.212121x x x x x x t s 割平面法求解。(下表为最优表） 线性规划的最优解为： 63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x 由最终表中得: 2 7221227432=++ x x x ﻩ④ 将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为； 2 132********+=++x x x 移项后得: ①②③④ ①②③

即： 2 1221227212212274343-≤--→≥+x x x x 只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。 表4-4 由ｘ1行得: 7 32 7171541= -+ x x x 将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和: 74476715541+=+-+x x x x 得到新的约束条件： 74 767154-≤--x x 7 47671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解： 则最优解为3,421 ==x x ，最优目标函数值为z *=55。 4．3 m ａx z =４ｘ1+３x 2+2x ３

运筹学复习

运筹学复习 一、填空题 1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线. 2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则 3、对偶问题为最小化问题。 4、在运输问题模型中，1 +-个变量构成基变量的充要条件是不含闭 m n 回路。 5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。 6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题； 7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。 8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。 9、一个无圈且连通的图称为树。 10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法．

11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低． 12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。 13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量． 14、原问题与对偶问题是相互对应的．线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题． 15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高． 16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法． 17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个． 18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题． 19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k）变量，正确选择状态（Sk）变量，正确选择_ 决策（UK）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程． 20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点

运筹学复习笔记

运筹学复习笔记 Part 1 题型 1.选择题（20分） 2.填空题（40分） 3.建模题（40分） 4.决策问题（20分） 5.运输问题（10分）计算 Part 2 需要掌握的知识点 Chapter 2 线性规划与单纯型法 一、线性规划问题（建模） 二、求解两个变量的线性规划模型——图解法 附：图解法的启示 1)图解法求解结果的几种可能情况： ➢唯一最优解 ➢无穷多最优解 ➢无界解（并不是说可行域是无界的线性规划问题的解就一定是无界解） ➢无可行解 2)若线性规划问题的可行域非空，则可行域是一个凸集。 3)若线性规划问题的最优解存在，则一定可以在可行域的凸集的某个顶点达到。（线性规 划问题的基可行解X对应于可行域D的顶点。）

三、单纯形法准备知识——标准型 1) 标准型的四个条件 ➢ 目标函数为极大（max ） ➢ 所有的约束条件满足等式 ➢ 所有的决策变量非负 ➢ 右端常数均为非负数 2) 化为标准型的方法 ➢ 若要求目标函数实现最大化，即max z=CX 。这时只需将目标函数最小化变换求目 标函数最大化，即令 z ′=-z ，于是得到max z ′= －CX 。这就同标准型的目标函数的形式一致了。 ➢ 约束方程为不等式。这里有两种情况： 一种是约束方程为‘≤’不等式，则可在‘≤’不等式的左端加入非负松弛变量j x ，把原‘≤’不等式变为等式，j x 0； 另一种是约束方程为‘≥’不等式，则可在‘≥’不等式的左端减去一个非负剩余变量k x （也可称松弛变量），把不等式约束条件变为等式约束条件,目标函数中加上 k x 0 (松弛变量). ➢ 若变量约束中：0≤i x ，则令i i x x -='，得到0≥' i x ；若R ∈j x ，则令 "'=j j j x x x -，其中0≥"'j j x x ，，用 ' i x 、'j x 、"j x 分别代替i x 、j x 后得到线 性规划的变量约束均为非负约束。 ➢ 资源限量bi ≥0。 四、单纯型法准备知识——线性规划问题解的概念 1) 可行解：满足约束条件式（等式约束、非负约束）的解。 2) 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 3) 基：约束方程组的系数矩阵n m A ⨯的一个满秩的子矩阵m m B ⨯，B 称为线性规划问题的一