运筹学中的线性规划与整数规划

运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。

一、线性规划

线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。线性规划模型一般可以表示为如下形式：

Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ

s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂

...

aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ

x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0

其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,

b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。

线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到

交点来确定最优解。而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐

步接近最优解。

二、整数规划

整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。整数规划模型可以表示为如下形式：

Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ

s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂

...

aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ

x₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z

其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。

由于整数规划中决策变量的取值范围更为限制，整数规划的求解更加困难。常用的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法和整数规

划启发式算法等。

三、线性规划与整数规划的应用

线性规划和整数规划在实际应用中有着广泛的应用。以下列举几个常见的应用领域：

1. 生产调度：通过线性规划和整数规划，可以实现生产资源的有效

配置和提高生产效率，例如确定生产数量、生产时间等。

2. 供应链管理：线性规划和整数规划可以优化供应链中的运输问题，如仓储位置确定、配送路径选择等，以降低成本、提高效率。

3. 排产问题：通过线性规划和整数规划，可以确定制造业中的作业

顺序、任务分配等，实现合理的生产排程。

4. 资源分配：线性规划和整数规划可以帮助对有限的资源进行合理

分配，如人力资源调度、能源配置等。

总结：

线性规划和整数规划是运筹学中常用的数学模型，它们在资源分配、生产调度、物流管理等领域中起着重要的作用。线性规划以线性关系

描述问题，求解方法主要有图形法和单纯形法；整数规划则要求决策

变量的取值为整数，求解方法有分支定界法、割平面法等。通过合理

应用这两种方法，可以帮助决策者制定有效的决策方案，实现优化资

源配置和提升综合效益。

离散优化中的整数规划与线性规划

离散优化中的整数规划与线性规划离散优化是运筹学中的一个重要分支，研究如何寻找在一定限制条 件下最优解的问题。整数规划和线性规划是离散优化的两个主要方法，本文将对它们进行详细介绍和比较。 一、整数规划 整数规划是一种在决策变量中引入整数限制的优化方法。与线性规 划相比，整数规划更符合实际问题的特性，能够解决更多实际应用中 的优化问题。在整数规划中，决策变量取值只能是整数，这意味着解 集是一个离散的点集，而不是一个连续的区域。 整数规划可以应用于很多领域，如物流问题、生产计划、项目调度等。以物流问题为例，整数规划可以帮助确定最优的货物配送路线， 减少运输成本。整数规划的求解方法主要有分枝定界法、割平面法、 整数规划松弛法等。 二、线性规划 线性规划是整数规划的一种特殊情况，即决策变量可以取任意实数值。线性规划是一种在线性约束条件下寻找最优解的方法。线性规划 在数学上有较为完备的理论基础，并且具有较好的计算性质。 线性规划的应用十分广泛，如资源配置、生产计划、投资组合等。 以资源配置为例，线性规划可以帮助确定最优的资源分配方案，实现 资源的有效利用。线性规划的求解方法主要有单纯形法、内点法、对 偶法等。

三、整数规划与线性规划的比较 整数规划和线性规划在求解方法和应用领域上存在一些差异。首先，在求解方法上，整数规划通常比线性规划更难求解。由于整数规划的 解集是一个离散的点集，所以需要经过更多的搜索和计算才能找到最 优解。 其次，在应用领域上，整数规划更加灵活，可以应对更复杂的问题。整数规划可以通过在决策变量中引入整数限制，更好地满足实际问题 的约束条件。而线性规划则更适用于连续变量的优化问题。 最后，整数规划和线性规划在计算效率上也存在差异。线性规划的 求解方法较为成熟，可以在较短的时间内找到最优解。而整数规划的 求解时间较长，通常需要使用一些特殊的算法来加快计算速度。 四、总结 离散优化中的整数规划和线性规划是两种重要的优化方法。整数规 划通过在决策变量中引入整数限制，能够更好地解决实际问题。线性 规划是整数规划的一种特殊情况，适用于连续变量的优化问题。 整数规划和线性规划在求解方法、应用领域和计算效率上存在一些 差异。整数规划通常更难求解，但更灵活适用于复杂问题。线性规划 的求解方法成熟，计算效率较高。 在实际应用中，根据具体情况选择整数规划或线性规划，能够更好 地解决优化问题，提高决策效果。

运筹学整数规划

运筹学整数规划 运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。 整数规划问题的数学模型可以表示为： max/min c^T x s.t. Ax ≤ b x ≥ 0 x ∈ Z 其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是 约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。 整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难 的任务。 求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。 分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。

割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。 启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。 综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。常用的求解方法包括 分支定界法、割平面法和启发式算法等。这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

考研运筹学知识点解析

考研运筹学知识点解析 运筹学是一门涉及数学、统计学、经济学和计算机科学等多个学科的综合性学科，主要研究如何对复杂的决策问题进行建模、分析和优化。在考研中，运筹学是管理类专业中的必考科目之一，掌握运筹学的知识点对于考研学子来说非常重要。本文将对考研运筹学的一些重要知识点进行解析，帮助考生全面了解和掌握这门学科。 一、线性规划 线性规划是运筹学中的基本方法之一，广泛应用于企业生产、物流配送、资源调度等领域。线性规划的目标是求解一个线性目标函数在一组线性约束条件下的最优解。其中，线性目标函数是一个关于决策变量的线性函数，线性约束条件指的是约束条件的关系式为线性等式或不等式。 二、整数规划 整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。整数规划常用于需要对决策变量进行离散分配的问题，如生产线的切割、网络节点的选址等。整数规划的求解相对于线性规划来说更为困难，通常需要借助于分支定界算法、割平面算法等优化方法进行求解。 三、动态规划 动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。它通过将原问题分解为多个阶段，并逐步求解每个阶段的最优解，最终得到原问题的

最优解。动态规划常用于最短路径问题、最优化问题等。在动态规划 的求解过程中，需要建立状态转移方程，利用递推关系进行计算。 四、网络优化 网络优化是研究网络中资源配置和流量分配的问题。常见的网络优 化问题包括最小生成树问题、最短路径问题、最大流问题等。网络优 化可以应用于交通规划、通信网络设计等领域，通过优化网络中的资 源分配，提高资源利用效率，降低成本和能源消耗。 五、排队论 排队论是研究人员如何优化队列系统中的资源安排和人员调度的学科。排队论常用于服务系统的设计和管理，如银行的柜台服务、交通 信号灯控制等。排队论的研究内容包括排队模型的建立、系统性能的 评估和优化策略的设计等。 六、决策分析 决策分析是研究如何进行决策的方法和技术。在复杂的决策问题中，决策分析可以帮助决策者从多个候选方案中选择最优方案。决策分析 常用于风险管理、投资决策等领域，通过对决策问题的建模和分析， 为决策者提供决策支持。 综上所述，考研运筹学涉及的知识点包括线性规划、整数规划、动 态规划、网络优化、排队论和决策分析等。掌握这些知识点对于考生 来说至关重要。在备考过程中，建议考生加强对运筹学基本概念的理解，熟悉各类问题的建模思路和解题方法，并通过大量的习题训练提

运筹学中整数规划问题的近似算法

运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。 整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。 一、近似算法的概念 近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。 二、近似算法的分类 近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。 1. 线性松弛算法（Linear Relaxation） 线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。

2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search） 近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索， 通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。该算法在每一步 都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。 3. 启发式算法（Heuristic Algorithm） 启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜 索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。在解决整数规划问 题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而 节省计算资源和时间。 三、近似算法的应用案例 近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例， 介绍近似算法的应用。 假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库 和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。目标是找到一种最 优的配送方案，使得总配送距离最短。 针对这个问题，可以使用整数规划模型进行建模，并通过近似算法 来寻找最优解。其中线性松弛算法可以将整数规划问题转化为线性规 划问题，通过求解线性规划问题得到最短配送距离，即为近似最优解。 另外，近似局部搜索算法和启发式算法也可以在该问题中应用。近 似局部搜索算法通过多次局部搜索来逐渐改进配送方案，从而得到接

《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)

第５章整数规划（割平面法） 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x 1+3x2≤14 4x1+2x2≤18 x1,x2≥0，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有： Max Z=3x1+2x2 2x 1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x2≥0，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4

根据上表，写出非整数规划的约束方程，如： x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即： (1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x4 0，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1

由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3) 或 x3+x4≥1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x2≤11 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。 图1

运筹学第五章 整数规划

第五章 整数规划 主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。 重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。 要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。 §1 问题的提出 要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。 例1 求解下列整数规划问题 211020max x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数2 1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为： 96max ,0,8.421===z x x 。

50 用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次 遇到“+”号点（ 1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。 由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。 §2 分枝定界法 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性 规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值 * z 的上界，记为 z ； 而A 的任意可行解的目标函数值是* z 的一个下界 z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最 终求得* z 。现举例说明： 例2 求解A 219040max x x z += ?????? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0 ,7020756 79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82, =0z 356（见下 图）。 ① ② ③ ④ ⑤

《运筹学》知识点总结

1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 ?? ???≤≤≤≤≤++=8 3105120106max 21212 1x x x x x x z 2.将下述线性规划问题化成标准形式。 （1）?????? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 4,03,2,12321422245243min 43214 32143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 解：令z z -='，' '4' 44x x x -= ???????≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214 2222455243'max 6 5''4'43216' '4'43215' '4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应

图解法中的可行域的哪个顶点。 ??? ??≥≤+≤++=0,825943510max 2 121212 1x x x x x x x x z 解：①图解法： ②单纯形法：将原问题标准化： ??? ??≥=++ =+++=0,,,825943510max 4 32142 13 212 1x x x x x x x x x x x x z C j 10 5 0 0 θ 对应图解法中的点 C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0 x 4 8 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10 x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5 x 2 3/2 0 1 5/14 -3/14 B 点 10 x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj 35/2 -5/14 -25/14 最优解为（1,3/2,0,0），最优值Z=35/2。

运筹学中的线性规划与整数规划

运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。 一、线性规划 线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。线性规划模型一般可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到

交点来确定最优解。而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐 步接近最优解。 二、整数规划 整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。整数规划模型可以表示为如下形式： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ s.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z 其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。 由于整数规划中决策变量的取值范围更为限制，整数规划的求解更加困难。常用的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法和整数规 划启发式算法等。 三、线性规划与整数规划的应用 线性规划和整数规划在实际应用中有着广泛的应用。以下列举几个常见的应用领域：

第六章运筹学整数规划案例

第六章运筹学整数规划案例 第六章整数规划 6.1 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。 1、 max z=3x1+2x2 S.T. 2x1+3x2≤12 2x1+x2≤9 x1、x2≥0 解： 2、 min f=10x1+9x2 S.T. 5x1+3x2≥45 x1≥8 x2≤10 x1、x2≥0

6.2 求解下列整数规划问题 1、 min f=4x1+3x2+2x3 S.T. 2x1-5x2+3x3≤4 4x1+x2+3x3≥3 x2+x3≥1 x1、x2、x3=0或1 解：最优解（0，0，1），最优值：2 2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3 S.T. -4x1+x2+x3+x4≥2 -2x1+4x2+2x2+4x2≥4 x1+x2-x2+x2≥3 x1、x2、x3、x3=0或1 解：此模型没有可行解。 3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4 S.T. 5x1+3x2+3x3+x4≤30 2x1+5x2-x2+3x2≤20 -x1+3x2+5x2+3x2≤40

3x1-x2+3x2+5x2≤25 x1、x2、x3、x3=正整数 解：最优解（0，3，4，3），最优值：47 4、min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+ 5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19 约束条件x1 + x2+x3≤30 x4+ x5＋x6-10 x16≤0 x7+ x8＋x9-20 x17≤0 x10+ x11＋x12-30 x18≤0 x13+ x14＋x15-40 x19≤0 x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30 x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20 x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20 x i为非负数（i=1,2…..8） x i为非负整数（i=9,10…..15） x i为为0－1变量（i=16,17…..19） 解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860 6.3 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表： 公司办公会决定选择原则如下： （1）B5、B3和B7只能选择一个。 （2）选择了B1或B14就不能选B6。 （3）B2、B6、B1、B12，最多只能选两个。 （4）B5、B7、B10、B8，最少要选两个。

运筹学实验6整数规划

实验六、用EXCEL 求解整数规划 用单纯形法求解线性规划问题，最优解可能是整数，也可能不是整数，但在很多实际问题中，要求全部或部分变量的取值必须是整数，如所求的解是安排上班的人数，按某个方案裁剪钢材的根数，生产设备的台数等等。对于整数解的线性规划问题，不是用四舍五入或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法加以解决，如分枝定界法和割平面算法。这些算法比单纯形法更为复杂，因此，一般的学习者要想掌握整数规划的数学算法有一定的困难。然而事实上，由于Excel 的[工具][规划求解]可以求解整数规划问题，所以，对于一个真正有志于运用运筹学方法解决生产经营中问题的管理者来说，算法将不是障碍因素。 一、实验目的 1、 掌握如何建立整数线性规划模型，特别是0～1逻辑变量在模型中的应用。 2、 掌握用Excel 求解整数线性规划模型的方法。 3、 掌握如何借助于Excel 对整数线性规划模型进行灵敏度分析，以判断各种可能 的变化对最优方案产生的影响。 4、 读懂Excel 求解整数线性规划问题输出的运算结果报告和敏感性报告。 二、 实验内容 1、 整数规划问题模型 该问题来自于《运筹学基础及应用》（第四版）胡运权主编P126习题4.13,题目如下: 需生产2000件某种产品，该种产品可利用A 、B 、C 、D 设备中的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用、生产该产品时的单件成本以及每种设备限定的最大加工数量（件）如表1所示，问企业应该如何安排设备生产该产品才能使得总的生产成本最少，试建立该问题的数学模型并求解。 该产品可以利用四种不同的设备加工，由于采用不同的设备加工需要支付不同的准备结束费用，而如果不采用某种设备加工，是不需要支付使用该设备的准备结束费用的，所以必须借助于逻辑变量来鉴定准备结束费用的支付。 再设 ，种设备加工的产品数量 为利用第设;4,3,2,1=j j x j ⎪⎩⎪⎨ ⎧=>=）种设备生产（即，若不使用第 ）种设备生产（即若使用第000,1j j i x j x j y 4,3,2,1=j 则问题的整数规划模型为： 43214321281624207008009801000min x x x x y y y y z +++++++= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨ ⎧==≥≤≤≤≤=+++4 ,3,2,110,01600120010009002000..4 43322114321 j y x y x y x y x y x x x x x t s j j ，或

线性规划、整数规划习题

运筹学 课程作业 姓名 专业、班级： 学号： 课程名称：运筹学 指导老师： 完成日期： 作业名称：运筹学课程作业 第一讲线性规划的概念及标准化 一、课后作业 1、用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。 (1) min f＝6X1＋4X2 约束条件： 2 X1＋X2≥1， 3 X1＋4X2≥3，

X1，X2≥0 (2) max z＝4X1＋8X2 约束条件： 2 X1＋2X2≤10， －X1＋X2≥8， X1，X2≥0 2、将下述线性规划问题化成标准形式：(1) max f＝3X1＋2X2 约束条件： 9 X1＋2X2≤30， 3 X1＋2X2≤13， 2X1＋2X2≤9， X1，X2≥0 (2) min f＝4X1＋6X2 约束条件： 3 X1－X2≥6， X1＋2X2≤10， 7X1－6X2＝4， X1，X2≥0

第三讲 LP的应用举例 一、课后作业 1、某咨询公司受厂商的委托对新上市的一种产品进行消费者反映的调查，该公司采用了挨户调查的方法，委托他们调查的厂商以及该公司的市场研究专家对调查提出下列几点要求： a）必须调查2000户家庭； b）在晚上调查的户数和白天调查的户数相等； c）至少应调查700户有孩子的家庭； d）至少应调查450户无孩子的家庭。 调查一户家庭所需费用如下表所示： 1）请用线性规划方法，确定白天和晚上调查这两种家庭的户数，使得总调查费用最少。 2）对白天和晚上调查两种家庭的费用进行灵敏度分析。 3）对调查的总户数，有孩子家庭和无孩子家庭的最少调查数进行灵敏度分析。

运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习

第五章整数规划 1．整数规划的特点 (1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。 （2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。 (3)整数规划的可行域为离散点集。 2．整数规划的建模步骤 整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。 3．求解整数规划的常用方法 1）分支定界法 没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z＊的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小和增大，最终求得z＊。 将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。 (1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之一: ①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。 ②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。 ③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。

(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作。以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。 下面进行迭代. 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x i ，其值为b i 。 构造两个约束条件 x j ≤［b j ］① 和 x j ≥[b j ］+1 ② 其中［b j ］为不超过b j 的最大整数。 将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。 第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ； 第二步:若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解,否则转下步; 第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。 第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。若某个子问题的解是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。

运筹学中的线性规划和整数规划

运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。 一、线性规划 线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。其数学模型可以表示为： $\max c^Tx$ $s.t. Ax \leq b,x\geq 0$ 其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。

如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解 方法来确定决策变量的最优值。线性规划的求解方法一般分为单 纯形法和内点法两种方法。 单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的 情况。 内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数 值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解 在可行域内部，直到找到最优解为止。这种方法对大规模问题求 解能力强，使用较多。 二、整数规划 整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过 程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。

与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。 分支定界是一种常用的整数规划求解方法。它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。 总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。未来，在更加复杂的实际应用场景下，这两种技术也将不断发展和创新，为各种决策分析和优化问题提供更加高效和精确的解决方案。

运筹学知识点

运筹学知识点： 绪论 1.运筹学的起源 2.运筹学的特点 第一章线性规划及单纯形法 1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。 2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。 3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。 线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。 4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负 5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量 6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系 7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解 8.用图解法只有解决两个变量的决策问题 9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。 10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。 11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。 12.单纯形法的计算过程，可能出计算题 13.入单纯形表前首先要化成标准形式。 14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。 15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。 16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表 17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合

离散优化中的线性规划与整数规划

离散优化中的线性规划与整数规划离散优化是运筹学领域中的关键分支，旨在解决基于离散决策变量 的优化问题。在离散优化中，线性规划和整数规划是两个重要的方法。本文将介绍这两种规划方法的定义、应用和解决技术，并探讨它们在 离散优化中的应用领域。 1. 线性规划 线性规划是一种用于解决线性约束下的目标最优化问题的方法。它 的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和一组线性约束条件。 线性规划的数学模型可以表示为： \[ \begin{align*} \text{最小化}\quad & c^Tx \\ \text{约束条件}\quad & Ax \leq b \\ \text{以及}\quad & x \geq 0 \end{align*} \] 其中，$c$ 是目标函数的系数向量，$x$ 是决策变量向量，$A$ 是 约束条件的系数矩阵，$b$ 是约束条件的右侧向量。

线性规划方法可以通过单纯形法、内点法等算法进行求解。它在供应链管理、市场营销、资源分配等多个领域有着广泛的应用。例如，在生产计划中，线性规划可以帮助确定最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足资源约束。 2. 整数规划 整数规划是线性规划的扩展，它将决策变量限制为整数。整数规划解决的问题更贴近实际情况，因为在许多实际问题中，决策变量只能是整数值。整数规划的数学模型可以表示为： \[ \begin{align*} \text{最小化}\quad & c^Tx \\ \text{约束条件}\quad & Ax \leq b \\ \text{以及}\quad & x \in Z^n \end{align*} \] 其中，$Z^n$ 表示整数集。 与线性规划类似，整数规划也可以使用各种算法进行求解，如分支定界法、割平面法等。虽然整数规划的求解过程更加困难，但它在许多实际问题中非常有用。例如，在项目管理中，整数规划可以帮助确定最佳的资源分配方案、工作安排等。

整数型规划及应用

整数型规划及应用 整数型规划是运筹学中的一种优化问题，其中决策变量被限制为整数值。与线性规划不同，整数型规划可以更好地描述实际问题，并提供更准确的解决方案。 整数型规划的应用非常广泛，在各行各业都可以找到相关的应用场景。以下将分别介绍一些常见的整数型规划问题及其应用。 1. 生产调度问题：在生产调度中，需要确定不同产品的生产数量，使得生产成本最小化。在考虑原材料、设备利用率等限制条件下，需要将产品的生产量作为整数进行规划。 2. 布线问题：在电子设计自动化中，布线问题是指将电路中的各个元件（如计算机芯片）连接起来的过程。布线问题有多种限制条件，如连接的长度、路径的复杂程度等。在整数型规划中，可以通过整数变量来表示连接的路径和长度。 3. 旅行商问题：旅行商问题是指一个商人需要依次访问多个城市，并在最短的时间内回到起点。这个问题可以用整数型规划来解决，其中整数变量表示访问城市的顺序。 4. 设备选址问题：在设备选址问题中，需要确定最佳的设备放置位置，使得设备的服务范围最大化。这个问题可以通过整数型规划来解决，其中整数变量表示设备放置的位置。

5. 销售路线问题：在销售路线问题中，需要确定销售人员的最佳路线，以最大化销售额。这个问题可以通过整数型规划来解决，其中整数变量表示销售人员的访问顺序。 整数型规划的解决方法包括分支定界法、割平面法、混合整数线性规划法等。这些方法根据问题的特点选择不同的算法来求解最优解。 除了上述问题，整数型规划还有很多其他的应用，如网络设计、资源分配、员工排班等。在实际应用中，整数型规划可以提供近似最优解，并帮助决策者做出更准确的决策。 总之，整数型规划是一种重要的优化方法，在各领域具有广泛的应用。通过合理地描述问题的整数限制，并选择合适的解决方法，可以得到更好的决策结果。整数型规划为实际问题的解决提供了强有力的工具，对于提高效率、降低成本具有重要作用。

运筹学考试重点(精简后的)

运筹学考试重点(精简后的)随着2020研究生考生的结束，21的考生逐渐紧张起来，即将开始他们的考研之路，在这里给大家汇总一下重要知识点，我们主要总结一些学生考管理科学与工程时部分院校考查的运筹 学这门课程。 运筹学这门课程偏向理科，基本都是计算类的题型，大部分学校都是考查计算题，少部分学校会加点选择、判断题，极个别学校会有一道证明题，但是考查的概率比较小。所以我们主要针对大部分院校常考的知识点进行讲解。 首先是线性规划问题，这个考查的形式相对比较固定，大家一个是要掌握线性规划问题的建模、其次是化标准型，会用单纯形法进行求解，以及明白单纯形表里各个数据代表的意义，最后是对于线性规划问题解的几种形式要了解什么 情况下是什么类型的解; 第二个知识点是对偶问题及灵敏度分析，这个主要是和上个线性规划结合着在一题中进行 考查，大家要会写线性规划模型的对偶问题，以及对偶问题解怎么找，当然最重要的是灵敏度分 — 1 —

析，单位资源的变化对我们的目标值有什么样的影响，不同数据的变化如何去求解是一个重点。 第三个是运输问题，我们重点是如何把产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的问题，然后再用表上作业法去求解最优的配送方案。 第四个是目标规划，这个知识点考查的学校相对没有那么多，大概有50%的学校会考，他主要考查多目标的线性规划问题，应用到实际问题中比较多，大家重点掌握它的建模就可以了，求解基本没怎么考查过。 第五个是整数线性规划问题，他第一个考查点是0-1型整数规划建模，第二个是分支定界或割平面的求解整数规划问题，第三个是指派问题的求解，这个考查频率比较高，大家要掌握匈牙利法求解的方法。 第六个知识点是动态规划问题，这个知识点相对比较难理解，但是大部分学校都会考查到，所以大家要重点关注，我们要弄清建模时明确的5个内容，你的阶段变量、状态变量、决策变量、递推关系数、状态转移方程分别是什么，然后不同的类型采用不同的求解方式。 — 2 —

《运筹学》复习参考资料

《运筹学》复习参考资 料 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

第一部分 线性规划问题的求解 ——重要算法：图解法、单纯形迭代、大M 法单纯形迭代、对偶问题、表上作业法（找初始可 行解：西北角法，最小元素法；最优性检验：闭回路法，位势法；）、目标规划：图解法、整数规划：分支定界法（次重点），匈牙利法（重点）、 第二部分 动态规划问题的求解 ——重要算法：图上标号法 第三部分 网络分析问题的求解 ——重要算法：破圈法、TP 标号法、寻求网络最大流的标号法 第一部分 线性规划问题的求解 一、两个变量的线性规划问题的图解法： ㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。 定义：达到目标的可行解为最优解。 ㈡图解法： 图解法采用直角坐标求解：x 1——横轴；x 2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线绘出； 2、确定可行解域； 3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向； 注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。 4、确定最优解及目标函数值。 ㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型） 例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A 、B 、C 三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制 （此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M 法求解） 解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。 max z = 70x 1+30x 2 . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤+≤+≤+0 72039450555409321212121x x x x x x x x ， ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

运筹学复习笔记

运筹学复习笔记 Part 1 题型 1.选择题（20分） 2.填空题（40分） 3.建模题（40分） 4.决策问题（20分） 5.运输问题（10分）计算 Part 2 需要掌握的知识点 Chapter 2 线性规划与单纯型法 一、线性规划问题（建模） 二、求解两个变量的线性规划模型——图解法 附：图解法的启示 1)图解法求解结果的几种可能情况： ➢唯一最优解 ➢无穷多最优解 ➢无界解（并不是说可行域是无界的线性规划问题的解就一定是无界解） ➢无可行解 2)若线性规划问题的可行域非空，则可行域是一个凸集。 3)若线性规划问题的最优解存在，则一定可以在可行域的凸集的某个顶点达到。（线性规 划问题的基可行解X对应于可行域D的顶点。）

三、单纯形法准备知识——标准型 1) 标准型的四个条件 ➢ 目标函数为极大（max ） ➢ 所有的约束条件满足等式 ➢ 所有的决策变量非负 ➢ 右端常数均为非负数 2) 化为标准型的方法 ➢ 若要求目标函数实现最大化，即max z=CX 。这时只需将目标函数最小化变换求目 标函数最大化，即令 z ′=-z ，于是得到max z ′= －CX 。这就同标准型的目标函数的形式一致了。 ➢ 约束方程为不等式。这里有两种情况： 一种是约束方程为‘≤’不等式，则可在‘≤’不等式的左端加入非负松弛变量j x ，把原‘≤’不等式变为等式，j x 0； 另一种是约束方程为‘≥’不等式，则可在‘≥’不等式的左端减去一个非负剩余变量k x （也可称松弛变量），把不等式约束条件变为等式约束条件,目标函数中加上 k x 0 (松弛变量). ➢ 若变量约束中：0≤i x ，则令i i x x -='，得到0≥' i x ；若R ∈j x ，则令 "'=j j j x x x -，其中0≥"'j j x x ，，用 ' i x 、'j x 、"j x 分别代替i x 、j x 后得到线 性规划的变量约束均为非负约束。 ➢ 资源限量bi ≥0。 四、单纯型法准备知识——线性规划问题解的概念 1) 可行解：满足约束条件式（等式约束、非负约束）的解。 2) 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 3) 基：约束方程组的系数矩阵n m A ⨯的一个满秩的子矩阵m m B ⨯，B 称为线性规划问题的 一个基。

第三章 整数线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义

第三章 整数线性规划问题 教学重点：割平面法和分支定界法。 教学难点：求解的困难性，割平面法和分支定界法的思想。 教学课时：6学时 主要教学环节的组织：首先通过各种形式的例子归纳出整数线性数学规划的一般形式，分析其求解的困难性；然后通过理论和实际例子的结合阐述割平面法和分支定界法的基本思想，给出计算步骤。 第一节 概述 教学重点：给出整数线性规划的一般形式，分析其求解的困难性。 教学难点：求解的困难性。 教学课时：2学时 主要教学环节的组织：通过各种形式的例子归纳出整数线性数学规划的一般形式，分析其求解的困难性。 整数线性规划（ILP ）具有下述形式 ⎩⎨ ⎧≥≥T 为整数 x x b Ax t s x c ,0..min 0-1整数线性规划模型 ⎩⎨ ⎧==≥T n i x b Ax t s x c i ,...,2,1;10..min 或 混合整数线性规划 ⎪ ⎩⎪ ⎨⎧==≥≥T p i x i x b Ax t s x c i ,...,2,1,n ,...,2,1,0..min 为整数 例3.1.1 投资决策问题 某财团有B 万元的资金，有(2)n n ≥个可以考虑的投资项目，假定每个项目最多投资一次。其中第j 个项目需投资金额为j b 万元，将会获得的利润为j c 万元，问应如何选择项目才能使得获得的总利润最大？ 变量—每个项目是否投资10或=j x n j ...,2,1= 约束—总金额不超过限制B x b n j j j ≤∑=1

目标—总收益最大Max ∑=n j j j x c 1 模型： 1 1 01,1,2,m ax . ....n n j j j j j j j c x s b x B x or j n t ==≤⎪==⎧⎪⎨⎩∑∑ 此外，运筹学还有一个著名的问题：旅行售货员问题（TSP ）略 解整数规划问题的困难性 1、最优解不一定在顶点上达到 2、最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解 3、整数可行解远多于松弛问题的顶点，枚举法不可取 4、解ILP 问题要远难于解松弛的LP 问题 5、如果松弛的LP 问题无解，显然原ILP 问题无解。反之，不一定成立。 6、如果松弛的LP 问题无界呢？可以证明原ILP 问题也无界 ILP 问题的最优解