高一数学不等式部分经典习题及答案
高一数学不等式部分经典习题及答案
一、不等式
一、不等式的性质：
1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。例如：若
a>b。c>d，则a+c>b+d（若a>b。cb-d），但异向不等式不可
以相加，同向不等式不可以相减。
2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。例如：若a>b>0.c>d>0，
则ac>bd（若a>b>0.0b/d）。
3.左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。例如：若
a>b>0，则a>b或a^n>b^n。
4.若ab>0，a>b，则a/b>1；若abb，则a/b<-1.例如：对于实数a,b,c，给出下列命题：
①若a>b，则ac>bc；
②若ac>bc，则a>b；
③若a ④若ab^2； ⑤若a1； ⑥若ab； ⑦若c>a>b>d，则(c-a)/(c-a+b-d)>0； 其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。 2）已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7. 3）已知a>b>c，且a+b+c=1，则c的取值范围是[-2,-1)。 二、不等式大小比较的常用方法： 1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2.作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3.分析法； 4.平方法； 5.分子（或分母）有理化； 6.利用函数的单调性； 7.寻找中间量或放缩法； 8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 例如： 1）设a>1且a不等于1，t>0，比较(1+t)/loga和2loga(t) 的大小。 当a>1时，(1+t)/loga=2loga(t)（t=1时取等号）。 2）设a>2，p=a+√a-2.q=2a-√a-2，比较p和q的大小。 p>q。 3）比较1+log3(x)和2log2(x)的大小（x>0且x不等于1）。 当02时，1+log3(x)>2log2(x)；当1 1+log3(x)<2log2(x)。 当x=1时，两者相等。 三．在利用重要不等式求函数最值时，需要注意到“一正 二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。下列命题中，正确的是C，即y=2-3x-4(x>0)的最小值是2-4/3. 若x+2y=1，则2x+4y的最小值是22.正数x,y满足x+2y=1，则(1/x)+(1/y)的最小值为3+2/2=4. 根据目标不等式左右的运算结构，可以选用4种常用不等式，如(1)2/(1+a^2)+1/(1+b^2)>=5/4(当且仅当a=b=1时，取等号)；(2)a,b,c∈R，a+b+c>=ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时，取等 号)；(3)若a>b>0,m>0，则(b/(a+m))<(b/a)<((b+m)/a)；(4)对于 任意实数x，有x-1/x<=sqrt(x^2+1)-1<=x。 如果正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[9,+∞)。 五．证明不等式的方法有比较法、分析法、综合法和放缩法。常用的放缩技巧有： 1-1/2+1/3-1/4+。+1/(2n-1)-1/2n n/(n+1)<1-1/(n+2) k+1-k)/(k+1+k^2)=1)； 2/(n+1)<1+1/2+。+1/n-ln(n)<1/(n+1)； 1)已知a>b>c，求证：ab+bc+ca>ab+bc+ca；(2)已知 a,b,c∈R，求证：ab+bc+ca>=abc(a+b+c)；(3)已知a,b,x,y∈R，且(x+y)/(a+b)>1，x>y，求证： loga+logb+logc 4)若a、b、c是不全相等的正数，求证： loga+logb+logc>=3log((a+b+c)/3)； 5)已知a,b,c∈R，求证：ab+bc+ca>=abc(a+b+c)； 6)若n∈N，求证：(n+1)^2+1-(n+1)<*n^2+1-n； 7)已知|a|≠|b|，求证：|a-b|/|a+b|≤|a|-|b|/|a|+|b|； 8)求证：1+1/2+1/4+。+1/2^n<2. 六．一元一次不等式的解法：首先要通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax>b的形式。如果a>0，则 x>b/a；如果a0的解集为{x|x<-3}。 七．一元二次不等式的解集（联系图象）。特别是当Δ=0和Δ0，x1，x2是方程ax^2+bx+c=0的两实根，且x1 其解集如下表： ax^2+bx+c>0 ax^2+bx+c≥0 ax^2+bx+c0 {x|xx2} {x|x≤x1或 x≥x2} {x|x1 x=x2} {x|x≠x1≠x2} {x|x≠x1或x≠x2} Δ<0 {x|x∈R} {x|无解} {x|x∈R} {x|x∈R} 例如，解关于x的不等式：ax^2-(a+1)x+11；当a1或x1时，1 八．简单的一元高次不等式的解法：标根法。其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次 项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从 最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。 例如，解不等式(x-1)(x+2)≥0.（解集为{x|x≥1或x≤-2}） 又如，不等式(x-2)x^2-2x-3≥0的解集是{x|x≥3或x≤-1}。再例如，设函数f(x)、g(x)的定义域都是实数集，且f(x)≥0的解集 为{x|1≤x0的解集为(-∞,1)∪[2,∞)。最后，要使满足关于x的不等式2x-9x+a<0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式 x-4 [7,∞)。注意到这里不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可以去分母。例如，解不等式(5-x)/(x^2-2x-3)<-1.（解集为(- 1,1)∪(3,5)） 关于不等式的解法和XXX成立问题 给定不等式 $ax-b>0$ 的解集为 $(1,+\infty)$，求不等式$\frac{ax+b}{x-2}>0$ 的解集。 解：首先，我们可以将 $\frac{ax+b}{x-2}$ 分解为 $\frac{ax-2ax+2ax+b}{x-2}=\frac{ax-2ax}{x-2}+\frac{2ax+b}{x-2}=a-\frac{2a}{x-2}+\frac{2ax+b}{x-2}$。因此，原不等式的解集为 $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$。 关于绝对值不等式的解法，有以下几种方法： 1.分段讨论法：对于不等式 $|2-\frac{3}{x}|\geq 2- \frac{|x+4|}{2}$，我们可以分别讨论 $x<-4.-4\leq x<0.0\leq x<\frac{3}{2}。x\geq \frac{3}{2}$ 四个情况，最后得到解集为$x\in\mathbb{R}$。 2.利用绝对值的定义：对于不等式 $|x|+|x-1|>3$，我们可以将其转化为 $x^2-x-4>0$ 或 $x^2-x+2<0$，解得 $x\in(- \infty,-1)\cup(2,+\infty)$。 3.数形结合：对于不等式 $|x+1|+|x-2|<4$，我们可以画出$y=|x+1|+|x-2|$ 的函数图像，发现其最小值为 $0$，因此得到解集为 $x\in(-1,2)$。 4.两边平方：对于不等式 $|3x+2|\geq |2x+a|$，我们可以将其平方得到 $9x^2+12x+4\geq 4x^2+4ax+a^2$，化简得到 $(a-3)x^2-3x+(a^2-4)\leq 0$。因为不等式对于所有 $x$ 都成立，所以判别式 $\Delta=9-4(a-3)(a^2-4)\leq 0$，解得XXX。 对于含参不等式的解法，我们通常需要先确定其定义域，然后根据函数的增减性进行分类讨论。例如： 1.对于不等式 $\log_a 4-\log_a 30$ 且 $a\neq 1$，然后将其转化为 $a^{\log_a\frac{4}{3}} 2.对于不等式$ax^2>x(a-1)$，我们可以先确定$a\neq 0$，然后根据 $a$ 的正负和 $x$ 的正负进行分类讨论，最后得到解集为 $a=0$ 时为 $\{x|x0$ 时为 $\{x|x0\}$，$a<0$ 时为 $\{x|0 对于不等式的恒成立问题，我们可以根据函数的最值来进行判断。例如： 1.对于不等式 $x+(y-1)>1$，我们可以将其转化为 $y<0$，因此 $c$ 的取值范围为 $(2-\infty)$。 2.对于不等式 $x-4+\frac{x}{x-3}>a$，我们可以将其转化 为$\frac{x^2-3x-4}{x-3}>a$，然后根据函数的最值得到$a<1$。 3.对于不等式 $2x-1>m(x-1)$，我们可以将其转化为 $x>\frac{m+1}{2}$，然后根据 $m$ 的取值范围得到 $x\in(\frac{7-13\sqrt{2}}{2},+\infty)$。 1.若不等式$(-1)a<2^n$对于任意正整数$n$恒成立，则实 数$a$的取值范围是$[-2,+\infty)$。 2.若不等式$x-2mx+2m+1>0$对于$x\in[-1,1]$的所有实数 $x$都成立，则$m>-\frac{1}{2}$。 3.已知不等式$x-4+x^{-3}1$。 4.对于方程$ax^2+bx+c=0$有实数解的条件是：$a\neq 0$且$\Delta=b^2-4ac\geq 0$。同样地，对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，同样需要注意这个条件。 5.若$(a-2)x+2(a-2)x^{-1}<0$对于任意$x\in\mathbb{R}$恒 成立，则$a\in(1,2]$。若在$[0,\frac{\pi}{2}]$内有两个不等的 实根满足等式$\cos^2x+3\sin^2x=k+1$，则实数$k\in[0,1)$。 6.方程$f(x)=ax^2+bx+c=0$在$(k,+\infty)$上有两根的充要 条件是$\Delta\geq 0$且$f(k)>0$；在$(m,n)$上有两根的充要条 件是$\Delta\geq 0$且$f(m)>0$，$f(n)>0$；在$(-\infty,k)$和$(k,+\infty)$上各有一根的充要条件是$\Delta\geq 0$且$f(k)<0$。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间$[m,n]$讨论 方程$f(x)=0$有实数解的情况，可先利用在开区间$(m,n)$上实 根分布的情况，得出结果，再令$x=n$和$x=m$检查端点的情况。 7.实系数方程$x+ax+2b=0$的一根大于且小于$1$，另一根大于$1$且小于$2$的条件是$\frac{2b-2}{a-1}0$。即 $1 你了解二次方程、二次不等式和二次函数之间的联系吗？二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根是二次不等式 $ax^2+bx+c>0$（或 $<0$）的解集的端点值，也是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像与 $x$ 轴的交点的横坐标。 1）如果不等式 $x>\frac{a}{3}$ 的解集是 $(4,b)$，那么 $a=\frac{1}{2}$。 2）如果关于 $x$ 的不等式 $ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $(- \infty,m)\cup(n,+\infty)$，其中 $m 3）如果不等式$3x-2bx+1\leq0$ 对于$x\in[-1,2]$ 恒成立，那么实数 $b$ 没有取值范围（即无解）。 高一数学具体的不等式试题 1.已知关于的不等式的解集是，则 . 【答案】2 【解析】化分式不等式为整式不等式，根据解集是得，,方程的两实根分别为，，所以=，a=2 【考点】解分式不等式，二次方程与二次不等式之间的关系. 2.不等式2x－x－1>0的解集是 A．(，1) B．(1，+∞) C．(－∞，1)∪(2，+∞) D．(－∞，)∪(1，+∞) 【答案】D 【解析】不等式2x－x－1>0，即， 所以，其解集为(－∞，)∪(1，+∞)，选D。 【考点】一元二次不等式的解法 点评：简单题，一元二次不等式的解法应首先考虑“因式分解法”。 3.不等式的解集是 . 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式，故可知不等式的解集为 【考点】一元二次不等式 点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。 4.若，且，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于，且，那么根据不等式两边同时加上一个数不等式方向不变，不等式的可乘性可知，只有c>0选项B成立，对于C，只有c不为零时成立，对于A，由于c=0不成立，故选D. 【考点】不等式的性质 点评：主要是考查了不等式性质的运用，属于基础题。 5.已知是任意实数，且，则下列结论正确的是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于是任意实数，且，当a=0,b=-1,选项A不成立，对于B，由于 a=3,b=2,不成立，对于C，由于,只有a-b>1不等式成立，故排除发选D. 【考点】不等式的性质 点评：主要是考查了对数函数性质以及不等式性质的运用，属于基础题。 6.不等式的解集是； 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式，等价于当x> ,x-1<1, x<2，即当x,得到1- 2x-x<1,x>0,故可知0 高一数学具体的不等式试题答案及解析 1.已知关于的不等式的解集是，则 . 【答案】2 【解析】化分式不等式为整式不等式，根据解集是得，,方程的两实根分别为，，所以=，a=2 【考点】解分式不等式，二次方程与二次不等式之间的关系. 2.不等式的解集是 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】：因为方程的两个根为，所以不等式 的解集是。故选D。 【考点】一元二次不等式的解法． 点评：熟练掌握一元二次不等式的解法和实数的性质是解题的关键． 3.不等式的解集是 . 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式，故可知不等式的解集为 【考点】一元二次不等式 点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。 4.不等式的解集为 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式 等价于（x+2）(x-1)<0，解得-2 6.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是() A．10B．－10 C．－14D．14 【答案】C 【解析】根据题意，由于不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，那么说明了是ax2＋bx ＋2=0的两个根，然后利用韦达定理可知则a＋b的值是-14， 故选C. 【考点】一元二次不等式的解集 点评：主要是考查了二次不等式的解集的运用，属于基础题。 7.关于x的不等式：的解集为 . 【答案】 【解析】根据题意，由于等价于，故可知不 等式的解集为。 【考点】不等式的求解 点评：主要是考查了不等式的求解，属于基础题。 8.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 【解析】取，可以验证①②③都是正确的，所以正确的有3个. 【考点】本小题主要考查不等式的性质的应用. 点评：遇到考查不等式性质的题目时，要注意特殊值法的应用，这种方法一般情况下简单有效. 9.不等式的解集是。 【答案】（-2，-1/3） 【解析】根据题意，由于，故可知 答案为（-2，-1/3） 【考点】分式不等式 点评：主要是考查了不等式的求解，移项通分合并是解不等式的常用的变形方法，属于基础题。10.不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，-2)∪(-1，＋∞)，则a∶b∶c＝__________. 【答案】1:3:2 【解析】根据题意，由于不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，-2)∪(-1，＋∞)，结合二次哈数图 像可知，开口向上，方程ax2＋bx＋c=0的两个根为-1，-2，那么根据韦达定理可知，， 故可知a∶b∶c＝1:3:2，故答案为1:3:2。 【考点】一元二次不等式的方法 点评：考查学生综合运用函数与不等式的能力，以及解一元二次不等式的方法 11.不等式的解为 3.不 等 式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则 11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2 2； ③2 2,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则 若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则 若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 高一数学不等式练习题及答案 一、填空题 1. 若x < 3，则x²的取值范围是________。 2. 解不等式x² + 4x - 5 > 0，得到的解集是________。 3. 若x - 1 ≤ 2 - x，则x的取值范围是________。 4. 若2x - 3 < 5 + x，则x的取值范围是________。 5. 解不等式3(x - 2) + 4 > 2(x + 1)，得到的解集是________。 二、选择题 1. 下列不等式中，解集为(-∞, -4)的是： A. x + 5 > -10 B. x² - 6x - 16 < 0 C. 3x - 2 ≤ 5x + 4 D. x(x - 3) > 0 2. 若a > 3，下列不等式中，解集为(3, 5)的是： A. x² - 2ax + a² < 0 B. x² + 8x + 15 > 0 C. 2x - a < 3x D. x² - 5x + a > 0 三、解答题 1. 解不等式2x - 3 < 5 + 3x，并表示解集。 2. 解不等式(x + 2)(x + 3) > 0，并表示解集。 3. 解不等式x² - 6x + 8 ≤ 0，并表示解集。 四、解答题 1. 解方程组： { 2x - y ≤ 1 { x + y > 3 2. 解方程组： { x + 2y ≤ 4 { x - y > 1 答案： 一、填空题 1. (-∞, 3) 2. (-∞, -5)∪(1, +∞) 3. (-∞, +∞) 4. (-∞, +∞) 5. (-∞, -3) 二、选择题 1. B 2. D 三、解答题 1. 将不等式进行整理得到：2x - 3x < 5 + 3，再化简得到：x > -2。 所以解集为(-2, +∞)。 2. 将不等式进行整理得到：(x + 2)(x + 3) > 0。根据零点的性质可知，x + 2 > 0 且 x + 3 > 0，解得 x > -2 且 x > -3。取交集得到解集为(-2, +∞)。 3. 将不等式进行整理得到：(x - 4)(x - 2) ≤ 0。根据零点的性质可知，x - 4 ≤ 0 且 x - 2 ≥ 0，解得2 ≤ x ≤ 4。所以解集为[2, 4]。 四、解答题 1. 将方程组进行整理得到：y ≥ 2x - 1 和 y < -x + 3。在坐标系中绘 制对应的直线，并观察两条直线的关系，得到如下的解集：(-∞, +∞)。 2. 将方程组进行整理得到：2y ≤ -x + 4 和 y > x - 1。在坐标系中绘 制对应的直线，并观察两条直线的关系，得到如下的解集：(1, +∞)。 试卷3 不等式专题 一、 选择题 1、当1x >时，不等式11 x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,3]-∞ 2、下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x =+ B ．4sin sin y x x =+（0x π<<） C ．4x x y e e -=+ D ．3log 4log 3x y x =+ 3、若实数,a b 满足12a b +=，则ab 的最小值为( ) A 、2 C 、 D 、4 4、设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩ ≤≥≥，则2z x y =+的最小值是( ) A ． B ． C ． D ． 5、若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6、、若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．-2 C ． 12 D ．12- 7、已知正项等比数列{}()n a n N +∈满足5432a a a =+，若存在两项,m n a a 18a =，则19m n +的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 9、已知x ，y ＞0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 10、y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+0 220220 2y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．． ，则实数a 的值为（ ） A ．121-或 B ． 21 2或 C ．2或1 D ．12-或 11、设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－1 12、若,x y 满足约束条件10 040x x y x y -⎧ ⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则y x 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 二、填空题 13、函数4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 14、已知，且，则的最小值为_____________. 高一数学基本不等式试题 1.已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（）. A．xy+有最小值4B．xy+有最小值3 C．x+2y+有最小值11D．xy﹣7+有最小值11 【答案】C 【解析】由，得，由得， 则（当且仅当，即时取等号），；令，则在上为增函数，，排除A,B; 而选项D:; 选项C：（当且仅当，即或时取等号;故选C. 【考点】基本不等式. 2.已知，则x + y的最小值为． 【答案】 【解析】，，由，可得，当且仅当 时等号成立，故，故答案为. 【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用. 3.若，则下列不等式正确的是（）. A．B． C．D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得，则；又， . 【考点】基本不等式. 4.若正数满足，则的取值范围是________________. 【答案】 【解析】，；可化为，， 即，，即. 【考点】基本不等式. 5.在下列函数中，最小值为2的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中不满足x＞0；B中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；C中，因为0＜lgx＜1，故“=” 取不到；D中 y=3x+3-x≥2，当且仅当 3x=3-x时取等号，此时x存在；故选D． 【考点】基本不等式. 6.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 () A．1B．2C．3D．4 【答案】 【解析】根据选项可知,所以此时不等式左边两项都是正数． 根据基本不等式有,因为恒成立,所以 ,消掉,解得．所以． 【考点】不等式恒成立;基本不等式． 7.已知正数满足，则的最小值为． 【答案】 【解析】. 【考点】基本不等式. 8.在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴，化简后可得： ，∴，又∵，∴，即周长的范围为．【考点】1、余弦定理；2、基本不等式． 9.设实数满足：,则取得最小值时，． 【答案】121 【解析】∵，∴， 上述等号成立的条件依次为：，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．【考点】1、基本不等式；2、不等式的放缩． 10.下列各函数中，最小值为2的是 ()． A．y＝x＋B．y＝sin x＋，x∈ 高一数学具体的不等式试题答案及解析 1.记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q. （1）若a=3,求P （2）若求正数a的取值范围 【答案】（1）（2） 【解析】 思路分析：（1）解得 （2）化简 由得得到。 解：（1）由得 （2） 由得所以， 即的取值范围是 【考点】集合的概念，集合的运算，简单不等式的解法。 点评：中档题，为进行集合的运算，首先化简集合，明确集合中的元素是什么。 2.不等式的解集是 【答案】 【解析】等价于，所以，， 故不等式的解集是。 【考点】简单分式不等式解法 点评：简单题，分式不等式解法，主要是转化成整式不等式求解。 3.不等式的解集是 . 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式，故可知不等式的解集为 【考点】一元二次不等式 点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。 4.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 【解析】取，可以验证①②③都是正确的，所以正确的有3个. 【考点】本小题主要考查不等式的性质的应用. 点评：遇到考查不等式性质的题目时，要注意特殊值法的应用，这种方法一般情况下简单有效. 5.函数在上满足，则的取值范围是（） A．B．C．D． 【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D. 【考点】不等式 点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。 6.不等式的解集是。 【答案】（-2，-1/3） 【解析】根据题意，由于，故可知 答案为（-2，-1/3） 【考点】分式不等式 点评：主要是考查了不等式的求解，移项通分合并是解不等式的常用的变形方法，属于基础题。7.已知关于的不等式的解集是，则 . 【答案】 【解析】因为，关于的不等式的解集是， 所以，a=。 【考点】一元二次不等式的解集。 点评：简单题，一元二次不等式的解集，可借助于相应二次函数的图象、一元二次方程的根写出。 8.已知，，则的取值范围为 A．B．C．D． 【答案】 A 【解析】因为，，所以，，而，故的取值范围为，选A。 【考点】不等式的性质 点评：简单题，注意本题中a,b是相互独立的，通过确定的最值，进一步确定的取值范围。 9.不等式的解集为 【答案】{x| x<-1或2} 【解析】根据题意，由于,解得,同时x 不能取到3,-1,那么结合一元二次不等式的解法可知结论为x<-1或2,那么可知结论为 【考点】一元二次不等式的解集 点评：主要是考查了一元二次不等式的解集的运用，属于基础题。 10.一元二次不等式的解集是，则的值是（） A．B．C．D． 高一数学基本不等式试题答案及解析 1.下列各函数中，最小值为的是（） A．B．， C．D． 【答案】D 【解析】A．可取时，的最小值不可能是2；B．，，当时，的最小值不可能是2；C．由，的最小值大于2；D．由 ，当且仅当即时等号成立，的最小值为2． 故选D． 【考点】均值不等式的应用． 2.设且,则的最小值为________． 【答案】4 【解析】由，当且仅当时等号成立． 故答案为4． 【考点】均值不等式的应用． 3.已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（）A．B．C．D． 【答案】 【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得 . 【考点】基本不等式的应用. 4.当时，函数的最小值为 . 【答案】6 【解析】由于，所以函数 【考点】基本不等式的应用. 5.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 .【答案】 【解析】由得，则圆心坐标为， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为. 【考点】1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式. 6.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义 f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的 最小值为__________________ 【答案】18 【解析】∵，∠BAC=30°，∴，∴=4，∴==1，由知，=，∴=1-=，∴= =≥=18. 【考点】平面向量数量积；三角形面积公式；新概念理解；基本不等式 7.若正数,满足,则的最小值是（） A．B．C．5D．6 【答案】C 【解析】由已知得，所以 时等号成立）。 【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等 8.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 () A．1B．2C．3D．4 【答案】A 【解析】∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1． 【考点】基本不等式． 9.设实数满足：,则取得最小值时，． 【答案】121 【解析】∵，∴， 上述等号成立的条件依次为：，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．【考点】1、基本不等式；2、不等式的放缩． 高一数学不等式部分经典习题及答案 3.不 等 式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘： 若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >n n a b > 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①2 2,bc ac b a >>则若； ② b a bc ac >>则若,22； ③ 2 2,0b ab a b a >><<则若； ④ b a b a 1 1,0< <<则若； ⑤ b a a b b a ><<则 若,0； ⑥ b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0 a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是 ______ （答：12,2 ⎛⎫ -- ⎪⎝ ⎭ ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是 高一数学具体的不等式试题答案及解析 1.不等式的解集是 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】：因为方程的两个根为，所以不等式 的解集是。故选D。 【考点】一元二次不等式的解法． 点评：熟练掌握一元二次不等式的解法和实数的性质是解题的关键． 2.不等式的解集是 【答案】 【解析】等价于，所以，， 故不等式的解集是。 【考点】简单分式不等式解法 点评：简单题，分式不等式解法，主要是转化成整式不等式求解。 3.不等式≥0的解集 . 【答案】R 【解析】根据题意，不等式≥0等价于,那么根据绝对值的几何意义可知，任意实数的绝对值都大于等于零，故可知解集为R. 【考点】一元二次不等式的解集 点评：主要是考查了一元二次不等式的解法的运用，属于基础题。 4.函数在上满足，则的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D. 【考点】不等式 点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。 5.已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】解：由题意借助数轴，|x-3|-|x+2|∈[-5，5]，∵存在实数x使得不等式|x-3|-|x+2|≥|3a-1|成立，∴5≥|3a-1|，解得-5≤3a-1≤5，即-≤a≤2，故答案为[-，2] 【考点】绝对值不等式 点评：本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取|3a-1|≤5，即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误 高一数学不等式试题答案及解析 1.已知a＞b, c＞d,则（） A．ac＞bd B．C．D． 【答案】D 【解析】略 2.设，且，则（） A．B． C．D． 【答案】Ｄ 【解析】由题意，，又，则，所以，则，， 由且，可得，故 3.（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值； （2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值． 【答案】（1）1；（2）16 【解析】本题主要考察函数万能公式的运用，在第一小问中函数化简须与分式分母相对应，在运 用万能公式时，要注意不要将符号弄反，解不等式即可求出最大值。在第二小问中，将条件乘入 到所求结果中去，再将式子进行展开，利用万能公式，解不等式即可求出最小值。 试题解析：（1）x<，∴4x－5<0． ∴y＝4x－5＋＋3＝－[（5－4x）＋]＋3 ＝1． ≤－2＋3＝1，y max （2）∵x>0，y>0且＝1， ∴x＋y＝（x＋y）＝10＋≥10＋2＝16，即x＋y的最小值为16 【考点】函数万能关系不等式 4.（12分）已知函数y=的定义域为R． （1）求a的取值范围． （2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）定义域为，指被开方数恒大于等于0，讨论两种情况当或是两种情况；（2）函数的最小值，指被开方数为抛物线时的顶点函数值是，所以先根据顶点坐标求参数， 然后将参数代入二次不等式，解不等式． 试题解析：（1）∵函数y=的定义域为R，∴a=0时，满足题意； a＞0时，△=4a2﹣4a≤0，解得0＜a≤1；∴a的取值范围是{a|0≤a≤1}； （2）∵函数y的最小值为，∴≥， a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥； 当a=0时，不满足条件； 高一数学不等式试题答案及解析 1.定义，设实数满足约束条件 则的取值范围是（） A．［－5，8］B．［－5，6］C．［－3，6］D．［－8，8］ 【答案】A 【解析】分析：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD，由Z= 当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6；当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8，从而可求Z的取值范围 解答：解：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD 由Z= 当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6 当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8 ∴-5≤Z≤8 故选：A 点评：本题主要考查了简单的线性规划，解题的关键是要根据题目中的定义确定目标函数及可行 域的条件以及，属于知识的综合应用题． 2.下列命题不正确的是 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】略 3.目标函数，变量满足，则有（） A．B． C．无最大值D．既无最大值，也无最小值K^S*5U.C#O 【答案】A 【解析】略 4. 2010年4月14日清晨我国青海省玉树县发生里氏7．1级强震。国家抗震救灾指挥部迅速成立并调拨一批救灾物资从距离玉树县400千米的某地A运往玉树县，这批救灾物资随17辆车以千米/小时的速度匀速直达灾区，为了安全起见，每两辆车之间的间距不得小于千米。设这 批救灾物资全部运送到灾区（不考虑车辆的长度）所需要的时间为小时。求这批救灾物资全部运送到灾区所需要的最短时间，并指出此时车辆行驶的速度。 【答案】（千米/小时）时，取得最小值为8（小时） 【解析】由题可得关系式为 从而 当且仅当，即（千米/小时）时，取得最小值为8（小时） 5.（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值； （2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值． 【答案】（1）1；（2）16 【解析】本题主要考察函数万能公式的运用，在第一小问中函数化简须与分式分母相对应，在运用万能公式时，要注意不要将符号弄反，解不等式即可求出最大值。在第二小问中，将条件乘入到所求结果中去，再将式子进行展开，利用万能公式，解不等式即可求出最小值。 试题解析：（1）x<，∴4x－5<0． ∴y＝4x－5＋＋3＝－[（5－4x）＋]＋3 ＝1． ≤－2＋3＝1，y max （2）∵x>0，y>0且＝1， ∴x＋y＝（x＋y）＝10＋≥10＋2＝16，即x＋y的最小值为16 【考点】函数万能关系不等式 6.已知正实数满足，则的最小值为． 【答案】 【解析】 【考点】均值不等式求最值 7.已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是（） A．m＜﹣7或 m＞24B．﹣7＜m＜24 C．﹣24＜m＜7D．m="7" 或 m=24 【答案】B 【解析】两点在直线的两侧，所以将点代入得到，即： 高一数学基本不等式试题答案及解析 1.若实数、分别满足，，则的值为 . 【答案】. 【解析】由题意实数、分别满足，知，、可以看成是一元二次方程的两个实数根，然后再根据韦达定理可得：，. 由这两个式子可知实数、均为负数，所以化简原式即可得到： . 【考点】一元二次方程根与系数之间的关系. 2.已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（）A．B．C．D． 【答案】 【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得 . 【考点】基本不等式的应用. 3.正数、满足，那么的最小值等于___________. 【答案】. 【解析】由基本不等式，可知，又∵，∴， 又∵，，∴可解得，当且仅当时，“=”成立，∴的最小值为. 【考点】基本不等式求最值. 4.若，则函数有（） A．最小值1B．最大值1C．最大值D．最小值 【答案】C 【解析】因为，所以= ，即最大值. 故答案为：C. 【考点】基本不等式. 5.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 () A．1B．2C．3D．4 【答案】 【解析】根据选项可知,所以此时不等式左边两项都是正数． 根据基本不等式有,因为恒成立,所以 ,消掉,解得．所以． 【考点】不等式恒成立;基本不等式． 6.若正数,满足,则的最小值是（） A．B．C．5D．6 【答案】C 【解析】由已知得，所以 时等号成立）。 【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等 7.已知正数满足，则的最小值为． 【答案】 【解析】. 【考点】基本不等式. 8.若正数x，y满足，则的最小值是_____． 【答案】5 【解析】把化简得：，∴ . 【考点】基本不等式. 9.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 () A．1B．2C．3D．4 【答案】A 【解析】∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1． 【考点】基本不等式． 10.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】 【解析】因为且，所以，当 且仅当即时取。即恒成立。要使2x＋y＞m恒成立，则。 优秀资料欢迎下载！ 3.不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 a b,c d ，则 a c b d （若 a b, c d ，则 a c b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能 相乘：若 a b0,c d 0 ，则 ac bd （若 a b0,0c d ，则 a b c ）； d 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a b0 ，则 a n b n或n a n b ； 4．若ab0 ， a b ，则1 1；若 ab 0 ， a b ，则11。如a b a b （1）对于实数a, b,c 中，给出下列命题： ①若 a b,则 ac 2bc 2；②若 ac 2bc 2 , 则 a b ； ③若 a b 0,则 a 2ab b2；④若a b 0, 则1 1 ； a b ⑤若 a b 0,则b a ；⑥若a b 0, 则 a b ； a b ⑦若 c a b 0,则 a b ； ⑧若 a 11 0,b0 。 c a c b,，则 a b a b 其中正确的命题是 ______ （答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知1x y 1 ， 1x y3，则 3x y 的取值范围是______ （答： 13x y7）； （3）已知a b c ，且 a b c0, 则c 的取值范围是______ a （答：2,1） 2 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设a 0且 a1,t0 ，比较 1 log a t和 log a t1 的大小 22 （答：当 a 1 时，1 log a t log a t 2 1（ t1时取等号）；当 0 a 1 时，2 1t1 2log a t log a 2（ t1时取等号））； （2）设a2， p a1， q2 a 2 4a2，试比较p, q的大小 a2 （答： p q ）； （3）比较 1+log x3与 2 log x 2(x0且 x1)的大小 0x1或 x 4 3 ＞ 2log x2 ；当1 x 4 log x 3 ＜ （答：当时， 1+ log x时， 1+ 33 4 2 2log x 2 ；当x时， 1+ log x3＝2log x） 3 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17 字方针。 （1）下列命题中正确的是 A、C、y x1的最小值是2 B、 y x2 3 的最小值是 2 x x22 y23x 4 ( x 0)的最大值是2 4 3 x D 、y 2 3x 4 2 4 3 (x 0) 的最小值是 x （答： C）； 完整版)高一不等式及其解法习题及答案 教学目标】 1.能够熟练解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式 2.理解分类讨论的数学思想并能够应用于解含参不等式 教学重难点】 分类讨论的数学思想 教学过程】 题型一：解一元二次不等式 例1：解下列不等式 1）2x²-3x-2>0；（2）-6x²-x+2≥0；（3）2x²-4x+70 方法总结：对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或 ax²+bx+c<0，可以通过求出其判别式Δ=b²-4ac的值，来判断 其解的情况。 1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，解集为x根2； 2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，解集为x=根1= 根2； 3.当Δ<0时，方程无实数根，解集为空集。 变式练】 1-1.已知不等式ax²+bx+c的解集为(2,3)，求不等式 cx²+bx+a的解集。 题型二：解高次不等式 例2：求不等式(x-4)(x-6)≤0的解集。 方法总结：对于高次不等式，可以通过将其化为一元二次不等式的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。 变式练】 2-1.解不等式x(x-1)(x+1)(x+2)≥0. 题型三：解分式不等式 例3-1：解下列不等式 1) 23/(x²-4x+1) < 1；(2) 23/(x²-4x+1) ≤ 2；(3) 23x-7/(x²- 2x+1)。 方法总结：对于分式不等式，可以通过将其化为分子分母同号的形式，再利用一元二次不等式的解法来求解。 题型四：解含参数的一元二次不等式 例4-1：解关于x的不等式2x+ax+2>(a∈R)。 方法总结：对于含参不等式，可以通过分类讨论的思想来解决。首先讨论a的值，然后根据a的取值再讨论不等式的解集。 变式练】 文件编号:3B ・75・4B・94・74 文件编号：3B-75-4B-94-74不等式的基本性质习题精选(一) 国不等式的基本性质 1.不等式的基本性质1：如果a>b,那么a+c b+c, a~c b —c. 不等式的基本性质2：如果a>b,并且c>0,那么ac be. 不等式的基本性质3：如果a>b,并且c<0,那么ac be. 2.设a〈b,用“v”或“〉”填空. (1)a— 1 b~1； (2) a+1 b+1： (3) 2a 2b： (4) —2a—2b： 5) —— : (6) ・ 3.根据不等式的基本性质，用“v”或“〉”填空. (1)若a—l>b—L 则a b： (2)若a+3>b+3,则a b： (3)若 2a>2b,则a b； (4)若—2a>—2b,则a b. 4.若a>b, mvO, n>0,用、”或“v”填空. (1) a+m b+m： (2) a+n b+n； (3) m—a m~b： (4) an bn； (5): (6) ； 5.下列说法不正确的是() A.若a>b»贝lj ac >bc (c 0) B.若a>b,则bb,则—a>—b D.若a>b, b>c,贝lj a>c 国不等式的简单变形 6.根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a或x>a的形式： (1) X—3>1； (2) —-x>—1： (3) 3x高一数学具体的不等式试题
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