高一数学不等式试题
高一数学不等式试题
1.已知，不等式的解集是，则满足的关系是( )
A．B．
C．D．的关系不能确定
【答案】B
【解析】,,则,
由题意知
,,故选B.
2. 2010年4月14日清晨我国青海省玉树县发生里氏7．1级强震。国家抗震救灾指挥部迅速成立并调拨一批救灾物资从距离玉树县400千米的某地A运往玉树县，这批救灾物资随17辆车以千米/小时的速度匀速直达灾区，为了安全起见，每两辆车之间的间距不得小于千米。设这
批救灾物资全部运送到灾区（不考虑车辆的长度）所需要的时间为小时。求这批救灾物资全部运送到灾区所需要的最短时间，并指出此时车辆行驶的速度。
【答案】（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）
【解析】由题可得关系式为
从而
当且仅当，即（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）
3.已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣7或 m＞24B．﹣7＜m＜24
C．﹣24＜m＜7D．m="7" 或 m=24
【答案】B
【解析】两点在直线的两侧，所以将点代入得到，即：
，解得．
【考点】不等式所表示的平面区域
4.若不等式对一切恒成立，则实数a 取值范围（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时恒成立；当时需满足，综上
【考点】三个二次关系
5.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为．
【答案】
【解析】线性约束条件表示直线围成的区域，第一象限的顶点坐标，
，所以最小值为
【考点】1．线性规划；2．均值不等式求最值
6.（8分）关于的不等式，
（1）已知不等式的解集为，求a的值；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）时原不等式解集为；时原不等式解集为
；
时原不等式解集为；时原不等式解集为；时原不等式解集为．
【解析】（1）由不等式的解集可知，2是方程的两根，由韦达定理可求得
的值．（2）讨论二次项系数是否为0，由时的根为或，讨论两根的大小，并注意抛物线开口方向．结合一元二次函数图像解不等式．
试题解析：解：因为的解集为，
所以方程的两根为或，
所以，解得．
（2），
当时原不等式变形为，解得；
当时，的根为或．
时，或，
时，，
时，，
时，
综上可得时原不等式解集为；
时原不等式解集为；
时原不等式解集为；
时原不等式解集为；
时原不等式解集为．
【考点】一元二次不等式．
7.在区间上,不等式有解，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】（法一）因为，则可将原不等式化简为，记，那么
在区间上单调递增且，原不等式有解，则有．
（法二）对于方程，
当即时，二次函数与轴无交点，又函数图像开口向下，那么不等式解为实数解；
当即时，二次函数与轴有两个交点，记，，若在区间上不等式无解，则有解得，从而知若在区间上不等
式有解则；
则或得．从而选
【考点】一元二次不等式定区间定轴问题
8.设k＞0，若关于x的不等式在（1，+∞）上恒成立，则k的最小值为．
【答案】4
【解析】原不等式变形为：，则问题转化成不等式在上恒成立，所以只需即可，根据均值定理可知：
，当且仅当时等号成立，所以只需成
立，即，所以，即．
【考点】1．均值定理；2．不等式恒成立．
9.已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是
A．B．a b 【答案】C 【解析】为非零实数，，将两边同除以，可得．故答案选C． 【考点】不等式的性质． 10.不等式的解集是空集，则实数的范围为（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】当时，，当时，不等式为，解集为空集，符合题意； 当时，若不等式解集为空集，则应满足，解得， 综上所述： 【考点】一元二次不等式． 11.当满足时，求函数的最值及相应的的值． 【答案】当时，；当时， 【解析】（1）根据不等式解得x的取值范围，采用换元法令，根据x的取值 范围，解得t的范围，则转化为二次函数为，在给定区间求最值的问题，进而求得最大值 试题解析：（1）因为，所以解得， 函数，令，因为，所以 则函数为，对称轴为， 所以当即时，函数有最小值， 当即时，函数有最小值， 所以当时，；当时， 【考点】1．解对数不等式；2．求指数范围；3．二次函数在给定区间求最值的问题 12.三个数，，的大小关系为（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】，所以有，故选C． 【考点】指数的大小比较． 13.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D． 【答案】A． 【解析】∵，，，∴，故选A．【考点】指对数的性质． 14.若，则________． 【答案】-1 【解析】 【考点】如何去绝对值 15.（2015•北京）2﹣3，3，log 2 5三个数中最大数的是． 【答案】log 2 5． 【解析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜3＜2，log 25＞log 2 4=2，即 可得到最大数． 解：由于0＜2﹣3＜1，1＜3＜2， log 25＞log 2 4=2， 则三个数中最大的数为log 2 5． 故答案为：log 2 5． 【考点】不等式比较大小． 16.设0.3，则a，b，c的大小关系是（） A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c 【答案】D 【解析】由幂函数的性质比较a，b的大小，再由对数函数的性质可知c＜0，则答案可求．解：∵0＜＜0.50=1， c=log 50.3＜log 5 1=0， 而由幂函数y=可知， ∴b＞a＞c． 故选：D． 【考点】指数函数的图象与性质． 17.不等式的解集为______. 【答案】 【解析】不等式或，即或，所以原不等式的解集为. 【考点】二次不等式、分式的解. 18.如果实数满足，则有（） A．最小值和最大值B．最大值和最小值 C．最小值而无最大值D．最大值而无最小值 【答案】B 【解析】由于，所以设，则 ，所以当时，取得最大值，当时，取得最大值，故选B. 【考点】二倍角公式及函数的最值问题. 【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式及函数的最值问题，属于基础题.解答时关键是用好条件“实数满足”，由此可联想同角三角函数基本关系式进行三角代换，把求的最值问题转化为求三角函数的值域问题，利用二倍角公式进行化简求得三角函数的值域. 19.已知实数满足，设，则的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】设且，则 ，令 ，所以，当时上述不等式中的等号成立， 所以. 【考点】基本不等式的应用． 【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用，其中正确构造基本不等式的应用条件是使用基 本不等式的基础和关键，试题思维量大，运算繁琐，属于难题，着重考查了构造思想和转化与化 归思想的应用，本题的解答中，设且，得，即可利用 基本不等式，可求得的值，即可求解取值范围． 20.下列四个不等式中，解集为的是（） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】对于A．，得，判别式，所以此不等式的 解集不为； 对于B．，判别式，所以此不等式的解集为； 对于C．，判别式，所以此不等式的解集为，不为； 对于D．，得：判别式，所以此不等式的解集不为； 故选B． 【考点】一元二次不等式． 21.设，，是与的等比中项，则的最小值是（） A．B．C．4D．3 【答案】B 【解析】是与的等比中项，，，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．故选B． 【考点】1、正弦定理；2、和差角公式． 【思路点睛】先根据等比中项的概念得出，再将转化为，最后利用基本不等式求的最值．利用基本不等式求最值时，要注意①各项皆为正数，②和或积为 定值，③注意等号成立的条件．可概括为：一“正”，二“定”，三“相等”．本题主要考查基本不等式 求最值，考查转化与化归思想，特别要注意的灵活运用，属于基础题． 22.已知不等式的解集为． （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）解不等式． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由已知不等式的解集得到一元二次方程的解,再由韦达定理求出、的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的、的值代入所求的不等式中, 解不等式即可. 试题解析：（Ⅰ）由的解集为知， 且方程的两根为. 由根与系数的关系得，由此得. （Ⅱ）不等式可化为，解得. 所以不等式的解集为. 【考点】1.一元二次不等式与一元二次方程之间的关系；2.韦达定理；3.一元二次不等式的解法. 23.如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（） A．－＜－B．ab＜b2 C．－ab＜－a2D．|a|＜|b| 【答案】A 【解析】由题意得，因为，所以，所以，即，故选A．【考点】不等关系与不等式． 24.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由题意得，因为函数是单调递减函数，因为，所以，故选D. 【考点】不等式的性质. 25.不等式的解集为，则a，c的值为（） A．a=6，c=1B．a=-6，c=-1 C．a=1，c=6D．a=-1，c=-6 【答案】B 【解析】由题可知：，是对应方程的两根，根据韦达定理：，解得： ，选择B。 【考点】1.一元二次不等式的解法；2.方程与不等式。 26.已知，则 A．B．C．D． 【答案】D 【解析】在单调递减，所以当时，，故选D. 【考点】不等式 27.关于的不等式的解集为，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】当时，不等式变为恒成立，当时，不等式变为，解得，不合题题意；当时，由题意得，解得即.所以答案应填： . 【考点】一元二次不等式的解法. 【易错点睛】本题中不等式二次项系数含有参数，未必是是一元二次不等式，学生易忽视，而直接按照一元二次不等式求解导致错误，而应先对二次项系数分类讨论求解，当时，直接验 证，当时，由解得即可.本题考查分类讨论思想及不等式（组）的解法，掌握一元二次不等式的解集与二次项的系数及之间的关系是解答本题的关键，属于中档题. 28.若对一切恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，原不等式化为不恒成立.当时，原不等式化为恒成立.当且时，，解得.综上，的范围是. 【考点】一元二次不等式. 【思路点晴】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.由于不等式最高次项为二次，所以首先考虑二次项系数是否为零，分别令，验证后可得成立.当且时，不等式为一元二次不等式，要小于零恒成立，则需要开口向下且判别式小于零，由此列出不等式组，解这个不等式组，求可以求得的取值范围. 29.下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A中函数在区间（﹣∞，0）上为减函数；B中函数，结合反比例函 数性质可知函数在区间（﹣∞，0）上为增函数；C中函数在区间（﹣∞，0）上为减函数；D中函数在区间（﹣∞，0）上为减函数 【考点】函数单调性 30.已知，则 _____________． 【答案】1 【解析】 【考点】指数知识与对数的关系 31.关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）>0的解集是（） A．（1，2）B．（-1，2） C．（-，-1）（2，+）D．（-，1）（2，+） 【答案】C 【解析】由已知，不等式为，所以或，故选C．32.已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式成立的是（） A．xy>yz B．xz>yz C．x|y|>z|y|D．xy>xz 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，故选D． 33.某运输队接到给灾区运送物资的任务，该运输队有8辆载重为的型卡车，6辆载重为 的型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送救灾物资．已知每辆卡车每天往返的 次数为型卡车16次，型卡车12次．每辆卡车每天往返的成本为型卡车240元，型卡车378元．问每天派出型卡车与型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？ 【答案】每天只派8辆型卡车运输，所花成本最低，最低成本为1920元． 【解析】先列表分析各限制条件：每天至少运送救灾物资，8辆载重为的型卡车，6辆 载重为的型卡车，10名驾驶员，注意实际意义条件限制：卡车辆数为自然数，再根据限制 条件画出可行域，根据目标函数（直线）平移得到最值取法. 试题解析：设每天派出型卡车辆，型卡车辆，运输队所花成本为元， 则． 化简得， 目标函数． 画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示． 由图可知，当直线经过点时，截距最小，解方程组， 得点的坐标为，而问题中，，故点不是最优解． 因此在可行域的整点中，点使取得最小值，即． 故每天只派8辆型卡车运输，所花成本最低，最低成本为1920元． 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地 作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避 免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 34.若则一定有（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】本题主要考查不等关系。已知,所以，所以，故。故选 35.若，，为实数，则下列命题正确的是 A．若，则B．若，则 C．若，则D．若，则 【答案】B 【解析】逐一考查所给选项： A. 若，则 ,该说法错误； B. 若，则，该说法正确； C. 若，则，则，该说法错误； D. 若，则：，两侧除以可得，该说法错误. 本题选择B选项. 36.不等式，对一切恒成立，则的取值范围是 A．B． C．D． 【答案】B 【解析】①当a=2时，不等式恒成立。故a=2成立 ②当a≠2时，要求 解得：a∈(−2,2) 综合①②可知：a∈(−2,2] 本题选择B选项. 点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单． 37.已知两点，，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因过点的直线方程为，即，由题设可得 ，即，也即，应选答案。 点睛：本题的求解方法是借助线性规划的有关知识，将问题进行等价转化，也就是说依据问题的图形特征可知线段的两个端点坐标应分居直线的两侧，将线段的两个端点坐标代入其值的符号相反，即其值的积异号，以此直接建立不等式从而使得问题简捷、巧妙获解。 38.设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（） A．B．a－c＞b－d C．ac＞bd D．a+c＞b+d 【答案】D 【解析】∵，且，，根据同向不等式的可加性，得； ，∴D正确，故选D. 39.已知，那么下列不等式中成立的是 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】由不等式的性质可知，若，则：，，，. 本题选择C选项. 40.已知函数 (1)求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 或. 【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的 解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求 出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围. 试题解析：（1）原不等式等价于 或3分 解得或或 即不等式的解集为5分 （2）8分 或10分. 【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法. 41.若角α，β满足－＜α＜0＜β＜，则α－β的取值范围是（） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】角，满足 ，α－β的取值范围是，故选B. 42.解关于x的不等式 【答案】当a＜0或a＞1时时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当a=0或a=1时，原不等式的解集为φ. 【解析】 根据分类讨论思想分为和三种情况进行讨论 试题解析：解：（1）当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时不等式的解集为 （2）当时，有a2＜a，此时不等式的解集为 （3）当a=0或a=1时，原不等式无解． 综上，当a＜0或a＞1时时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当a=0或a=1时，原不等式的解集为φ. 43.设变量，满足的约束条件，则目标函数的最大值为（）A．12B．10C．8D．2 【答案】B 【解析】 由上图可得在处取得最大值，即 . 44.已知实数满足方程，则的最大值为( ) A．2B．4C．D． 【答案】B 【解析】x,y满足的方程即：, 绘制点满足的关系式如图所示， 很明显，当目标函数取得最大值时，当，即：， 结合目标函数的几何意义可得，最大值为4. 本题选择B选项. 45.已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．B．C．8D． 【解析】 画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最小，，应选答案C。 46.已知正数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】，令，，， ，时等号成立，可得的最大值为9，故答 案为9. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要 正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其 次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成 立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 47.已知且，则下列不等关系正确的是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由题设取，答案A、B、C均不正确，应选答案D。 48.已知正实数满足，则的最小值（） A．2B．3C．4D． 【解析】. 当且仅当，即，时的最小值为3. 故选B. 点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相 等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 49.已知函数． （1）若的解集为，求的值； （2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式（结果用表示）． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【解析】（1）根据不等式解集与方程根的关系得的两个根为-1和3，再根据韦达定理可得．（2）一元二次方程恒成立，得，解得实数的取值范围；（3）当时，先因式分解得，再根据a与1的大小分类讨论不等式解集 试题解析：解：（1）因为的解集为， 所以的两个根为-1和3， 所以，解得． （2）当时，， 因为对任意恒成立，所以， 解得，所以实数的取值范围是． （3）当时，即， 所以， 当时，； 当时，； 当时，． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 50.已知，一元二次不等式对于一切实数恒成立，由又，使 ，则的最小值为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】∵已知a>b,二次不等式对于一切实数x恒成立， ∴a>0，且△=4−4ab⩽0，∴ab⩾1. ∈R,使成立，可得△=0，∴ab=1， 再由∃x ， 当且仅当即时等号成立， 本题选择D选项. 51.（2016年苏州B7）已知实数x、y满足则的最大值为_______. 【答案】7 【解析】画出可行域如下图，目标函数y=2x-z,所以最大值为截距的最小值，由图可知目标函数过 C(3,-1)点，。填7. 52.已知x，y，z∈R+且x+y+z=1则x2+y2+z2的最小值是（） A．1B．C．D．2 【答案】B 【解析】直接利用：（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）2这个柯西不等式求x2+y2+z2的最小值．解：∵（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）2=1， ∴x2+y2+z2≥1×=， 当且仅当x=y=z时取等号， 故 x2+y2+z2的最小值为， 故选B． 点评：本题考查用一般形式的柯西不等式，关键是利用柯西不等式：（x2+y2+z2）×（1+1+1 ）≥ （x+y+z）2． 53.（2014•南昌模拟）对任意x∈R，且x≠0，不等式|x+|＞|a﹣5|+1恒成立，则实数a的取值 范围是（） A．（﹣∞，4）∪ B．（2，8）C．（3，5）D．（4，6） （6，+∞） 【答案】D 【解析】根据|x+|≥2结合题意可得2＞|a﹣5|+1，去掉绝对值，求得不等式的解集． 解：∵|x+|≥2，不等式|x+|＞|a﹣5|+1恒成立， ∴2＞|a﹣5|+1，即|a﹣5|＜1，﹣1＜a﹣5＜1，解得 4＜a＜6， 故选：D． 点评：本题主要考查基本不等式、绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．54.（2014•南昌一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}， 则实数a的值为（） A．1B．2C．3D．4 【答案】A 【解析】由不等式f（x）≤6可得，解得 a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6 的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得 a﹣3=﹣2，从而求得a的值． 解：∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故有不等式f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a， ∴，解得 a﹣3≤x≤3． 再根据不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得 a﹣3=﹣2，∴a=1， 故选：A． 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题． 55.下列函数中，最小值为2的是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】当时，当时，，当且仅当时取等号，由于无解，所以； ，当且仅当时取等号，所以选D. 56.已知关于的不等式， （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式的解集为，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）不合题意，时只需，且，解得即可；（2）不合题意，时只需，且，由此求出的取值范围. 试题解析：（1）不等式的解集是，，且，解得. （2）不等式的解集为，得，且，解得. 57.关于的不等式的解为或，则点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【答案】A 【解析】关于的不等式的解集为或，或 ，点的坐标为，点位于第一象限，故选A. 58.关于的不等式的解集为，则不等式的解为（）A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为关于的不等式的解集为，所以是方程 的两个根，由韦达定理可得，化为， 可得或,解得或，即不等式的解为，故选C. 59.若不等式的解集为｛x|2 为________。 【答案】； 【解析】不等式的解集为,是一元二次方程的两个实数根，，解得，则不等式化为，即，因式分解为，解得，故答案为. 60.函数的最小值为（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】因为，当时，等号成立，即函数 的最小值为，故选B. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 高一数学基本不等式试题 1.设且,则的最小值为________． 【答案】4 【解析】由，当且仅当时等号成立． 故答案为4． 【考点】均值不等式的应用． 2.当时，函数的最小值为 . 【答案】6 【解析】由于，所以函数 【考点】基本不等式的应用. 3.已知，，则的最小值为． 【答案】4 【解析】,由基本不等式得 【考点】基本不等式的应用． 4.设二次函数的值域为[0，+∞），则的最大值是（）A．B．2C．D． 【答案】C 【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为，则,且,即. 欲求的最大值，利用前面关系，建立，由 ，故选C. 【考点】（1）二次函数性质；（2）函数最值；（3）基本不等式. 5.已知，则x + y的最小值为． 【答案】 【解析】，，由，可得，当且仅当 时等号成立，故，故答案为. 【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用. 6.若，则下列不等式正确的是（）. A．B． C．D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得，则；又， . 【考点】基本不等式. 7.若,则的最小值是( ) A．B．1C．2D．4 【答案】C 【解析】． 【考点】基本不等式． 8.已知等比数列，，则其前三项和的取值范围是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由已知得， 当公比时，； 当公比时，， . 【考点】利用基本不等式求最值。 9.（1）阅读理解：①对于任意正实数，只有当 时，等号成立． ②结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时， 有最小值． （2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答） ①若，只有当__________时，有最小值__________． ②若，只有当__________时，有最小值__________． （3）探索应用：学校要建一个面积为392的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面 积的最小值。 【答案】（2）①1 ，2：②3，10（3）游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648 高一数学不等式试卷 一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若a >0，b >0，则不等式－b <1x 1b D.x <1b － 或x > 1a 2.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ） A 、2 b a ab 12 2+< < B 、2 b a 1ab 2 2+< < C 、12 b a ab 2 2<+< D 、 1ab 2 b a 2 2<<+ 3．二次方程2 2 (1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是 A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a << ( ) 4．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+ ，(0, )2 x π ∈C ．2y = D ．1y x =+ - 5．不等式4x ＞x 9的解集是 ( ) (A){x|x ＜- 2 3或x ＞ 23 } (B){x|x ＞- 23 且x ≠ 23 }(C){x|- 23 ＜x ＜0或x ＞ 23 } (D){x|- 23 ＜x ＜ 23 } 6．已知函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a 的取值范围是A ．(1,3) B ．(1,2) C ．[)2,3 D ．[]1,3 ( ) 7．不等式组1 31y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩ 的区域面积是 ( ) A ．12 B ．32 C ．5 2 D ．1 8．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( ) A ．32 B ．21 C ．2 D ．2 3 9、已知正数x 、y 满足81 1x y +=，则2x y +的最小值是（ ） Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10 10．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为 A 、11{|}32x x -<< B 、11 {|}32 x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或 11． 设123)(+-=a ax x f ，若存在)1,1(0-∈x ，使0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5 11<<-a B ．1- a D ．5 1> a 12．如果log a 5 3＜1,则a 的取值范围是 ( ) (A)⎪⎭ ⎫ ⎝⎛53,0 (B)⎪⎭ ⎫ ⎝⎛1,53 (C)⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+∞,5 3 (D)⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛53,0∪(1,+∞) 二、填空题（每小题5分，6小题共30分）： 13．已知x ＞2，则y ＝2 1-+ x x 的最小值是 ． 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{2＜4}，N ＝{2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{＜－2} （B ）{＞3} （C ）{－1＜x ＜2} （D ）{2＜x ＜3} 4、已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. c b a ()-<0 C. cb ab 22< D. ac a c ()->0 5、不等式2 03x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2∞) (C) (-∞3)∪(2∞) (D) (-∞2)∪(3∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切1 02x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有()()的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01,01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(02) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥-<+-=010 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 11、求函数f(x)=34/()的最大值 其中（0 高一数学不等式试题 1.设则xy的最大值为 ( ) A．2B．4C．D． 【答案】A 【解析】略 2.设，且，则（） A．B． C．D． 【答案】Ｄ 【解析】由题意，，又，则，所以，则，，由且，可得，故 3.已知变量，满足则的最小值为__________． 【答案】 【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是． 【考点】线性规划 4.设满足约束条件，则的最大值为（） A．-8B．3C．5D．7 【答案】D 【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7 【考点】线性规划 5.已知实数x、y满足（0 【答案】D 【解析】，是减函数，所以当时，，所以当时，只有成立，而当时，不能确定与的大小，以及与的大小． 【考点】不等式的性质 6.若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A．B．C．D． 【答案】D 【解析】当时，恒成立，当，解得，所以 【考点】含参不等式恒成立问题 7.若实数，满足，则的取值范围是（用区间表示） 【答案】 【解析】且，设， ，则，所以且，所 以且．所以的取值范围是． 【考点】1．基本不等式；2．三角换元求取值范围． 8.设的最小值为_________． 【答案】 【解析】正数满足，， 当且仅当时取等号，所以所求的最小值为。 【考点】基本不等式 9.下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是 A．（1，+∞）B．（0,1）C．（-1,0）D．（-∞，-1） 【答案】D 【解析】当时，不等式为显然无解，当时，不等式为，即 ，所以不等式解集为（-∞，-1），故选择D 【考点】解不等式 10.解关于的不等式： 【答案】详见解析 【解析】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为，第二步，，，讨论两根的大小 高一数学具体的不等式试题 1.已知关于的不等式的解集是，则 . 【答案】2 【解析】化分式不等式为整式不等式，根据解集是得，,方程的两实根分别为，，所以=，a=2 【考点】解分式不等式，二次方程与二次不等式之间的关系. 2.不等式2x－x－1>0的解集是 A．(，1) B．(1，+∞) C．(－∞，1)∪(2，+∞) D．(－∞，)∪(1，+∞) 【答案】D 【解析】不等式2x－x－1>0，即， 所以，其解集为(－∞，)∪(1，+∞)，选D。 【考点】一元二次不等式的解法 点评：简单题，一元二次不等式的解法应首先考虑“因式分解法”。 3.不等式的解集是 . 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式，故可知不等式的解集为 【考点】一元二次不等式 点评：主要是考查了一元二次不等式的求解，属于基础题。 4.若，且，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于，且，那么根据不等式两边同时加上一个数不等式方向不变，不等式的可乘性可知，只有c>0选项B成立，对于C，只有c不为零时成立，对于A，由于c=0不成立，故选D. 【考点】不等式的性质 点评：主要是考查了不等式性质的运用，属于基础题。 5.已知是任意实数，且，则下列结论正确的是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，由于是任意实数，且，当a=0,b=-1,选项A不成立，对于B，由于 a=3,b=2,不成立，对于C，由于,只有a-b>1不等式成立，故排除发选D. 【考点】不等式的性质 点评：主要是考查了对数函数性质以及不等式性质的运用，属于基础题。 6.不等式的解集是； 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式，等价于当x> ,x-1<1, x<2，即当x,得到1- 2x-x<1,x>0,故可知0 3.不 等 式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则 11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2 2； ③2 2,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则 若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则 若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 高一数学具体的不等式试题 1.记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q. （1）若a=3,求P （2）若求正数a的取值范围 【答案】（1）（2） 【解析】 思路分析：（1）解得 （2）化简 由得得到。 解：（1）由得 （2） 由得所以， 即的取值范围是 【考点】集合的概念，集合的运算，简单不等式的解法。 点评：中档题，为进行集合的运算，首先化简集合，明确集合中的元素是什么。 2.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是() A．10B．－10 C．－14D．14 【答案】C 【解析】根据题意，由于不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，那么说明了是ax2＋bx ＋2=0的两个根，然后利用韦达定理可知则a＋b的值是-14， 故选C. 【考点】一元二次不等式的解集 点评：主要是考查了二次不等式的解集的运用，属于基础题。 3.关于x的不等式：的解集为 . 【答案】 【解析】根据题意，由于等价于，故可知不 等式的解集为。 【考点】不等式的求解 点评：主要是考查了不等式的求解，属于基础题。 4.若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】C 【解析】取，可以验证①②③都是正确的，所以正确的有3个. 【考点】本小题主要考查不等式的性质的应用. 点评：遇到考查不等式性质的题目时，要注意特殊值法的应用，这种方法一般情况下简单有效. 5.函数在上满足，则的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到,解得，综上可知为,选D. 【考点】不等式 点评：主要是考查了函数性质的运用，属于基础题。 6.不等式的解集是， 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式 ，故可知答案为 【考点】一元二次不等式的解法 点评：本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解，属于基础题。 7.已知关于的不等式的解集是，则 . 【答案】 【解析】因为，关于的不等式的解集是， 所以，a=。 【考点】一元二次不等式的解集。 点评：简单题，一元二次不等式的解集，可借助于相应二次函数的图象、一元二次方程的根写出。 8.解关于不等式： 【答案】当时，；当时，；当时，；当时，；当时， 【解析】 当时，；当时， 当时，；当时，；当时， 【考点】解不等式 点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方 向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方 程的根的大小 9.已知实数满足，，则的取值范围是． 【答案】 【解析】 【考点】不等式性质 高一数学不等式练习题及答案 一、填空题 1. 若x < 3，则x²的取值范围是________。 2. 解不等式x² + 4x - 5 > 0，得到的解集是________。 3. 若x - 1 ≤ 2 - x，则x的取值范围是________。 4. 若2x - 3 < 5 + x，则x的取值范围是________。 5. 解不等式3(x - 2) + 4 > 2(x + 1)，得到的解集是________。 二、选择题 1. 下列不等式中，解集为(-∞, -4)的是： A. x + 5 > -10 B. x² - 6x - 16 < 0 C. 3x - 2 ≤ 5x + 4 D. x(x - 3) > 0 2. 若a > 3，下列不等式中，解集为(3, 5)的是： A. x² - 2ax + a² < 0 B. x² + 8x + 15 > 0 C. 2x - a < 3x D. x² - 5x + a > 0 三、解答题 1. 解不等式2x - 3 < 5 + 3x，并表示解集。 2. 解不等式(x + 2)(x + 3) > 0，并表示解集。 3. 解不等式x² - 6x + 8 ≤ 0，并表示解集。 四、解答题 1. 解方程组： { 2x - y ≤ 1 { x + y > 3 2. 解方程组： { x + 2y ≤ 4 { x - y > 1 答案： 一、填空题 1. (-∞, 3) 2. (-∞, -5)∪(1, +∞) 3. (-∞, +∞) 4. (-∞, +∞) 5. (-∞, -3) 二、选择题 1. B 2. D 三、解答题 1. 将不等式进行整理得到：2x - 3x < 5 + 3，再化简得到：x > -2。 所以解集为(-2, +∞)。 2. 将不等式进行整理得到：(x + 2)(x + 3) > 0。根据零点的性质可知，x + 2 > 0 且 x + 3 > 0，解得 x > -2 且 x > -3。取交集得到解集为(-2, +∞)。 3. 将不等式进行整理得到：(x - 4)(x - 2) ≤ 0。根据零点的性质可知，x - 4 ≤ 0 且 x - 2 ≥ 0，解得2 ≤ x ≤ 4。所以解集为[2, 4]。 四、解答题 1. 将方程组进行整理得到：y ≥ 2x - 1 和 y < -x + 3。在坐标系中绘 制对应的直线，并观察两条直线的关系，得到如下的解集：(-∞, +∞)。 2. 将方程组进行整理得到：2y ≤ -x + 4 和 y > x - 1。在坐标系中绘 制对应的直线，并观察两条直线的关系，得到如下的解集：(1, +∞)。 试卷3 不等式专题 一、 选择题 1、当1x >时，不等式11 x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,3]-∞ 2、下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x =+ B ．4sin sin y x x =+（0x π<<） C ．4x x y e e -=+ D ．3log 4log 3x y x =+ 3、若实数,a b 满足12a b +=，则ab 的最小值为( ) A 、2 C 、 D 、4 4、设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩ ≤≥≥，则2z x y =+的最小值是( ) A ． B ． C ． D ． 5、若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6、、若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．-2 C ． 12 D ．12- 7、已知正项等比数列{}()n a n N +∈满足5432a a a =+，若存在两项,m n a a 18a =，则19m n +的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 9、已知x ，y ＞0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 10、y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+0 220220 2y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．． ，则实数a 的值为（ ） A ．121-或 B ． 21 2或 C ．2或1 D ．12-或 11、设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－1 12、若,x y 满足约束条件10 040x x y x y -⎧ ⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则y x 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 二、填空题 13、函数4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 14、已知，且，则的最小值为_____________. 高一数学基本不等式试题 1.已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（）. A．xy+有最小值4B．xy+有最小值3 C．x+2y+有最小值11D．xy﹣7+有最小值11 【答案】C 【解析】由，得，由得， 则（当且仅当，即时取等号），；令，则在上为增函数，，排除A,B; 而选项D:; 选项C：（当且仅当，即或时取等号;故选C. 【考点】基本不等式. 2.已知，则x + y的最小值为． 【答案】 【解析】，，由，可得，当且仅当 时等号成立，故，故答案为. 【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用. 3.若，则下列不等式正确的是（）. A．B． C．D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得，则；又， . 【考点】基本不等式. 4.若正数满足，则的取值范围是________________. 【答案】 【解析】，；可化为，， 即，，即. 【考点】基本不等式. 5.在下列函数中，最小值为2的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A中不满足x＞0；B中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；C中，因为0＜lgx＜1，故“=” 取不到；D中 y=3x+3-x≥2，当且仅当 3x=3-x时取等号，此时x存在；故选D． 【考点】基本不等式. 6.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 () A．1B．2C．3D．4 【答案】 【解析】根据选项可知,所以此时不等式左边两项都是正数． 根据基本不等式有,因为恒成立,所以 ,消掉,解得．所以． 【考点】不等式恒成立;基本不等式． 7.已知正数满足，则的最小值为． 【答案】 【解析】. 【考点】基本不等式. 8.在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴，化简后可得： ，∴，又∵，∴，即周长的范围为．【考点】1、余弦定理；2、基本不等式． 9.设实数满足：,则取得最小值时，． 【答案】121 【解析】∵，∴， 上述等号成立的条件依次为：，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．【考点】1、基本不等式；2、不等式的放缩． 10.下列各函数中，最小值为2的是 ()． A．y＝x＋B．y＝sin x＋，x∈ 高一数学不等式试题 1.（本题满分12分）已知函数 （1）当时，求不等式的解集 （2）若关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围 （3）当时，若在内恒成立，求实数b的取值范围。 【答案】，， 【解析】 2.（文）若，则的最大值为． 【答案】文 -4 【解析】（文），当且仅当时等号成立，所以 最小值为 【考点】1．线性规划；2．均值不等式求最值 3.对于任意实数x，一元二次不等式恒成立，则实数a取值范围是（）A．B．C．（－2,2）D． 【答案】C 【解析】试题分析因为一元二次不等式，所以a-2≠0， a-2＜0 4(a-2)2+16(a-2)＜0 解得-2＜a＜2。故选C 【考点】函数不等式的运用 4.设满足约束条件，则的最大值为（） A．-8B．3C．5D．7 【答案】D 【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为 ，当过点时取得最大值7 【考点】线性规划 5.（本题满分10分）解关于的不等式 【答案】当或时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为； 当或时, 不等式解集为． 【解析】首先将原不等式通过十字相乘法分解因式得，然后得到两根与相同时参量的值，再根据与的大小分情况讨论进而借助一元二次函数解不等式． 试题解析：原不等式可化为：，令，可得： ∴当或时，，； 当或时，,不等式无解； 当或时, , 综上所述，当或时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为； 当或时, 不等式解集为． 【考点】（1）含参量一元二次不等式的解法；（2）不等式的基本性质． 6.设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为 A．0B．2C．4D．6 【答案】C 【解析】约束条件对应的可行域为直线围成的三角形区域， ，当直线过交点时取得最大值4 【考点】线性规划问题 7.已知，则的最小值是（） A．10B．C．12D．20 高一数学不等式试题 1.已知求不等式的解集. 【答案】（I）把原不等式移项通分得，…………(2分) 由则可整理得.（※）…………(4分) 当即时，由（※）得………(7分) 当即时，由（※）得…………………(9分) 当即时，由（※）得…………(12分) 综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式无解；当时，原不等式的解集为 【解析】略 2.二次函数的部分对应值如下表： x-3-2-101234 则不等式的解集是。 【答案】 【解析】略 3.设x,y∈R+且xy-(x+y)="1," 则（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】略 4.若关于x的不等式的解集为（1,2），则关于x不等式的解集为． 【答案】 【解析】由题意可得,令,所以,代入不等式得 或,不等式解集为 【考点】一元二次不等式解法与三个二次关系 5.设，且，，则下列结论正确的是（） A．B．C．D． 【解析】根据不等式的性质，知成立，,当就不成立，，当 就不成立，同时也不成立． 【考点】不等式的性质 6.实数，满足不等式组，则目标函数的最小值是（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】如图，先画可行域，，当目标函数过点时，函数取得最小值，所以 ． 【考点】线性规划 7.若实数x，y，且x+y=5，则的最小值是（） A．10B．C．D． 【答案】D 【解析】，，当且仅当即时取 得．故D正确． 【考点】基本不等式． 8.若，且，则的最小值是（） A．B．C．2D．3 【答案】B 【解析】由已知条件可得 （b=c时等号成立），所以，故选B 【考点】不等式和最值计算综合问题 9.若a＜b＜0，则（） A．B．C．D． 高一数学不等式试题 1.下列命题不正确的是 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】略 2.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（） A．10B．8C．2D．0 【答案】B 【解析】根据条件，可知，因为，所以两不等式相减得到， 所以最大值为8 【考点】函数最大最小值 3.已知，． （1）当时，①解关于的不等式； ②若关于的不等式在上有解，求的取值范围； （2）若，证明不等式． 【答案】（1）①时，时，，时， ②（2）详见解析 【解析】（1）代入转化为关于的一元二次不等式，结合二次不等式的解法求解时需要对参数分情况讨论，从而确定方程的两根大小关系；不等式在上有解中将 不等式变形分离出，转化为的形式，转化为函数求值域；（2）首先将代 入化简转化为用表示的函数式，利用求得的范围，进而求得函数的最小值 试题解析：（1）①不等式代入整理为，当时， 时，，时，；②整理得 有解，当时最大值为5，取值范围是 （2），所以 ，即 【考点】1．一元二次不等式解法；2．不等式与函数的转化；3．函数求最值 4.若是正实数，且则的最小值为． 【答案】 【解析】将化简得，令，则。 ①，因为是正实数，所以，则对于①式当时有最小值． 【考点】1．换元法；2．二次函数最值； 5.关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】关于x的不等式的解集是，所以，所以不等式 可化为，从而确定解集； 【考点】1．一元二次不等式的解法；2．一元一次不等式的解集与系数的关系； 6.已知变量，满足则的最小值为__________． 【答案】 【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是． 【考点】线性规划 7.若实数x，y满足则z＝的取值范围是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】作出可行域如图．，表示可行域内的点与点连线的斜率．图中，所以，由图分析可知或 典型例题 例1 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明： b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1) (>-b a b a . ∴ a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 例2已知a 、b 、c R +∈，1a b c ++=，求证1119.a b c ++≥ 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 111a b c ++通分，则会把不等式变得较复 杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如b a a b + ，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数” 的技巧． 证明：∵1a b c ++= ∴ 111a b c ++a b c a b c a b c a b c ++++++= ++ (1)(1)(1)b c a c a b a a b b c c =+ +++++++ 3( )()() b a c a c b a b a c b c =++++++ ∵ 2 2b a b a a b a b + ≥⋅=，同理：2c a a c +≥，2c b b c +≥。 ∴ 11132229.a b c + + ≥+++= 说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数” 的目的. 高一数学不等式试题 1.已知，若存在，使得任意恒成立，且两边等 号能取到，则的最小值为 . 【答案】 【解析】，对于任意恒成立，即为 函数的最小值，为函数的最大值；若两边等号能取到，则至少为的一个周期，所 以最小值为. 【考点】三角恒等变换、不等式恒成立问题. 2. 2010年4月14日清晨我国青海省玉树县发生里氏7．1级强震。国家抗震救灾指挥部迅速成 立并调拨一批救灾物资从距离玉树县400千米的某地A运往玉树县，这批救灾物资随17辆车以 千米/小时的速度匀速直达灾区，为了安全起见，每两辆车之间的间距不得小于千米。设这 批救灾物资全部运送到灾区（不考虑车辆的长度）所需要的时间为小时。求这批救灾物资全部 运送到灾区所需要的最短时间，并指出此时车辆行驶的速度。 【答案】（千米/小时）时，取得最小值为8（小时） 【解析】由题可得关系式为 从而 当且仅当，即（千米/小时）时，取得最小值为8（小时） 3.若不等式的解集是R，则m的范围是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为函数是大于0，所以与x轴无交点，且开口向上，所以有方程组{， 所以解得范围为。 【考点】不等式计算 4.不等式的解集是，则不等式的解集是___． 【答案】 【解析】由已知得：的两个根是或，那么根据根与系数的关系， 解得，代入所解不等式，，解得 【考点】1．二次不等式的解法；2．根与系数的关系． 5.设满足约束条件，则的最大值为（） A．-8B．3C．5D．7 【答案】D 【解析】不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为 ，当过点时取得最大值7 【考点】线性规划 6.若实数满足，则的最小值为（） A．B．2C．D．4 【答案】A 【解析】，，解得，即的最小值为 ． 【考点】基本不等式 7.已知在R上恒满足，则实数的取值范围是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】当a=0时，-1＜0恒成立，当a≠0时，由题意知二次函数必须开口向下，且判别式小于0，，选C． 【考点】恒成立与二次函数的图像性质． 8.已知直线与轴、轴的正半轴分别交于A（，0），B（0，）两点，且满足，O 为坐标原点，则面积的最小值为． 【答案】4 【解析】， 【考点】均值不等式的应用． 9.不等式的解集为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原不等式等价于，变形为，且，所以根据穿 线法，得到解集： 【考点】1．分式不等式的解法；2．高次不等式的解法． 10.已知实数满足约束条件则的最大值是． 【答案】9高一数学基本不等式试题
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