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最新空间直角坐标系专题学案(含答案解析)

第九讲空间直角坐标系

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年月日刘老师学生签名：

一、兴趣导入

二、学前测试

要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系

考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。

2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。

考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。

2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。

例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，

90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ；

(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。

【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。

【规范解答】

E F

C D

X Y

,,//,,,,,,,.

ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面

H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，

1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则

(1)

(0,0,1),

(0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB

(2)

(2,2,0),(0,0,1),0,.

AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.

(3)

1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).

010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==?

??∴=-u u r

u u u r u u u r

Q u u u r u u r g u u u r u u r

g u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）

2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).

00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==??==-??-+==?

??∴=u u r

u u u r u u u r

Q u u u r u u r g u u u r u u r

g u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）

121212121

cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u r

u r u u r g u r u u r u r u u r

即二面角B-DE-C 为60。

【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；

2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；

3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。

4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问

题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用

要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角

考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。 2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。

考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角

设分别为异面直线的方向向量，则

（2）线面角

设是直线l 的方向向量，n r

是平面的法向量，则

2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：

（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。

例2：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1

AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.

（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，

（I ）计算CM SN u u u u r u u u r

、

的数量积，写出答案；（II ）

求平面CMN 的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。

【规范解答】

设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1

,0) （I ）

111(1,1,),(,,0),

222

(II)

(,1,0),

(,,)CMN 022,(2,1,2)

1021

-1-

22|cos |=

SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=?

u u u u r u u u r u u u u r u u u r g u u u r r

r r u u u r

因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o

45角为

【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。

（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。

（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，

要取绝对值。

要点考向3：利用空间向量求二面角

考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。 2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。

考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

其计算公式为：设

分别为平面

的法向量，则θ与

互补或相等，

例3：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；

（2）证明AF ⊥平面

1A ED

（3）求二面角1A ED F --的正弦值。

【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。

【规范解答】方法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系（如

图所示），设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,

31,

,02E ??

???

（1）易得10,,12EF ??= ???u u u r ,1

(0,2,4)A D =-u u u u r ，于是1113cos ,5EF A D EF A D EF A D

==-u u u r u u u u r

u u u r u u u u r g u u u r u u u u r ，所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为

。（2）证明：已知(1,2,1)AF =u u u r ,131,,42EA ??=-- ???u u u r ,11,,02ED ??

=- ??

?u u u r

于是AF u u u r ·1EA u u u r =0，AF u u u r ·ED u u u r

=0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ?=

所以AF ⊥平面1A ED

(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =r ，则0

u EF u ED ?=??=??r u u u r g r u u u r

g ,即102102

y z x y ?+=????-+=?? 不妨令X=1,可得

(1,21u →=-）

。由（2）可知，AF →

为平面1

A ED 的一个法向量。于是2cos

,==3

||AF AF |AF|

u u u →→

→

?，从而5sin ,=

AF u →

→

所以二面角1A -ED-F 的正弦值为

要点考向4：利用空间向量解决探索性问题

考情聚焦：立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题），能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。

例4：如图，圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC-A 1B 1C 1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。

（I ）证明：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1；

（II ）设AB ＝AA 1,在圆柱OO 1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率为p 。

（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；

（ii ）记平面A 1ACC 1与平面B 1OC 所成的角为θ（0

090θ<≤）。当p 取最大值时，求cos θ的值。

【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。立体几何中我们可以利用向量处理角度问题，立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，

均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量b a ρ

ρ,，有|

|||,cos b a b a b a ρρρ

ρρ?>=<，利用这一结论，我们可以较

方便地处理立体几何中的角的问题。

【规范解答】（I ）1⊥Q A A 平面ABC ，?BC 平面ABC ，1∴⊥A A BC ，又AB 是e O 的直径，

∴⊥BC AB ，又1∴?=AC AA A ，∴⊥BC 平面11A ACC ，而?BC 平面11B BCC ，所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC ；

（II ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则12==AB AA r ，故圆柱的体积为23

22=π?=πV r r r ，设三棱柱

ABC-A 1B 1C 1,的体积为1V ，所以1

V P V

，所以当1V 取得最大值时P 取得最大值。又因为点C 在圆周上运动，所以当⊥OC AB 时，?ABC 的面积最大，进而，三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的体积1V 最大，且其最大值为

312222???=r r r r ，故P 的最大值为1

；（ii ）由（i ）知，P 取最大值时，⊥OC AB ，于是，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系-O xyz ，则()()()1,0,0,0,,0,0,,2,C r B r B r r ⊥Q BC 平面

11A ACC ，(),,0∴=-u u u r

BC r r 是平面11A ACC 的一个法向量，设平面1B OC 的法

向量为(),,=r n x y z ，由于1

?⊥??⊥??r u u u r

r u u u r n OC

n OB ，020=?∴?+=?rx ry rz ，

所以平面1B OC 的一个法向量为()0,2,1=-r n ，00

090<≤Q θ，10cos cos ,5

∴θ==r u u u r n BC 。

【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题，本题的（II ）（i ）也可以采用向量法进行证明：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系-O xyz ，设圆柱的底面半径为r ， ()cos ,sin ,0C r r θθ，

则12==AB AA r ，故圆柱的体积为2322=π?=πV r r r ，设三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的体积为1V ，所以1

V P V

，所以当1V 取得最大值时P 取得最大值。21

2cos cos 2

ABC S r r r ?=

??θ=θ，所以当cos 1θ=时的ABC ?的面积最大，进而，三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的体积1V 最大，且其最大值为3

12222???=r r r r ，故P 的最大值为1π

；

【高考真题探究】

1.若向量a r =（1,1,x ）, b r =(1,2,1), c r =(1,1,1),满足条件()(2)c a b -?r r r

=-2,则x = .

【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.

【思路点拨】先算出c a -r r 、2b r

，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x

【规范解答】c a -r r (0,0,1)x =-，2(2,4,2)b =r

，由()(2)c a b -?r r r 2=-

得(0,0,1)(2,4,2)2x -?=-，即2(1)2x -=-，解得 2.x =【答案】2

2.如图，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段

,AB AD 上，

AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF V 翻折成'A EF V ，使平面'A EF BEF ⊥平面.

（Ⅰ）求二面角'

A FD C --的余弦值；

（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长。

【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用

几何法解决求二面角问题和翻折问题。

【规范解答】方法一：（Ⅰ）取线段EF 的中点H ，连结'

A H ，因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，所以'A H EF ⊥,又因为平面'

A EF ⊥平面BEF .

如图建立空间直角坐标系A-xyz ，则'

A （2，2，22），C （10，8，

0），F （4，0，0），D （10，0，0）. 故'FA →

=（-2，2，22），

FD →=（6，0，0）.设n →

=（x,y,z ）为平面'

A FD 的一个法向量，所

以2222060

x y z x ?-++=??=??。取2z =

，则(0,2,2)n =-r

。

又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =r

，故3cos ,3

n m n m n m ??==r r g r r r r g 。

所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）设,FM x =BN a =，则(4,0,0)M x +，(,8,0)N a ，因为翻折后，C 与'A 重合，所以'CM A M =，'CN A N =，

故， 222222

2222(6)80=2222(10)(2)6(22)x x a a ?-++--++

??-=-++??（）（），得214x =，134a =，

所以21

FM =。

3. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB=2， BC =22，E ，F 分别是AD ,PC 的中点.

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF ；

（Ⅱ）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。

【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.

【规范解答】解法一（Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.∵AP =AB=2， BC =22，四边形ABCD 是矩形.

∴A ，B ，C ，D 的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2) 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(0，2，0),F(1，2，1).

∴PC uuu r =（2，22，-2）BF u u u r =（-1，2，1）EF u u u r

=（1,0,1）， ∴PC uuu r ·BF u u u r =-2+4-2=0，PC uuu r ·EF u u u r

=2+0-2=0，

∴PC uuu r ⊥BF u u u r ，PC uuu r ⊥EF u u u r

，∴PC ⊥BF,PC ⊥EF,BF EF F =I ,∴PC ⊥平面BEF

（II ）由（I ）知平面BEF 的法向量1(2,22,2),n PC ==-u r u u u r

平面BAP 的法向量2(0,22,0),n AD ==u u r u u u r 128,n n ∴=u r u u r g

设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则1212

1282cos cos ,,2422

n n n n n n θ====?u r u u r

g u r u u r u r u u r ∴0

45θ=， ∴ 平面BEF 与平面BAP 的夹角为0

4.如题图，四棱锥P ABCD -中，

底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥底面，2PA AB ==，

点E 是棱PB 的中点.

（I ）证明：AE PBC ⊥平面；

（II ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.

【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，

考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想.

【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II ）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.

【规范解答】（I ）以A 为坐标原点，

射线,,AB AD AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A xyz -.如图所示.

设设(0,,0)D a ，则B ,0,0)2(，C (2,,0)a ，P )2(0,0,，

E )22,0,22(。于是22

AE (,0,)22

=u u u r ，BC (0,,0)a =u u u r ，PC (2,,2)a =-u u u r

，则0,0AE BC AE PC ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以,AE BC AE PC ⊥⊥u u u r u u u r u u u r u u u r

，故AE PBC ⊥平面.

（II ）设平面BEC 的法向量为1n u r ，由（Ⅰ）知，AE BEC ⊥平面，故可取122

n EA 022

==-u u r u u u r （，，）.设

平面DEC 的法向量2222,,n x y z =u u r

（）

，则220,0n DC n DF ?=?=u u r uuu r u u r uuu r ，，由AD 1=u u u r ，得D ）,1,00（，G ）,1,02（，从而）,0,02（DC =，22DE ,1,=u u u r （-），故22220220x x y z =??

?-+=?

，所以20x =，222z y =，可取21y =，则2012n =u u r （，，）

，从而121212

cos ,3n n n n n n <>==-u r u u r

u r u u r g u u r u u u r . 【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题.

5. 如图，BCD ?与MCD ?都是边长为2的正三角形，

平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =. （1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.

【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空

间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、划归转化能力和运算求解能力。

【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；

（2）对二面角的求法思路，一般是分三步①“作”，②“证”，③“求”. 其中“作”是关键， “证” 是难点.法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.

【规范解答】取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD .

以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB =OM =3，则各点坐标分别为O （0，0，0），C （1，0，0），M （0，

0，3），B （0，-3，0），A （0，-3，23），

（1）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.

因AM =u u u u r

（0，3，3-），平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =r .则有

32sin cos ,26AM n AM n AM n α?===

=?u u u u r r u u u u r r u u u u r r ，所以45α=o

. （2）(1,0,3)CM =-u u u u r ，(1,3,23)CA =--u u u r

设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，由11n CM n CA

?⊥??⊥??u r u u u u r u r u u u r 得30

3230x z x y z ?-+=??

--+=??. 解得3x z =，y z =，取1(3,1,1)n =u r

.又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =r ，

则111cos ,5n n n n n n

?<>==

?u r r

u r r u r r 设所求二面角为θ，则2125

sin 1()5θ=-=. 6.

已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点. （Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线；（Ⅱ）求二面角M BC B -'-'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M OBC -的体积.

【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、

二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.

【思路点拨】方法一：几何法问题（Ⅰ），分别证明OM AA '⊥，OM BD '⊥即可. y

空间直角坐标系》教学设计

《空间直角坐标系》教学设计（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体（四）教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置，数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数 (x，y)表示；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题. 师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化. 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.培养学生类比的思想.

那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢 O x X 一维坐标二维坐标三维坐标（图）师：引导学生看图，单位正方体OABC –D′A′B′C′，让学生认识该空间直角系O –xyz中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面. 师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系. 让学生通过对一维坐标、二维坐标的认识，体会空间直角坐标系的建立过程. 问题情景3 建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢师：引导学生观察图，生：点M对应着唯一确定的有序实数组(x，y，z)，x、y、z 分别是P、Q、R在x、通过幻灯片展示横坐标、纵坐标、竖坐标产生过程，让学生从图中

空间直角坐标系整理

2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。（2）画法：将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平

空间立体几何建立直角坐标系

空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。故AE ⊥平面A 1BC 。由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。故A 1D ∥AE 。又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4。由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43 ，由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1 8。方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。

知识讲解空间直角坐标系基础

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .

2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 ||d AB == 特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。【答案】11,0,2E ? ? ???，11,,122F ?? ??? 【解析】法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空

空间直角坐标系

4.3 空间直角坐标系重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用. 新知探究: ①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示. ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来. ④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx 平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长. 图1 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x 轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.

建立空间直角坐标系-解立体几何题

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量，则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一﹑直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a （20<