(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题

1．已知抛物线E ：()2

20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于

A ，

B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为

C ，

D 两点，直线AB 交l 于G

点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF

DF

②直线AB 的倾斜角为π4

或3π4 ③F 是AG 的中点

④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④

B ．②③

C ．①②③

D ．①③④

2．已知F 是双曲线2

2

:13

y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．

25

B ．

45

C ．

15

D ．

23

3．已知P 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，

若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4

3

y x =±

B ．34

y

x C ．35

y x =±

D ．53

y x =±

4．(),0F c 是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直

线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ）

A ．

1

2

B 1

C ．

2

D 5．已知定圆2

2

2212:(3)1,

:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与

1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ）

A ．8+

B ．8

C ．16

D ．16

6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线

2

219

x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．已知双曲线22

22:1(0,0),,x y C a b A B a b

-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P

是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积

为定值2，则双曲线的离心率是（ ）

A B C ．2

D 8．已知椭圆2

2:12

x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中

垂线交x 轴于M 点，则

2

||

||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫

⎪⎝

⎭ B ．11,

84⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

C ．11,162⎛⎫

⎪⎝

⎭ D ．11,

82⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

9．设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对

称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．1]

D ．1,1)

10．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且

满足0FA FB FC ++=，则

111

AB BC CA

k k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．2p

11．已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别

相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3

cos 5

ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）

A ．5

B ．3

C ．2

D

12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆

于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）

A ．2

B ．2-

C ．12

-

D ．

12

二、填空题

13．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________

14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原

点，则AOB ∆面积的最小值为__________．

15．已知双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆

上，则双曲线C 的离心率为_____________．

16．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()2

1a

a >的点

的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点

P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12F

PF △的面积2

12

S a ≤

.其中，所有正确的序号是______. 17．已知双曲线C ：22

193

x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的

两条渐近线的交点分别为M ､N .若OMN 为直角三角形，则||MN =________. 18．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于

C ，有下列四个结论： ①曲线C 是轴对称图形；

②曲线C 是中心对称图形；

③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； 其中，所有正确结论的序号是__________．

19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，

()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若

2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.

20．已知双曲线的方程为22

1916

x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4

x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.

三、解答题

21．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.

（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为

1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；

（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求

MF NF +的取值范围.

22．椭圆2

212

x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交

于A B ，两点． 求（1）线段AB 的长； （2）2ABF 的面积．

23．椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中

O 为坐标原点．

（1）求

22

11

a b +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足

36

e ≤≤

，求椭圆长轴长的取值范围． 24．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为

1

2

，其中一个顶点是抛物线243x =-的焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．

25．已知椭圆C ：22

221b

x y a +=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上的任意一

点，已知1

2

PF PF →

→

⋅的最大值为3，最小值为2.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点(M 、N 不是左、右顶点)，点D (-6，4)关于直线6y x =+的对称点为A ，且以MN 为直径的圆过点A ，问直线是否过定点，如果过定点，求出该定点坐标；如果不过定点，请说明理由.

26．椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>

的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，短轴的

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设过点(0,4)的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得

AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．

【详解】

解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =， 则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠， 则2

AFC BFD CFO DFO CFD π

∠+∠=∠+∠=∠=

，

CF DF ∴⊥，故①正确；

设AB 所在直线方程为()2

p

y k x =-

， 联立2()22p y k x y px

⎧

=-⎪⎨⎪=⎩，得22222

(2)04k p k x k p p x -++=．

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

则2

124

p x x =，

又3AF FB =，∴123()22

p p

x x +

=+，即123x x p =+，

联立2

121

243p x x x x p

⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12p

x =-（舍)或132x p =，

则13y p =，即3

(,3)2

A p p ，

则

33

31

22

FA P

k p p =

=-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确 由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为

23

π

，故②错误． 由3

(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2

p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；

故选：D ． 【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．

2．B

解析：B 【分析】

当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF

=+.

【详解】

由题意，双曲线2

2

:13

y C x -=中，2221,3,4a b c ===，

设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()

2

22324MF =+=，

根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为

26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，

当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，

此时直线ME 的方程为)32y x =+，

联立)221332y x x y ⎧==+-

⎪⎨⎪⎩

，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭

， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，

则2

2

22

533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

614544=+=， 所以椭圆的离心率4

5

EF

e QE QF ==+.

故选：B. 【点睛】

本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

3．A

解析：A 【分析】

结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】

设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，

由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==， 则22442NP c a b =

-=，

即有24PF b =，

由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，

所以()2

22

2b a a b -=+，

化简得2

434,34,

3

b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43

y x =±. 故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.

4．B

解析：B 【分析】

设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】

如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF

PF ，

2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，

又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，

12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，

又2

2

211PF PF

F F +=，即()()22

222a c c c -+=，

整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.

【点睛】

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

5．A

解析：A 【分析】

将动圆C 的轨迹方程表示出来：22

1167

x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关

系得到最值. 【详解】

定圆()2

2

1:31C x y ++=， 圆心()13,0C -，半径为1

()2

22349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.

动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，

设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为

22

22

1(0)x y a b a b +=>> 所以4a = ，2

2

2

9c a b =-= ，则其方程为：22

1167

x y +=

由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+

当2,,C C M 三点不共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+<=+ 当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号） 故选：A

【点睛】

关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为

128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M

三点是否共线讨论，属于中档题.

6．C

解析：C 【分析】

根据中位线性质得到22111

()22

OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】

如图所示：延长1F H 交2PF 于B

12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，

在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，

⇒22111()322

OH BF PF PF a ==-==

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将21

2

OH BF =

是解题的关键. 7．B

解析：B 【分析】

设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2

可求得2

2b a

，从而可得离心率c e a =．

【详解】

根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则2222

22221,1m n k t a b a b -=-=，

,PA PB t n t n

k k k m k m

-+=

=-+， 所以22

22

PA PB t n t n t n

k k k m k m k m

-+-⋅=

⋅==-+-22

2

22222222

(1)(1)t n b t n a

a a

b b

-==+-+，所以双曲线

的离心率c e a === 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．

8．B

解析：B 【分析】 当l ：0y =时，

2

||1

||8

FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()2

22210m

y my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得

21,02M m ⎛⎫

- ⎪+⎝⎭

，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建

立

2

||

||FM AB 求解. 【详解】

椭圆2

2:12

x C y +=的左焦点为()1,0F -,

当l ：0y =

时，(

))

(),,0,0A B

M

，1,FM AB ==

所以2

||1

||8

FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22

1

12

x my x y =-⎧⎪

⎨+=⎪⎩，可得： ()2

22210m

y my +--=，

由韦达定理得：12212222

12m y y m y y m ⎧

+=⎪⎪+⎨-⎪=

⎪+⎩，

取AB 中点为22

2,22m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭

， 所以AB 的中垂线方程为：

2212:22

DM m l x y m m m ⎛⎫=-

-- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得2

1,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭

， 所以221

||2

m MF m +=+，

又

()

()

2

22

2281||2m AB m +=

=+， 所以2222||121111=1(,)||818184

FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫

∈⎪⎢⎣⎭

， 故选：B. 【点睛】

思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长为()()22

2212121212()(1)4AB x x y y k x x x x ⎡⎤=

-+-=+-⋅⎣+⎦

()122

1221(41)y y y y k

+-⋅⎡⎤=+

⎣⎦ (k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．

9．A

解析：A 【分析】

设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设

'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到

2

22m n c n m b

+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得

到22b a 的范围，然后由2

2

1c b e a a

==-求解. 【详解】 如图所示：

设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，

在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，

所以2

22m n c n m b +=，

令m t n =，得2

212t c t b

+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得

[]1,2m

t n

=∈，

所以221252,2c t t b ⎡⎤

+=∈⎢⎥⎣⎦，

所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，

所以c e a ==⎣⎦

，

所以离心率的取值范围是2⎣⎦

， 故选：A. 【点睛】

本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

10．A

解析：A 【解析】

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(

,0)2

p

F ∵0FA FB FC ++

= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222

p p p

x y x y x y -

+-+-= ∴1230y y y ++=

∵2221212121211

()122AB y y x x y y p k y y y y p

--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，

311

2CA y y k p +=. ∴

3231123212()111

02222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p

+++++++=++== 故选A.

11．A

解析：A 【分析】

在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】

在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5

ABF ∠=

， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．

设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．

||16BF ∴'=，||10FF '=．

2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5c

e a

∴=

=． 故选：A.

【点睛】

本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

12．C

解析：C 【分析】

先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】 由题得

2222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，

所以222222

11222222

22b x a y a b b x a y a b

⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得22

12121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以22

12122()2a ()0b x x y y -+-=，

所以22

1212()

240()

y y b b

x x -+=-，

所以1120,2

k k +=∴=-. 故选：C

【点睛】

本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

二、填空题

13．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦

解析：22

1259

x y +=(0)y ≠

【分析】

根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点 【详解】

ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，

、()40B ，，周长为18 810AB BC AC ∴=+=，

108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，

∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆 210283a c b ==∴=，，

∴椭圆的标准方程是221259x y += ()0y ≠

故答案为22

1259

x y += ()0y ≠

【点睛】

本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．

14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中

解析：9

8

【解析】 抛物线焦点为3,04⎛⎫

⎪⎝⎭

，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小， 将34x =

代入23y x =，解得3

2

y =±，故1339

22428OAB

S =

⨯⨯⨯=，故答案为98

. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将

其分开，即可得121

2

OAB

OFB OFA S

S

S OF y y =+=

-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.

15．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为

解析：

2

【分析】

利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF

和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．

【详解】

由题意可得2c =，则2124F F c ==．

因为直线l 的斜率是3，则12sin PF F ∠=

，12cos PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，

所以11212cos PF F F PF F =∠=，21212sin PF F F PF F =∠=，

则2125

PF PF a -=

=

，故双曲线C 的离心率为2c a =．

【点睛】

本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．

16．②④【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数利用直接法设动点坐标为及可得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于①由题意设动点坐标为则利用题意及两点间的距离公式的得

解析：②④ 【分析】

由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >，利用直接法，设动点坐标为(,)x y ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断． 【详解】

解：对于①，由题意设动点坐标为(,)x y ，则利用题意及两点间的距离公式的得：

22224[(1)][(1)]x y x y a ++-+=，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；

对于②，把方程中的x被x

-代换，y被y-代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；

对于③

，221

y x

=--，2242

11

y x a

∴

+=--，P

∴到原点的距离不，当P在y轴时取等号，此时12

PF PF a

==，

12

2

PF PF a

+=故③错误；

对于④，由题意知点P在曲线C上，则△12

F PF 的面积

12

1

2

2

F PF

S y y

=⨯⨯=，由①知22

1

y x

=--或22

1

y x

=--t，则

24

2

4

t a

x

-

=，

2444

22

1

1(2)

4444

t a a a

y t t

-

∴=--+=--+，

12

222

1

2

F PF

S y a

∴=，故④正确．

故答案为：

②④．

【点睛】

本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．

17．【分析】先由题意得到渐近线方程为：右焦点或分别讨论两种情况求出两

点间距离即可得出结果【详解】因为双曲线的渐近线方程为：右焦点因此渐近线夹角为即因为为直角三角形所以或当时可得所以所在直线方程为：由解得

解析：

【分析】

先由题意，得到渐近线方程为：

3

y x

=±，右焦点()

F，OM MN

⊥或

ON MN

⊥，分别讨论OM MN

⊥，ON MN

⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出结果.

【详解】

因为双曲线

22

1

93

x y

-=

的渐近线方程为：y =，右焦点()

F，

因此渐近线夹角为60，即60

MON

∠=，

因为OMN

为直角三角形，所以OM MN

⊥或ON MN

⊥，

当OM

MN

⊥

时，可得

MN

k=MN

所在直线方程为：

y x

=-，

由

y x

y x

⎧=-

⎪

⎨

⎪=

⎩

解得：

3

x

y

⎧=

⎪

⎨

=

⎪⎩

，由

y x

y x

⎧=-

⎪

⎨

⎪=

⎩

解得：

3

2

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

，

所以MN==；

当ON MN ⊥

时，可得MN k =MN

所在直线方程为：y x =-，

由

3y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，由

3y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩

解得：3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，

所以MN ==

综上，MN =

故答案为： 【点睛】

本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

18．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣

解析：①② 【分析】

由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -

标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断． 【详解】

由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：

=

对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确

对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确； 对于③，令y ＝0

=

x 21>，此时对应的点不

在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误． 故答案为：①② 【点睛】

本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.

19．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计

解析：6

【分析】

由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13

||||22

CF AB p =

=，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用

1

3

ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.

【详解】 解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，3

||2CF p =，||||AB AF =.

AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，

13||||22CF AB p ∴=

=，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得5

2

A x p =，代入可取

5A y p =，

111

3535332

ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得6p =．

故答案为:6．

【点睛】

本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.

20．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的 解析：4+61【分析】

设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．

【详解】

解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，

(5,0)，

湖北仙桃中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题 1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0 B ． 12 C ．1 D ．2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为 A B C D 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 4．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ， 使得12120F PF ︒ ∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．0,2⎛ ⎝⎦ B ．110,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11212⎫ ⎪⎢ ⎣⎭ D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A ． B ．2 C D 6．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为 （ ） A ．22+1164x y = B ．22+1416x y = C ．22148x y -= D ．22 184 x y -= 7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22 221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的 右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A ． 1 2

上海民办迅行中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题 1．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[] ()1,01,-+∞ 2．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲 线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A B C D ． 2 3．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点， 若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4 3 y x =± B ．34 y x C ．35 y x =± D ．53 y x =± 4．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．过原点O 的直线交双曲线E ：22 221x y a b -=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一 象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若 222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（ ） A ． 5 B C D 6．已知圆2 2 2 1:(0)C x y b b +=>与双曲线22 222:1(0,0)-=>>x y C a b a b ，若在双曲线2C 上 存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎦ B ．⎫ +∞⎪⎪⎣⎭ C ．( D ．) +∞ 7．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ）

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题 1．已知离心率2 e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原 点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1，则实数a 的值为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4 2．已知抛物线E ：()2 20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于 A ， B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为 C ， D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF DF ②直线AB 的倾斜角为π4 或3π4 ③F 是AG 的中点 ④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 3．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、 B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．( B ．(1,1 C ． ) +∞ D ．() 1++∞ 4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若 1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 2 D ． 3 5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ） A ．4 B C ．D ．2 6．已知圆2 2 2 1:(0)C x y b b +=>与双曲线22 222:1(0,0)-=>>x y C a b a b ，若在双曲线2C 上 存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎦ B ．,2⎫ +∞⎪⎪⎣⎭ C ．( D ．) +∞ 7．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且

上海民办交华中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测题(含答案解析)

一、选择题 1．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ） A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x = D ．23y x = 2．设双曲线C ：22 221x y a b -=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双 曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ． 3 2 C ． 54 D ． 53 3．已知椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直 线2 a x c =上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A ．1[,1)2 B ．2[,1)2 C ．51[,1)2 D ． 2⎛ ⎝⎦ 4．已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,23 M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ． 25 B ． 45 C ． 15 D ． 23 5．若点) 30， 到双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >)2的离心率为（ ） A 3 B 6 C 36 D ． 33 6．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若 126 MF F π ∠= ，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ）

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测题(含答案解析)(1)

一、选择题 1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ． B C ．13 - D ． 13 2．若点) 0到双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >)的离心率为（ ） A B C D 3．(),0F c 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直 线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 1 2 B 1 C D 4．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左 焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[ 42 ，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A ． B ．[1 , 2] C ．[4 8]， D ． 5．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若 126 MF F π ∠= ，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ） A B C 1 D 1 6．已知双曲线22 21(0)x y a a -=>与椭圆22183 x y +=有相同的焦点，则a =（ ） A B ．C ．2 D ．4 7．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．点A 、B 分别为椭圆2 214 x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q

西安电子科技中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)

一、选择题 1．设F 为双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1B C ．2D ．4+2．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左 焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范 围为，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A ． B ．[1 , 2] C ．[4 8]， D ． 3．P 是椭圆22 1169 x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k 的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 4．已知双曲线22 21(0)x y a a -=>与椭圆22183 x y +=有相同的焦点，则a =（ ） A B ．C ．2 D ．4 5．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22 143 x y +=上，设它的三条边AB ，BC ， AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ， 2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则 123 111 k k k ++=（ ） A ．43 - B ．3- C ．1813 - D ．32 - 6．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且 12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12 11 e e +的值为（ ） A ．2 B ．3 C ． 32 D ． 52

第三章 圆锥曲线的方程(单元测试卷)(附答案)—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程（单元测试卷） (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a(a>0)，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标 准方程为( ) A.x 236＋y 2 32＝1 B ．x 29＋y 2 8＝1 C.x 29＋y 2 5 ＝1 D ．x 216＋y 2 12 ＝1 3.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→ ＝－4，则点A 的坐标为( ) A ．(2，±2 2) B ．(1，±2) C ．(1,2) D ．(2,22) 4.若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( ) A. 5 B ．52 C ．3 D ． 3 5.方程为mx 2＋ny ＝0和mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)的两条曲线在同一坐标系中可以是( ) 6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的离心率为( ) A.1 2 B ．3 3 C.32 D ． 22 7.若双曲线x 23－y 2b 2＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1 4，则该双曲线的虚轴长 是( ) A ．2 B ．1 C. 55 D ．25 5

河南大学附属中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)

一、选择题 1．已知椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直 线2 a x c =上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A ．1[,1)2 B ．[,1)2 C ．1[,1)2 D ． ⎛ ⎝⎦ 2．设F 为双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4+3．已知抛物线 E ：()2 20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于 A ， B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为 C ， D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF DF ②直线AB 的倾斜角为π4 或3π4 ③F 是AG 的中点 ④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 4．已知直线2y kx =+与椭圆22 19x y m +=总有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥ B ．09m << C ．49m ≤< D ．4m ≥且9m ≠ 5．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于 ,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 6．已知点F 是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点 且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆 222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由点P 位置决定

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2 ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点， 且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ． 1 3 B ． 32 C ． 12 D ．1 2．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ） A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x = D ．23y x = 3．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[] ()1,01,-+∞ 4．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与 另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A 23B 3C 2D ．2 5．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于 ,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 6．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且 12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12 11 e e +的值为（ ） A ．2 B ．3 C ． 32 D ． 52

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)(3)

一、选择题 1．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的 右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒ ∠=∠=，若 2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B ．y = C ．y = D ．2y x =± 2．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点， 若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4 3 y x =± B ．34 y x C ．35 y x =± D ．53 y x =± 3．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ． 23 B ．2 C ． 34 D ．3 4．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ， 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)+∞ B ． C ．)+∞ D ． 5．已知点F 是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点 且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆 222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由点P 位置决定 6．圆2 2 : ()4M x m y -+=与双曲线22 22:1(0,0 ) y x C a b a b -=>>的两条渐近线相切 于A B 、两点，若||1AB =，则 C 的离心率为（ ） A B ． 15 C ． 14 D ．4 7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为 4 3 ，则抛物线方程为 （ ）

成都四川师范大学附属中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题 1．已知离心率为2的双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲 线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且 124d d +=，则双曲线的方程为（ ） A ．22 3144 x y -= B ．22 4134x y -= C ．22 1124x y -= D ．221412 x y -= 2．已知过抛物线()2 20y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线于点M .若2BM =，3AF =，则AB =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．过抛物线24y x =焦点F ，斜率为k （0k >）的直线交抛物线于A ，B 两点，若 3AF BF =，则k =（ ） A B ．2 C D ．1 4．已知定圆2 2 2212:(3)1, :(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与 1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ） A ．8+ B ．8 C ．16 D ．16 5．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若 126 MF F π ∠= ，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ） A B C 1 D 1 7．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．设P 为椭圆22 :1169 x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点， 125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)(4)

一、选择题 1．已知离心率为3 的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭 圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于 点D ，若8 3 CD =，则直线AP 的斜率为（ ） A ． 16或 1 20 B ． 121 C ． 16或 1 21 D ． 13或120 2．设F 为双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4+ 3．已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ． 25 B ． 45 C ． 15 D ． 23 4．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、 B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．( B ．(1,1 C ． ) +∞ D ．() 1++∞ 5．P 是椭圆22 1169 x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k 的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 6．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的 右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A B

上海上海理工大学附属初级中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题 1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 2．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[] ()1,01,-+∞ 3．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲 线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A B C D ． 2 4．已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ． 25 B ． 45 C ． 15 D ． 23 5．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ， 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)+∞ B ． C ．)+∞ D ． 6．圆2 2 : ()4M x m y -+=与双曲线22 22:1(0,0 ) y x C a b a b -=>>的两条渐近线相切 于A B 、两点，若||1AB =，则 C 的离心率为（ ） A B ． 15 C ． 14 D ．4 7．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且

(北师大版)天津市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)

一、选择题 1．已知直线2y kx =+与椭圆22 19x y m +=总有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥ B ．09m << C ．49m ≤< D ．4m ≥且9m ≠ 2．P 是椭圆221169 x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k 的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 3．圆2 2 : ()4M x m y -+=与双曲线22 22:1(0,0 ) y x C a b a b -=>>的两条渐近线相切 于A B 、两点，若||1AB =，则 C 的离心率为（ ） A B C ． 14 D ．4 4．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且 12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12 11 e e +的值为（ ） A ．2 B ．3 C ． 32 D ． 52 5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A ．9 B ．9C ． 71 12 +D ． 83 12 6．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点 ()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．24480y x y -++= B ．22220y x y +-+= C ．2210y x y ---= D ．24250y x y +-+= 7．已知抛物线()2 20y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则

哈尔滨市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题 1．已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=>>的离心率为 3 ，直线l与椭圆C交于,A B两点，且线段AB的中点为() 2,1 M-，则直线l的斜率为（） A． 1 3 B． 3 2 C． 1 2 D．1 2．如图，过抛物线22 y px =（0 p>）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若2 BC BF =，且6 AF=，则此抛物线方程为（） A．29 y x =B．26 y x =C．23 y x =D．23 y x = 3．已知抛物线22 y px =（0 p>）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且3 AF FB =，则点A到y轴的距离为（） A．5 B．4 C．3 D．2 4．设抛物线24 y x =的焦点为F，以F为端点的射线与抛物线相交于A，与抛物线的准线相交于B，若4 FB FA =，则FA FB ⋅=（） A．9 B．8 C．6 D．4 5．设1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，P是的一个公共点，且12 PF PF <，线段 1 PF的垂直平分线经过点 2 F，若 1 C和 2 C的离心率分别为 1 e， 2 e，则12 11 e e +的值为（） A．2 B．3 C． 3 2 D． 5 2 6．已知1F、2F是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F的直线与椭圆交于P、Q两点，1 PQ PF ⊥，且 11 2 QF PF =，则 12 PF F △与 12 QF F的面积之比为（）A．23B21 C21D．23 + 7．若圆222210 x y ax y +-++=与圆221 x y +=关于直线1 y x =-对称，过点 () 2, C a a -的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）

上海民办复旦万科实验学校高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(包含答案解析)

一、选择题 1．如图，已知1F 、2F 双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 6 D 423 2．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．2) C ．(3,)+∞ D ．3) 3．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △内切圆的半径大于312 ，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．3⎛ ⎝⎦ B ．110,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31112⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（ ） A ．3) B ．(3,)+∞ C ．333⎛- ⎝ D ．(2,3)

5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ） A ．4 B ．2 C ．42 D ．2 6．已知1F 、2F 是双曲线C ：2 214 y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ． 13 B ．12 C ．2 D ．3 7．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．24480y x y -++= B ．22220y x y +-+= C ．2210y x y ---= D ．24250y x y +-+= 8．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（ ） A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．圆 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线 交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则 ①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ； ③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；