上海民办迅行中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题

1．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数

a 的取值范围是（ ）

A ．(][),10,1-∞-

B ．(]1,1-

C ．[)1,1-

D ．[]

()1,01,-+∞

2．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲

线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A B C D ．

2

3．已知P 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，

若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4

3

y x =±

B ．34

y

x C ．35

y x =±

D ．53

y x =±

4．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线

2

219

x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．过原点O 的直线交双曲线E ：22

221x y a b

-=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一

象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若

222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（ ）

A ．

5

B C D 6．已知圆2

2

2

1:(0)C x y b b +=>与双曲线22

222:1(0,0)-=>>x y C a b a b

，若在双曲线2C 上

存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．⎛ ⎝⎦

B ．⎫

+∞⎪⎪⎣⎭

C ．(

D ．)

+∞

7．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

8．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22

221x y a b

-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的

右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）．

A

B ．

2

C 1

D 9．已知1F 、2F 是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于

P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF

F △与12QF F 的面积之比为（ ）

A ．2

B 1

C 1

D ．2+10．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点

()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）

A ．24480y x y -++=

B ．22220y x y +-+=

C ．2210y x y ---=

D ．24250y x y +-+=

11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（ ）

A ．设,A

B 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；

B ．过定圆

C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1

()2

OP OA OB =

+，则动点P 的轨迹为椭圆；

C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

D ．双曲线22

1925x y -=与椭圆2

2135y x +=有相同的焦点.

12．双曲线2

214

x y -=的离心率为（ ）

A B C D 二、填空题

13．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两

点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______. 14．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.

15．双曲线22

1(0)x y mn m n

-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重

合，则m n ⋅的值为___________

16．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线

:(10)l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0

OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.

17．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐

标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫

⎪=>=+= ⎪⎝⎭

⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________.

18．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则

PF

PA

的最小值为 ________. 19．某桥的桥洞呈抛物线形(如图)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为___________米（精确到0.1米）

20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，

()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若

2AF CF =，且ACE △的面积为35p 的值为______.

三、解答题

21．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足

2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．

（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；

（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为

2

3

-

，求实数λ的值. 22．已知双曲线2

2:

145

x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线

C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）． （1）若3PF FQ =，求直线l 的方程； （2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：

1

2

k k 为定值． 23．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；

（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 24．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.

（1）求线段AB 的长度.

（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由. 25．在平面直角坐标系中，(10,2C -，圆(2

22:212C x y +=，动圆P 过1C 且与

圆2C 相切.

（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；

（2）若直线l 过点()0,1，且与曲线C 交于A 、B ，已知AB 的中点在直线1

4x =-上，求

直线l 的方程.

26．已知抛物线y 2=2px (p >0)上的点T (3，t )到焦点F 的距离为4. （1）求t ，p 的值；

（2）设抛物线的准线与x 轴的交点为M ，是否存在过点M 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，使得直线AF 与直线OB 垂直？若存在，求出△AFB 的面积，若不存在，请说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3y

x ，0y <时，

3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无

其它交点，把3y x

代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨

论，可得结论 【详解】

解：由3y x =+，可得0y ≥时，3y

x

，0y <时，3y x =--，

所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，

为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将

3y x

代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满

足题意，

因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以

9(1)

01a a

-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】

此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题

2．B

解析：B 【分析】

首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】

不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中

点，所以1

2:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1

23

1

AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得2

2

2

2

1492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以72

c e a ==.

故选：B 【点睛】

本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.

3．A

解析：A 【分析】

结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】

设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，

由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==， 则22442NP c a b =

-=，

即有24PF b =，

由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，

所以()2

22

2b a a b -=+，

化简得2

434,34,

3

b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43

y x =±. 故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.

4．C

解析：C 【分析】

根据中位线性质得到22111

()22

OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】

如图所示：延长1F H 交2PF 于B

12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，

在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，

⇒22111()322

OH BF PF PF a ==-==

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将21

2

OH BF =

是解题的关键. 5．D

解析：D 【分析】

根据题意得1F A AB ⊥，设22BF m =，则23CF m =，13AF m =，再结合双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=，故在1Rt F

AB 中由勾股定理得1514m a =，在12Rt F AF △中结合勾股定理和1514m a =，得222553c a =，进而得答案..

【详解】

设1F 为双曲线E 的左焦点，连接112,,AF

BF CF ， 取2AF 的中点M ，由2=OA OF ，得OM AB ⊥，又O 为12F F 的中点，故

1F A AB ⊥，

设22BF m =，则23CF m =，由1211

||||||22

OM AF CF =

=得13AF m =. 根据双曲线的定义得1222,32BF a m AF m a =+-=， 在1Rt F AB 中，有()()()2

2

2

35222=m m a m a -++， 化简得1514m a =，

在12Rt F AF △中，有()()()2

2

2

3322m m a c +-=， 结合1514m a =，得222553c a =，所以53

5

e =. 故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键在于根据已知得1F A AB ⊥，同时注意到该题构成了焦点三角形，故借助定义，利用三角形的边角关系即可222553c a =，进而求解.考查运算求解能力，是中档题.

6．B

解析：B 【分析】

根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线

2b ，设点(),P x y ，则利用

22

2

2

2

212x OP x y x b b a ⎛⎫

=+=+-= ⎪⎝⎭

有解求出离心率e 的取值范围.

【详解】 如图所示，

设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆222

1:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b =

=，

设点(),P x y ，则22

2

2

2

212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭

有解，整理得22

2

23c x b a =有解，即222

2

3a b x c

=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222

b c a =-，故22233c a c -≥，解得6

2c e a =

≥

. 故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.

7．C

解析：C

可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x =

【详解】

已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =，

可得24y x =

设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+

与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=

124y y ∴=-，()212

12116y y x x ∴==① 又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+②

根据①②解得13x =

点A 到y 轴的距离为3

故选：C

【点睛】

抛物线中焦半径公式如下：

抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12p AF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.

8．C

解析：C

【分析】

由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．

【详解】

∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，

即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，

∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF

PF =，

∴1230PF F ∠=，

又212

PF PF a -=，∴2PF =

212

1sin 302

PF F F ==== ∴21)a c =，1=

=c e a

， 故选：C ．

关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．

9．D

解析：D

【分析】 设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得

433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433

t a =+计算即可得解. 【详解】 可设1PF t =，则1122QF PF t ==，

1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，

由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，

则22211PQ PF QF +=，即()2

22434a t t t -+=， 即有433a t t -=，解得33

t =+， 则12PF F △与12QF F 的面积之比为

()12

12222231233238222

31233PF F QF F a a S PF a t S QF a t a --+=====+---+△△.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.

10．D

【分析】

首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程.

【详解】

由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-， ()()22

22222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =， 所以2111

a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -

设(),P x y ，由条件可知PC x =

x =，

两边平方后，整理为24250y x y +-+=.

故选：D

【点睛】

方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：

1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.

2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.

3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 11．C

解析：C

【分析】

①根据双曲线定义可得出判断；

②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；

③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；

【详解】

①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确；

②∵()

12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；

③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12

可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；

④由双曲线22

1925

x y -=可得c ，其焦点(，同理可得椭圆2

2135

y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误； 综上可知：其中真命题的序号为 ③．

故选：C ．

【点睛】

本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题． 12．C

解析：C

【解析】

双曲线2214x y -=中，222224,1,5,2

a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.

二、填空题

13．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上

解析：

2 【分析】

画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．

【详解】

解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，

所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =， 可得222162cos a b c bc AOF =+-∠，

22242cos a b c bc COF =+-∠，

可得22222202242a b c c a =+=-，

即：22112a c =，

所以双曲线的离心率为：e =

．

故答案为：2

．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．

14．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物 解析：23⎛- ⎝⎭

【分析】

由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．

【详解】

解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．

由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，

由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2

θ=． tan 3θ∴=

则AB 所在直线方程为3(1)y x =-．

联立23(1)4y x y x

⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=． 解得：13

x =或3x =， 因为点A 在x 轴上方 所以(3,23)A ，1

23,3B ⎛ ⎝⎭

由2y x =，得1y x '=， 2y x =-得1y x '=- ∴313|33x y ='==，131|313

x y ='=-=-， 即AM 、BM 所在直线的斜率分别为

33、3-． 3:23(3)3AM y x ∴-=-，231:3()33

BM y x +=-- 所以323(3)32313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩

解得1233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ M ∴的坐标为23(1,

)3-． 故答案为：23(1,)3

-．

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．

15．【分析】由题即可求得对的正负分类即可表示出再利用双曲线离心率为2列方程即可求得问题得解【详解】由题可得：抛物线的焦点坐标为所以双曲线中方程表示双曲线所以同号当同正时则解得：则此时当同负时则解得：则此

解析：316

【分析】

由题即可求得1c =，对,m n 的正负分类，即可表示出22,a b ，再利用双曲线离心率为2列方程，即可求得,m n ，问题得解．

【详解】

由题可得：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，

所以双曲线中1c = 方程()2210x y mn m n -=≠表示双曲线 所以,m n 同号. 当,m n 同正时，54a b =-，则12c e a m =

==，解得：14m = 则222314n b c a m ==-=-=，此时1334416

m n ⋅=⨯=. 当,m n 同负时，22,a n b m =-=-，则12c e a n =

==-，解得：14n =- 则222314m b c a n -==-=+=

，此时1334416m n ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述：316

m n ⋅=

【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线标准方程的,,a b c 的识别，考查计算能力，属于中档题．

16．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故 解析：

102 【分析】

取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.

【详解】

如图，

取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，

因为22()0OP OF PF +⋅=，

所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.

因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥. 由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，

由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，

故2||2PF =，122PF a =+.

在12Rt PF F 中，由勾股定理得

2221122||||PF PF F F +=， 即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，

解得2a =.

故双曲线C 的离心率为102

c a =. 故答案为：

102

【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

17．【分析】延长交于点由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线结合双曲线定义可求得利用中位线性质可求得进而得到结果【详解】延长交于点如下图所示：为的角平分线又为线段的垂直平分线由双曲线定义知：分别为 解析：64π

【分析】

延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1

FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】

延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：

22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭

，PN ∴为2QPF ∠的角平分线， 又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.

由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，1

41216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182

ON F Q ∴=

=， ∴以O 为圆心，

ON 为半径的圆的面积64S π=. 故答案为：64π. 【点睛】

本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.

18．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线 【分析】 过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求

PF PA 最小，转化为sin PM PAM PA

=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

【详解】

由题意可得，抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，过P 做PM 垂直于准线，M 为垂足，如图所示。由抛物线定义可得PF PM =，则

sin ,PF PM PAM PA PA

==∠PAM ∠为锐角，故当PAM ∠最小时，PF PA 最小，即当PA 与抛物线相切时，PF PA

最小。 设直线PA 斜率为k ，所以直线PA 的方程为(1)y k x =+，与抛物线联立2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩

可得2222(24)0k x k x k -++=，因为相切，所以方程只有一个实根，故

2222(24)40k k k ∆=--⨯⨯=，解得21k =，1k =±，不妨令1k =，此时

45PAx ∠=︒，45PAM ∠=︒，所以2sin 452PF PM PA PA ==︒=。 故答案为22

【点睛】

本题考查抛物线的定义，图形的几何性质，难点在于分析出当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，再联立方程求解即可，属中档题。

19．【分析】首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程根据抛物线上的点确定方程再通过求出点的坐标即可得到答案【详解】如图建立空间直角坐标系：设抛物线为由题知：抛物线过所以解得即抛物线方程为当时所以桥洞顶 解析：2.6

【分析】

首先根据题意建立直角坐标系并设出抛物线方程，根据抛物线上的点确定方程，再通过求出点的坐标，即可得到答案.

【详解】

如图建立空间直角坐标系：

设抛物线为2y ax c =+，由题知：抛物线过(6,2)D ，(8,0)B .

所以362640a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得114327a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.

高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题A 北师大版选修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测 题A 北师大版选修2-1 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 5 ＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( ) A ．31414 B ．324 C ．32 D ．43 [答案] C [解析] 本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题． 由双曲线的右焦点(3,0)知c ＝3，即c 2 ＝9， 又c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，∴9＝a 2 ＋5，即a 2 ＝4，a ＝2. ∴离心率e ＝c a ＝3 2 . 关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a 2 和b 2 ，若所给方程为x 2a －y 2 5 ＝1，很多 同学易出现把a 和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误． 2．已知椭圆x 210－m ＋y 2 m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 [答案] D [解析] 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6

上海青浦区实验中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题 1．设双曲线C ：22 221x y a b -=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双 曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ． 3 2 C ． 54 D ． 53 2．P 是椭圆22 1169 x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k 的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 3．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4 3 ，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x = 4．已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22 1 74x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（ ） A ．1 2 B ．32 C ．43 D ．9 5．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点 ()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．24480y x y -++= B ．22220y x y +-+= C ．2210y x y ---= D ．24250y x y +-+= 6．已知1F ，2F 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点 2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎫ +∞⎪⎪⎝⎭ C ．⎛ ⎝⎭ D ．⎫ +∞⎪⎪⎝⎭ 7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ．若2QF PF = ，且PQF △的面积为p =（ ）

上海民办迅行中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题 1．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[] ()1,01,-+∞ 2．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲 线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A B C D ． 2 3．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点， 若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4 3 y x =± B ．34 y x C ．35 y x =± D ．53 y x =± 4．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．过原点O 的直线交双曲线E ：22 221x y a b -=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一 象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若 222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（ ） A ． 5 B C D 6．已知圆2 2 2 1:(0)C x y b b +=>与双曲线22 222:1(0,0)-=>>x y C a b a b ，若在双曲线2C 上 存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎦ B ．⎫ +∞⎪⎪⎣⎭ C ．( D ．) +∞ 7．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ）

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题 1．已知离心率2 e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原 点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1，则实数a 的值为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4 2．已知抛物线E ：()2 20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于 A ， B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为 C ， D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF DF ②直线AB 的倾斜角为π4 或3π4 ③F 是AG 的中点 ④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 3．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、 B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．( B ．(1,1 C ． ) +∞ D ．() 1++∞ 4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若 1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 2 D ． 3 5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ） A ．4 B C ．D ．2 6．已知圆2 2 2 1:(0)C x y b b +=>与双曲线22 222:1(0,0)-=>>x y C a b a b ，若在双曲线2C 上 存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎦ B ．,2⎫ +∞⎪⎪⎣⎭ C ．( D ．) +∞ 7．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且

第三章 圆锥曲线的方程(单元测试卷)(附答案)—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程（单元测试卷） (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a(a>0)，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标 准方程为( ) A.x 236＋y 2 32＝1 B ．x 29＋y 2 8＝1 C.x 29＋y 2 5 ＝1 D ．x 216＋y 2 12 ＝1 3.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→ ＝－4，则点A 的坐标为( ) A ．(2，±2 2) B ．(1，±2) C ．(1,2) D ．(2,22) 4.若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( ) A. 5 B ．52 C ．3 D ． 3 5.方程为mx 2＋ny ＝0和mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)的两条曲线在同一坐标系中可以是( ) 6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的离心率为( ) A.1 2 B ．3 3 C.32 D ． 22 7.若双曲线x 23－y 2b 2＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1 4，则该双曲线的虚轴长 是( ) A ．2 B ．1 C. 55 D ．25 5

新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册

章末复习 一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含 x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量． (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养． 例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2 ＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对 答案 C 解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5. ∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．

∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线． (2)在圆x 2 ＋y 2 ＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点 M 满足PD →＝2MD → ,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程． 解 方法一 由PD →＝2MD → ,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )． 因为点P 在圆x 2 ＋y 2 ＝4上, 所以x 2 ＋(2y )2＝4, 所以曲线C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. 方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD → ,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2 ＋y 2 ＝4上, 所以x 2 0＋y 2 0＝4,(*) 把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2 ＋4y 2 ＝4, 所以曲线C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. 反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决． (3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决． 跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2 ＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲 线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2 －y 2 3 ＝1 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪ ⎧ c ＝2，c a ＝2，解得⎩⎪⎨ ⎪⎧ a ＝1，c ＝2， 则b 2＝c 2－a 2 ＝3, 因此双曲线方程为x 2 －y 2 3 ＝1. (2)点P 是抛物线y 2 ＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标． 解 抛物线y 2 ＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)(3)

一、选择题 1．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的 右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒ ∠=∠=，若 2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B ．y = C ．y = D ．2y x =± 2．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点， 若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4 3 y x =± B ．34 y x C ．35 y x =± D ．53 y x =± 3．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ． 23 B ．2 C ． 34 D ．3 4．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ， 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)+∞ B ． C ．)+∞ D ． 5．已知点F 是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点 且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆 222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由点P 位置决定 6．圆2 2 : ()4M x m y -+=与双曲线22 22:1(0,0 ) y x C a b a b -=>>的两条渐近线相切 于A B 、两点，若||1AB =，则 C 的离心率为（ ） A B ． 15 C ． 14 D ．4 7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为 4 3 ，则抛物线方程为 （ ）

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测题(含答案解析)(1)

一、选择题 1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ． B C ．13 - D ． 13 2．若点) 0到双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >)的离心率为（ ） A B C D 3．(),0F c 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直 线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 1 2 B 1 C D 4．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左 焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[ 42 ，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A ． B ．[1 , 2] C ．[4 8]， D ． 5．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若 126 MF F π ∠= ，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ） A B C 1 D 1 6．已知双曲线22 21(0)x y a a -=>与椭圆22183 x y +=有相同的焦点，则a =（ ） A B ．C ．2 D ．4 7．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 8．点A 、B 分别为椭圆2 214 x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q

第三章 圆锥曲线的方程(单元检测卷)(附答案)—2022-2023学年高二上学期数学选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程（单元检测卷） (时间：120分钟，满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A ．133 B ．53 C ．23 D ．59 2.已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A ．x 24－y 25＝1(y ＞0) B ．x 24－y 2 5 ＝1(x ＞0) C ．y 24－x 25 ＝1(y ＞0) D ．y 24－x 2 5＝1(x ＞0) 3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水面宽8 m ．若水面上升1 m ，则水面宽度为( ) A ．2 6 m B ．4 6 m C ．4 2 m D ．12 m 4.(2021年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆τ在 平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，则下列选项中满足题意的方程为( ) A ．x 281＋y 216＝1 B ．x 265＋y 281＝1 C ．x 2100＋y 264＝1 D ．x 264＋y 2 100 ＝1 5.已知F 是双曲线C ：x 2－y 2＝2的一个焦点，点P 在C 上，过点P 作FP 的垂线与x 轴交于点Q ，若△FPQ 为等腰直角三角形，则△FPQ 的面积为( ) A.14 B.54 C.2 D. 3 6.已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎦ ⎥⎤1，43 B ．(0,2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 D ．⎝ ⎛⎦ ⎥⎤0，53

上海头桥中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测题(答案解析)

一、选择题 1．已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ． 25 B ． 45 C ． 15 D ． 23 2．已知椭圆C 的方程为22 221(0,0)x y a b a b +=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭 圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2 a x c =和AB 于点P 和M ，若 3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． 5 B ． 3 C ． 3 D ． 2 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 4．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ， 使得12120F PF ︒ ∠=，且 12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎦ B ．110,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1112⎫ ⎪⎣⎭ D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．设P 为椭圆22 :1169 x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点， 125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知椭圆2 2:12 x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中 垂线交x 轴于M 点，则2 || ||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11, 84⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ C ．11,162⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11, 82⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭

上海迎园中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测题(答案解析)

一、选择题 1．设F 为双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4+ 2．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于 M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ） A ．221325 y x += B ．22 1325 x y += C ．221369y x += D ．221369 x y += 3．若点) 0到双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >)的离心率为（ ） A B ． 2 C 2 D 4．(),0F c 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直 线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 1 2 B 1 C D 5．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、 B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．( B ．(1,1 C ． ) +∞ D ．() 1++∞ 6．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 7．过原点O 的直线交双曲线E ：22 221x y a b -=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一 象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若 222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（ ） A B C D

上海上海理工大学附属初级中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题 1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（ ） A ．1 B C ．2 D ．3 2．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[] ()1,01,-+∞ 3．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲 线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A B C D ． 2 4．已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ． 25 B ． 45 C ． 15 D ． 23 5．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ， 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)+∞ B ． C ．)+∞ D ． 6．圆2 2 : ()4M x m y -+=与双曲线22 22:1(0,0 ) y x C a b a b -=>>的两条渐近线相切 于A B 、两点，若||1AB =，则 C 的离心率为（ ） A B ． 15 C ． 14 D ．4 7．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且

上海民办青中初级中学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测(含答案解析)

一、填空题 1．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：232y x =上，其中A (2，8)，ABC 的重心G 是抛物 线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为_________． 2．若,A B 是曲线x =O 为坐标原点，则OA OB ⋅的取值范围是 __________. 3．已知F 是双曲线22 1412 x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则 PF PA +的最小值为________． 4．设点P 为椭圆22 :14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且 12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___. 5．若椭圆C ：22 184 x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：20x +=交于P ，Q 两点， 则PQF △的周长为_______________. 6．与双曲线22 142 x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________. 7．若椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点 12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122 F PF π ∠= ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心 率为2e ，12 2e e ，则22 12e e +=__________. 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 22:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，定点 111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫ > ⎪⎝ ⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是 底边长为C 的标准方程为__________. 9．椭圆22 12516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点 P 到x 轴的距离为_____. 10．若点(,)x y 在双曲线2214 x y -=上，则232x y -的最小值是____________． 11．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>于A ，B 两点，过点A 分 别作x 轴、AB 的垂线AP ．AQ 交椭圆C 于点P ．Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若

高二数学选修2-1(B版)_《圆锥曲线与方程》单元测试2

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》单元测试 一、选择题 1、抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆1422=+y x 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（ ） （A ）32 （B ）3 （C ） 23 （D ）4 3 2、直线1()y kx k R =+∈ 与椭圆22 15x y m + =恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） （A ）[1，5）∪（5，+∞） （B ）（0，5） （C ） [)+∞,1 （D ） （1，5） 3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3 2 - ，则此双曲线的方程是（ ） （A ）14 32 2=-y x （B ）13422=-y x （C ）12 52 2=-y x （D ） 15222=-y x 4、若双曲线 1822 2=-b y x 的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合，则双曲线的离心率为（ ） （A ） 2 （B ） 22 （C ） 4 （D ） 42 5、过定点P （0,2）作直线l ，使l 与曲线y 2=4（x-1）有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ） 4条 6. 已知F 1、F 2为双曲线22 22b y a x -=1（a ＞0,b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的 直线，它与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2=30°，则双曲线的渐近线方程为（ ）

（A ） y =± 22 x （B ） y =±3x （C ） y =±3 3x （D ） y =±2x 7、已知A 、B 、C 三点在曲线ABC m m x y ∆<<=当，，上，其横坐标依次为),41(41的面积最大时，m 的值为（ ） （A ） 3 （B ） 25 （C ） 49 （D ） 2 3 8、在椭圆 212,12 2,,120 45PF F F F P y x ∆=+是椭圆的左右焦点有一点为直角三角形，则这样的点P 有（ ） （A ） 2个 （B ） 4个 （C ）6个 （ D ） 8个 9、已知双曲线)0,0(1122 222222>>>=+=-b m a b y m x b y a x 和椭圆的离心率互为倒数， 那么以m b a ,,为边长的三角形是（ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐或钝角三角形 10、设点P 为双曲线14 22 =-y x 右支上除顶点外的任意一点，21F F ，为其两焦点，则M PF F 的内心21∆在（ ） （A ）直线2=x 上 （B ）直线 1=x 上 （C ） 直线 x y 2= 上 （D ）直线 x y = 上 二、填空题 11、已知椭圆的值为，则的焦距为a y a x a 412 2 22=-____________. 12、双曲线的焦距为x y 1 = ________. 13．对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：2cos (02)14sin x y θ θπθ ⎧=⎪≤≤⎨ =+⎪⎩ 恰有一个公共点，则b 取值范围是_____________.

高中数学选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程章末检测B(解析版)

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 第三章 圆锥曲线的方程 章末检测B 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。 一、单选题 1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 2F 的直线 交椭圆C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为C 的标准方程为（ ） A ．22 132x y += B ．2 213 x y += C ．221128 x y += D ．221124 x y += 【答案】A 【解析】 【分析】 利用焦点三角形的周长求出a ，再根据离心率求出c ，由222b a c =-即可求解. 【详解】 1AF B △的周长为 则1122114AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++== 所以a = 又c e a = = ，所以1c =， 所以2222b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为：22 132 x y +=. 故选：A 【点睛】 本题考查了焦点三角形周长、利用离心率求椭圆的标准方程，属于基础题. 2．如图所示，直线l 与双曲线()22 22:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若 且AOB 的面积为的离心率为（ ）

A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，设02AOX πθθ⎛⎫ ∠=<< ⎪⎝ ⎭ ，由题中条件求出60θ=︒，再由双曲线的渐近线方程得到tan 3b a θ==. 【详解】 由题意，设02AOX πθθ⎛⎫ ∠=<< ⎪⎝ ⎭ ，因为6OA OB ⋅=-且AOB 的面积为33 所以cos 26OA OB θ=-， 1 sin 2332 OA OB θ=， 所以tan 23θ=2120θ=︒，可得60θ=︒， 又双曲线22 22:1x y E a b -=的渐近线方程为b y x a =±， ∴ tan 3b a θ== 所以2 12c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ . 故选：C . 【点睛】 本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题型. 3．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）

新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测(含答案解析)(4)

一、填空题 1．已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆 的离心率为______． 2．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的 离心率1 3, 23e ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________. 3．过椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直 线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________. 4．设点P 为椭圆22 :14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且 12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___. 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线2 4y x =的准线与双曲线22 221x y a b -=（0a >， 0b >）的渐近线分别交于P ，Q 两点，若POQ △的内切圆半径为1 3 ，则双曲线的离心率 为________. 6．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点，A 为椭 圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与 y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为 ___________. 7．设12,F F 分别是椭圆22 12516 x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为 ()6,4，则1PM PF +的最大值为________． 8．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________. 9．已知点P 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点， 已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________. 10．已知1F 为双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段

上海东门中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(含答案解析)

一、选择题 1．已知离心率为3 的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭 圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于 点D ，若8 3 CD =，则直线AP 的斜率为（ ） A ． 16或 1 20 B ． 121 C ． 16或 1 21 D ． 13或120 2．已知椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直 线2 a x c =上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A ．1[,1)2 B ．[ ,1)2 C ．1 [ ,1)2 D ． 0, 2⎛ ⎝⎦ 3．(),0F c 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直 线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 1 2 B 1 C ． 2 D ． 3 4．P 是椭圆22 1169 x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k 的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 5．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若 126 MF F π ∠= ，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ） A ． 1 2 B ． 1 2 C 1 D 1 6．已知双曲线22 21(0)x y a a -=>与椭圆22183 x y +=有相同的焦点，则a =（ ） A B ．C ．2 D ．4 7．已知双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P