当前位置：搜档网 › 数列的概念经典例题百度文库

数列的概念经典例题百度文库

一、数列的概念选择题

1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．184

B ．174

C ．188

D ．160

2．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知(

123n n a a n n N

++=+∈且1300n

=，若

23a <，则n 的最大值为（）

A ．49

B ．50

C ．51

D ．52

4．已知数列{}n a 的通项公式为23n

n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则数列{}n a 中的最大项为（） A ．

B ．

C ．

6481

D ．

125

243

5．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()

21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（）

A ．4-

B ．5-

C ．4

D ．5

6．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（） A ．2072

B ．2073

C ．2074

D ．2075

7．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（）

A ．21n a n =-

B ．()1(21)n

n a n =--

C ．()

1(21)n n a n +=--

D ．()

1(21)n n a n +=-+

8．已知数列{}n a 的通项公式为2

n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．(),3-∞

B ．(),2-∞

C ．(),1-∞

D ．(),0-∞

9．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=

∈≥，且

()2cos

n n n a b n N π

*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（） A ．120

B ．174

C ．204-

D ．

373

10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A ．174

B ．184

C ．188

D ．160

11．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（） A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，

12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被

4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（） A ．24

B ．26

C ．28

D ．30

13．数列{}n a 满足1

111,(2)2

n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（）

A ．

B ．

17 C ．

131

D ．

14．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32

f x f x f -=-=，数列

{}n a 满足11a =，且

21n n

S a n n

=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（）

A ．1

B ．3

C ．-3

D ．0

15．数列11

,,,

57911

--，…的通项公式可能是n a =（） A ．1(1)32

n n --+

B ．(1)32

n n -+

C ．1(1)23

n n --+

D ．(1)23

n -+

16．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(

3n n N

≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，

若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

17．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）

A ．201920212S F =+

B ．201920211S F =-

C ．201920202S F =+

D ．201920201S F =-

18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，

n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除

后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（） A ．1348

B ．1358

C ．1347

D ．1357

19．下列命题中错误的是（） A ．()(

)21f n n n N

=-∈是数列的一个通项公式

B ．数列通项公式是一个函数关系式

C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示

D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列

20．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列

{}n a 为周期数列，周期为T ．

已知数列{}n a 满足()111,1

0,{1

,01n n n n n

a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B

．若m =

，则数列{}n a 是周期为3的数列；

C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；

D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．

二、多选题

21．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫

-=+ ⎪⎝⎭

，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式

()22212n

a t a t a a n

<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4

B ．－2

C ．0

D ．2

22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，

5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++= 23．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}

F n ，则(){}

F n 的通项公式为（）

A ．(1)1()2

n n F n -+=

B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F

．(

)1122n n

F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝

⎭⎦ D ．(

)n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦

24．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，11

a =，则下列说法错误的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为1

4(1)

n a n n =+

C ．数列{}n a 为递增数列

D ．数列1n S ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

为递增数列 25．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4

n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n

= B ．数列{}n a 的通项公式为1

4(1)

n a n n =+

C ．数列{}n a 为递增数列

D ．数列1

{

S 为递增数列 26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．2

3n S n n =- B ．2392

-=n n n

C ．36n a n =-

D ．2n a n =

27．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学

普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4

B ．5

C ．7

D ．8

28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15

0,20,a a a 则（）

A ．80a <

B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值

C ．49S S =

D ．满足0n S >的n 的最大值为12

29．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的

是（） A ．110S =

B ．10n n S S -=（110n ≤≤）

C ．当110S >时，5n S S ≥

D ．当110S <时，5n S S ≥

30．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．67n S S S 与均为的最大值

31．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d <

C ．80a =

D ．n S 的最大值是8

S 或者9S

32．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）

A ．若59S S =，则必有14S =0

B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项

C ．若67S S >，则必有78S S >

D ．若67S S >，则必有56S S >

33．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）

A ．若100S =，则280S S +=；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大

D ．若78S S <，则89S S <

34．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（）

A ．100a =

B ．当9n =或10时，n S 取最大值

C ．911a a <

D ．613S S =

35．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，

6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）

A ．320n a n =-

B ．325n a n =-+

C ．当4n =时，n T 取最小值

D ．当6n =时，n T 取最小值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】

根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】

3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,

所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，

所以()()()

112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+

+-+

()()1213n n =-+-+

++()()()1111332

n n n n -+⋅--=

+=+.

所以191918

31742

a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】

本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.

2．A

解析：A 【分析】

根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】

{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，

充分性：

1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，

0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，

10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；

若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.

所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；

必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.

所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.

因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．

3．A

解析：A 【分析】

对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2

+32n n n

S =，发现不存在这样的偶数能满

足此式，当n 为奇数时，可得21+34

n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.

【详解】

当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++

(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32

n n

=，

因为22485048+34850350

1224,132522

S S ⨯+⨯====，

所以n 不可能为偶数；

当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++

1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+

2134

n n a +-=+

因为24911493494

12722

S a a +⨯-=+=+，

25111513514

13752

S a a +⨯-=+=+，

又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】

此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.

4．A

解析：A 【分析】

由12233n

n n n a a +-⎛⎫

-=⋅ ⎪⎝⎭

，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得

到n ＝2时，a n 最大. 【详解】

解：112222(1)3333n n n

n n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；

当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1a 4>a 5>…>a n ，

所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328

239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭

故选：A . 【点睛】

此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.

5．B

解析：B 【分析】

根据已知递推条件(

21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5

3214a a a 4321a a a 5

5a a a

故选：B 【点睛】

本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题

6．C

解析：C 【分析】

由于数列2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】

∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，

因为331217282025132197=<<=，所以从数列2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉

12个立方数，

又66320254<<，所以在从数列2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数，又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数，所以从数列2

21,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有

20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项，所以这个数列的第2020项是2025492074+=，故选：C. 【点睛】

本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要

弄明白在数列2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.

7．C

解析：C 【分析】

分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】

数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n

n a n =--．故选C ．【点睛】

本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．

8．A

解析：A 【分析】

由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于

λ的不等式，解之可得λ的取值范围.

【详解】

由已知得22

1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，

因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立，所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，所以3λ<，故选：A. 【点睛】

本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.

，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由

此计算出(

)32313k k k b b b k N *

11n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭

3n n n a b n N π*=∈，22cos 3

n n b n π

∴=， ()()222

323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭592

k =-，

因此，数列{}n b 的前18项和为()5

91234566921151742

⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】

本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

10．A

解析：A 【分析】

根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a .

依题意：

3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,

所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，

所以()()()

112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+

根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯

⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】

n n S a =+

当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-

⋯⋯

当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-

∴71a =，20191S =

故720192a S += 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

12．B

解析：B

先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】

由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，

则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=，故选：B.

13．C

解析：C 【分析】

根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】因为1

=+，31131723a ==+，4117

判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】

依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2

f x f x -=，所以()333332222f x f x f x f

⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫

=-得2n n S a n =-①，当1n =时，11a =，

当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，

①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），

所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，

652163a a =+=.

所以

56()()f a f a +=

()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-

故选：C 【点睛】

如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .

15．D

解析：D 【分析】

根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】

2322311111,1,1,12,..24.333

-⨯

-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯，所以其通项公式为(1)(1)23213

根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】

由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……

则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故选：A

17．B

解析：B 【分析】

利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++

+++，可得

21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.

【详解】

由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++

1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=

123211n n n n F F F F F F ---=++++

+++，

所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，

故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出

21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.

18．C

解析：C 【分析】

由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又

202067331=⨯+，由此可得答案【详解】

解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，

所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，因为202067331=⨯+，

所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+= 故选：C

19．C

解析：C 【分析】

根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】

数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，

故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，

它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，

至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可

以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的；根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.

20．C

解析：C 【解析】

试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =

<≤时，由34a =得54

m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .

234111,11,1,m a a a =>∴==

D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误．考点：命题的真假判断与应用．

【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．

二、多选题 21．AB 【分析】

由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，，则，，，，

上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立

解析：AB

由题意可得111

11n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n

=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为

()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.

【详解】

111

n n n a a n n

++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则

11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111

122

a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，1

22n a n n

∴=-<，

()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，

整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，

对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，包含[]1,2，故A 正确；

对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，包含[]1,2，故B 正确；

对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2

本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.

22．ABD 【分析】

根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】

依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不

【分析】

根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，

342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正

确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，

，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

累加可知D 正确. 【详解】

依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，

312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以

712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；

由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，

可得

13572019a a a a a ++++

+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，

故C 不正确；

2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，

244534534()a a a a a a a a =-=-，，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，

a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.

23．BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然，，，，，所以且，即B 满足条件；

由，所以所以数列

解析：BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，

显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，

，

()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；

由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以(

+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝

⎭⎝⎭⎣⎦

⎣⎦；即C 满足条件；故选：BC 【点睛】

考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．

24．ABC 【分析】

数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．【详解】

数列的前项和为，且满足，， ∴，化为：，

∴数列是等差数列，公差为4， ∴，可得

解析：ABC 【分析】

数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11

a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1

S ，n S ，2n ≥时，()()

111144141n n n a S S n n n n -=-=

-=---，进而求出n a ．【详解】

数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（）

，且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11

a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：

4n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列，公差为4，

∴()1

4414n n n S =+-=，可得14n S n

=， ∴2n ≥时，()()

1111

44141n n n a S S n n n n -=-=

-=---， ∴()

(1)4

1(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，

对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1

114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题

25．AD 【分析】

先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】

因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；

解析：AD 【分析】

先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】

11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 1

1104n n n S S S -≠∴

-= 因此数列1{

}n S 为以1

4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以

1144(1)44n n n n S S n

=+-=∴=，即A 正确；当2n ≥时1111

44(1)4(1)

n n n a S S n n n n -=-=

本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

26．BC 【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式

数列的概念经典试题(含答案)百度文库

一、数列的概念选择题 1．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()* 11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =， 22017a =，则100S =（） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 2．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,, (2222222222) n n n ，则该数列第2019项是（） A ． 1019892 B ． 10 2019 2 C ． 11 1989 2 D ． 11 2019 2 5．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j = 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（）

A ．2n a n = B ．3,12,2 n n a n n =?=?≥? C ．21n a n =+ D ．3n a n = 7．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 8．已知数列{}n a 满足11a =，()*11 n n n a a n N a +=∈+，则2020a =（） A ． 1 2018 B ． 1 2019 C ． 1 2020 D ． 1 2021 9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有 ()()()f x f y f x y ?=+，若112 a = ，()() * n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（） A ． 1324 n S ≤< B ． 3 14 n S ≤< C ．102 n S <≤ D ． 1 12 n S ≤< 10．已知数列{}n a 满足()( )*622,6 ,6 n n p n n a n p n -?--≤=∈?>?N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（） A ．71,4?? ??? B ．101, 7?? ??? C ．()1,2 D ．10,27?? ??? 11．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3 D ．3 12．在数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（） A ．1- B ． 12 C ．1 D ．2 13．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列 {}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足()111,1 0,{1 ,01n n n n n a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B ．若m = ，则数列{}n a 是周期为3的数列； C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列； D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．