数列的概念经典例题

一、数列的概念选择题

1．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和

383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）

A ．180

B ．160

C ．150

D ．140

2．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．数列{}n a 满足()1

1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）

A ．1006

B ．1176

C ．1228

D ．2368

4．已知数列{}

ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）

A ．13i =，33j =

B ．19i =，32j =

C ．32i =，14j =

D ．33i =，14j =

5．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+

B ．21n +

C ．2(1)1n -+

D ．2n

6．的一个通项公式是（ ）

A ．n a =

B ．n a =

C ．n a =

D ．n a =7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11

n

n n a a n N a +=

∈+，则2020a =（ ）

A ．

1

2018

B ．

1

2019

C ．

1

2020

D ．

1

2021

8．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30

B ．20

C ．40

D ．50

9．已知数列{}n a 的前n 项和2

23n S n n =-，则10a ＝（ ）

A ．35

B ．40

C ．45

D ．50

10．

函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．

1312

π

B ．

54

π C ．

1712

π

D ．

76

π 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1

3n n S +=，则34a a +=（ ）

A ．81

B ．243

C ．324

D ．216

12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

13．定义：在数列{}n a 中，若满足

21

1n n n n

a a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则2020

2018

a a 等于（ ）

A ．4×20162－1

B ．4×20172－1

C ．4×20182－1

D ．4×20182

14．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11

3

a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．

23

B ．

13

C ．2-

D ．3-

15．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则

645a ，等于（ ）

123

456

78910

A ．2019

B ．2020

C ．2021

D ．2022

16．设数列{}n a 的通项公式为2

n n a n

+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ） A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

17．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20

1

k

k a

=∑的值不可能是（ ） A ．2

B ．4

C ．10

D ．14

18．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么

24620201a a a a ++++

+=（ ）

A ．2021a

B ．2022a

C ．2023a

D ．2024a

19．数列{}n a 满足：12a =，111n

n n

a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-

B ．1

6-

C ．

16

D ．6

20．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，

1

1

12()n

n

n S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）

A ．210

B ．211

C ．224

D ．225

二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54

C ．S 2020＝a 2022－1

D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋

a 2021＝a 2022

22．设数列{}n a 满足11

02

a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．

21

12

a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312

a <<

D ．

20203

14

a << 23．已知数列{}n a 满足0n a >，

121

n n n a n

a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）

A ．11a =

B ．121a a =

C ．201920202019S a =

D ．201920202019S a >

24．若数列{}n a 满足112,02

121,1

2

n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为

（ ） A ．

15

B ．

25

C ．

45

D ．

65

25．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

1,

01

a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．681a a >

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T

26．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}

F n ，则(){}

F n 的通项公式为（ ）

A ．(1)1()2

n n F n -+=

B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==

C ．(

)n n

F n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(

)1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦

27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =

C ．3430a a +=

D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值

28．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=

B ．27S S =

C ．5S 最小

D ．50a =

29．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的

是（ ） A ．110S =

B ．10n n S S -=（110n ≤≤）

C ．当110S >时，5n S S ≥

D ．当110S <时，5n S S ≥

30．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =

C ．95S S >

D ．6S 与7S 均为n S 的最大值

31．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

32．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<

B ．2

24154

a a +≥

C ．

15

111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅

33．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2

5,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）

A ．{}n a 为等差数列

B ．0n a >

C ．n S 最小值为214

-

D ．{}n a 为单调递增数列

34．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-

B ．23n a n =+

C ．2

23n S n n =-

D ．2

4n S n n =+

35．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥

时，)

2

11n a =

-，则关于数列

{}n a 说法正确的是（ ）

A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】

根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】

由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数，

而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，

7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，

所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B

2．A

解析：A 【分析】

根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，

充分性：

1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，

0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，

10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；

若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.

所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；

必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.

所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.

因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．

3．B

解析：B 【分析】

根据题意，可知()

1

1121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，

248a a +=，572a a +=，6824a a +=，

，45472a a +=，4648184a a +=，可知，

相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组

求和法，即可求出{}n a 的前48项和.

解：由题可知，()1

1121n n n a a n ++=-+-，

即：()

1

1121n n n a a n ++--=-，则有：

211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，

659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，

，

474691a a +=，484793a a -=.

所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，

，

45472a a +=，4648184a a +=，

可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ， 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++

++++，

()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =++++

+++++++++

1211

1221281611762

⨯=⨯+⨯+

⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B. 【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.

4．C

解析：C 【分析】

可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】

每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.

20211

110112

-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，

而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】

本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.

解析：A 【分析】

由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】

因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，

因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212

n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦

-=

+++==+--，

又11a =，所以2

1n a n n =-+.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.

6．C

解析：C 【分析】

根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】

因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，

，

⋯

的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．

7．C

解析：C 【分析】

根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可． 【详解】 解：11

n

n n a a a +=

+， ∴两边同时取倒数得11111n n n n

a a a a ++==+， 即

11

11n n

a a ，

即数列1n a ⎧⎫

⎨

⎬

⎩⎭

是公差1d =的等差数列，首项为111a ．

则

1

1(1)1n

n n a =+-⨯=， 得1n a n

=

， 则20201

2020

a =

， 故选：C 【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．

8．B

解析：B 【分析】

利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】

由13920a a a ++=，得131020a d +=，

则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】

考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.

9．A

解析：A 【分析】

利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.

【详解】

223n S n n =-,

n 2∴≥时，1n n n a S S -=-

22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n

1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35

故选：A. 【点睛】

本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .

(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2

≥时n a 的表达式．

(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．

10．B

解析：B 【分析】

先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭4x k ππ=+或

512x k π

π=

+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】

解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫

=-=-- ⎪⎝

⎭

∴ 令()0f x =得：226

3

x k π

π

π-=

+或2226

3

x k π

π

π-

=

+，k Z ∈， ∴4

x k π

π=

+或512

x k π

π=

+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4

124

a a a π

ππ==

=

故选：B. 【点睛】

本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.

11．D

解析：D 【分析】

利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】

利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，

34216a a ∴+=

故选：D 【点睛】

本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.

12．C

解析：C 【分析】

利用443a S S =-计算． 【详解】

由已知22

443(44)(33)8a S S =-=+-+=．

故选：C ．

13．C

解析：C 【分析】

根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】 由题意可得：

3

23a a =，211a a = ，3221

1a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是首先为1，公差为2的等差数列， 则()1

11221n n

a n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，2019

2018

220181a a =⨯-， 所以

()()2202020202019

201820192019

220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C 【点睛】

本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.

14．B

解析：B 【分析】

由111n n n n a a a a ++-=+，且113

a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】

因为111n n n n a a a a ++-=+，且11

3

a =， 所以111n

n n

a a a ++=

-，

21

132113

a +

∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.

123411

···2(3)()132

a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.

则{}n a 的前2021项之积50511

133

=⨯=.

故选：B 【点睛】

方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.

15．C

解析：C 【分析】

根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】

根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)

112

a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)

122

a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)

142

a ⨯-=

+=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)

120172

a ⨯-=+=，，则6452021a =，， 故选：C.

16．C

解析：C 【分析】

先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N ∈，即可求解. 【详解】

记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则

()()12

11245

1232312

n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯

⨯⨯=- 依题意有

()()12362

n n ++>

整理得()()2

3707100n n n n +-=-+>

解得：7n >，

因为*n N ∈，所以min 8n =， 故选：C

17．B

解析：B 【分析】

先由题中条件，得到2

12

21i i i a a a +-=+，由累加法得到20

2211

221k k a a ==-∑

，根据00a =，

()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.

【详解】

由11i i a a +=+得()2

221121i i i i a a a a +=+=++，

则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，

……，

2202022121a a a -=+，

以上各式相加可得：()21120

2

21

0221

2 (20202)

k

k a a a a a a

=-

=+++++=∑，

所以20

22121

1220

k k a a a ==--∑

，

又00a =，所以2

12

0211a a a =++=，则20

2211

221

k k a a ==-∑

，

因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或

2，

所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或

4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，

以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或

21±，

因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，

所以2211

2

2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，

170，210；

则

20

1

k

k a

=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，

即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：

求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20

22121

1220

k k a a a ==--∑

，将问题

转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.

18．A

解析：A 【分析】

根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】

由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++

+++++=+

3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++

=+++=+=.

故选：A

19．A

解析：A 【分析】

根据递推公式推导出(

)4n n a a n N *

+=∈，且有1234

1a a a a

=，再利用数列的周期性可计算

出2018T 的值. 【详解】

12a =，()*111++=

∈-n

n n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132

a -==-+，41

1121312a -

==+，5

1132113

a +

==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()123411

23123

a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，

201845042=⨯+，因此，()504

2018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.

故选：A. 【点睛】

本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.

20．D

解析：D 【分析】

利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1

1

12()n

n

n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，

得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，

所以11515()15(291)15

22522

a a S ++=

==， 故选：D ． 【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．

二、多选题 21．BCD 【分析】

由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可

解析：BCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++

++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----

即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，

()()()135202124264202220202022+++

+++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.

故选：BCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递

推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.

22．ABD 【分析】

构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，

所以当时，，

即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，

解析：ABD 【分析】

构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】

由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102

a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x

f x x x

-'=-

=--， 所以当01x <<时，0f x

，

即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<

⎪⎝⎭

，

即()131

ln 2ln ln 1222

f x <<<+<+=， 所以()1

12

f x << ， 即

1

1(2)2

n a n <<≥，

所以

2112a <<，20201

12

a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，

1

12

n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231

32131113ln(2)ln ln 222234

a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333

144

a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】

本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.

23．BC 【分析】

根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，

当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则

解析：BC 【分析】

根据递推公式，得到11n n n

n n a a a +-=-，令1n =，得到121

a a =，可判断A 错，B 正确；

根据求和公式，得到1

n n n

S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】

由121n n n a n a a n +=+-可知2111

n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n n

n n a a a +-=-， 当1n =时，则12

1

a a =

，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321

111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++

+=-+-+

+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：

由递推公式求通项公式的常用方法：

（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如

()1

n n

a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通

项时，常需要构造成等比数列求解；

（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2

,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.

24．ABC 【分析】

利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环

解析：ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

5

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +⎧

≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.

25．AD 【分析】

分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意.

③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】

解析：AD 【分析】

分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】

①671,1a a >>, 与题设

671

01

a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设

671

01

a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.

得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .

∴B ，C ，错误.

故选：AD. 【点睛】

考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1

*

1n n a a q

n N -=∈.

26．BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列

解析：BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，

显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，

，

()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；

由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(

)(

)(

)()11F n n F n n ⎤+-

=--⎥⎣⎦

所以数列(

)()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭

为公比的等比数列， 所以(

)(

)1n

F n n +-=⎝⎭

1115()n F F n n -

+=++， 令

1

n

n n F b

-=

⎝⎭

，则11n n b +=

+，

所以1

n n b b +

=-， 所以n b

⎧⎪

⎨⎪⎪⎩

⎭

以

510-3

2-为公比的等比数列，

所以1

n n b -

+， 所以

()11

15n n n n

F n --⎤

⎤⎛⎫

+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎣⎦

； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】

考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．

27．AC 【分析】

先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】

解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，

数列的概念经典例题 百度文库

一、数列的概念选择题 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184 B ．174 C ．188 D ．160 2．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知( )* 123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若 23a <，则n 的最大值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．已知数列{}n a 的通项公式为23n n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ． 89 B ． 23 C ． 6481 D ． 125 243 5．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，() * 21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ） A ．4- B ．5- C ．4 D ．5 6．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075 7．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．()1(21)n n a n =-- C ．() 1 1(21)n n a n +=-- D ．() 1 1(21)n n a n +=-+ 8．已知数列{}n a 的通项公式为2 n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞ 9．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *= ∈≥，且

数列的概念试题及答案百度文库

一、数列的概念选择题 1．在数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1- B ． 12 C ．1 D ．2 2．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 3．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 4．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j = 5．已知数列,21, n -21是这个数列的（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项 D ．第21项 6．的一个通项公式是（ ） A ．n a = B ．n a = C ．n a = D ．n a =7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11 n n n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ． 1 2018 B ． 1 2019 C ． 1 2020 D ． 1 2021

8．数列{}n a 满足 112a =，111n n a a +=-，则2018a 等于( ) A ． 1 2 B ．－1 C ．2 D ．3 9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 10．已知数列{}n a 的通项公式为()()2 11n n a n =--，则6a =（ ） A ．35 B ．11- C ．35- D ．11 11．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343 a =，454a =，56 5a =，可归纳得 数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1 += n n a n B ．2 1 n n a n += + C ．3132 n n a n -=- D ．221 n n a n = - 12． 函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ． 1312 π B ． 54 π C ． 1712 π D ． 76 π 13．在数列{}n a 中，2 1 n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列 B ．不是单调数列 C ．是递增数列 D ．是递减数列 14．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11 3 a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ． 23 B ． 13 C ．2- D ．3- 15．数列1111 ,,, 57911 --，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32 n n --+ B ．(1)32 n n -+ C ．1(1)23 n n --+ D ．(1)23 n n -+ 16．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648 B ．722 C ．800 D ．882

数列的概念练习题(有答案)

一、数列的概念选择题 1．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30 B ．20 C ．40 D ．50 2． 3 … … ，则 ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 3．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3- 4．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 5．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 6．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ??= + ??? ，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S ++ +=（ ） A ．135 B ．141 C ．149 D ．155 8．在数列{}n a 中，()11 11,1(2)n n n a a n a --==+ ≥，则5a 等于 A ． 3 2 B ． 53 C ．85 D ． 23 9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有 ()()()f x f y f x y ?=+，若112 a = ，()() * n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ． 1324 n S ≤< B ． 3 14 n S ≤< C ．102 n S <≤ D ． 1 12 n S ≤< 10．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075

(完整版)数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ⨯=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

数列题型及答案

数列题型及答案 【篇一：数列例题(含答案)】 2n=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； 【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由 a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0① 再由s4=4s2，得 联立①、②得a1=1，d=2． 所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； 当n≥2时，=．，得，则．，即d=2a1②所以，． rn=c1+c2+…+cn=③ ④ ③﹣④得：= 所以 所以数列{cn}的前n项和 ；． 2．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值． ，【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则 1 解得， 所以an=3+（n﹣1）=n+2； （Ⅱ）bn=2+n=2+n， 210n所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（2+2）+…+（2+10） 210=（2+2+…+2）+（1+2+…+10） = 3．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈n）为等差数列，且a1=3， a3=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1． *+=2101．【解答】（i）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d． 由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1． （ii）证明：因为==，所以即得证． ++…+=+++…+==1﹣＜1， 4．已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈n）在函数y=x+1的图象*2上．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； an2（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2，求证：bn?bn+2＜bn+1． 【解答】解：解法一： （Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1﹣an=1，又a1=1， 所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列． n（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1﹣bn=2． bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1 n﹣1n﹣2=2+2+…+2+1 = 2 ∵bn?bn+2﹣bn+1=（2﹣1）（2﹣1）﹣（2﹣1） 2n+2nn+22n+2n+1=（2﹣2﹣2+1）﹣（2﹣2?2+1） n=﹣2＜0 2∴bn?bn+2＜bn+1 解法二： （Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）∵b2=1 2nn+12=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1bn?bn+2﹣bn+1=（bn+1﹣2）（bn+1+2）﹣bn+1 nn+1=2（bn+1﹣2） nnn+1=2（bn+2﹣2） nn=2（bn﹣2） =… =2（b1﹣2） n=﹣2＜0 2∴bn?bn+2＜bn+1 5．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 【解答】解：（i）设等差数列{an}的公差为d． ∵a4﹣a3=2，所以d=2 ∵a1+a2=10，所以2a1+d=10 ∴a1=4， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…） （ii）设等比数列{bn}的公比为q，

高中数学选择性必修二 4 1 1数列的概念(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.1.1数列的概念 要点一数列的有关概念 1．定义：按照确定的顺序排列的一列数． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)．3．一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{}n a． 【重点总结】 (1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. (2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． 如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 要点四数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1){0,1,2,3,4}是有穷数列．() (2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．() (3)所有自然数能构成数列．()

(4)数列1,3,5,7，…，2n ＋1，…的通项公式是a n ＝2n ＋1.( ) 2．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 【答案】A 【解析】a n ＋1－a n ＝2n ＋ 1－2n ＝2n >0，∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A. 3．(多选题)数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为( ) A ．a n ＝(－1)n － 1 B ．a n ＝(－1)n C ．a n ＝cos n π D ．a n ＝sin n π 【答案】BC 4．数列1,2，7，10，13，…中的第26项为________． 【答案】219 【解析】因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4， a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2， 所以a 26＝3×26－2＝76＝219. 题型一 数列的概念和分类 1．数列－11，－20，－27，…，n 2－12n ，…是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 【答案】D 【解析】该数列从第2项起，第n 项与第n －1项的差为(n 2－12n )－[(n －1)2－12(n －1)]＝2n －13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D. 2．已知下列数列： ①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…； ③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…； ⑤0，12，23，34，…，n －1n ，…；⑥1,0，－1，…，sin n π 2，…. 其中有穷数列是______；无穷数列是________； 递增数列是________；递减数列是________； 摆动数列是________；常数列是________．(填序号) 【答案】○ 1 ○2○3○4○5○6 ○1○5 ○ 2 ○3○6 ○4 【方法归纳】 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项

数列的概念和简单表示法习题(带答案)-人教A版数学高一必修5第二章 数列2.1.1

第二章数列 2．1.1 数列的概念和简单表示法 测试题 知识点一：数列的通项 1．数列1，3，7，15，…的一个通项公式是a n ＝() A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n －1 2．数列1，23，35，47，59 ，…的一个通项公式a n ＝() A.n 2n ＋1B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋3 3．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋(－1)n 2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪ ⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是() A ．①②③B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 4.由数列 53，108，17a ＋b ，a －b 24，…，可得有序数对(a ，b )为________． 5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 6．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5 ，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….

知识点二数列通项的简单应用 7．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1 ，…，则0.96是该数列的第() A ．20项 B ．22项 C ．24项 D ．26项 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于() A.259B.2516 C.6116D.3115 9．已知a n ＝n 2－21n 2 ，则数列{a n }中相等的连续两项是() A ．第9项，第10项 B ．第10项，第11项 C ．第11项，第12项 D ．第12项，第13项 10．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3 ＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于() A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2 11．(2015·海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大

数列典型例题

【典型例题】 例1. 如图，64个正数排成8行8列的方阵。符号表示位于第i 行第j列的正数。已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于。若，， （1）求的通项公式； （2）记第行各项和为，求的值及数列的通项公式； （3）若，求的值。 例2. 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比 为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.

（1）设第2行的数依次为，试用表示的值； （2）设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，； （3）①能否找到的值，使得（2）中的数列的前项（）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由. ②能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由. 解：（1）， 所以 （2），， ， 由， 得 （3）①先设成等比数列，由，得，。 此时，， 所以是一个公比为的等比数列 如果，为等比数列，那么一定是等比数列 由上所述，此时 ，，，，…由于， 因此，对于任意，一定不是等比数列 综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列 ②设和分别为第列和第列的前三项，， 则， 若第列的前三项是等比数列，则由，得 ， ，。 同理，若第列的前三项是等比数列，则。

当时，所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列。 例3. 在等差数列中，，前项和满足条件， （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和。 例4. 已知数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列满足证明是等差数列。 所以数列是等比数列。 例5. 设无穷等差数列的前n项和为. （1）若首项，公差，求满足的正整数k；

数列的概念及简单表示方法训练题(带详细答案)

数列的概念及简单表示方法训练题（带详细答案） 【基础练习】 1．下列数列（1） 1， 51,41,31,21（2）,2 1 ,31,41,511是同一个数列吗？ 答:不是同一个数列,因为这些数对应的顺序不同. 2. 下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数 （1）()()1,3,6,10,15,21,28,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （2）()()3,5,9,17,33,65,129,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （3）()1,4,9,16,25,36,⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 3.下面数列中递增数列是 (1)(2)(6） ，递减数列是（4）(7) ，常数数列是（3） ，摆动数列是 （5） . （1）0,1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （2）82,93,105,119,129,130,132; （3）3,3,3,3,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1,---⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （6） 2精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅的不足近似值构成数列 1,1.4,1.41,1.414,;2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 2精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅过剩近似值构成数列2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 4.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9⋅⋅⋅⋅⋅⋅;21n a n =-； （2）9,7,5,3,1,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;211n a n =-+； （3）222221314151;,;;2345----()() 2 111n n a n +-= +； （4）1111,,,,12233445----⨯⨯⨯⨯.()() 111n n a n n =-+； 5.根据数列的通项公式填表 n 1 2 3 … 5 … 12 … n n a 21 33 45 … 69 … 153 … ()334n + 【典型例题】 类型一 根据数列的前几项写出数列的通项公式 例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）1111,,,;234--（2）2,0,2,0.（3）9,99,999,9999,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;

数列知识点归纳及例题分析

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和⎩⎨⎧≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足⎪⎩ ⎪⎨⎧ <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531=a ，求2017 a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…） 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和 公式 ()112 n n n S na d -=+=() 12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪ =-⎨-=≠⎪ --⎩ 中项 公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）

数列的概念选择题专项训练(讲义及答案)含答案

数列的概念选择题专项训练(讲义及答案)含答案 一、数列的概念选择题 1．数列{}n a 中，()1121n n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32 B ．36 C ．38 D ．40 答案：B 解析：B 【分析】 根据所给数列表达式，递推后可得() 1 21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以 () 1n -后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入 即可求解. 【详解】 由已知()1121n n n a a n ++-=-，① 得() 1 21121n n n a a n ++++-=+，② 由()1n ⨯-+①②得()()()212121n n n a a n n ++=-⋅-++， 取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】 本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题. 2．数列{}n a 满足：12a =，111n n n a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6- B ．1 6- C ． 16 D ．6 答案：A 解析：A 【分析】 根据递推公式推导出( )4n n a a n N * +=∈，且有1234 1a a a a =，再利用数列的周期性可计算 出2018T 的值. 【详解】 12a =，()*111++= ∈-n n n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132 a -==-+，

数列的概念基础练习题百度文库

一、数列的概念选择题 1．已知数列{}n a 的通项公式为2 n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实 数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞ 2．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知( )* 123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若 23a <，则n 的最大值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯ B ．20191010⨯ C ．20202020⨯ D ．20192019⨯ 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ） A ．2n a n = B ．3,1 2,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+ D ．3n a n = 6．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 7．在数列{}n a 中，()11 11,1(2)n n n a a n a --==+ ≥，则5a 等于 A ． 3 2 B ． 53 C ．85 D ． 23 8．已知数列{}n a 满足()()* 6 22,6,6 n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨ >⎩N ，且对任意的* n ∈N 都有 1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ） A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．101, 7⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()1,2 D ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ） A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤. B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥. C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

数列的概念练习题(有答案)

一、数列的概念选择题 1．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ． 1312 π B ． 54 π C ． 1712 π D ． 76 π 2．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 3．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫= + ⎪⎝⎭ ，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S ++ +=（ ） A ．135 B ．141 C ．149 D ．155 6．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯ B ．20191010⨯ C ．20202020⨯ D ．20192019⨯ 7．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n n n a a n +=+⋅，则15a =（ ） A ．151422⋅+ B ．141322⋅+ C ．151423⋅+ D ．151323⋅+ 8．已知数列{}n a 的通项公式为2 n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞ 9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有 ()()()f x f y f x y ⋅=+，若112 a = ，()() * n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ）

数列的概念练习题(有答案)

一、数列的概念选择题 1．数列{}n a 满足1 111,(2)2 n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ） A ． 18 B ． 17 C ． 131 D ． 16 2．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[ )3,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 3．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 4．已知数列{}n a 的通项公式为23n n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ． 89 B ． 23 C ． 6481 D ． 125 243 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是 A ．21n n n a a a ++=+ B ．13599100a a a a a ++++= C ．2499a a a a ++ += D ．12398100100S S S S S +++ +=- 6．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ． 123111121 n n a a a a n +++⋯+=+ 7．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．()1(21)n n a n =-- C ．() 1 1(21)n n a n +=-- D ．() 1 1(21)n n a n +=-+ 8．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时， 1 1 12()n n n S S S S 恒成立，则15S 等于（ ） A ．210 B ．211 C ．224 D ．225 9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++= +，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ）

数列经典例题

数列经典例题

数列与线性规划 1．已知数列{}n a 的前n 项和为 n S ，满足 ()()211122,3 n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n a 的通项n a = （ ） A ． 41 n - B ． 21 n + C ．3n D ．2n + 【答案】A 【解析】 试题分析：当1n =时，()2 2 13234,7 a a ⋅+-⋅==，故A 选 项正确. 考点：数列求通项． 2．已知数列{}n a 中, 45 n a n =-+,等比数列{}n b 的公 比q 满足1(2) n n q a a n -=-≥,且1 2 b a =,则 12n b b b +++= （ ） A. 14n - B. 4 1 n - C. 143 n - D. 413 n - 【答案】B 【解析】 试题分析：依题意有1 2 4,3 q b a =-==-，故()() 1 34n n b -=--， 所以1 34n n b -=⋅，这是一个等比数列，前n 项和为() 3144114 n n -=--. 考点：等比数列的基本性质．

3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53 59a a = ，则95 S S = （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】 试题分析： 19951553 9()9215()52 a a S a a a S a +===+．故选A ． 考点：等差数列的前n 项和． 4．在等比数列{}n a 中，14 01a a <<=，则能使不等 式 123 12311110n n a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭成立的最大正整 数n 是（ ） A.5 B.6 C ．7 D ．8 【答案】C 【解析】 试题分析：设公比为 q ,则 1231231111n n a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤ +++⋅⋅⋅+，即 ()111111111n n a q a q q q ⎛⎫ - ⎪-⎝⎭≤ --， 将 13 1a q = 代入得： 7 n q q ≤， 1,7 q n >∴≤． 考点：（1）数列与不等式的综合；（2）数列求和.