数列知识点归纳及例题分析

数列知识点归纳及例题分析

一、数列的概念：

1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： 10,-3,8,-15,24,....... 221,211,2111,21111,......

(3), (17)

9

,107,1,23

2.n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)

1(,11n S S n a a n n

n

注意：强调2,1≥=n n 分开,注意下标；n a 与n S 之间的互化求通项

例2：已知数列}{n a 的前n 项和⎩⎨⎧≥+==2

,11

,32n n n S n ,求n a .

3.数列的函数性质：

（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大小项问题：单调性法；图像法

（3）数列的周期性：注意与函数周期性的联系

例3：已知数列}{n a 满足⎪⎩

⎪⎨⎧

<<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531

=a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列

例4等差数列的判定或证明：已知数列{a n}中,a1＝错误!,a n＝2－错误!n≥2,n∈N,数列{b n}满足b n＝错误!n∈N．

1求证：数列{b n}是等差数列；

2求数列{a n}中的最大项和最小项,并说明理由．

1证明∵a n＝2－错误!n≥2,n∈N,b n＝错误!.

∴n≥2时,b n－b n－1＝错误!－错误!

＝错误!－错误!

＝错误!－错误!＝1.

∴数列{b n}是以－错误!为首项,1为公差的等差数列．

2解由1知,b n＝n－错误!,则a n＝1＋错误!＝1＋错误!,

设函数fx＝1＋错误!,

易知fx在区间错误!和错误!内为减函数．

∴当n＝3时,a n取得最小值－1；当n＝4时,a n取得最大值3.

例5等差数列的基本量的计算设a

1,d为实数,首项为a

1

,公差为d的等差数列{a

n

}

的前n项和为S

n ,满足S

5

S

6

＋15＝0.

1若S

5＝5,求S

6

及a

1

2求d的取值范围．

解1由题意知S6＝错误!＝－3,a6＝S6－S5＝－8. 所以错误!

解得a1＝7,所以S6＝－3,a1＝7.

2方法一∵S5S6＋15＝0,

∴5a 1＋10d 6a 1＋15d ＋15＝0, 即2a 错误!＋9da 1＋10d 2＋1＝0.

因为关于a 1的一元二次方程有解,所以 Δ＝81d 2－810d 2＋1＝d 2－8≥0, 解得d ≤－2错误!或d ≥2错误!. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0, ∴5a 1＋10d 6a 1＋15d ＋15＝0, 9da 1＋10d 2＋1＝0.

故4a 1＋9d 2＝d 2－8.所以d 2≥8.

故d 的取值范围为d ≤－2错误!或d ≥2错误!.

例6前n 项和及综合应用1在等差数列{a n }中,已知a 1＝20,前n 项和为S n ,且S 10＝S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值；

2已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25,求数列{|a n |}的前n 项和． 解 方法一 ∵a 1＝20,S 10＝S 15,

∴10×20＋错误!d ＝15×20＋错误!d ,∴d ＝－错误!. ∴a n ＝20＋n －1×错误!＝－错误!n ＋错误!. ∴a 13＝0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0,

∴当n ＝12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋错误!×错误!＝130.

方法二 同方法一求得d ＝－错误!.

∴S n ＝20n ＋错误!·错误!＝－错误!n 2＋错误!n ＝－错误!错误!2＋错误!. ∵n ∈N,∴当n ＝12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12＝S 13＝130. 2∵a n ＝4n －25,a n ＋1＝4n ＋1－25,

∴a n ＋1－a n ＝4＝d ,又a 1＝4×1－25＝－21.

所以数列{a n }是以－21为首项,以4为公差的递增的等差数列． 令错误!

由①得n <6错误!；由②得n ≥5错误!,所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项,公差为－4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列, 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ,则 T n ＝错误! ＝错误!

例7已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3

例8等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ,且

745

3n

n

S n T n ,则使得

n n

a b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . 先求an/bn n=5,13,35

例9已知数列{}n a 中,113a =,当2≥n 时,其前n 项和n S 满足2221n

n n S a S =-,则数列

{}n a 的通项公式为 ()()2

1132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪

-⎩≥

例10在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n

+=++,则n a = .

例11

11a a -+是和的等比中项,则a +3b 的最大值为 2 . 例12 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为

例13 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_

三、数列求和： 1倒序相加法

如：已知函数1()()42x f x x R =∈+,求12()()()m m

S f f f m m m =+++_________

2错位相减法：{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是等比数列; 3裂项相消法：形如)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

4拆项分组法：形如n n n c b a ±=,

如：n n n a 32+=,65()

2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,21)1(n a n n ⋅-=-

练习：

1、数列1,

211+,3211++,···,n

+++ 211

的前n 项和为 B A ．122+n n B ．12+n n

C ．12++n n

D ．1

2+n n

2、数列,,16

1

7,815,413,211 前n 项和=n S ．

3、数列{}n a 的通项公式为n

n a n ++=

11,则S 100＝_________________;

4、设()11112612

1n S n n =

++++

+,且13

4

n n S S +⋅=,则=n ．6

5、设*N n ∈,关于n 的函数21)1()(n n f n ⋅-=-,若)1()(++=n f n f a n ,则数列}

{n a 前100项的和=++++100321a a a a ________．答案：100．

解答：])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+⋅-+⋅-=++=-,

)12()1(+-=n n ,所以201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a

100502=⨯=． 四、求数列通项式

2ln n

+

1公式法：12

1+=+n n a a ,112++-=⋅n n n n a a a a ,1

21+=

+n n

n a a a 等 2累加法：形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-,且)(n f 不为常数 3累乘法：形如)2)((1≥⋅=-n n f a a n n 且)(n f 不为常数 4待定系数法：形如1,0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1型

5转换法：已知递推关系0),(=n n a S f ⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)

1(,11n S S n a a S n n n n

解题思路：利用⎩⎨⎧≥-==-)2(,)

1(,11n S S n a a n n

n

变化1已知0),(11=--n n a S f ；2已知0),(1=--n n n S S S f （6）猜想归纳法慎用

练习：

考点三：数列的通项式

1、在数列{}n a 中,前n 项和842--=n n S n ,则通项公式=n a _______________

3、已知数列的前n 项和n n S 23+=,则=n a _______________1

5

122

n n n a n -=⎧=⎨≥⎩

4、已知数列{}n a ,21=a ,231

++=+n a a n n ,则 =n a )(,2

3*2N n n

n ∈+

5、在数列{}n a 中,1112,lg 1n n a a a n +⎛⎫

==++ ⎪⎝⎭

*N n ∈,则n a ＝ .

6、如果数列

{}

n a 满足)(53111*++∈=-=N n a a a a a n n n n ，,则

=n a ________________

7、}{n a 满足11=a ,1

31+=

+n n n a a a ,则n a =_______1

32n -

8、已知数列{}n a 的首项12a =,且121n n a a +=-,则通项公式n a = 121n -+ 9、若数列{}n a 满足()*112,32n n a a a n N +==+∈,则通项公式n a =

10、如果数列{}n a 的前n 项和32

3

-=

n n a S ,那么这个数列的通项公式是 D

A ．)1(22++=n n a n

B ．n n a 23⋅=

C ．13+=n a n

D ．n n a 32⋅=

五、数列应用题： 等差数列模型

1、一种设备的价格为450000元,假设维护费第一年为1000元,以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为 ;30年

2、在一次人才招聘会上,有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：

甲公司：第一年月工资数为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元； 乙公司：第一年月工资数为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.

设某人年初同时被甲、乙公司录取,试问：

1若该人打算连续工作n 年,则在第n 年的月工资收入分别是多少元

2若该人打算连续工作10年,且只考虑工资收入的总量,该人应该选择哪家公司为什么精确到1元

解：1设在甲公司第n 年的工资收入为n a 元,在乙公司第n 年的工资收入为n b 元 则2301270n a n =+,120001.05n n b -=⋅ 2设工作10年在甲公司的总收入为S 甲,在甲公司的总收入为S 乙

由于S S >乙甲,所以该人应该选择甲公司.

等比数列模型

例 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展

旅游产业,根据计划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年度减少5

1

,

本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预

计今后的旅游业收入每年会比上一年增加4

1

;

1设n 年内本年度为第一年总投入为n a 万元,旅游业总收入为n b 万元,写出n a 、

n b 的表达式；

2至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入精确到整数 参考解答：

11

2

511800511800511800800-⎪

⎭

⎫

⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n a

2解不等式n n a b >,得5≥n ,至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.

六、2017年高考题

一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1. 2017年新课标Ⅰ 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为

2. 2017年新课标Ⅱ卷理 我国古代数学名着算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯

1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.2017年新课标Ⅲ卷理 等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0．若632,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为

4. 2017年浙江卷 已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0>d ”是“5642S S S >+”的

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

5.2017年新课标Ⅰ 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为

激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列

⋯,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是02,接下来的两项是102,2,再接下

来的三项是2102,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 二、填空题将正确的答案填在题中横线上

6. 2017年北京卷理 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足

8,14411==-==b a b a ,2

2

a b =_______.

7.2017年江苏卷等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项和为n S ,已知

3676344

S S ==,,则8a =_______________．

8. 2017年新课标Ⅱ卷理 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =, 则11

n

k k

S ==∑

． 9.2017年新课标Ⅲ卷理设等比数列{}n a 满足3,13121-=--=+a a a a ,则=4a __． 三、解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 2017年新课标Ⅱ文已知等差数列}{n a 前n 项和为n S ,等比数列}{n b 前n 项和为.2,1,1,2211=+=-=b a b a T n 1若533=+b a ,求}{n b 的通项公式； 2若213=T ,求3S . 11.2017年新课标Ⅰ文 记

n

S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知.

6,232-==S S

1求{}n a 的通项公式； 2求n S ,并判断21,,++n n n S S S 是否成等差数列; 12. 2017年全国Ⅲ卷文设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=…

1求数列{}n a 的通项公式； 2求数列21n a n ⎧⎫

⎨⎬+⎩⎭

的前n 项和；

13.2017年天津卷文已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*

()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2

的等比数列,且公比大于0,2334111412,2,11b b b a a S b +==-=． 1求{}n a 和{}n b 的通项公式； 2求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ． 14.2017年山东卷文已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且

121236,a a a a a +==.

1求数列{}n a 的通项公式；

2{}n b 为各项非零等差数列,前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

前n 项和

n T

15. 2017年天津卷理已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首项为

2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =.

1求{}n a 和{}n b 的通项公式； 2求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 16. 2017年北京卷理 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记

1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅,

其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数． 1若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列； 2证明：或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时,

n

c M n

>；或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．

17.2017年江苏卷对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足：

1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-+++

+++

++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,则称

数列{}n a 是“()P k 数列”．

1证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；

2若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明：{}n a 是等差数列． 18.本小题满分12分

已知}{n x 是各项均为正数的等比数列,且.2,32321=-=+x x x x Ⅰ求数列}{n x 的通项公式；

Ⅱ如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点

)1,(,),2,(),1,(11211+⋯++n x P x P x P n n 得到折线121+⋯n P P P ,

求由该折线与直线11,,0+===n x x x x y 所围成的区域的面积n T .

19.2017年浙江卷已知数列}{n x 满足：).)(1ln(,1*111N n x x x x n n n ∈++==++

证明：当*N n ∈时,

1n n x x <<+10； 22211++≤

-n n n n x x x x ； 3212

1

21++≤≤n n n x .

数列知识点总结

数列知识点 一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、 摆动数列：1,2,1,2,….;1,1,2,2,3,3,4,4,….; 循环数列：1,2,3,1,2,3,1,2,3,….. 通项公式n a ； 前n 项和公式n S 二、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 满足由1--=n n n S S a 推出的n a ，则需要统一“合写”； 若不满足，则数列的通项应分段表示。 三、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 注：根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、d a a n n =--212、d a a n n =--1、 d a a n n =--11 1、2 11-++=n n n a a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= (其中1a 为首项、k a 为已知的第k 项) 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：2 )(1n n a a n S += d n n na S n 2) 1(1-+ = 当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0； 当0=d 时（01≠a ），1 na S n =是关于n 的正比例式。 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等差数列，公差为d m 2。 6、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{ n S n 是等差数列，公差为2d 。特别地m S m 、m S m 22、m S m 33组成等差数列。 7、两个等差数列}{n a 与}{n b 的公差分别为1d 和2d ，则数列}{n n qb pa +为等差数 列，且公差为21qd pd + 8、等差数列}{n a 的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。如1a 、5a 、9a 、…34-n a 9、}{n a 为等差数列，公差为d ，则数列}{n a c (0>c )是等比数列，公比为d c 。 10、 在等差数列}{n a 中： ① 若项数为n 2，则nd S S =-奇偶 n n a a S S 1 += 奇 偶

数列知识点总结及题型归纳含答案

2 2 、等差数列 数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这 个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1)。 \ a n a n 1 d(n 2)或 a n 1 a n d(n 例：等差数列a n 2n 1 , 题型二、等差数列的通项公式： 说明： 例： a n a n 1 等差数列(通常可称为 1.已知等差数列 a n .30 A. 15 B a n 3l A P 数列) 中，a 7 a 9 C . 31 D . (n 1)d ; 的单调性：d 0为递增数列, 16, a 4 1,则 a 12 等于( 64 d 0为常数列，d 0为递减数列。 ) 2. ｛a .｝是首项 a i 1，公差 3的等差数列，如果a n 2005， 则序号n 等于 (A ) 667 (B ) 668 (C ) 669 (D ) 670 等差数列a n 3. “递减数列”) 题型三、等差中项的概念: 2n 1,b n 2n 1，则a n 为 b n 为 (填“递增数列”或 定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项。 其中A 专 a , A , b 成等差数列 A -_b 2 例：1?设a n 是公差为正数的等差数列, A . 120 B . 105 即：2a n1 a 1 a 2 C. a n a n 2 (2a n a n m a n m ) 2.设数列｛a n ｝是单调递增的等差数 列, 前三项的和为 A . 1 题型四、等差数列的性质: (1) 在等差数列 a n 中, 在等差数列 a n 中, 在等差数列 a n 中, 在等差数列 a n 中, 从第2项起, (2) 相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3) (4) a 3 90 15, aia 2a 3 D 80 ,则 .75 an a 12 a 13 12,前三项的积为 48,则它的首项是( 每一项是它相邻二项的等差中项; 对任意 m , n N , a n a m (n m)d , d a n a m / --(m n)； n m 若 m , n , p , q N 且 mn p q ，则 a m a n a p a q ； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：S n n(a1 an) 2 n(n 1)d 2 (S n An 2 Bn (A,B 为常数) a n 是等差数列) 递推公式：S n 色处 (a m a n (m 1) )n

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1. 归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1) 0，-3,8，-15,24， ⑵ 21,211,2111,21111, ⑶ 3,匸2...... 2 10 17 2. a n 与S n 的关系：a n 3 n 1 例2：已知数列｛a .｝的前n 项和5『佃2，求" 3. 数列的函数性质: (1) 单调性的判定与证明： 定义法； 函数单调性法 (2) 最大(小)项问题： 单调性法； 图像法 (3) 数列的周期性：(注意与函数周期性的联系) 、等差数列与等比数列 印,(n 1) S n S n 1 , (n 2) 注意： 强调n 1,n 2分开，注意下标; a n 与S n 之间的互化(求通项) 例3:已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n ,0 a n 2a n 1, 2 a n a 1 -，求a 5 2017 -

例题 ： 3 1 例4 (等差数列的判定或证明)：已知数列｛a n ｝中，a 尸,a n = 2 — ( n 》2, n 5 a n —1 1 € N)，数列｛b n ｝满足 b n = ( n € N) ? a n 一 1 (1) 求证：数列｛b n ｝是等差数列； (2) 求数列｛a n ｝中的最大项和最小项，并说明理由. 1 * 1 (1)证明 T a n = 2— ( n A 2, n € N), b n= - a n — 1 a n — 1 1 a n —1 — 1 2— — 1 a n — 1 a n —1 1 a n —1 — 1 a n —1 — 1 5 ?数列｛b n ｝是以一2为首项，1为公差的等差数列. 7 1 2 ⑵ 解 由(1)知，b n = n —2，贝U an = 1 + b — 1 + 2n — 7， 2 设函数 f(x) = 1+2x —7， 易知f(x)在区间一X ，7和|，+^内为减函数. .?.当n = 3时，a n 取得最小值一 1；当n = 4时，a n 取得最大值3. 例5 (等差数列的基本量的计算)设 a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差 数列｛a n ｝的前n 项和为S ，满足SS + 15= 0. (1)若 S 5 = 5,求 S 6及 a 1 ??? nA 2 时, 1 1 bn —bn--一 a n —— 1.

《数列》知识点、题型、解法全方位解析

《数列》知识点、题型、解法全方位解析 内蒙古赤锋阿旗天山一中：尹国玉 数列的基础知识与一般性结论： (一)数列的概念：项，项数。一般式：}{n a 或 ,,,,,4321n a a a a a 注:①数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正自然数集N 或它的有限子集 {1，2，3，……，n}的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式a n =f(n)就是该函数的解析表达式,数列的图象是一个点列.因此在学习数列时还应学会用函数的观点、方法研究数列.②数列分有穷数列与无穷数列。 (二)数列的有关公式：（注：并不是所有的数列都有各种公式，） 1.递推公式：如)(1n n a f a =+或),(12n n n a a f a ++=等，即由数列的前若干项表示后一项的关系式， 2.通项公式：a n =f(n)即由项数来表示项的关系式，即第n 项， 3.前n 项和公式： ①有穷数列和:即用n 表示前n 项和的式子，（有时也用售含有项和项数的混合式子表 示，如2 ) (1n n a a n S +=） 注:掌握数列的通项n a 与前n 项和n S （前项积n G ）之间的关系式 n a =???≥-=-)2()1(11n S S n S n n .n a =11 (1) (2)n n G n G n G -=???≥?? ②*无究数列和(前n 项和的极限): n n S lin S →+∞ = (三)定义数列的方式方法: 1.用递推公式定义:①简单一阶线性递归数列:等差等比数列等. ②简单一阶分式递归数列(倒数成等差数列) ③简单的周期数列; ④其它形式: 2.用通项公式定义: 3.用和或和与项的关系定义. (四)数列的图象 (五)数列的单调性及最值 (六)数列的分类 1.从项的个数上分:有穷数列,无穷数列. 2.从”函数”类型及项与项的关系分: ①简单数列:等差数列;等比数列;调和数列;幂级数. ②复杂数列(数列的组合):复合数列;组合数列;分段数列;子数列. 3.从数列的性质分:单调数列;摆动数列;周期数列;不规则数列。.

(完整版)数列知识点归纳

数列 一、等差数列性质总结 1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1 （d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ， 首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项 ()()()1212121212 n n n n a a S n a ---+= = -（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a m a m a m a m --++,…（注意；公差为2m ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

数列知识点归纳及例题分析

数列知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： 10,-3,8,-15,24,....... 221,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开,注意下标；n a 与n S 之间的互化求通项 例2：已知数列}{n a 的前n 项和⎩⎨⎧≥+==2 ,11 ,32n n n S n ,求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大小项问题：单调性法；图像法 （3）数列的周期性：注意与函数周期性的联系 例3：已知数列}{n a 满足⎪⎩ ⎪⎨⎧ <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531 =a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列

例4等差数列的判定或证明：已知数列{a n}中,a1＝错误!,a n＝2－错误!n≥2,n∈N,数列{b n}满足b n＝错误!n∈N． 1求证：数列{b n}是等差数列； 2求数列{a n}中的最大项和最小项,并说明理由． 1证明∵a n＝2－错误!n≥2,n∈N,b n＝错误!. ∴n≥2时,b n－b n－1＝错误!－错误! ＝错误!－错误! ＝错误!－错误!＝1. ∴数列{b n}是以－错误!为首项,1为公差的等差数列． 2解由1知,b n＝n－错误!,则a n＝1＋错误!＝1＋错误!, 设函数fx＝1＋错误!, 易知fx在区间错误!和错误!内为减函数． ∴当n＝3时,a n取得最小值－1；当n＝4时,a n取得最大值3. 例5等差数列的基本量的计算设a 1,d为实数,首项为a 1 ,公差为d的等差数列{a n } 的前n项和为S n ,满足S 5 S 6 ＋15＝0. 1若S 5＝5,求S 6 及a 1 2求d的取值范围． 解1由题意知S6＝错误!＝－3,a6＝S6－S5＝－8. 所以错误! 解得a1＝7,所以S6＝－3,a1＝7. 2方法一∵S5S6＋15＝0,

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有

高中数学数列知识点总结(精华版)

一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项 1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ， 那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中 12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知* 2()156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答： n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）

数列知识点归纳总结和例题

数列知识点归纳总结和例题 数列是高中数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。对 于学习数列的同学来说，了解数列的相关知识点是非常重要的。本文 将对数列的概念、分类、性质、求和公式以及一些例题进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握数列的相关内容。 一、数列的概念和分类 1. 数列的概念：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用公式或 者递归式表示。常用的表示方法有通项公式和递归公式。 2. 数列的分类： a) 等差数列：数列中的任意两项之差等于同一个常数d，称为等 差数列，通常用an表示第n项。 b) 等比数列：数列中的任意两项之比等于同一个常数q（q≠0）， 称为等比数列，通常用an表示第n项。 c) 递推数列：数列中的每一项都可以由前一项或多项表示出来的 数列，称为递推数列。 二、数列的性质与公式 1. 数列的前n项和公式： a) 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示 前n项和，a1表示首项，an表示第n项。

b) 等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn 表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。 2. 数列的通项公式： a) 等差数列的通项公式：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。 b) 等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n - 1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。 3. 数列的常用性质： a) 等差数列的性质：任意三项成等差数列时，其余项也成等差数列。 b) 等比数列的性质：任意三项成等比数列时，其余项也成等比数列。若q>1，则数列递增；若0

高中数列知识点、解题方法和题型大全

一 高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负 分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1 0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S

nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇， 1 -= n n S S 偶 奇. 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1 n n a q a +=（q 为常数，0q ≠），1 1 n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒= ，或G = 前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪ =-⎨≠⎪ -⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？ 1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.

数列的知识点总结

数列的知识点总结 数列在数学中是一个重要的概念，它是由一组有序数字或者数 学相似的物品所组成的序列。在数学的学习中，数列是非常常见 的一种概念，在很多数学的题目中都有着重要的应用。在本文中，我将会深入探讨数列的相关知识，以及给出一些例题来加强读者 的理解和应用能力。 一、分类 数列可以根据它的项之间的关系进行分类。 1.等差数列 在等差数列中，每一项与它前面的项的差值都是相等的。假设 第一个项为$a_1$，公差为$d$，则它的第$n$项为：$a_n=a_1+(n-1)d$。 例题：已知一个等差数列的第五项为$10$，公差为$2$，求第 十项是多少？

解：利用公式$a_n=a_1+(n-1)d$，可得： $a_{10}=a_1+9d=a_5+4d=10+4 \times 2=18$，因此第十项为$18$。 2.等比数列 在等比数列中，每一项与它前面的项的比值都是相等的。假设第一个项为$a_1$，公比为$q$，则它的第$n$项为：$a_n=a_1 \times q^{n-1}$。 例题：已知一个等比数列的第二项为$4$，公比为$2$，求第六项是多少？ 解：利用公式$a_n=a_1 \times q^{n-1}$，可得：$a_6=a_1 \times 2^{6-1}=a_1 \times 32$。因此，要求第六项，我们需要知道首项$a_1$，根据已知，$a_2=4=a_1 \times 2$，得到$a_1=2$，带入公式，则可得出$a_6=2 \times 32=64$。 3.等差-等比数列

在等差-等比数列中，它的相邻两项之间先按照等比数列的关系进行变化，再按照等差数列的关系进行变化。假设第一个项为 $a_1$，首项的公比为$q$，公差为$d$，则它的第$n$项为： $a_n=a_1 \times q^{n-1}+d(n-1)$。 例题：已知一个等差-等比数列的第三项为$12$，公比为$2$， 公差为$-2$，求第五项是多少？ 解：利用公式$a_n=a_1 \times q^{n-1}+d(n-1)$，可得： $a_5=a_1 \times 2^{5-1}+(-2) \times 4=16a_1-8$。因此，我们需要 知道首项$a_1$才能够求出第五项，根据已知，$a_3=12=a_1 \times 2-2$，得到$a_1=7$，代入公式可得出$a_5=16 \times 7-8=104$。 4.斐波那契数列 斐波那契数列是一个非常特殊的数列，在它的前两项都为$1$，从第三项开始每一项都是它前面两项的和。即： $f_1=1,f_2=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$。 例题：求斐波那契数列中第$10$项的值。

数量关系数列知识点总结

数量关系数列知识点总结 此文旨在为大家提供此类题型的备考思路，并不能保证看了之后就能达到一个百分之百的正确率，但相信会很有帮助。如仍有兴趣，那么正文开始了。 数量关系虽然难，但是在考卷当中的占比并不高，如宁夏近几年的行测省考中都只有10道，占题目总量的1/10之一不到，有种弃之如可惜，食之无所得的意思。特别是数列，可能只有不到5题的份额。以我个人为例，很多真题即使是看了答案也不甚理解，更别说在有限的考试时间内去完成了。因此，我建议对此类题目合理分配备考精力，不要过度浪费时间去追求100%正确率，在考场当中更应该做好取舍。 即看到数列题后，应当先有一个大致的判断，如项为小数/分数的是小数/分数数列、项数至少多于6的是多项数列以及一般数列（这三类不严格互斥）。之后依据分组或是判断单调性的思路继续处理。 在明白了大概处理思路后，我会依次介绍分数、小数数列、多项数列、常规数列以及其他数列四大类都有哪些常见的套路。 一、分数/小数数列

比较初级的情况就是分数/小数数列也是呈现类似等差、等比的一些规律，但这种就比较简单了，只要有一定的心算基础基本没有问题。 另外一些也是我目前遇到最广泛的情况，就是需要进行分组，如分数数列会分成分子的数列和分母的数列，小数数列会分成整数部分的数列和小数部分的数列，然后分别找规律。 P.s就目前遇到的来说，这类数列在分组之后呈现些简单的规律，当然也不排除就那么难度情况，这时请参考其他数列和常规数列。如果实在找不到，有可能是根本不需要分组的情况或者建议直接放弃。 二、多项数列 和分数、小数数列类似，要么就是纯纯的多给了几项作参考，要么就是要拆分成奇数项数列和偶数项数列分别找规律。 难度么也和分数、小数数列类似，如果找不到规律就参考其他数列和常规数列，还是不行，依然建议放弃。 三、常规数列 根据数列的单调性，我将一般数列再拆成了常规数列和其他数列，就是说这里的数列都是具有单调性的。

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳 1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法： （1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与 项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 （3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 2. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），通项：()11n a a n d =+-()m a n m d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列， 232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组100 n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1 00n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. . （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)

⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 22 21,21 (1)2n n a a n a a n a n =⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n 常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列: 数 列 数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等. 1.数列的有关概念： （1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的 函数。当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。 （3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式 叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 2 21n a n =-。 （4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项 1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中， 121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。 2．数列的表示方法： （1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。 （3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。 3．数列的分类： 按有界性M M M >M n n n n + ⎧≤∈⎪⎨ ⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a 4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:

高中数学数列题型归纳及解题方法梳理

1 数列 典型例题分析 【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数 列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n ，由等比数列前n 项和 公式得 S m =2+22+23+ (2) = =2n+1 -2. 小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的 121d +1812d d ++2m a 2(12)12 n --

公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、 常用求通项公式的结合 例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前 三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝ 8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等 差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n －1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4， b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， 2

数列知识点总结及题型归纳总结

高三总复习----数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)20XX 年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨ +=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322 +=n s n ，求数列}{n a 的通项公式 练习： 1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；

数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五 第二章数列重难点解析 第二章课文目录 2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列 2.3 等差数列的前n项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列前n项和 【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 【难点】 1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、数列的概念与简单表示法 1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； (2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，…. 3.数列的一般形式： aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。是数列的第n项 4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。与n之间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式

数列知识点总结及题型归纳总结

数列知识点总结及题型归纳 一、数列的概念 (1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项)，在第二个位 置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作a ； 数列的一般形式： a 1， a 2， a 3 ，……， a n ，……，简记作 {a n } 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 (1)a, -3, - 1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010 年各省参加高考的考生人数。 (2)通项公式的定义：如果数列 {a n } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ， 2 ， 3 ，4， 5 ， … 1 1 1 1 ②： 1，，，， … 2 3 4 5 数列①的通项公式是 a n = n ( n 共 7， n = N + )， 数列②的通项公式是 a n = n ( n = N + ) 。 说明： ①{a n } 表示数列， a n 表示数列中的第 n 项， a n = f (n ) 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如 ， a n = (-1)n =〈(k =Z)； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… (3)数列的函数特征与图象表示： 序号：1 项 ： 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看， 数列 实质上是定义域为正整数集 N + (或它的有限子集)的函数 f(n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列 函数值 f(1), f(2), f(3), ……， f(n) ，……．通常用 a n 来代替 f (n ) ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列 a n = 2n+ 1 的图像. (4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1)1，2，3，4，5，6，… (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (4)a, a, a, a, a ,… (S 1 (n = 1) (5)数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系： a n =〈 l S n - S n -1 (n ≥ 2) 例：已知数列{a n } 的前 n 项和s n = 2n 2 + 3 ，求数列{a n } 的通项公式 1 n n

数列知识点+例题+答案

数列高考知识点大扫描 数列基本概念 数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类： 依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列； 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：() n a f n = 1、等差数列 1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。 2、通项公式 1(1)n a a n d =+- 1）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。 2）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。 又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-, 相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n