(完整版)数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学

数列专题复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n

a a a n

+++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为

等差数列。

2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

8

33

d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=

，1(1)

2n n n S na d -=+。 如（1）数列 {}n a 中，*

11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，

则1a ＝ ＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：

2*

2*

12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）.

4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=

。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及

n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

5、等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）； (4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a

a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.

如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：

225）

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；()1-n :n S =偶奇：S 。

如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

n

A f n

B =，则21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，

它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若

341

3-+=

n n T S n n ，那么=n

n b a ___________（答：6287n n --） (7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增

等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

???

? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。上述两种

方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大

值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和

0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）

（3）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则（ ） A 、1210,S S S L 都小于0，1112,S S L 都大于0 B 、1219,S S S L 都小于0，2021,S S L 都大于0 C 、125,S S S L 都小于0，67,S S L 都大于0

D 、1220,S S S L 都小于0，2122,S S L 都大于0 （答：B ）

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.

二、等比数列的有关概念：

1、等比数列的判断方法：定义法

1

(n n

a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11

n n n n a a

a a +-=(2)n ≥。 如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：5

6

）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2、等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和q .（答：

6n =，1

2

q =

或2） 3、等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-11n a a q

q

-=-。

如（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++Λ（答：44）； （2）

)(101

∑∑==n n

k k

n

C

的值为__________（答：2046）；

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

4、等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何

两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数

,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及

n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，

2

2,,,,a a a aq aq q q ...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2

q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =g g ，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a =g .

如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++=L （答：10）。

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*

{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若

{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n n

a

b 成等比数列；

若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列

232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且

12100100x x x +++=L ，则101102200x x x +++=L . （答：100100a ）

； （2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20

S 的值为______（答：40）

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若

10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，

则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.

(4) 当1q ≠时，b aq q

a

q q a S n n n +=-+--=

1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）

(5) m n

m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，

若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）

(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，

1S a qS =+奇偶.

(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若

)(1

N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、

2，则{}n a 是等差数列；③若()n

n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）

三、数列通项公式的求法

一、公式法

①???≥-==-)2()111n S S n S a n n

n （；

②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.

例 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+?转化为

11

3

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2

n n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

例 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n

n n a a +-=?+，

进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法

例 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+?转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出

13211221

n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 四、取倒数法

例 已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1

211

+=

--n n n a a a ，求通项公式n a 。

解 将1211+=

--n n n a a a 两边取倒数得：

2111=--n n a a ，这说明}1

{n

a 是一个等差数列，

首项是

111=a ，公差为2，所以122)1(11-=?-+=n n a n ，即1

21

-=n a n . 五、待定系数法

例 已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n

n n a a +=+?转化为1

15

2(5)n n n n a a ++-=-，

从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n

n a -的通项公式，最后再求出数列

{}n a 的通项公式。

例 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n

n n a a +=+?+转化为

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求

出数列{522}n

n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

六、对数变换法

例 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5

123n n n a a +=??转化为

1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++

+++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2

{lg }4164n a n +++的通项

公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 七、迭代法

例 已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21n

n n n

a a ++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n

n n a n a +=+??，即

1

lg 3(1)2lg n n n

a n a +=+，再由累乘法可推知

(1)

12

3!2

132

11221

lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=?????=L ，从而1(1)3!2

2

5

n n n n n a --??=。

八、数学归纳法

例 已知数列{}n a 满足1122

8(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+

++及1

89

a =，得。。。。。。 由此可猜测22(21)1

(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212

(211)18

(211)9

a ?+-==?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，

122

8(1)

(21)(23)k k k a a k k ++=+

++。。。。。。

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。 九、换元法

例 已知数列{}n a

满足111

(14116

n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1(1)24

n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=

-

，代入11(1416

n n a a +=++得。。。。。。即22

14(3)n n b b +=+

因为0n b =≥

，故10n b +=≥则123n n b b +=+，即113

22

n n b b +=+， 可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-，

所以{3}n b -

是以13332b -==为首项，以2

1

为公比的等比数列，因此1

21132()

()2

2n n n b ---==，则21()32n n b -=+

21

()32

n -=+，得 2111

()()3423

n n n a =++。

十、构造等差、等比数列法

① q pa a n n +=+1；②n

n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.

例 已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.

【解析】∴)3(231+=++n n a a ∴.322431

1-=??=++-n n n n a a

【反思归纳】递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；

② 在q pa a n n +=+1中令p

q

x x a a n n -=

?==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .

例 已知数列{}n a 中，n

n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】Θn

n n a a 321+=+，∴

n

n n n n a a )23(2211+=-+，令n n n b a =-1

2

∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---Λ 2)2

3

(2-?=n ∴n n n a 23-=

【反思归纳】递推关系形如“n

n n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“n

n n n f a a )(1+=+求解.

十一、不动点法

例 已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=

+，得2

2420x x -+=，则1x =是函数31()47

x f x x -=+的不动点。

因为17255

112323

n n n n n a a a a a +---=

-=++，所以

2111()()3423

n n n a =++。

n b ，使得所给递推关系式转化

113

22

n n b b +=+形式，

从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q q a q na S n n

n

前n 个正整数的和 2

)

1(321+=

++++n n n Λ 前n 个正整数的平方和 6)

12)(1(3212222++=

++++n n n n Λ

前n 个正整数的立方和 2

3333]2

)1([321+=++++n n n Λ

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 例 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

∴ 1

)32()(++=

n n

S n S n f ＝ ＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

8

8-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比

q ；

然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例：（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++

（I ）设n n a

b n

=，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S

分析：（I ）由已知有1112n n n a a n n +=++11

2

n n n b b +∴-=

利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122

n n b -=-(*

n N ∈)

（II ）由（I ）知122n n n

a n -=-,∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n

k k k k k -===-∑∑

而

1

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又1

1

2n

k k k

-=∑

是一个典型的错位相减法模型， 易得

111242

2n

k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1

242n n -++- 三、

倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

例 求证：n n n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- ∴ n n n S 2)1(?+=

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n

)23741()1

111(12-+???+++++???+++=-n a

a a S n n

当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2

)13(n

n +

当1≠a 时，2)13(111

1n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+---

例：（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212

112(

)a a a a +=+，345345111

64()a a a a a a ++=++

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2

1()n n n

b a a =+

，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο

οο

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

(6)

n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 例 求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

n n n n a n -+=++=

111

则 1

13

212

11+++???+++

+=

n n S n ＝11-+n

例 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 2

11211n

n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82122+-=+?=

n n n n b n

)]111()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n ＝

1

8+n n

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

例 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a

S 2002＝2002321a a a a +???+++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

例 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

例 求3

211

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111

1

-=????=

???k k k 43421321个个 ∴ 3

211

1111111111个n ???+???+++ ＝ ＝9110)110(1091n n ---?

＝)91010(81

1

1n n --+

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

(完整版)数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．

数列求和方法分类及经典例题

数列求和方法总结 一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型 裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，， 二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比 错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-

{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比 分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同 分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号 例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数 例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数 例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数 例：，求及 三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S

(完整版)数列求和经典题型总结

三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =

精品高考数列经典大题

精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；

数列求和汇总例题与答案)

数列求和汇总答案 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积 设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………①

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中，公差2 1= d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二 拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和：) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三 裂项相消法求和 [例].求和： n n +++++++++11341231121 . [例]求和：n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+

高中数列经典题型 大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。

等差数列求和及练习题(整理)

等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）

（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项 及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题）

数列常见题型总结经典(超级经典)

高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法） （1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3 ,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a

1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如 )(1n f a a n n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+= =n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中1111,1-+-= =n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。 2、求数列)2(1232,11 1≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

(完整版)等比数列经典例题范文

1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===

数列求和与求通项方法汇总与经典例题

15 数列求通项问题 数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式； 解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1， 累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型 例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ； 解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴； 例 数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式． 解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ） 所以，所以数列{a n +n }为等比数列． 数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2． 所以，所以． 例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式． 解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1． 两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1． 因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列． 得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣．

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1?基本数列的前n 项和 门佝 aQ 2 1 ⑴等差数列a n 的前n 项和：S n na n(n 1)d an bn ⑵等比数列a n 的前n 项和S n : ①当q 1时，S n na i ;②当q 1时，& a i (1 q n ) a 1 a .q ； ； 1 q 1 q 2.数列求和的常用方法： 公式法：性质法：拆项分组法：裂项相消法；错位相减法；倒序相加法 题型一公式法、性质法求和 a 99 ______________________ 2?等差数列 a n 中，公差d 2，且a1 a 3 a 5 a 99 60，贝V a 1 a ? a 3 a 100 111 ［例1］求数列1 一,2 — ,3-， ,(n 右), 的前n 项和S n ? 题型二拆项分组法求和 (1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ,求S n 。 ［练］?求数列(2n 1)2的前n 项和S n . ［例］?求和: 1 n(n 1) 题型三裂项相消法求和 ［例］?求和: 1 , 2 1 1 ■ 4 “3 ［例］求和：1 ［练4］已知数列a n 满足a 1 1,a n 1 2a n 1 nN 1?已知S n 为等比数列 a n 的前n 项和，公比q 2,S g9 7 ,贝V a 3 a 6 a 9 ［练2］在数列 a n 中，已知 a 1=2, a n+1=4a n — 3n + 1, n € N

h 1 O h 1 1 nh 1 n (1)求数列a n的通项公式。⑵若数列b n满足41 4 2 4 3 4 n a n 1 ，求数列 2n 若c n，求数列c n的前n项和S n。 a n a n 1 题型四错位相减法求和 ［例］?设数列a n为1 2,2 22,3 2 3,4 2 3 n 2n x 0求此数列前n项的和. ［例］?设数列｛a n｝满足a1+ 3a2 + 32a3 + …+ 3n_ 1a n=￡, n€ N*. (1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n= n，求数列｛b n｝的前n项和S n. ［练1］已知数列｛ a n｝、｛b n｝满足a11 , a2 3, b n 1 2(n N*)，b n a n 1 a n。 b n (1)求数列｛b n｝的通项公式； (2)数列｛ C n｝满足C n b n log 2( a n 1)(n * N ),求S n C1 C2 ........ C n。 ［练4］等比数列a n中，已知对任意自然数n, a〔a? a3 a n 2n 1,求a；a；a3 2 A.2n 1 B.12n 1 C.4n 1 1 n . D.— 4 1 3 3 a；的值 b n的通项公式。(3)

数列经典例题(裂项相消法)

数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；

详解数列求和的方法+典型例题

详解数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+ =+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(2 1 3211+= +?+++== ∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6 1 321222212++= +?+++== ∑=n n n n k S n k n （3）、23 3331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 }{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1 -n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1 321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则1 2 321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ②

①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1 321)1( ?)1(11 132n n n nq q q q q q S -+?++++-= - ?)11(11n n n nq q q q S ----= ?q nq q q S n n n ----=1) 1(12 综上所述：????????? ≠≠----=+==)10(1) 1(1)1)(1(2 1 )0(02 q q q nq q q q n n q S n n n 且 解析：数列}{1 -n nq 是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的， 此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。 第三类：裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如： （1）、1 1 1)1(1+- =+= n n n n a n （2）、)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （3）、]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n （ 4 ） 、 n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 2、根式形式，如：

数列经典例题(裂项相消法)20392

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；

涵盖所有高中数列求和的方法和典型例题

数列的求和 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2 ． 公 式 法 ： 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=++++= ∑L 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =++++=????∑L 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项公式 ： 1 11)1(1+-=+n n n n ； 1111 ()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1 (n n n x x x x x x S ++++ ++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 1 10101011112-= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ])101010[(9 1)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[ 911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ n x x x x x x n n 2)1 11()(242242++++++++=ΛΛ （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2) 1() 1)(1(21)1(1)1(2 2222222222+-+-=+--+--=+---