(完整版)等差数列典型例题及分析

第四章 数列

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2;

(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.

[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12

++=n n S n

求数列{}n a 的通项公式。

正解： ①当1=n 时，1

11==S a 当2≥n 时，3

4)1()1(222

2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3

11==S a 当2≥n 时，n

n n n n a n 21)1()1(12

2=-----++= ∴ ⎩⎨

⎧=n a n 23

)

2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

正解：由题意：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+70

2293030102

9101011d a d a 得152,521=

=d a 代入得S 40 ＝120402

39

40401=⨯⨯+

d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；

正解： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2

)

545(n n n n n n

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前n 项和的公式吗？

[例7]已知：n

n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为

最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ⎩⎨

⎧<-=≥-+=+0

2lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 1024

2lg 1024<<⇒+≤<⇒n n

∴3402

=n （2） 0)2lg (2

)

1(1024=--+

=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2

)

1(=--n n 得：99.680412

lg 2048

≈+=

n ∵ +∈N n ∴6805

=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02

=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2

222=+++-p n x p n x 的根。 （02>n S ） 证明：依题意p a a n n =++1

∵p a a a a n n n =+=++121 ∴np

a a n S n n =+=

2

)

(2212 ∵0

)lg (lg lg )lg (lg lg 2

2

2

2

=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2

=-np x ∴n S np x 2== （获证）。 四、典型习题导练

1．已知n

n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。

2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n Λ，求证：2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 。3.求和: n

+++++++++++

ΛΛ3211

321121114.求和： )

12()34()9798()99100(2

22

2

2

2

2

2

-+-++-+-Λ5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---2

2

2

,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。

A ．72

B ．60

C ．48

D ．36

7. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。8.已知数列⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧

+21n a 成等差数列，且713

,6115

3-=-=a a ，求8a 的值。§4.2等比数列的通项与求和

三、经典例题导讲

[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n

（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列正解：当n ＝1时，a 1=S 1＝aq;

当n>1时，)1(1

1-=-=∴--q aq S S a n n n n

q a a n

n =∴

+1

（常数） 但q q a a ≠-=11

2

Θ

∴{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。

[例2] 已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. 错解：S 30= S 10·q 2

. ∴ q 2

＝7，q ＝7±

，∴ S 40= S 30·q =770±.

错因：是将等比数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等比数列.

正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--701)1(101)

1(30

1101q q a q q a 得⎪⎩⎪

⎨⎧-==-=-)

(3210110101舍去或q q q a ， ∴S 40=

20011401

=--）（q q

a . [例3] 求和：a+a 2

+a 3

+…+a n

.

错解： a+a 2

+a 3

+…+a n

＝a

a n

--11.

错因：是（1）数列｛a n

｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用

等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1.

正解：当a ＝0时，a+a 2+a 3+…+a n

＝0;

当a ＝1时，a+a 2+a 3+…+a n

＝n;

当a ≠1时， a+a 2

+a 3

+…+a n

＝a

a n

--11.

[例4]设d c b a ,,,均为非零实数，()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a ，

求证：c b a ,,成等比数列且公比为d 。 证明：

证法一：关于d 的二次方程()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a 有实根，

∴()()

0)(442

2222

2≥++-+=∆c b b a c a b ，∴()

02

2≥--ac

b

则必有：02=-ac b ，即ac b =2

，∴非零实数c b a ,,成等比数列 设公比为q ，则aq b =，2

aq c =代入

(

)

(

)

024

2222

2

2

22=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵(

)

012

2

≠+a q ，即022

2=+-q qd d ，即0≠=q d 。 证法二：∵()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a

∴(

)()

02222

22

22=+-++-c bcd d

b b

abd d a

∴()()02

2

=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd = ∵d c b a ,,,非零，∴

d b

c

a b ==。 [例5]在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前7项之积。 解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b = ∵5362712

4b b b b b b b ===，∴前七项之积()21873

337

3

2==⨯

[例6]求数列}21

{n n ⨯

前n 项和 解：n n n S 2

1

813412211⨯++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛ ①

12

121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ ②

两式相减：1122

11)

211(2

1212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S ΛΛ n n n n n n

n S 2

212)2211(211--=--=∴-+

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每

次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，

问：(1)第5次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg ？

(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的

质量分数为多少？

解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：

a 1= 0.2 （kg ）, a 2=

21×0.2（kg ）, a 3= (2

1)2

×0.2（kg ） 由此可见：a n = (21)n -1×0.2（kg ）, a 5= (21)5-1×0.2= (2

1)4

×0.2=0.0125（kg ）。

(2)由(1)得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =2

1

)

(003125.0200625.0)(00625.039375.04.0)(39375.02

11)211(2.01)1(66

16kg kg kg q

q a S =÷=-=--

=

--=∴ 答：第5次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg ；6次倒出后，一共倒出0.39375kg

盐，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

四、典型习题导练

1.求下列各等比数列的通项公式：

1) a 1=-2, a 3=-8

2) a 1=5, 且2a n +1=-3a n

3) a 1=5, 且

1

1+=+n n

a a n n 2.在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a . 3.已知无穷数列ΛΛΛΛ,10

,10,10,105

15

25

15

-n ，

求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的

10

1

， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列{}n a 为ΛΛΛ1

3

2

4,3,2,1-n nx

x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和。

5.已知数列{a n }中，a 1=-2且a n +1=S n ，求a n ,S n

6.是否存在数列{a n }，其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数列，且公比相同？

7.在等比数列{}n a 中，400,60,364231>=+=n S a a a a ，求n 的范围。

§4.3数列的综合应用

三、经典例题导讲

[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明：

12

12

2

12

1log 2

log log +++n n n S S S ＞。

错解：欲证

12

12

2

12

1log 2

log log +++n n n S S S ＞

只需证22

12

1log log ++n n S S ＞2121log +n S

即证：)(log 22

1+⋅n n S S ＞2

12

1log +n S

由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜2

1+n S

Θ 2+⋅n n S S －2

1+n S

＝

2

2

1212221)

1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ------++ ＝－02

1

q a

∴ 2+⋅n n S S ＜21+n S

∴ 原不等式成立.

错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q ＝1的情况.

正解：欲证

12

12

2

12

1log 2

log log +++n n n S S S ＞

只需证22

12

1log log ++n n S S ＞2121log +n S

即证：)(log 22

1+⋅n n S S ＞2

12

1log +n S

由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜2

1+n S 由已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列，

∴ q >0,01>a .

若1=q ,

则2+⋅n n S S －21+n S ＝2111])1[()2(a n a n na +-+ ＝－2

1a ＜0； 若1≠q ,

2+⋅n n S S －2

1+n S

＝

2

2

1212221)

1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ------++ ＝－02

1

q a

∴ 2+⋅n n S S ＜21+n S

∴ 原不等式成立.

[例4]求数列ΛΛΛΛ,)23(1

,,101,71,41,11132-+++++-n a

a a a n 的前n 项和。

解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 )23(1

1-+=-n a

a n n

)]23(741[)1

111(12-+++++++++=∴-n a

a a S n n ΛΛΛΛ

当1=a 时，2

32)231(2n

n n n n S n +=-++=

当1≠a 时，2)13(12)231(11111n n a a a n n a

a S n n n n n -+--=-++--

=- [例5]求数列

ΛΛΛΛ,)

1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 解：设数列的通项为b n ，则)1

1

1(6)1(+-=+6=

n n n n b n

1

6)111(6)]

1

1

1()3121()211[(621+=

+-

=+-++-+-=+++=∴n n

n n n b b b S n n ΛΛΛΛ

[例6]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()2

1(

2

+∈+=N n a S n n ， 求数列{a n }的前n 项和 解：取n =1，则1)2

1(

12

11=⇒+=a a a

又由 2)(1n n a a n S +=

可得：2

1)2

1(2)(+=+n n a a a n 12)

(1*-=∴∈-≠n a N n a n n Θ

2)12(531n n S n =-++++=∴ΛΛ

[例7]大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问

k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）

解：设相邻两层楼梯长为a ，则

]

2)1([)](21[0)121(22

n

n k n k a k n k a S +++-=-+++++-+++=ΛΛΛΛ

当n 为奇数时，取2

1

+=n k S 达到最小值

当n 为偶数时，取2

2

2+=n n k 或 S 达到最大值

四、典型习题导练

3．已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，并且241+=+n n a S ，11=a

（1） 设n n n a a b 21-=+，求证数列{}n b 是等比数列； （2） 设n

n

n a c 2=

，求证数列{}n c 是等差数列。 4.在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，c b a ,,也成等差数列，求证△ABC 为正三角形。 5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。 6. 已知

是一次函数，其图象过点

，又

成等差数列，求

)()2()1(n f f f +++Λ的值.

等差数列典型例题(含答案)

等差数列试题精选 一、选择题：（每小题5分，计50分） 1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 2．已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．等差数列{}n a 中，已知3 1 a 1= ，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51 6.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 8.已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( ) A ．α1＋α101＞0 B ．α2＋α100＜0 C ．α3＋α99＝0 D ．α51＝51 9.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分） 11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则 =+++1721a a a _____________. 12．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分） 14．等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n. 15．已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。 （1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。 16.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ， 7515=S ，n T 为数列⎭ ⎬⎫ ⎩⎨ ⎧n S n 的前n 项和，求n T 。

等差数列典型例题及详细解答

1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝ a ＋b 2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2 或S n ＝na 1＋ n n －1 2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋? ?? ??a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2 ＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N * ，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B 解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B. 2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C 解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12， 解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C. 3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B 解析 S 11＝ 11 a 1＋a 11 2 ＝ 11a 4＋a 8 2 ＝88. 4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C

等差数列与等比数列十大例题

等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=⎧⎨ +=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（ ；n S =n(n-1) 3n+22 ⨯=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111 (-)4n n+1 ⋅， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11 (1-)= 4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或 例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列

等差数列经典试题(含答案)百度文库

一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129 10 a a a a ++⋅⋅⋅+= （ ） A ． 278 B ． 52 C ．3 D ．4 2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10 C ．6 D ．3 6．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 7．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 8．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n - B ． 3 22 n - C ． 3122 n - D ． 31 22 n + 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 10．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5S C ． 6S D ． 7S 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51 B ．57 C ．54 D ．72 12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215 a b =（ ）

等差数列习题及答案

等差数列习题及答案 【篇一：高一数学等差数列习题及答案1】 09安徽卷）已知 为等差数列， ，则 等于 () a. -1 b. 1 c. 3 d.7 a 2、（2009湖南卷）设sn是等差数列?n?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则s7等于【】 a．13b．35c．49 d． 63 sn {a}3、（2009福建卷）等差数列n的前n项和为，且s3 =6， a1=4，则公差 d等于( ) 5 a．1 bc.- 2 d 3 3 4、实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋ 7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为 [ ] a．1，3，5b．1，3，7 c．1，3，99 d．1，3，9 a 5.（2009安徽卷理）已知?n?为等差数列，a1+a3+a5=105， a2?a4?a6=99，以 sn表示?an?的前n项和，则使得sn达到最大值的n是 （a）21（b）20 （c）19 （d） 18 a 6、（2009全国卷Ⅰ）设等差数列?n?的前n项和为sn，若 s9?72, 则a2?a4?a9 __. 7、 (2009山东卷)在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则 a6?__________ a 8、（2009辽宁卷）等差数列?n?的前n项和为sn，且6s5?5s3?5,则a4?

9、等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项． 10、在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？ 11、在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和． 13、已知数列{an}的前n项和sn，求通项公式an：（1）sn＝5n2＋3n； n （2）sn＝3－2； 1、【解析】∵a1?a3?a5?105即3a3?105∴a3?35同理可得a4∴公差d?a4?a3??2∴a20?a4?(20?4)?d?1.选b。 7(a1?a7)7(a2?a6)7(3?11) ???49.故选c. 2、解: s7? 222 ?a?a1?d?3?a?1或由?2, a7?1?6?2?13. 所以??1 ?a6?a1?5d?11?d?27(a1?a7)7(1?13)s7???49.故选c. 22 3 3、 [解析]∵s3?6?(a1?a3)且a3?a1?2d a1=4 ? d=2.故选c2 4、解 c由题设2b=a＋5a?b=3a 又∵ 14＝5a＋3b，∴ a＝1，b＝3 ∴首项为1，公差为2 n(n?1) 又sn=na1＋d 2 n(n?1) ?33 ∴ a＝1，b＝3，c＝99 5、 [解析]：由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由 a2?a4?6a=99得3a4?99 ?a?0即a4?33 ，∴d??2，an?a4?(n?4)?(?2)?41?2n，由?n得n?20， ?an?1?0 选b 6、解: ??an?是等差数列,由s9?72,得?s9?9a5,a5?8 ?a2?a4?a9?(a2?a9)?a4?(a5?a6)?a4?3a5?24.a1?2d?7? 7、【解析】:设等差数列{an}的公差为d,则由已知得?解得

等差数列典型例题及详细解答

.等差数列典型例题及详细解答

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1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b 2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )

等差数列经典试题(含答案)百度文库

一、等差数列选择题 1．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 2．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72 B ．90 C ．36 D ．45 3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 5．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则 1223910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 6．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 7．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n - B ． 3 22 n - C ． 3122 n - D ． 31 22 n + 8．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前10项的和为 （ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 11 12 9．题目文件丢失！ 10．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且 713n n S n T n -=，则5 5 a b =（ ）

等差数列典型例题

高二数学 等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？ 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98． 代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有 98＝7＋(n －1)·7 解得n ＝14 答 100以内有14个能被7整除的自然数． 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知：a 1＝－1，a 5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7． 【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1 2 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项． 解 d =312 (5) d = d =3 4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′，期通项为--3 2 12 a n n n n =-+-=- - 534134234 23 4 ()即 a =34n 【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N 令，则＝－＝ 为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3 m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)． 则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3

∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数． 【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ． 则－＋＋＋－＋＋＋(x d)x (x d)=15 (x d)x (x d)=83 222 ??? 解得x ＝5，d ＝±2 ∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3 说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法． 【例6】 已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证 ∵a 、b 、c 成等差数列 ∴2b=a ＋c ∴(b ＋c)＋(a ＋b)＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c)＋c ＝2(a ＋c) ∴b ＋c 、c ＋a 、a ＋b 成等差数列． 说明 如果a 、b 、c 成等差数列，常化成2b ＝a ＋c 的形式去运用；反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证2b=a ＋c ．本例的意图即在让读者体会这一点． 【例7】 a b a b 若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111 a b c c 可能是等差数列． 分析 直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法． 证 假设a 、b 、c 是等差数列，则2b=a ＋c 又∵、、成等差数列， ∴，即＝＋．111 211 a b c b a c =+2ac b(a c) ∴2ac ＝b(a ＋c)=2b 2，b 2＝ac ． 又∵ a 、b 、c 不为0， ∴ a 、b 、c 为等比数列， 又∴ a 、b 、c 为等差数列， ∴ a 、b 、c 为常数列，与a ≠b 矛盾， ∴ 假设是错误的． ∴ a 、b 、c 不可能成等差数列． 【例8】 解答下列各题： (1)已知等差数列{a n }，a n ≠0，公差d ≠0，求证： ①对任意k ∈N ，关于x 的方程 a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0有一公共根；

(完整版)等差数列典型例题及分析

第四章 数列 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2; (2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解： ①当1=n 时，1 11==S a 当2≥n 时，3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3 11==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ⎩⎨ ⎧=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。 正解：由题意：⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 ＝120402 39 40401=⨯⨯+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和； 正解： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ [例7]已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为

等差数列题目及答案解析-小学奥数

专题等差数列 知识点1 等差数列 【基础训练】 1、【★】下面数列中数列中，在等差数列的后面画“√”，在不是等差数列的后面画“×”.（1）1,2,3,4,5,6 （） （2）1,2,4,7,11,16 （） （3）1,3,5,7,9,11…… （） （4）1,2,4,8,16,32,…,1024 （） （5）0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,…,0.99 （） （6）0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,…,0.9 （） （7）0.2,0.4,0.6,…,0.8,0.10,1.12 （） （8）9,99,999,9999,99999,999999 （） 【答案】√；×；√；×；×；√；×；× 2、【★】写出下列等差数列的首项、末项、项数、公差. （1）2,3,4,5,6,7,8,9,10 （2）11,20,29,38,47,56,65,74,83,92 （3）5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60 （4）3,13,23,33,43,53,63,73,83 【答案】（1）首项：2；末项：10；项数：9；公差：1； （2）首项：11；末项：92；项数：10；公差：9； （3）首项：5；末项：60；项数：12；公差：5； （4）首项：3；末项：83；项数：9；公差：10. 3、【★】将下面等差数列补充完整. （1）2,4,6,8,10,（）,14 （2）（）,1.2,1.6,2,2.4,2.8 （3）1,3,5,7,9,11,（）,（） （4）0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,…,0.9,（） 【答案】（1）12；（2）0.8；（3）13，15；（4）1 4、【★★】等差数列：11、13、1 5、…，这个数列的第18项是多少？第26项是多少？【答案】45；61 【解析】画图理解：第1项与第18项之间相差18-1=17个公差，公差为2，则第1项与第18项之间相差17×2=34，第18项为11+34=45；第1项与第26项之间相差26-1=25个公差，公差为2，则第1项与第26项之间相差25×2=50，第26项为11+50=61； 5、【★★】已知一个等差数列共20项，公差为6，末项为123.请问首项是多少？ 【答案】9 【解析】画图理解：第1项与第20项之间相差20-1=19个公差，公差为6，则第1项与第20项之间相差19×6=114，第1项为123-114=9； 6、【★★】有一个等差数列，首项是28，末项是82，公差是2，求项数是多少？ 【答案】28 【解析】利用画图分析，末项在首项的基础上增加了多少个公差，（82-28）÷2=27个，末项

等差数列典型例题及分析

等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝ 2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨ ⎧≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2 d ，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.

等差数列基础习题选(附详细答案) - 答案

参考答案与试题解析 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 考点：等差数列． 专题：计算题． 分析： 本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案． 解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3， 由等差数列的通项公式，可得 解得，即等差数列的公差d=﹣1． 故选D 点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题． 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 考点：等差数列． 专题：计算题． 分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论． 解答：解：因为a n=2n+5， 所以a1=2×1+5=7； a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2． 故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列． 故选A． 点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 考点：等差数列． 专题：综合题． 分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值． 解答： 解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣， 则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23 故选A

等差数列典型例题及详细解答

等差数列典型例题及详细解答 (总1 3页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1 ■CAL■本页仅作为文档封面.使用请直接删除

1. 等差数列的定义 -般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母_g_表示. 2. 等差数列的通项公式 如果等差数列｛拐的首项为*公差为d,那么它的通项公式是a.,= a：+a-l）£・ 3. 等差中项 如果A=~,那么月叫做a与b的等差中项. 4. 等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：a n=（n—ai） d（n, mWN*）. ⑵若｛<> 为等差数列，且1=m~\~n（k, m、”WN°）,则az+a』=ac+am （3）若｛%｝是等差数列，公差为"，贝9 ｛吐｝也是等差数列，公差为竺 ⑷若｛山，⑹是等差数列,贝!」｛皿+也｝也是等差数列. ⑸若&｝是等差数列，公差为〃，则必，站”必口，…（匕 4）是公差为迢的等差数列. 5. 等差数列的前n项和公式 设等差数列｛““｝的公差为〃，其前“项和S”=^宁或必=“5+巴亍丄〃. 6. 等差数列的前”项和公式与函数的关系 数列｛"”｝是等差数列S…=An2+Bn（A. B为常数）. 7. 等差数列的前”项和的最值 在等差数列｛“”｝中，心0,（1<0,则&存在最大一值:若E<0, d>0,则S“存在最小值. 【思考辨析】 判断下而结论是否正确（请在括号中打“ J ”或“ X ” ） （1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（X ） ⑵数列｛“”｝为等差数列的充要条件是对任意都有2如尸心+如2・（J） （3）等差数列｛心｝的单调性是由公差〃决定的.（J） （4）数列｛“”｝为等差数列的充要条件是其通项公式为"的一次函数.（X ） ⑸数列｛"”｝满足“,小一"产”，则数列｛“”｝是等差数列.（X ） ⑹已知数列｛⑷｝的通项公式是心=””+/苴中p,彳为常数），贝IJ数列｛““｝一立是等差数列.（V ） 1. （2015•重庆）在等差数列｛如中,若他=4,心=2,则心等于（） A・一 1 B. 0 C・ 1 D・ 6 答案B 解析由等差数列的性质，得“6二如-"2二2X2 - 4二0 ,选B. 2. （2014 •福建）等差数列｛血｝的前〃项和为几若t/i=2, 53=12,则心等于（）

等差数列经典试题(含答案)

一、等差数列选择题 1．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n - B ． 3 22 n - C ． 3122 n - D ． 31 22 n + 2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21 2 ，则该数列的项数是（ ） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 3．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 7．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10 C ．6 D ．3 8．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-49．题目文件丢失！ 10．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 11．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22 12．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129 10 a a a a ++⋅⋅⋅+= （ ） A ． 278 B ． 52 C ．3 D ．4 13．在数列{}n a 中，129a =-，() * 13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a ++ +=（ ） A ．10 B ．145

(完整版)等差数列练习题有答案

数列 A 、等差数列知识点及例题 一、数列 由n a 与n S 的关系求n a 由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为1 1(1)(2) n n n S n a S S n -=⎧=⎨ -≥⎩。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。 解答：（1） （2） …… 累乘可得， 故 （3）

二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2 n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足1111 20(2),2 n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{ 1 n S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g → 1n S 与1 1n S -的关系→结论； （2）由 1 n S 的关系式→n S 的关系式→n a 解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =1 1a =2为首项， 以2为公差的等差数列。 （2）由（1）知 1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =1 2n ,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。又∵

等差数列典型例题及详细解答

1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋ a l＝a m＋a n. (3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列． (5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝或S n＝na1＋d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 S n＝n2＋n. 数列{a n}是等差数列?S n＝An2＋Bn(A、B为常数)． 7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最__大__值；若a1<0，d>0，则S n存在最__小__值． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝ a n＋a n＋2.(√) (3)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．(√) (4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×) (5)数列{a n}满足a n＋1－a n＝n，则数列{a n}是等差数列．(×) (6)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．(√) 1．(2015·重庆)在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于() A．－1B．0C．1D．6 答案B 解析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B. 2．(2014·福建)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于() A．8B．10C．12D．14 答案C 解析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，

经典等差数列性质练习题目含答案详解

等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1 C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2 C．3 D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1 B．3 C．2 D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0 B．8 C．3 D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5 B．3 C．﹣1 D．1 11．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1 B．﹣1 C．2 D．