数列的概念经典例题 百度文库

一、数列的概念选择题

1．已知数列{}n a 的通项公式为2

n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实

数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞

B ．(),2-∞

C ．(),1-∞

D ．(),0-∞

2．在数列{}n a 中，11a =，11n n

a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．()3,+∞

B ．[

)3,+∞

C ．()2,+∞

D ．[)2,+∞

3．数列{}n a 的通项公式是2

76n a n n =-+，4a =（ ）

A ．2

B ．6-

C ．2-

D ．1

4．已知数列{}n a 的前n 项和2

23n S n n =-，则10a ＝（ ）

A ．35

B ．40

C ．45

D ．50

5．已知数列2233331131357135

1,,,,,,,...,,,, (2222222222)

n

n n ，则该数列第2019项是（ ） A ．

1019892 B ．

10

2019

2 C ．

11

1989

2 D ．

11

2019

2 6．数列{}n a 满足()1

1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）

A ．1006

B ．1176

C ．1228

D ．2368

7．已知数列{}n a ，若(

)12*

N

n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n

a 为“凸数列”.已知数列{}

n

b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5

B ．5-

C ．0

D ．1-

8．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n

n n a a n +=+⋅，则15a =（ ）

A ．151422⋅+

B ．141322⋅+

C ．151423⋅+

D ．151323⋅+

9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有

()()()f x f y f x y ⋅=+，若112

a =

，()()

*

n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．

1324

n S ≤< B ．

3

14

n S ≤< C ．102

n S <≤

D ．

1

12

n S ≤< 10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ）

A ．1(1)n n a a n n --=>

B ．20210a =

C ．1024是三角形数

D ．

123111121

n n a a a a n +++⋯+=+ 11．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3

D ．3

12．已知数列{}n a 的通项公式为()()2

11n

n a n

=--，则6a =（ ）

A ．35

B ．11-

C ．35-

D ．11

13．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，

1

1

12()n

n

n S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）

A ．210

B ．211

C ．224

D ．225

14．已知数列2

65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

15．数列1

2，16，112，120

，…的一个通项公式是（ ） A ．()1

1n a n n =-

B ．()1

221n a n n =

-

C ．111

n a n n =

-+ D ．11n a n

=-

16．已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2+3,n

n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数

，若{}n a 为周期数列，则1a 的

可能取到的数值有（ ） A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．无数个

17．在数列{}n a 中，11

(1)1,2(2)n

n n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0

B ．

53

C ．

73

D ．3

18．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）

A ．201920212S F =+

B ．201920211S F =-

C ．201920202S F =+

D ．201920201S F =-

19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1

3

n n S +=，则34a a +=（ ）

A ．81

B ．243

C ．324

D ．216

20．

已知数列,21,

n -21是这个数列的（ ）

A ．第10项

B ．第11项

C ．第12项

D ．第21项

二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54

C ．S 2020＝a 2022－1

D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋

a 2021＝a 2022

22．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

23．已知数列{}n a 满足0n a >，

121

n n n a n

a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）

A ．11a =

B ．121a a =

C ．201920202019S a =

D ．201920202019S a >

24．若数列{}n a 满足112,02

121,1

2

n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为

（ ） A ．

1

5

B ．

25

C ．

45

D ．

65

25．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}

F n ，则(){}

F n 的通项公式为（ ）

A ．(1)1()2

n n F n -+=

B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==

C ．(

)1122n n

F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦

D ．(

)1122n n

F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦

26．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =

B ．733S =

C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 27．设数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是

（ ）

A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列

B ．若2

n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列

C ．若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列

D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈也成等差数列

28．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >

D ．110S >

29．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有

m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）

A ．11285a a a a +=+

B ．56110a a a a <

C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103

a = D ．数列n S n ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

为递减的等差数列 30．已知数列{}2

n

n a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6

D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列

31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-

B ．310n

a n

C ．2

28n S n n =- D ．2

4n S n n =-

32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ）

A ．在数列{}n a 中，1a 最大

B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大

C ．310S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

33．在数列{}n a 中，若22*

1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数

列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(

)*

,kn a k N

k ∈为常数)也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 34．数列{}n a 满足11,121

n

n n a a a a +=

=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和2

n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列

35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a

B ．35S

C ．1719a a -

D ．1916S S -

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】

由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于

λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】

由已知得22

1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，

因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，

所以3λ<， 故选：A. 【点睛】

本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.

2．D

解析：D 【分析】

利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】

11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，

由累加法可得

()()()()12132111232

n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++

+=

，

()122211

n a n n n n ∴

==-++，2222

2222222311n S n n n ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+

+-=-< ⎪ ⎪ ⎪

++⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.

故选：D. 【点睛】

本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

3．B

解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】

令4n =，2

447466a =-⨯+=-

故选：B. 【点睛】

数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.

4．A

解析：A 【分析】

利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.

【详解】

223n S n n =-,

n 2∴≥时，1n n n a S S -=-

22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n

1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35

故选：A. 【点睛】

本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .

(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2

≥时n a 的表达式．

(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．

5．C

解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号

里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，

故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11

21

2

m -， 所以第12个括号里的第995项是11

1989

2

. 故选：C. 【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

6．B

解析：B

根据题意，可知()

1

1121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，

248a a +=，572a a +=，6824a a +=，

，45472a a +=，4648184a a +=，可知，

相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组

求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】

解：由题可知，()1

1121n n n a a n ++=-+-，

即：()

1

1121n n n a a n ++--=-，则有：

211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，

659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，

，

474691a a +=，484793a a -=.

所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，

，

45472a a +=，4648184a a +=，

可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ， 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++

++++，

()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =++++

+++++++++

1211

1221281611762

⨯=⨯+⨯+

⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B. 【点睛】

本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.

7．B

解析：B 【分析】

根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】

()*

21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，

故选：B.

本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.

8．D

解析：D 【分析】

在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减

法求15a . 【详解】

12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，

12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，

34332a a -=⋅

11(1)2n n n a a n ---=-⋅，

以上1n -个等式，累加得123

11122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅+

+-⋅①

又

2341

122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②

①- ②得23

112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅

12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，

(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，

151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，

故选：D 【点睛】

本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.

9．D

解析：D 【分析】

根据题意得出111

2

n n n a a a a +==

，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】

取1x =，(

)y n n N

*

=∈，由题意可得()()()111

112

n n n a

f n f f n a a a +=+=⋅==

， 11

2n n a a +∴

=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12

为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即

1

12

n S ≤<. 故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

10．C

解析：C 【分析】

对每一个选项逐一分析得解. 【详解】

∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；

将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)

22

n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令

(1)

10242

n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 12

1111111

1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++

=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】

本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

11．C

解析：C 【分析】

根据题设条件，得到数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中

1234560a a a a a a +++++=，再由2020336644a a a ⨯+==，即可求解.

【详解】

由题意，数列{}n a 中，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-， 可得

3214325436547653,3,6,3,3,

a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=，

可得数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=， 所以20203366443a a a ⨯+===-. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12．A

解析：A 【分析】

直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2

11n

n a n

=--，所以626(1)(61)35a =--=.

故选：A 【点睛】

本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.

13．D

解析：D 【分析】

利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1

1

12()n

n

n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，

得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，

所以11515()15(291)15

22522

a a S ++=

==， 故选：D ． 【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．

14．A

解析：A 【分析】

首先将n a 化简为()2

34n a n =--，即可得到答案。

【详解】

因为()

()2

2

69434n a n n n =-+-=--

当3n =时，n a 取得最小值。 故选：A

15．C

解析：C 【分析】

根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. ()

1

1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.

选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2

111

22221126

a ==≠⨯⨯⨯-，故B 不正确. 选项C.

11122=-，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯ 所以11

1

n a n n =

-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111

1012

a =-=≠,故D 不正确. 故选：C

16．B

解析：B 【分析】

讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】

已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2

+3,n

n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数

. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

③若13a =，则26a =，33a =，46a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意

的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，

此时，{}n a 为周期数列；

⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.

下面说明，当19a ≥且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列.

（1）当(

34

12,2a ⎤∈⎦且1N a *

∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；

（2）假设当(

()1

12,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦

且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(

()1

212

,23,k k a k k N ++*

⎤∈≥∈⎦

时. 若1a 为正偶数，则(11

22,22

k k a a +⎤=

∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则(

(1

213

2132

3,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，

由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.

综上所述，当19a ≥且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列.

因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】

本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．

17．B

解析：B 【分析】

由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ．

11a =，21123a a ∴=+

=，321523

a a -=+= 故选：B

18．B

解析：B 【分析】

利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++

+++，可得

21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.

【详解】

由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++

1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++

=

123211n n n n F F F F F F ---=++++

+++，

所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，

故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出

21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.

19．D

解析：D 【分析】

利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】

利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，

34216a a ∴+=

故选：D 【点睛】

本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.

20．B

解析：B 【分析】

根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】

令2121n -=，解得n =11

是这个数列的第11项.

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.

二、多选题 21．BCD 【分析】

由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可

解析：BCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++

++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----

即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，

()()()135202124264202220202022+++

+++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.

故选：BCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.

22．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，，，，故A 正确；

对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确；

对于D ，，，， ， 各式相加

解析：AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.

23．BC 【分析】

根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，

当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则

解析：BC 【分析】

根据递推公式，得到11n n n

n n a a a +-=-，令1n =，得到121

a a =，可判断A 错，B 正确；

根据求和公式，得到1

n n n

S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】

由121n n n a n a a n +=+-可知2111

n n n n n

a n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则12

1

a a =

，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错；

1221321

111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++

+=-+-+

+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：

由递推公式求通项公式的常用方法：

（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如

()1

n n

a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通

项时，常需要构造成等比数列求解；

（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2

,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.

24．ABC 【分析】

利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环

解析：ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

5

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +⎧

≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC.

【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.

25．BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列

解析：BC 【分析】

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】

解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，

显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，

，

()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且

()()11,21F F ==，即B 满足条件；

由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(

)(

)(

)()11F n n F n n ⎤+-

=--⎥⎣⎦

所以数列(

)()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭

是以12+

为首项，12+为公比的等比数列， 所以(

)(

)1n

F n n +-=⎝⎭

11515()n F F n n -

+=++， 令

1

n

n n F

b -=

⎝⎭

，则11n n b +=

+， 所以1n n b b +=-，

所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩

⎭以

510-3

2

-为公比的等比数列，

所以1

n n b -+，

所以()11

15n n n n

F n --⎤

⎤⎛⎫

+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎣⎦

； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】

考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．

26．ABCD 【分析】

由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，， 可得：.故是斐波那契数列中的第

解析：ABCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.

对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-

2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；

故选：ABCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.

27．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列

解析：BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:

2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;

选项C: ()11n

n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，

12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;

选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.

28．ABD 【分析】

转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，

因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误

解析：ABD 【分析】

转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.

数列的概念经典试题(含答案)百度文库

一、数列的概念选择题 1．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()* 11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =， 22017a =，则100S =（ ） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 2．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,, (2222222222) n n n ，则该数列第2019项是（ ） A ． 1019892 B ． 10 2019 2 C ． 11 1989 2 D ． 11 2019 2 5．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j = 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）

A ．2n a n = B ．3,12,2 n n a n n =?=?≥? C ．21n a n =+ D ．3n a n = 7．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 8．已知数列{}n a 满足11a =，()*11 n n n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ． 1 2018 B ． 1 2019 C ． 1 2020 D ． 1 2021 9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有 ()()()f x f y f x y ?=+，若112 a = ，()() * n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ． 1324 n S ≤< B ． 3 14 n S ≤< C ．102 n S <≤ D ． 1 12 n S ≤< 10．已知数列{}n a 满足()( )*622,6 ,6 n n p n n a n p n -?--≤=∈?>?N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ） A ．71,4?? ??? B ．101, 7?? ??? C ．()1,2 D ．10,27?? ??? 11．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3 D ．3 12．在数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1- B ． 12 C ．1 D ．2 13．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列 {}n a 为周期数列，周期为T ． 已知数列{}n a 满足()111,1 0,{1 ,01n n n n n a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B ．若m = ，则数列{}n a 是周期为3的数列； C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列； D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．

数列的概念经典例题 百度文库

一、数列的概念选择题 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184 B ．174 C ．188 D ．160 2．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知( )* 123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若 23a <，则n 的最大值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．已知数列{}n a 的通项公式为23n n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ． 89 B ． 23 C ． 6481 D ． 125 243 5．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，() * 21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ） A ．4- B ．5- C ．4 D ．5 6．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075 7．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．()1(21)n n a n =-- C ．() 1 1(21)n n a n +=-- D ．() 1 1(21)n n a n +=-+ 8．已知数列{}n a 的通项公式为2 n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(),2-∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞ 9．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *= ∈≥，且

数列的概念试题及答案百度文库

一、数列的概念选择题 1．在数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1- B ． 12 C ．1 D ．2 2．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 3．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 4．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j = 5．已知数列,21, n -21是这个数列的（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项 D ．第21项 6．的一个通项公式是（ ） A ．n a = B ．n a = C ．n a = D ．n a =7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11 n n n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ． 1 2018 B ． 1 2019 C ． 1 2020 D ． 1 2021

8．数列{}n a 满足 112a =，111n n a a +=-，则2018a 等于( ) A ． 1 2 B ．－1 C ．2 D ．3 9．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 10．已知数列{}n a 的通项公式为()()2 11n n a n =--，则6a =（ ） A ．35 B ．11- C ．35- D ．11 11．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343 a =，454a =，56 5a =，可归纳得 数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1 += n n a n B ．2 1 n n a n += + C ．3132 n n a n -=- D ．221 n n a n = - 12． 函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ． 1312 π B ． 54 π C ． 1712 π D ． 76 π 13．在数列{}n a 中，2 1 n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列 B ．不是单调数列 C ．是递增数列 D ．是递减数列 14．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11 3 a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ． 23 B ． 13 C ．2- D ．3- 15．数列1111 ,,, 57911 --，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32 n n --+ B ．(1)32 n n -+ C ．1(1)23 n n --+ D ．(1)23 n n -+ 16．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648 B ．722 C ．800 D ．882

数列的概念练习题(有答案) 百度文库

一、数列的概念选择题 1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ） A ．()2 1n a n n =-- B ．2 1n a n =- C ．()12 n n n a += D ．() 12 n n n a -= 2．已知数列{}n a 满足: 12a =，11 1n n a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007 B ．1008 C ．1009.5 D ．1010 3．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()* 123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若 23a <，则n 的最大值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 5．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯ B ．20191010⨯ C ．20202020⨯ D ．20192019⨯ 6．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j =

7．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足* 112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则 （ ） A ．63243a a a ≤- B ．2736+a a a a ≤+ C ．7662)4(a a a a ≥-- D ．2367a a a a +≥+ 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ） A ．2n a n = B ．3,1 2,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+ D ．3n a n = 9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ） A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤. B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥. C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤. D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 10．在数列{}n a 中，()11 11,1(2)n n n a a n a --==+ ≥，则5a 等于 A ． 3 2 B ． 53 C ．85 D ． 23 11．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么 24620201a a a a ++++ +=（ ） A ．2021a B ．2022a C ．2023a D ．2024a 12．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075 13．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30 B ．20 C ．40 D ．50 14．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，() * 11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =， 22017a =，则100S =（ ） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 15．已知数列{}n b 满足1 2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的 取值范围是（ ） A ． 10 1, 3 B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(-1，1) D ．1,12⎛⎫ - ⎪⎝⎭

数列题型及答案

数列题型及答案 【篇一：数列例题(含答案)】 2n=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； 【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由 a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0① 再由s4=4s2，得 联立①、②得a1=1，d=2． 所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； 当n≥2时，=．，得，则．，即d=2a1②所以，． rn=c1+c2+…+cn=③ ④ ③﹣④得：= 所以 所以数列{cn}的前n项和 ；． 2．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值． ，【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则 1 解得， 所以an=3+（n﹣1）=n+2； （Ⅱ）bn=2+n=2+n， 210n所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（2+2）+…+（2+10） 210=（2+2+…+2）+（1+2+…+10） = 3．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈n）为等差数列，且a1=3， a3=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1． *+=2101．【解答】（i）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d． 由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1． （ii）证明：因为==，所以即得证． ++…+=+++…+==1﹣＜1， 4．已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈n）在函数y=x+1的图象*2上．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； an2（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2，求证：bn?bn+2＜bn+1． 【解答】解：解法一： （Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1﹣an=1，又a1=1， 所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列． n（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1﹣bn=2． bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1 n﹣1n﹣2=2+2+…+2+1 = 2 ∵bn?bn+2﹣bn+1=（2﹣1）（2﹣1）﹣（2﹣1） 2n+2nn+22n+2n+1=（2﹣2﹣2+1）﹣（2﹣2?2+1） n=﹣2＜0 2∴bn?bn+2＜bn+1 解法二： （Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）∵b2=1 2nn+12=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1bn?bn+2﹣bn+1=（bn+1﹣2）（bn+1+2）﹣bn+1 nn+1=2（bn+1﹣2） nnn+1=2（bn+2﹣2） nn=2（bn﹣2） =… =2（b1﹣2） n=﹣2＜0 2∴bn?bn+2＜bn+1 5．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 【解答】解：（i）设等差数列{an}的公差为d． ∵a4﹣a3=2，所以d=2 ∵a1+a2=10，所以2a1+d=10 ∴a1=4， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…） （ii）设等比数列{bn}的公比为q，

数列的概念练习题(有答案)百度文库

一、数列的概念选择题 1．已知数列{}n a 的通项公式为()()2 11n n a n =--，则6a =（ ） A ．35 B ．11- C ．35- D ．11 2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ） A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤. B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥. C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤. D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11 02 a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+ D ．71089a a a a +>+ 4．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 5．已知数列{}n a 满足11a = ),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 6．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 7．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫= + ⎪⎝⎭ ，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S ++ +=（ ） A ．135 B ．141 C ．149 D ．155 8．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯ B ．20191010⨯ C ．20202020⨯ D ．20192019⨯ 9． 3 … … ，则 ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项

数列的概念练习题(有答案)百度文库

一、数列的概念选择题 1．已知数列{a n }满足112,0,2 121, 1. 2n n n n n a a a a a +⎧ ≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 若a 1=35,则a 2019 = ( ) A ． 1 5 B ． 25 C ． 35 D ． 45 2．已知数列{}n a 满足11a = ),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 3．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 4．在数列{}n a 中，10a = ，1n a +，则2020a =（ ） A ．0 B ．1 C ．D 5．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 6．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知( )* 123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若 23a <，则n 的最大值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 7．已知数列{}n a ，若( )12* N n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1- 8．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+ B ．21n + C ．2(1)1n -+ D ．2n 9． 3 … … ，则 ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 10．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列 {}n a 为周期数列，周期为T ．

数列的概念练习题(有答案)

一、数列的概念选择题 1．已知数列2 65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 3． 已知数列,21, n -21是这个数列的（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项 D ．第21项 4．若数列的前4项分别是 1111,,,2345 --，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n -- B ．(1)n n - C ．1 (1)1 n n +-+ D ．(1)1 n n -+ 5．已知数列{}n a 的通项公式为()()2 11n n a n =--，则6a =（ ） A ．35 B ．11- C ．35- D ．11 6．在数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1- B ． 12 C ．1 D ．2 7．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足11 1 n n n a a a +-= +，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ） A ．504 B ．294 C ．294- D ．504- 8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184 B ．174 C ．188 D ．160 9．已知数列{}n a 满足11a = ),2n N n *= ∈≥，且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120 B ．174 C ．204- D ． 373 2 10．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，

数列的概念及简单表示方法训练题(带详细答案)

数列的概念及简单表示方法训练题（带详细答案） 【基础练习】 1．下列数列（1） 1， 51,41,31,21（2）,2 1 ,31,41,511是同一个数列吗？ 答:不是同一个数列,因为这些数对应的顺序不同. 2. 下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数 （1）()()1,3,6,10,15,21,28,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （2）()()3,5,9,17,33,65,129,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （3）()1,4,9,16,25,36,⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 3.下面数列中递增数列是 (1)(2)(6） ，递减数列是（4）(7) ，常数数列是（3） ，摆动数列是 （5） . （1）0,1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （2）82,93,105,119,129,130,132; （3）3,3,3,3,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1,---⋅⋅⋅⋅⋅⋅; （6） 2精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅的不足近似值构成数列 1,1.4,1.41,1.414,;2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 2精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅过剩近似值构成数列2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 4.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9⋅⋅⋅⋅⋅⋅;21n a n =-； （2）9,7,5,3,1,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;211n a n =-+； （3）222221314151;,;;2345----()() 2 111n n a n +-= +； （4）1111,,,,12233445----⨯⨯⨯⨯.()() 111n n a n n =-+； 5.根据数列的通项公式填表 n 1 2 3 … 5 … 12 … n n a 21 33 45 … 69 … 153 … ()334n + 【典型例题】 类型一 根据数列的前几项写出数列的通项公式 例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）1111,,,;234--（2）2,0,2,0.（3）9,99,999,9999,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;

数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=. （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++ ++=， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ⨯=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

数列的概念经典试题(含答案)

一、数列的概念选择题 1．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45 B ．46 C ．47 D ．48 2．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（ ）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 3．已知数列{}n a 的前n 项和2 23n S n n =-，则10a ＝（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50 4．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯ B ．20191010⨯ C ．20202020⨯ D ．20192019⨯ 5．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足* 112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ） A ．63243a a a ≤- B ．2736+a a a a ≤+ C ．7662)4(a a a a ≥-- D ．2367a a a a +≥+ 6．数列2345 1,,,,,3579 的一个通项公式n a 是（ ） A ． 21n n + B ． 23 n n + C ． 23 n n - D ． 21 n n - 7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11 n n n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ． 1 2018 B ． 1 2019 C ． 1 2020 D ． 1 2021 8．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ． 123111121 n n a a a a n +++⋯+=+ 9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ） A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤. B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥. C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

数列的概念经典试题(含答案)

一、数列的概念选择题 1．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列 {}n a 为周期数列，周期为T ． 已知数列{}n a 满足()111,1 0,{1 ,01n n n n n a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B ．若m = ，则数列{}n a 是周期为3的数列； C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列； D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列． 2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ） A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤. B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥. C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤. D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．在数列{}n a 中，10a = ，1n a +，则2020a =（ ） A ．0 B ．1 C ．D 4．数列{}n a 满足()1 1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ） A ．1006 B ．1176 C ．1228 D ．2368 5．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足* 112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ） A ．63243a a a ≤- B ．2736+a a a a ≤+ C ．7662)4(a a a a ≥-- D ．2367a a a a +≥+ 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ） A ．2n a n = B ．3,1 2,2 n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+ D ．3n a n = 7． 已知数列,21, n -21是这个数列的（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项 D ．第21项