初三数学圆的重要知识点总结

初三数学圆的重要知识点总结

初三数学圆的重要知识点总结

在平日的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。想要一份整理好的知识点吗？以下是小编收集整理的初三数学圆的重要知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

初三数学圆的重要知识点总结篇1

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合

5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

7.同圆或等圆的半径相等

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d>r

13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角

19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

20.①两圆外离 d>R+r

②两圆外切 d=R+r

③.两圆相交 R-rr)

④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)

21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

22.定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

27.正三角形面积√3a/4 a表示边长

28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

29.弧长计算公式：L=n兀R/180

30.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2

31.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

32.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

34.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

35.弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r

初三数学圆的重要知识点总结篇2

1.圆中心的一点叫圆心，用O表示。一端在圆心，另一端在圆上的线段叫半径，用r表示。

两端都在圆上，并过圆心的线段叫直径，用d表示。

2.圆有无数条半径，有无数条直径。

3.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

4.把圆对折，再对折就能找到圆心。

5.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。

6.在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=d/2.

圆的周长

8.圆的周长除以直径的商是一个固定的数，叫做圆周率，用字母表示，计算时通常取3.14.

9.C=d或C=r. 半圆的周长

10. 1=3.14 2=6.28 3=9.42 4=12.56 5=15.7 6=18.84

7=21.98 8=25.12 9=28.26 10=31.4

圆的面积

11.用S表示圆的面积， r表示圆的半径，那么S=r^2 S环=(R^2-r^2)

12. 11^2=121 12^2=144 13^2=169 14^2=196 15^2=225

16^2=256

17^2=289 18^2=324 19^2=361 20^2=400

13.周长相等时，圆的面积最大。面积相等时，圆的周长最小。

面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。

周长相同时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。

周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

第四单元：比的认识

15.两个数相除，又叫做这两个数的比。比的后项不能为0.

16.比的前项和后项同时乘上或除以一个相同的数(0除外)。比值不变，这叫做比的基本性质。由于在平面直角坐标系中，先画X轴，而X轴上的坐标表示列。先用小括号将两个数括起来，再用逗号将两个数隔开。括号里面的数由左至右为列数和行数。

列数与行数必须是具体的数，而不能用字母如(X，5)表示，它表述一条横线，(5，Y)它表示一条竖线，都不能确定一个点。

初三数学圆的重要知识点总结篇3

一、圆

1、圆的有关性质

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA 叫半径。

由圆的意义可知：

圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的`点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆

l、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心

定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角

则两个钝角之和＞180°

与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

初三数学圆的重要知识点总结篇4

圆定义：

(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

(2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：

(1)如定义(1)中，该定点为圆心

(2)如定义(2)中，绕的那一端的端点为圆心。

(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。

(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数(无理数)，用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

周长计算公式

1.、已知直径：C=πd

2、已知半径：C=2πr

3、已知周长：D=cπ

4、圆周长的一半:12周长(曲线)

5、半圆的长：12周长+直径

面积计算公式：

1、已知半径：S=πr平方

2、已知直径：S=π(d2)平方

3、已知周长：S=π(c2π)平方

点、直线、圆和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径

③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径

②直线l和⊙O相切<=>d=r;

圆和圆定义：

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。

两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。

原理：圆心距和半径的数量关系：

两圆外离<=>d>R+r两圆外切<=>d=R+r两圆相交<=>R-r<>=r)

正多边形和圆

1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。

3、正多边形的有关概念：

(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。

(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。

(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。

(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

4、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆。

(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。

初三数学圆的重要知识点总结篇5

1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”

2、与圆有关的概念

（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）

（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆）

（3）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）

3、点和圆的位置关系：

如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：

（1）d

（2）d=r →圆上

（3）d>r →圆外

4、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

5、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

6、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

7、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

8、弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积

(1)弧长公式：lnr 180

nr21lr(2)扇形的面积公式：3602

(3)圆锥的侧面积公式：rl

(4)圆锥的表面积公式：rlr

9、圆与圆的位置关系

①两圆外离 d﹥R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切 d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)

初三数学圆的知识点总结及例题详解

初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O

初三数学圆的重要知识点总结

初三数学圆的重要知识点总结 初三数学圆的重要知识点总结 在平日的学习中，是不是经常追着老师要知识点？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。想要一份整理好的知识点吗？以下是小编收集整理的初三数学圆的重要知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 初三数学圆的重要知识点总结篇1 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d>r 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 27.正三角形面积√3a/4 a表示边长 28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 29.弧长计算公式：L=n兀R/180

初三数学圆知识点总结初三数学圆知识点

初三数学圆知识点总结初三数学圆知识点 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧：小于半圆周的弧。 (2)优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

初三年级数学圆的知识点归纳

初三年级数学圆的知识点归纳 【篇一】 1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上d=r;②点在圆内dd>r. 二.圆的对称性： 1.与圆相关的概念： ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ⑧弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三.圆周角和圆心角的关系： 1.圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等; 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 四.确定圆的条件： 1.理解确定一个圆必须的具备两个条件： 经过一点能够作无数个圆,经过两点也能够作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念： (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

九年级数学圆的知识点总结大全

第四章：《圆》 一、知识回顾 圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr² 圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径） 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内⇒d r <⇒点C在圆内； 2、点在圆上⇒d r =⇒点B在圆上； 3、点在圆外⇒d r >⇒点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离⇒d r >⇒无交点； 2、直线与圆相切⇒d r =⇒有一个交点； 3、直线与圆相交⇒d r <⇒有两个交点； A

四、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 图1 图2 图4 图5 D

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 1、圆是定点的距离等于定长的点的集合 2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 4、同圆或等圆的半径相等 5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。 10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 11、推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 18、推论：2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 21、①直线L和⊙O相交 d ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d>r 22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

初三数学圆知识点总结完整版

初三数学圆知识点总结完整版 圆是一种最完美的图形，在许多方面，它们也具有很多独特的特性。圆的知识点有很多，其中也含有复杂的数学知识。在初三的数学课上，很多学生都可能会遇到圆在数学当中的应用。 首先，要了解圆的各种基本概念，包括圆心、半径、圆心角、切线和切点等概念。其次，要弄清楚圆和其他几何关系，如圆至直线有何关系，圆心角如何计算，以及圆的切面与圆所表现出的关系。最后，要熟练掌握解决圆面积、圆周长和圆周长对圆周长比等典型问题的方法。 1、圆的基本概念：圆（circle）是一组相同半径的点的一组，同时，它也有一个共同的圆心，半径和圆心角。同时，圆的圆心到任意一点的距离都是相等的，这个距离叫做半径，简写为r，圆上任意两点之间的弧形是圆或圆弧。 2、直线和圆的关系：圆至直线有交点，其形式有三类：直径是直线，圆上有两个交点；切线是直线，圆上只有一个交点；内切线是直线，不与圆相交。 3、圆的面积和周长：圆的面积是指圆上的点集所围成的面积，它的计算公式是：S = π r^2 (π的值大约等于3.14)；圆的周长是指圆上每一点到圆心的距离之和，它的计算公式是：C = 2πr (π的值大约等于3.14)。 4、圆心角和切点：圆心角是由极角和圆周上任意一点所确定的角，它等于圆周上任一点到圆心的角度，计算公式为γ = 2π/n (n是角数)；切点是由两条切线的交点，它是圆的一个特殊点，它也是中心角与半径的连线的交点。 5、常见圆形问题：解决圆面积、圆周长和圆周长比等典型问题，可以根据上面提到的面积、周长公式，以及利用图形分析法和极坐标分析法来解决。 圆在数学中以及更广泛的科学中都具有重要的地位，它不仅具有各种基本概念，而且可以解决许多有用的问题，因此学习圆在数学中的应用，对更好地学习数学和其他相关的学科很有帮助。希望各位学生们可以充分利用时间和精力学习圆的知识，以应对更多的学习任务。

初三数学圆的知识点整理

1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 6.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条 弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 8.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等。 9.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 相等,所对的弦相等。 10.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 相等,所对的弧相等。 11.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 12.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半. 13.半圆（或半径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是 直径。 14.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做 圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 15.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相 等. 16.圆内接四边形的对角互补。 17.点P在圆外——d 〉r 点P在圆上--d = r 点P在圆内— -d < r 18.不在同一直线上的三个点确定一个圆。 19.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的 外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 20.直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交，这条 直线叫做圆的割线。

九年级数学圆的知识点总结大全

圆的知识点总结： 一、圆的定义和性质： 1.圆的定义：平面上到一个定点的距离恒定的点的轨迹称为圆。 2.圆的性质： （1）圆的半径相等的两个圆，称为相等的圆。 （2）圆的直径是任何一条穿过圆心的线段，它的两个端点都在圆上。 （3）圆的弦是任何一条连接圆上两点的线段。 （4）圆心角是顶点在圆心的角。 （5）弧是圆上的一段弯曲部分。 （6）弦长是弦的长度。 （7）弧长是弧所对的圆心角所对应的圆周上的弧所对应的弧长。 （8）圆内角是圆内部构成的角。 （9）圆周角是拓展到同弧所对应的圆心角。 二、圆的构造： 1.以三点确定一个圆：通过三点构造两条垂直平分线，其交点即为圆心，半径为圆心到点的距离。 2.以圆心和一个点确定一个圆：以圆心为中心，该点到圆心的距离作 为半径。

3.以圆上两点确定一个圆：以两点为直径的线段的中点为圆心，该线段长度的一半为半径。 三、圆的基本元素的关系： 1.半径和直径的关系：直径是半径的两倍。 2.弧的关系：相等的圆周角对应的弧相等，幅弧对应的圆心角相等。 3.圆心角和弧的关系：圆心角等于其所对的弧的弧长所对应的圆心角的一半。 四、圆的性质和定理： 1.圆心角的性质和定理： （1）同圆的圆心角相等。 （2）同弧的圆心角相等。 （3）对径的邻角互补，即它们的和为180°。 2.弦的性质和定理： （1）在圆上，如果一个正方形的对角线两个端点和落在圆上，那么它的两边就是两条弦，这两条弦是相等的。 （2）在圆中，如果两条弦相交，并且两对交点分别相连，则交点两侧形成的四个角对应的弧那么他们的和是不变。 3.弧的性质和定理： （1）在圆中，如果两个圆弧所封的圆心角相等，则它们所封的圆弧相等。

九年级数学圆的知识点总结大全

一、圆的定义和性质 1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的要素：圆心、半径、圆周。 3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。 二、弧与圆周角 1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。 2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。 3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。 4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。 三、切线与弦 1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。 2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。 3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。 4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。

四、相交弦定理 1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。 2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。 五、余弦定理 1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。 2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。 六、正多边形的面积公式 1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷2 2.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√2 3.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√3 4. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长） ²×tan(22.5°)。（其中 tan 为正切函数） 七、同位角、同弧角 1.同位角：两条平行线被两条相交线所截得的对应角。 2.同弧角：两个角所对的弧相等。 八、弧长公式 1.弧长的定义：圆弧和半径所夹的角的度数与半径所对应的弧长的比例是恒定的。

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定：

初三数学圆知识点大全

初三数学圆知识点大全

初三数学圆知识点大全 1、圆的有关概念： (1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。 (2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 2、圆的有关性质 (1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(7)圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角;圆外切四边形对边和相等; (8)弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。 (9)和圆有关的比例线段：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 (10)两圆相切，连心线过切点;两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

数学初三圆的知识点总结

数学初三圆的知识点总结 圆是平面几何中一个重要的概念，对于初三学生来说，理解和掌握圆的知识点是非常必要的。下面我将对圆的知识点进行总结，希望对初三的学生有所帮助。 一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离都相等的点的轨迹。 2. 圆的元素：圆上的每个点都称为圆上的点，由圆心和半径组成。 3. 圆的表示方法：圆心为O，半径为r的圆通常记作O(r)。 4. 圆的常用术语：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、相切等。 二、圆的性质 1. 圆心角与弧的关系 （1）定义：以圆心为顶点的角叫做圆心角。 （2）性质： - 圆心角的度数等于其所对的弧的度数； - 圆心角相等的弧相等； - 圆心角的度数等于弧所扫过的弧度数。 2. 弧长与弧度的关系 （1）定义：圆上任意一段的长度叫做该弧的弧长。 （2）性质：弧长等于半径与弧度的乘积。

3. 弦长与弧度的关系 （1）定义：弦上任意一段的长度叫做该弦的弦长。 （2）性质：- 弦长等于直径乘以弧度的正弦值的一半。 4. 切线与切点 （1）定义：与圆有且仅有一个公共点的直线叫做圆的切线，该点叫做切点。 （2）性质：切线垂直于半径，并且过切点的切线只有一个。 5. 切线长定理 对于两条相交的切线，交点两边的切线段的乘积等于切点外的整条切线段的平方。 即 PA^2 = PB × PC （P为切点，A为切线上一点，B、C为切线上两个交点） 三、圆的重要定理 1. 切线与半径的关系定理 切线与半径的相交弧各自所对的圆心角相等。 2. 弧切定理 切线与弦的交点，切线与切点外的整个圆的两条弧所对的圆心角是互补角。 3. 同弧或同半径的圆上的圆心角、弧长和面积相等。 4. 相交弧与矩形面积的关系 相交弧所对的扇形面积等于扇形的圆心角与圆的整个面积的比

初三数学圆知识点总结

圆——知识点总结归纳 要点归纳 一．圆的认识 1．圆的定义 〔1〕在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，如右图所示。 〔2〕圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。 说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念 〔1〕弦：连结圆上任意两点的线段。〔如右图中 的CD 〕。 〔2〕直径：经过圆心的弦〔如右图中的AB 〕。 直径等于半径的2倍。 〔3〕弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧。〔如 右图中的CD 、CAD 〕 其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD ，小 于半圆的弧叫做劣弧。 〔4〕圆心角：如右图中∠COD 就是圆心角。 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 〔1〕定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 〔2〕推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4．过三点的圆。 〔1〕定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。 〔2〕三角形的外接圆圆心〔外心〕是三边垂直平分线的交点。 5．垂径定理。 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论： 〔1〕①平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧。 〔2〕圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6．与圆相关的角 〔1〕与圆相关的角的定义 ①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 ③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 〔2〕与圆相关的角的性质 A O B C D A

九年级数学圆的知识点总结大全

知识点总结 知识回顾 圆的周长：C=2 JI r或C=Jr d、圆的面积：S= π r2 圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=Jr (R2-r2 ) (R是大圆半径，r是小圆半径) 知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； • •• 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之 间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二.点与圆的位置关系 1、点在圆内=> d点C在圆内; 2、点在圆上=> d = r => 点B在圆上; 3、点在圆外=> d > r => 点A在圆外; 三.直线与圆的位置关系 直线与圆相离=> d>r=>无交点; 2、直线与圆相切=> d = r=>有一个交点; 3、直线与圆相交=> d 有两个交点;

四. 圆与圆的位置关系 外离 （图1） => 无交点 => d> R + r↑ 外切 （图2） => 有一个交点 => cl = R +r ； 相交 （图3） => 有两个交点 => R-r 有一个交点 => d = R-r ； 内含 （图 5） => 无交点 => d

初三数学 圆的知识点总结及典型例题

圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两 个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不 是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对 的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个 就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两 个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1