九年级数学圆知识点及例题

九年级数学圆知识点及例题圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，它与我们日常生活息息相关。本文将带领大家系统地了解九年级数学中与圆相关的知识点，并提供一些例题进行辅助学习。

一、圆的基本概念

1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点（圆心）距离相等的所有点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。

二、圆的基本性质

1. 圆的半径与直径的关系：直径是半径的两倍。

2. 圆的周长：圆的周长是其直径的倍数，即周长等于直径乘以π（π≈

3.14）。

3. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。

三、圆的判定

1. 距离判定定理：给定一定距离，平面上到该距离相等的点构成的图形是圆。

2. 切线定理：过圆外一点有且仅有一条切线，该切线与半径垂直。

四、圆的位置关系

1. 同圆：拥有相同半径的两个圆。

2. 内切和外切：一个圆与另一个圆内部的一个点或外部的一个点相切。

3. 相交与相离：两个圆相交的情况包括相切和交叉，而相离则是两个圆不相交。

五、圆的综合应用

1. 圆和三角形的关系：圆内切于一个三角形的关系、圆外接于一个三角形的关系等。

2. 圆和正多边形的关系：正n边形的内切和外切圆等。

3. 圆和椭圆、抛物线、双曲线的关系。

下面我们来看一些九年级数学中与圆相关的例题。

例题1：已知一个圆的半径是5cm，求其周长和面积。

解：根据圆的周长公式，周长等于直径乘以π。我们已知半径

是5cm，则直径是半径的两倍，即10cm。所以，圆的周长为

10cm × π ≈ 10 × 3.14 ≈ 31.4cm。

另外，根据圆的面积公式，面积等于半径的平方乘以π。所以，圆的面积为5cm × 5cm × π ≈ 25 × 3.14 ≈ 78.5cm²。

例题2：已知圆A的半径是8cm，圆B的直径是12cm，判断

这两个圆的位置关系。

解：首先，我们通过直径的关系得知，圆B的直径是圆A的直径的1.5倍，即12cm = 8cm × 1.5。所以，圆B与圆A外切。

另外，因为圆B的直径比圆A的直径大，所以圆B相对于圆A 是外部位置。

综上所述，圆B是圆A的外切圆，两个圆相离。

通过学习本文，相信大家对九年级数学中关于圆的知识点和应用有了更深入的了解。掌握这些知识，可以帮助我们在解决实际问题和解题过程中更加灵活和高效。

人教版九年级数学复习：第二十四章 圆的知识点总结及典型例题

圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可 推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平 分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦 心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出 另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧 所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝1°，求MN的长。 解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝1°∴∠AOM＝60° ∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝

九年级下数学专题：圆 (知识点 试题及答案)

九年级下数学专题：圆 1．圆的圆的有关概念： （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径． （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角． （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 2．圆的有关性质： （1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。 2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 5.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是90°，90°所对的弦是直径。 7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。

九年级数学圆知识点及习题(含答案)

1、圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 。 2.圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分 这条弦 ，并且平分 弦所对的弧 ；平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的弧 。 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。 5.同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于它所对的圆心角的 一半 。 6.直径所对的圆周角是 90° ，90°所对的弦是 直径 。 7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 外 心，是三角形 三边垂直平分线 的交点。 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ，内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 的交点，叫做三角形的 内心 。 9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． 10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 2、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种：① 点在圆外 ，② 点在圆上 ，③ 点在圆内 ；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为： ①d > r ，②d = r ，③d < r. 2.直线与圆的位置关系共有三种：① 相交 ，② 相切 ，③ 相离 ； 对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为： ①d < r ，②d = r ，③d > r. 3.圆与圆的位置关系共有五种： ① 内含 ，② 相内切 ，③ 相交 ，④ 相外切 ，⑤ 外离 ； 两圆的圆心距d 和两圆的半径R 、r （R ≥r ）之间的数量关系分别为： ①d < R-r ，②d = R-r ，③ R-r < d < R+ r ，④d = R+r ，⑤d > R+r. 4.圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过 直径 的一端，并且 垂直于 这条 直径 的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等，这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角。 3、与圆有关的计算 1.圆的周长为 2πr ，1°的圆心角所对的弧长为 180r ，n °的圆心角所对的弧长

九年级数学圆知识点易错题

初三数学圆易错题 例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变 而改变？ 分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上 再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然 后从中观察规律． 解： 连结OP， P点为中点． 小结：此题运用垂径定理进行推断． 例2下列命题正确的是( ) A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦． 解： A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确． B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确． C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆． D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦． 故选B． 例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等． 解： 设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°， x＝45°． ∴∠D＝90°．

小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长． 例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水 平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度 尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以 求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是 __________cm． 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切 线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行 合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画 一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个 角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解． 解： ． 小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17， 公共弦AB＝16，求两圆的圆心距． 解：分两种情况讨论： (1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连 结，则垂直平分AB，∴． 又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在中，． 在中，． 故． (2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与 AB交于C，连结． ∵垂直平分AB，

九年级数学圆知识点及例题

九年级数学圆知识点及例题圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，它与我们日常生活息息相关。本文将带领大家系统地了解九年级数学中与圆相关的知识点，并提供一些例题进行辅助学习。 一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点（圆心）距离相等的所有点的集合。 2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。 二、圆的基本性质 1. 圆的半径与直径的关系：直径是半径的两倍。 2. 圆的周长：圆的周长是其直径的倍数，即周长等于直径乘以π（π≈ 3.14）。 3. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。 三、圆的判定 1. 距离判定定理：给定一定距离，平面上到该距离相等的点构成的图形是圆。

2. 切线定理：过圆外一点有且仅有一条切线，该切线与半径垂直。 四、圆的位置关系 1. 同圆：拥有相同半径的两个圆。 2. 内切和外切：一个圆与另一个圆内部的一个点或外部的一个点相切。 3. 相交与相离：两个圆相交的情况包括相切和交叉，而相离则是两个圆不相交。 五、圆的综合应用 1. 圆和三角形的关系：圆内切于一个三角形的关系、圆外接于一个三角形的关系等。 2. 圆和正多边形的关系：正n边形的内切和外切圆等。 3. 圆和椭圆、抛物线、双曲线的关系。 下面我们来看一些九年级数学中与圆相关的例题。 例题1：已知一个圆的半径是5cm，求其周长和面积。

解：根据圆的周长公式，周长等于直径乘以π。我们已知半径 是5cm，则直径是半径的两倍，即10cm。所以，圆的周长为 10cm × π ≈ 10 × 3.14 ≈ 31.4cm。 另外，根据圆的面积公式，面积等于半径的平方乘以π。所以，圆的面积为5cm × 5cm × π ≈ 25 × 3.14 ≈ 78.5cm²。 例题2：已知圆A的半径是8cm，圆B的直径是12cm，判断 这两个圆的位置关系。 解：首先，我们通过直径的关系得知，圆B的直径是圆A的直径的1.5倍，即12cm = 8cm × 1.5。所以，圆B与圆A外切。 另外，因为圆B的直径比圆A的直径大，所以圆B相对于圆A 是外部位置。 综上所述，圆B是圆A的外切圆，两个圆相离。

九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版

【学习目标】 九年级数学上册 第24 章《圆》知识点梳理 1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1.圆的定义 (1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心

1 2 n 是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质 (1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4. 与圆有关的角 (1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有 点 P 在⊙O 外； 点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当 时， 在⊙O 上. 3. 直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .

九年级数学上册圆的知识点及练习(含答案)

旋转中心 第四讲：旋转和圆的基础知识 一、旋转 （一）．概念： 1. 旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这 个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角. 例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点 A 、B 、C 分别移动到什么位置？ 2 .中心对称图形：图形绕着中心旋转 180°后与自身重合称中心对称图形（如：平行四边 形、圆等）。 （二）．性质 1. 旋转的性质： ① 旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等). ② 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角). ③ 经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等2. 旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度. 二、圆 （一）.圆的相关概念 旋转中心

三 1、圆的定义 在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2、圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆 O” (二).弦、弧等与圆有关的定义 （1） 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的 AB ） （2） 直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的 CD ） 直径等于半径的 2 倍。 （3） 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4） 弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以 A ，B 为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母 表示） 三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3） 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直 径 平 分 弦 知 二 推 平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性

九年级《圆》章节复习知识点归纳及典例分析

知识点一：圆的基本性质 【知识要点】 圆的半径、直径、弦、弧等 【典型例题】 【例1】 1、例P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 2、已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？ 3、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点 P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（） （A）2条（B）3条（C）4条（D）5条 4、过⊙O内一点M的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4 厘米，则OM的长为（） （A）3厘米（B）5厘米（C）2厘米（D）5厘米 5、半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为（） （A）3厘米（B）4厘米（C）5厘米（D）6厘米

知识点二：垂径定理 【知识要点】 圆的半径、直径、弦、弧等 【典型例题】 【例1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图， CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的 长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ） 2 25 寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 2、如图，AB 是⊙O 直径，CD 是弦．若AB ＝10厘米，CD ＝8厘米，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为 （ ） （A ）12厘米 （B ）10厘米 （C ）8厘米 （D ）6厘 米 3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10厘米，AP ∶PB ＝1∶5，那么⊙O 的半径是 （ ） （A ）6厘米 （B ）53厘米 （C ）8厘米 （D ）35厘米 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足是G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长是_________．

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷 并且可以用于解决一些圆的问题。 在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和 DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。 七、切线与切点 1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线； 2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点； 3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆 心的距离等于半径长。 在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的 距离等于半径OA的长度。 参考答案：

一、圆的概念 集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。 三、直线与圆的位置关系 直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。 四、圆与圆的位置关系

圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。 五、垂径定理 垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 六、圆心角定理 圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理。 七、切线与切点 切线是过圆上一点的直线，切点是圆上与切线相切的点。切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线及圆的位置关系 1．直线及圆有唯一公共点时,叫做直线及圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆及圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . O • • C B A O • B O C A D • D B C A

九年级圆的基本知识点总结

九年级圆的基本知识点总结 在数学学科中，圆是一个非常重要的几何概念。它是由一个平 面上的所有点到一个固定点的距离相等而形成的。在九年级数学 学习中，我们对圆的性质、元素以及相关定理进行了学习和探究。本文将对九年级圆的基本知识点进行总结，并通过例子和解析来 加深理解。 一、圆的定义与性质 圆是一个平面上的所有点与一个固定点的距离相等而构成的。 固定点称为圆心，距离也称为半径。 1. 圆的性质 （1）圆的半径相等； （2）圆的直径是两个通过圆心的点的线段，并且等于圆的半 径的两倍； （3）圆的任意两点与圆心构成的线段都是半径； （4）圆的弧是圆上两点间的一部分； （5）圆的切线垂直于半径。

二、圆的元素 1. 圆心 圆心是一个重要的元素，它是圆上所有点到该点的距离相等的中心。 2. 半径 半径是从圆心到圆上任意一点的线段。所有半径的长度相等。 3. 直径 直径是通过圆心的两个点的线段，它等于半径的两倍。 4. 弧 弧是圆上两点之间的一部分。弧由圆心角所对的圆周上的点集构成。 5. 弦 弦是圆上的两点之间的线段。

三、圆的相关定理 1. 圆的周长和面积 圆的周长是圆周的长度，记为C。圆的面积是圆内部的平面区域，记为A。 （1）圆的周长：C = 2πr （其中r为半径） （2）圆的面积：A = πr² 2. 切线与切点 对于与圆相交的直线，如果这条直线只有一个交点，称为切线；如果有两个交点，称为割线。切点是切线与圆的交点。 3. 切线与半径的关系 圆的切线与半径在交点处垂直。也就是说，切线和通过切点的 半径形成的角是直角。 4. 弦的性质 （1）一个圆只有一个直径；

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题(附答案)

《圆》章节知识点复习和练习附参考答案 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内； 2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上； 3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点； 2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； A

五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 图1 图2 图4 图5 B

九年级数学圆知识点和例题

九年级数学圆知识点和例题 圆是我们数学学科中的一个重要概念，它有着广泛的应用。在 九年级数学中，我们需要掌握圆的基本知识和解决与圆相关的问题。本文将围绕圆的知识点和例题展开讨论。 1. 圆的定义 圆是由平面上到一个固定点的距离等于定长的所有点构成的集合。该固定点称为圆心，定长称为半径，半径的两倍则是直径。 可以用圆的方程 x² + y² = r²表示，其中(x, y)表示平面上的任意点，r表示半径的长度。 2. 圆的性质 圆的性质有很多，这里简要介绍几个重要的性质： - 圆的任意直径都相等。也就是说，一个圆上的任意两点可以 确定一个直径，而不同的圆无论大小，它们的直径长度是相等的。 - 圆上任意两点与圆心的连线都相等。这个性质也叫做弦长定理，它可以用来解决一些与弦、弧有关的问题。 - 圆上的任意弧的度数等于对应的圆心角的度数。这个性质与 三角函数密切相关，可以用来求解一些与角度有关的问题。

3. 圆的周长和面积 圆的周长和面积是我们在解决与圆有关问题时常用到的量。 - 圆的周长等于圆周上的一段弧的长度，它可以通过圆周长公 式C = 2πr 计算，其中π近似等于3.14。 - 圆的面积等于圆内所有点构成的区域的大小，它可以通过圆 面积公式A = πr² 计算。 4. 常见的题型和例题 在九年级数学中，有一些常见的与圆相关的题型，接下来我们 通过例题来介绍这些题型的解题方法。 例题1：已知圆A的半径为6cm，圆B的直径是圆A半径的2倍，求圆B的面积。 解：圆B的半径是圆A半径的2倍，所以圆B的半径为2 * 6cm = 12cm。利用圆面积公式A = πr²，圆B的面积为 A = 3.14 * 12² ≈ 452.16cm²。 例题2：已知圆的周长为24πcm，求该圆的半径、直径和面积。

北师大版九年级圆复习总结及试题

九年级数学第三周复习试题 一、【知识点归纳】 1、直线与圆的位置关系一览表： 3、圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径 4、圆的切线的判别方法 经过直径一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线，由此可以看出要判定直线为圆的切线必须具备两个条件：（1）经过直径一端；(2)垂直于这条直径．二者缺一不可，否则就不是圆的切线，另外由切线的判定定理我们得到了过圆上一点作圆的切线的方法，即过已知点作圆的直径(或半径)；再过该点作直径(或半径)的垂线，该条垂线就是圆的切线． 注意：证明一条直线是圆的切线的题型有两类：(1)已知直线与圆的公共点(即切点)，连接公共点与圆心，证明垂直；(2)不知道直线与圆的公共点，那就要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径． 二、典型例题 例1:（2014•枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8． （1）求OD的长； （2）求CD的长．

例2（2015•枣庄）如图，在△ABC中，△ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与△O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD•2OE； （3）若cos△BAD=，BE=6，求OE的长． 一、填空题： 1、（15四川内江市）如图，在△O的内接四边形ABCD中，AB是直径，△BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则△ADP的度数为（）

A ． 40° B ． 35° C ． 30° D ． 45° 1题图 2题图 3题图 4题图 2、（15浙江湖州）如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD =2， tan △OAB =，则AB 的长是( ) A . 4 B . 2 C . 8 D . 4 3、（15浙江嘉兴）如图，中，AB =5，BC =3，AC =4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则△C 的半径为（ ） （A ）2.3 （B ）2.4 （C ）2.5 （D ）2.6 4、（15广东梅州）如图，AB 是△O 的弦，AC 是△O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心.若△B =20°，则△C 的大小等于（ ） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50° 5. （15潍坊）如图，AB 是△O 的弦，AO 的延长线交过点B 的△O 的切线于点C ，如果△ABO =20°，则△C 的度数是（ ） A ．70° B ． 50° C ． 45° D ． 20° 5题图 6题图 7题图 8题图 6.（15泸州）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为( ) A. 65° B. 130° C. 50° D. 100° 7.（15云南）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立．．． 的是( ) C B 第8题图 O A B E C D O

20201年九年级中考数学考点综合复习 圆 相关知识点解答题专项

【圆】相关知识点解答题专项集锦（含解析） 1．已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝30°，连接AC．（Ⅰ）如图①，求∠A的大小； （Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，∠BCE＝120°，BE＝8，求CE的长 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D． （1）求证：∠BCD＝∠A． （2）将△ADC折叠，使AD与DC边重合，折痕DE分别交AC，BC于点E，F．当CE＝1时，求EF的长． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC 于E． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AE＝5，BE＝3，求图中阴影部分的面积．

4．如图，点C是⊙O外一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为点D，连接CO并延长交⊙O于点B，连接BD并延长与BC的垂线CA交于点A． （1）求证：CD＝AC； （2）若EC＝ED，⊙O的半径是3，求AC的长． 5．在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）． （1）请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标； （2）请找出一个点D，使得直线CD与⊙M相切，并写出点D的坐标．

6．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G． （1）求证：△ABE≌△BCG； （2）若∠AEB＝55°，∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π） 7．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC． （1）求证：△PAD∽△PCB； （2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．

九年级数学--圆知识点和典例训练

1圆的对称性 主要内容： （一）圆的定义及相关概念 1. 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 这个定点叫做圆心，定长叫做半径。 圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。同一圆 的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。 2. 圆的基本元素： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 经过圆心的弦叫直径。（如图） （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。 简称弧，弧用符号表示。 （3）半圆、劣弧、优弧 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。 每一条弧都叫做半圆。 小于半圆的弧叫做劣弧。CD* EC. 大于半圆的弧叫做优孤-用三个字母表示：嬴 （4）圆心角 顶点在圆心的角，叫做圆心角。/ COD （5）同心圆、等圆、等弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够重合的两个圆叫等圆。 半径相等的两个圆也叫等圆。 等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 3. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 经过圆心的直线是对称轴。 圆心是它的对称中心。 4. 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等。 (2)T金=后 二N盘0B = ZA'OB'5 AB=A'B l 如图，用几何语言表示如下： O O 中，（1）vZ AOB =Z A'OB' (3)v AB = A'B' /. ZAOB= ZA'OB1, 恳=品

例3.在O O 中，弦AB = 12cm ，点O 到AB 的距离等于 圆的半径。 分析：根据O 到AB 的距离，可利用垂径定理解决。 解：过O 点作OE 丄AB 于E •/ AB = 12 丄直 B = -xl2 = 6 2 2 由垂径定理知： 虹二 BE 二丄AB 二 6 2 5.直径垂直于弦的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图：几何语言 fAE-EE CT 为直径 CD 丄止E 【典型例题】 =>< AD = DE AC = CE 例1.选择题： （1）下列说法中，正确的是（ ） A.长度相等的弧是等弧 B.两个半圆是等弧 C.半径相等的弧是等弧 D.直径是圆中最长的弦 答案：D （2）下列说法错误的是（ ） A.圆上的点到圆心的距离相等 B.过圆心的线段是直径 C.直径是圆中最长的弦 D.半径相等的圆是等圆 答案：B 例2.如图，已知AB 是O O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB , DN 丄AB 。 求证=AC- 分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心 角相等。 证明：连结OC 、OD •/ M 、N 分别是OA 、OB 的中点 ・*-014 = -0A ・ ON = -OB 2 2 •/ OA = OB ,••• OM = ON 又 CM 丄 AB , DN 丄 AB , OC = OD • Rt △ OMC 也 Rt △ OND •••/ AOC = Z BOD C_D EP

北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结及典型例题

【文库独家】 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；

④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1