线性代数课后习题答案解析

线性代数课后题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

相信自己加油

（1）

3811411

02

---； （2）b a c a c b c

b a

（3）

2

2

2

111

c b a c b a ； （4）

y

x

y x x y x y y x y x +++.

解 注意看过程解答（1）=---3

81141

1

2811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯

)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-

（2）

=b

a c

a c

b c

b a cc

c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=

（3）

=2

2

2

1

11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=

（4）

y

x

y

x x y x y y x y x

+++

yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n

2 4 … )2(n ；

（6）1 3 … )12(-n

)2(n )22(-n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为

2

)

1(-n n ：

3 2 1个 5 2，5

4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n

)1(-n 个

（6）逆序数为)1(-n n

3 2 1个 5 2，5

4 2个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n

)1(-n 个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个

3.写出四阶行列式中含有因子

2311a a 的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为

43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p

已固定，

4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

4.计算下列各行列式：

多练习方能成大财

（1）⎥⎥

⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢

⎢⎣⎢711

00251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦

⎥

⎢⎢⎢

⎢⎣⎢-26

0523********

12； （3）⎥⎥⎥⎦

⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf

de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥

⎥⎥⎦

⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a

100

110011001 解

(1)

7

1

100251020214

2

1434327c c c c --0

10

01423102

02110214---

=

34)1(143102211014

+-⨯--- =

14

3

10

2211014

--3

2

1132c c c c ++14

17

1720

1099-=0

(2)

26

5232112131412-24c c -2

6050321221

304

12-

24r r -0412

03212213

0412

- 14r r -0

000

032122130412-=0

(3)

ef

cf

bf

de cd bd ae ac ab

---=e

c

b

e c b e c b

adf ---

=1

1

1

111111

---adfbce

=abcdef 4

(4)

d

c b a 100110011001---21ar r +

d c

b a ab 1001

10011

010

---+

=1

2)

1)(1(+--d

c

a a

b 10

1

101--+

2

3dc c +0

10111-+-+cd c ad a ab

=

2

3)

1)(1(+--cd

ad

ab +-+111=1++++ad cd ab abcd

5.证明:

(1)1

1

1

2222b b a a b ab a +=3)(b a -;

(2)

bz

ay by ax bx

az by ax bx

az bz ay bx az bz ay by

ax +++++++++=y

x

z x z y

z y x b a )(33+;

(3)

0)3()2()1()3()2()

1()3()2()1()3()2()1(2

2

2

2

2

2

2

2

22222222

=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;

(4)4

44422221111d c b a d c b a d c b a

))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1

221

100000100

001a x a a a a x x x n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明

(1)

1

22222221

312a b a b a a b a ab a c c c c ------=

左边

a

b a b a

b a ab 22)1(2

221

3-----=+ 2

1)

)((a

b a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bz

ay by ax z by ax bx az y bx

az bz ay x a ++++++分开

按第一列

左边

bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++

++++++002

y by ax z

x bx

az y z bz ay x a 分别再分bz

ay y

x by

ax x z

bx

az z y b +++

z

y

x

y x z

x z y b y

x

z

x z y z y x a 33+分别再分

右边=-+=233)1(y

x

z

x z y

z

y x b y

x

z

x z y

z y x a (3) 2

2

22

2

2

2

2

22

222222

)3()2()12()3()2()12()3()2()

12()3()2()12(++++++++++++++++=

d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边

9644129644129

64

4129644122

222

141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c

964496449

64

4964422

2

2

2

++++++++d d d

d c c c c

b b b b a a a a 分成二项按第二列96441964419

64

41964412

2

22+++++++++d d d c c c b b b a a a

9

4949

49494642

2

22

24232423d

d c c

b b a a

c c c c c c c c ----第二项

第一项

06416416416412

2

22=+d d

d c c c

b b b a a a

(4) 444444422222220001a d a c a b a a d a c a b a a

d a c a b a ---------=左边

=

)

()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)

()()(111

))()((222a d d a c c a b b a

d a

c a

b a d a

c a b

++++++---

=⨯---))()((a d a c a b

)()()()()(0

0122222a b b a d d a b b a c c a b b b

d b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b

)()()()(1

12

222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++

=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-

(5) 用数学归纳法证明

.,1

,22121

22命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==

假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即

,12211

1-----++++=n n n n n a x a x a x D

:1列展开按第则n D

1

110010

001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1

所以，对于n 阶行列式命题成立.

6.设

n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依

副对角线翻转，依次得

n

nn

n a a a a D 11111

=， 1

1112

n nn

n a a a a D = ，11

113

a a a a D n n

nn

=，

证明D D D D D n n =-==-32

)1(21

,)1(.

证明 )det(ij a D =

n

nn n n

n n

nn

n a a a a a a a a a a D 2211

1111111

1

1)

1(

--==∴

=--=--n

nn n n

n n n a a a a a a a a 3311

22111121)1()1( nn n n

n n a a a a

111121)1()1()1(---=--

D D n n n n 2

)1()1()2(21)

1()1(--+-+++-=-=

同理可证nn

n

n n n a a a a D 11112

)1(2

)

1(--=D D n n T n n 2

)1(2

)1()

1()1(---=-=

D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2

)1(2

)1(22)

1(3

)1()

1()1()1(

7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：

(1)a

a

D n

1

1

=,其中对角线上元素都是

a ，未写出的元素都是0；

(2)x

a

a

a x a a a x

D n

=

;

(3) 1

1

11)()1()()1(1111

n a a a n a a a n a a a D n n n n

n n

n ------=---+;

提示：利用范德蒙德行列式的结果．

(4)

n

n

n

n

n d c d c b a b a D

00

01

1

112=;

(5)

j

i a a D ij ij n -==其中),det(;

(6)n

n a a a D +++=

11

11

111

1

12

1 ,021≠n a a a 其中.

解

(1)

a

a a a a D n 00

01

000000000

000

1000

=

按最后一行展开

)

1()1(10

0000

000010000)1(-⨯-+-n n n a

a a

)

1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a

a

(再按第一行展开)

n n n n

n a a a

+-⋅-=--+)

2)(2(1)1()1(

2--=n n a a )1(22-=-a a n

(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得

a x x a a x x

a a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得

a

x a x a x a a a a

n x D n ----+=00

0000

000

)1( )

(])1([1

a x a n x n --+=-

(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n

行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2

)

1(1)1(+=++-+n n n n 次行

交换，得

n

n n

n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(11

11

)

1(1112

)1(1-------=---++

此行列式为范德蒙德行列式

∏≥>≥++++--+--=1

12

)1(1)]1()1[()

1(j i n n n n j a i a D

∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙

-∙-=---=1

12

1

)1(2

)1(1

12

)1()][()

1()

1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i

∏≥>≥+-=

1

1)(j i n j i

(4)

n

n

n

n

n d c d c b a b a D 0

1

1

112

=

n n n n n n

d d c d c b a b a a 000000

111

1

111

1

----

展开

按第一行

0)

1(11

1

1111

1

1

2c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+-+

2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开

由此得递推公式：

222)(--=n n n n n n D c b d a D

即 ∏=-=n

i i i i i n

D c b d a D 222)(

而 11111

1

1

1

2c b d a d c b a D -==

得 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

2)(

(5)

j

i a ij -=

4321401233101222101

13210)det( --------=

=n n n n n n n n a D ij n

,322

1r r r r --0

432111111

111111

1111

11111

--------------n n n n ,,141

312c c c c c c +++

1

524232102221002210002100001---------------n n n n n

=

212)1()1(----n n n

(6)n

n a a a D +++=

11

11111112

1

,,433

221c c c c c c ---

n

n

n n a a a a a a a a a a +-------100

001000100001

00010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列

))(1(121-+n n a a a a n

n n a a a a a a a a a --------0

0000000000

0000

000000

000

22433221

n

n n a a a a a a a a ----+--0

0000

0000000001133221 ++ n

n n a a a a a a a a -------00000000

0000

00

0001143

322

n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---

)1

1)((121∑+==n i i

n a a a a

8.用克莱姆法则解下列方程组：

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;

01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323

212

1x x x x x x x x x x x x x

解 (1)112

1

3

513241211111

----=

D

8

1

20735032

1

1111------=

145008130032101111---=142142

000541003

2101111-=---=

11

21051324

12211151------=

D 112105

13290501

115----= 1121023313090509151------=2331309

5

112109151------=

120

23

46

100011210915

1-----=

142

38100112109151----=142-=

11

2

3

5122412111512-----=

D 8

1

1507312032

7

1151-------=

31390011230023101151-=284284

0001910023101

151-=----=

426110135232422115113-=----=D

1420

2132132212151114=-----=D

1

,

3,

2,

14

43

32

211-========∴

D

D x D

D x D D x D

D x

(2)5

1

000651000

6510

0651

00065=D 展开按最后一行

6

1

0005100

65100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019

D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=

(

,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)

5

1001651000

6510

06500006

11=D 展开按第一列

6

510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=

5

1

010

6

51000

6500

06010

00152=D 展开

按第二列510

06510065

0006

1-6

510065*********-

3655

106510

65⨯-=1145108065-=--=

511006

50000

6010

00510

01653=D 展开

按第三列510

065000610005

16

500061*********+

6

100510

6565106500

61+=703114619=⨯+=

5

10006

01000

0510

06510

10654=D 展开

按第四列6

100051006510065500

06100051

0065

1-

- 5

106510

6565--=395-=

1

1000

51000

6510

06511

00655=D 展开按最后一列D '+1

00

051006

510065

12122111=+= 665

212

;665

395

;665

703

;665

1145

;6651507

44321=

-=

=

-

==

∴

x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

200321

321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

解 μλμμμλ

-==1

2111

1

13

D ，

齐次线性方程组有非零解，则03=D

即 0=-μλμ

得

10==λμ或

不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.

10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪

⎨⎧=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321

321321x x x x x x x x x λλλ

有非零解？ 解

λ

λλ----=

11

1

132421D λ

λλλ--+--=

10

1

112431

)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ

齐次线性方程组有非零解，则0=D

得 32,0===λλλ或

不难验证，当

32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.

第二章 矩阵及其运算

1．已知线性变换：

⎪⎩⎪

⎨⎧++=++=++=,

323,53,223213

32123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．

解

由已知：⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x

故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211

221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛----=321423736

947y y y ⎪⎩⎪

⎨⎧-+=-+=+--=3213

32123211423736947x

x x y x x x y x x x y

2．已知两个线性变换

⎪⎩⎪

⎨⎧++=++-=+=,

54,232,

23213

3

212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．

解 由已知

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=321310102

013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----=321161109412316

z z z

所以有 ⎪⎩⎪

⎨⎧+--=+-=++-=3213

32123

2111610941236z

z z x z z z x z z z x

3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111

111A , ,150421321

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=B 求.23B A A AB T

及-

解

A A

B 23-⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛--⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=150421

32

1111111

11

13⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11111111

12

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛---11111

11112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15042132111111111

1B A T

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=092650850

4．计算下列乘积：

(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321

134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛;

(4)⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013

143110412;

(5)⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313

232212

131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛300032001210130130

00120010100121

. 解

(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321

134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=

(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)

1(122)1(2⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝

⎛---=632142 (4)⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013

143110412⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321

x x x a a a a a a a a a x x x ()3332231133

232221123

13212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++= (6)

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3000

3

200

12

1

013

1

3000120010100121⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛---=900034004210

2521

5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=2101B ，问：

(1)BA AB =吗?

(2)2

222)(B AB A B A ++=+吗?

(3)2

2))((B A B A B A -=-+吗?

解

(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31

21A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B 则⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=64

43

AB ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2

B A ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=2914148 但=++2

22B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=27151610 故2

222)(B AB A B A ++≠+

(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫

⎝⎛9060

而 =-2

2B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛7182 故

22))((B A B A B A -≠-+

6．举反列说明下列命题是错误的:

（１）若

02=A ,则0=A ; （２）若A A =2

,则0=A 或E A =;

（３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.

解 (1) 取⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0010A 02

=A ,但0≠A

(2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2

,但0≠A 且E A ≠

(3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1011Y

AY AX =且0≠A 但Y X ≠

7．设⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=101λA ,求k

A A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012

λλλA

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛==1301

1011201

2

3

λλλ

A A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=101λk A k

当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k

k 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=101

λ

k A k

8．设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=λλλ0010

01A ,求k A . 解 首先观察

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=λλλλλλ001001

0010

01

2

A ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=22

2002012λλλλλ

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A

由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1

21

)2(≥k

用数学归纳法证明: 当2=k

时,显然成立.

假设k 时成立，则1+k 时，

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλ

λ0010010002)1(1

21

1k k k k k k k k k k k k A A A

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11

1111

00)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ

由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=---k

k k

k k k k

k k k k A λλλλλλ0

00

2)1(121

9．设

B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.

证明 已知：A A T

=

则

AB B B A B A B B AB B T T T T T

T T

T ===)()(

从而 AB B T

也是对称矩阵.

10．设

B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是

BA AB =.

证明 由已知：A A T = B B T

=

充分性：BA AB =⇒A B AB T

T =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.

必要性：AB AB T =)(⇒AB A B T

T =⇒AB BA =.

11．求下列矩阵的逆矩阵：

(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---145243121; (4)

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛4121031200210001; (5)

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛2500380000120025

; (6)⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛n a a a 002

1)0(21≠a a a n

解

(1)⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=5221A 1=A

1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11

故 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=-12251

A

(2)01≠=A 故1

-A 存在

最全线性代数习题及参考答案

第一章： 一、填空题： 1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ； 解：a a a a a D a a a a a D n nn n n nn n n n )1(11111111-=----= ∴== 2、设321,,x x x 是方程03 =++q px x 的三个根，则行列式1 3 2 213 3 21 x x x x x x x x x = ； 解：方程02 3 =+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为： a d x x x a c x x x x x x a b x x x ///321133221321-==++-=++ 所以方程03 =++q px x 的三个根与系数之间的关系为： q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210 033)(33212213213 332311 3 2 2133 21=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x 3、行列式 1 000 0000199800019970 020 01000 = ； 解：原式按第1999行展开：

原式=!19981998199721)1(0 00199800199700 200 1 000 219981999-=⨯⨯⨯-=+++ 4、四阶行列式 4 4 332211 000 00a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开： 原式= ) )(()()(0 00 0041413232432432143243214 332 214 33 22 1b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=- 5、设四阶行列式c d b a a c b d a d b c d c b a D =4，则44342414A A A A +++= ； 解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式， 44342414A A A A +++= 01 11111111 1 11==d a c d d c c a b d b a c b d d b c c b a 6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???? ???---d c b a 100 11 0011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数课后习题答案

习题答案 习题1（参考答案） 1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？ 程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。 算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。 算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。 2．简述程序设计语言发展的过程 程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。 3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。 “面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。 “面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。 面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。 4．C语言程序的特点是什么？ （1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。 （2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。 （3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。 （4）用C语言可直接访问物理地址，能进行二进制位运算等操作，即可直接同机器硬件打交道。它具有“高级语言”和“低级语言”的双重特征，既能用于系统软件程序设计，又能用于通用软件程序设计。 （5）C语言生成的目标代码质量高、程序执行速度快。一般只比用汇编语言生成的目标代码的效率低20％左右。 （6）可移植性好。 5．源程序执行过程中，有哪些步骤？

线性代数课后习题答案全)习题详解

前言 因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学 线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）2 22111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数课后习题答案第二版

线性代数课后习题答案第二版 线性代数课后习题答案第二版 线性代数是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。而对于学习者来说，课后习题是巩固知识、提高能力的重要方式之一。本文将为大家提供线性代数课后习题第二版的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 一、矩阵与向量 1. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置。 答案：矩阵A的转置为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。 2. 习题：给定向量x = [1; 2; 3]和向量y = [4; 5; 6]，求向量x和y的内积。 答案：向量x和y的内积为x·y = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和向量x = [1; 1; 1]，求矩阵A和向量x的乘积。 答案：矩阵A和向量x的乘积为Ax = [6; 15; 24]。 二、线性方程组与矩阵运算 1. 习题：给定线性方程组： 2x + 3y - z = 1 4x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 0 求解该线性方程组。 答案：解为x = 1, y = -1, z = 2。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的乘积。

答案：矩阵A和矩阵B的乘积为AB = [19 22; 43 50]。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的和。答案：矩阵A和矩阵B的和为A + B = [6 8; 10 12]。 三、特征值与特征向量 1. 习题：给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 3, λ2 = 1，对应的特征向量为v1 = [1; 1]，v2 = [-1; 1]。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 2 4]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 0, λ2 = 5，对应的特征向量为v1 = [-2; 1]，v2 = [1; 2]。 3. 习题：给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = 4，对应的特征向量为v1 = [1; -1]，v2 = [1; 1]。 通过以上习题的解答，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法。线性代数 作为一门基础学科，不仅在数学领域中有广泛应用，而且在物理、工程、计算 机科学等领域也起到了重要的作用。希望本文的答案能够帮助大家更好地掌握 线性代数知识，提高解题能力。

线性代数第三版习题答案

线性代数第三版习题答案 线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。而 《线性代数》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了线性代数的基本概念 和理论。然而，对于学习者来说，理解和掌握线性代数的关键在于做好习题。 本文将为读者提供《线性代数》第三版习题的答案，帮助读者更好地巩固知识。第一章：线性方程组 第一章主要介绍线性方程组的解法和矩阵的基本运算。习题一般涉及到高斯消 元法、矩阵的行变换和列变换等内容。在解答习题时，需要注意对矩阵的运算 规则和性质的理解和应用。 第二章：矩阵代数 第二章主要介绍矩阵的代数运算和性质。习题一般涉及到矩阵的加法、减法、 乘法和转置等运算。在解答习题时，需要注意运算的顺序和规则，并且要熟练 掌握矩阵的运算性质。 第三章：行列式 第三章主要介绍行列式的定义、性质和计算方法。习题一般涉及到行列式的展开、性质的证明和计算方法的应用。在解答习题时，需要注意行列式的性质和 计算方法的灵活应用。 第四章：向量空间 第四章主要介绍向量空间的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到向量空间 的子空间、线性相关性和线性无关性等内容。在解答习题时，需要注意对向量 空间的定义和性质的理解和应用。 第五章：线性变换

第五章主要介绍线性变换的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到线性变换的核、像、秩和特征值等内容。在解答习题时，需要注意对线性变换的定义和性质的理解和应用。 第六章：特征值与特征向量 第六章主要介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。习题一般涉及到特征值和特征向量的求解、对角化和相似矩阵等内容。在解答习题时，需要注意特征值和特征向量的计算方法和性质的灵活应用。 第七章：内积空间 第七章主要介绍内积空间的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到内积空间的正交性、投影性质和标准正交基等内容。在解答习题时，需要注意对内积空间的定义和性质的理解和应用。 第八章：正交变换和正交矩阵 第八章主要介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质和基本运算。习题一般涉及到正交变换和正交矩阵的性质证明和应用。在解答习题时，需要注意对正交变换和正交矩阵的定义和性质的理解和应用。 第九章：二次型 第九章主要介绍二次型的定义、性质和规范形。习题一般涉及到二次型的规范化、正定性和合同变换等内容。在解答习题时，需要注意对二次型的定义和性质的理解和应用。 通过解答《线性代数》第三版的习题，读者可以更好地巩固和加深对线性代数的理解。同时，解答习题也是检验自己学习成果的有效方式。希望本文提供的习题答案能够帮助读者更好地学习和掌握线性代数的知识。

线性代数慕课版习题答案与解析

线性代数慕课版习题答案与解析 1. 问题描述 在线性代数慕课课程中，有以下习题需要解答： 1.已知矩阵A和矩阵B, 如何计算矩阵A与矩阵B的 乘积？ 2.如何判断一个n x n矩阵是否可逆？ 3.给定一个矩阵A和一个向量b, 如何求解线性方程组 Ax = b的解？ 4.如何计算一个n x n矩阵A的特征值和特征向量？ 5.给定一个矩阵A, 如何计算矩阵A的逆矩阵？ 2. 问题解答 2.1 计算矩阵乘积 两个矩阵A和B的乘积C的计算方法为：将矩阵A的行向量与矩阵B的列向量进行内积，得到C的元素。

Markdown代码： #### 计算矩阵乘积 两个矩阵A和B的乘积C的计算方法为：将矩阵A的行向量与矩阵B的列向量进行内积，得到C的元素。 2.2 判断矩阵是否可逆 一个n x n矩阵A是可逆的，当且仅当其行列式不为零。判断一个矩阵是否可逆，可以计算其行列式的值，如果结果不为零，则矩阵可逆。如果矩阵A可逆，则可以使用高斯-约当法或LU分解等方法求解线性方程组Ax = b。 Markdown代码： #### 判断矩阵是否可逆 一个n x n矩阵A是可逆的，当且仅当其行列式不为零。判断一个矩阵是否可逆，可以计算其行列式的值，如果结果不为零，则矩阵可逆。如果矩阵A可逆，则可以使用高斯-约当法或LU分解等方法求解线性方程组Ax = b。

2.3 求解线性方程组 给定一个矩阵A和一个向量b，线性方程组Ax = b的解可以使用高斯消元法或LU分解方法求解。 Markdown代码： #### 求解线性方程组 给定一个矩阵A和一个向量b，线性方程组Ax = b的解可以使用高斯消元法或LU分解方法求解。 2.4 计算特征值和特征向量 给定一个n x n矩阵A，特征值和特征向量可以通过求解矩阵A的特征方程获得。特征方程为det(A - λI) = 0，其中λ是特征值，I是单位矩阵。 Markdown代码： #### 计算特征值和特征向量 给定一个n x n矩阵A，特征值和特征向量可以通过求解矩阵A的特征方程获得。特征方程为det(A - λI) = 0，其中λ是特征值，I是单位矩阵。

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案 线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它在许多领域 中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供 了大量的习题供读者练习。本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的 答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。 第一章：线性方程组 1.1 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： 2x + 3y + z = 7 4x + 2y + 5z = 4 3x + 4y + 2z = 5 解得x = 1，y = -1，z = 2。 1.2 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： x - 2y + 3z = 1 2x + y + z = 2 3x + 4y - 5z = -1 解得x = 1，y = 0，z = 0。 第二章：矩阵代数 2.1 习题答案： 1. 解：设矩阵A为：

3 4 5 6 则A的转置矩阵为： 1 3 5 2 4 6 2.2 习题答案： 1. 解：设矩阵A为： 1 2 3 4 则A的逆矩阵为： -2 1 3/2 -1/2 第三章：向量空间 3.1 习题答案： 1. 解：设向量v为： 1 2 3 则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。 3.2 习题答案： 1. 解：设向量v为：

2 3 则v的单位向量为v/||v||，即： 1/sqrt(14) 2/sqrt(14) 3/sqrt(14) 第四章：线性变换 4.1 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即： T(x, y) = (y, -x) 4.2 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即： T(x, y) = (2x, 2y) 通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问 题中的应用。通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。希望本文提供的答案能够帮助读者更好地学 习线性代数，为将来的学习和研究打下坚实的基础。

李尚志线性代数习题答案

李尚志线性代数习题答案 李尚志线性代数习题答案 线性代数是一门重要的数学学科，它在各个领域都有广泛的应用。而李尚志老师的线性代数习题集，无疑是学习这门学科的重要参考资料。本文将为大家提供一些李尚志线性代数习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。 1. 矩阵的乘法 题目：计算以下两个矩阵的乘积。 A = [1 2 3] [4 5 6] B = [7 8] [9 10] [11 12] 答案：首先，我们需要确定乘积矩阵的维度。由于A是一个2x3的矩阵，B是一个3x2的矩阵，所以乘积矩阵的维度应该是2x2。 接下来，我们按照矩阵乘法的定义进行计算。乘积矩阵C的第一行第一列元素为A的第一行与B的第一列对应元素的乘积之和，即： C[1,1] = (1*7) + (2*9) + (3*11) = 58 同理，可以计算出C的其他元素： C[1,2] = (1*8) + (2*10) + (3*12) = 64 C[2,1] = (4*7) + (5*9) + (6*11) = 139 C[2,2] = (4*8) + (5*10) + (6*12) = 154 所以，乘积矩阵C为：

[139 154] 2. 矩阵的逆 题目：求以下矩阵的逆矩阵。 A = [2 1] [4 3] 答案：要求一个矩阵的逆矩阵，我们需要首先判断该矩阵是否可逆。一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。计算矩阵A的行列式： det(A) = (2*3) - (1*4) = 2 由于行列式不为零，所以矩阵A可逆。接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。首先，计算矩阵A的伴随矩阵： adj(A) = [3 -1] [-4 2] 然后，计算逆矩阵A的每个元素： A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A) A^(-1) = (1/2) * [3 -1] [-4 2] 所以，矩阵A的逆矩阵为： A^(-1) = [3/2 -1/2] [-2 1] 3. 特征值和特征向量 题目：求以下矩阵的特征值和对应的特征向量。

线性代数课后习题答案(共10篇)(共6页)

线性代数课后习题答案(共10篇) [模版仅供参考，切勿通篇使用] 感恩作文线性代数课后习题答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实, 这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）: 求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案

书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）: 线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么? 如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案 应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值; 求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了? 再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么? 所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）: 线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则

北京邮电大学版线性代数课后题答案解析

习题 六 （A 类） 1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k ·αα=； (3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法； (4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的18条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A ，B 均为2阶反对称矩阵，k 为任一实数，则 (A +B )′=A ′+B ′=A B =(A +B ), (k A )′=k A ′=k (A )=(k A ), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间. （2） 否.因为(k +l )·αα=,而2k l ⋅+⋅=+=ααααα,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质. （3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）. （4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合. 2. 设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则U ＝Ｖ. 【证明】设U 的维数为m ，且 m ,,,ααα 21是U 的一个基，因U ⊂V ,且V 的维数也是m ，自然 m ,,,ααα 21也是V 的一个基，故U =V . 3. 在R ４ 中求向量α＝(0,0,0,1)在基1ε＝(1,1,0,1),2ε＝(2,1,3,1), 3ε＝(1,1,0,0), 4ε＝ (0,1,－1,－1)下的坐标. 【解】设向量α在基1234,,,εεεε下的坐标为(1234,,,x x x x ),则 11223344x x x x +++=εεεεα 即为 12341 21 0011110030101 1011x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ =⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦⎣⎦ ⎣⎦ 解之得(1234,,,x x x x )=(1,0,1,0). 4. 在R ３ 中，取两个基 1α＝(1，2，1)，2α＝(2，3，3)，3α＝(3，7，1)； 1β＝(3，1，4)，2β＝(5，2，1)，3β＝(1，1，－6)， 试求123,,ααα到123,,βββ 的过渡矩阵与坐标变换公式. 【解】取R ３ 中一个基（通常称之为标准基）

线性代数习题及答案解析

1. 三阶行列式()100 4 20563 = 。 A. 6 B. 1 C. 2 答：A 。 2. n 阶行列式 () 00100200 n =。 A.!n B. 2! - C. 1(1) !--n n n 答：C 。 二、讨论题 1. n 阶行列式怎样定义的？ 答：n 阶行列式是这样定义的：（1）位于不同行，不同列n 个元素的乘积；（2）共有!n 项，每一项确定：行标为自然数排列，列标为1,,n m m ，当列标为偶数排列时取正号，为 奇数排列时取负号；（3）一般项为1 1(1),-n N m nm a a 即1 1(1)=-∑n N m nm D a a 。 2.从左上角到右下角，对角线称为什么？ 答：主对角线。 一、选择题 1、将行列式转置，行列式值（ ）。 A. 变 B. 不变 C. 不确定 答：B 。 2、把行列式某一行的倍数加到另一行，行列式（ ）。 A. 不变 B. 变 C. 不确定 答：A 。 二、填空题 1. 行列式123 4 56789 D =中12a 的代数余子式为 。 答 ： 12 (1) (6)+--。 三、讨论题 1、按第一列展开行列式的定理指的是什么？ 答：111111n n a A a A D + +=。 2.、按第一列展开行列式与第二列代数余子式乘积之和的定理指的是什么？

答：1121120n n a A a A ++=。 一、选择题 1、行列式100 3 02540 =（ ） 。 A. 6 B.（-8） C. 8 答：B 。 2、行列式 10 00520067 3 89104 =（ ）。 A. 2! B. 3! C. 4! 答：C 。 二、填空题 1、行列式123 45006 D == 。 答：用上三角行列式24。 2、行列式127 15 8169 D =-=- 。 答：-8（其解题过程为：2131127715 07158816 0816 +==-+r r D r r ）。 三、讨论题 1、用化零降阶法计算行列式11 1 111a D a a =等于什么？ 答：2 13222301111011(1)(1)(2)11 11---+--=-=-+--a a r ar a D a a a a a r r a 。

线性代数练习册附答案分析

上的数字表示联结这两城市的不同通路总数 •试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况 第1章矩阵 习题 1.写出下列从变量x, y 到变量X 1, y i 的线性变换的系数矩阵: =x ⑴丿 c ； y = 0 X = xcos® -ysin® ⑵』1 y 1 = xsi n 弟 + ycos 申 2.（通路矩阵）a 省两个城市a i ,a 2和b 省三个城市b i ,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线 4•计算 '2 1 1 (1) 3 1 卫 1 2 1 1 1、 广1 2 3、 3.设 A = 1 1 —1 ,B = -1 - 2 4 7 _1 1 > 3 5 b 求 3AB -2A 和 A T B . 4

a ii a〔2 6 ⑵（x, y, i）a〔2 a?2 b?y Jb i b2 c ,J丿 5.已知两个线性变换 X i = 2y「y3 “ X2 =—2y i +3y2+2y3 , 、X3 = 4y i *2 +5y3 y i = -3z i ■ Z2 “ y2 = 2z<| + z3,写出它们的矩阵表 畀3 = -Z2 +3Z3 示式,并求从Z i, Z2, Z3到X i,X2, X3的线性变换

6. 设f (x)=a o x m+ a i x m1+ …+ a m, A 是n 阶方阵，定义f (A)=a°A m+ a i A m1+ …+ a m E. 「2(2-1)当 f (x)=x2- 5x+3, A= 时，求f (A). ' ~33 J 7. 举出反例说明下列命题是错误的 2 (1) 若A = 0,贝U A = O. 2 (2) 若A = A,贝U A= O 或A = E.

线性代数课后练习参考答案

线性代数课后习题参考答案(初稿) 习题一 1. 用行列式定义计算下列各题 （1） 424532263 5 -=-⨯-⨯=- （2）12 13011 1110 101(1)(1)21011 110++=-+-= （3） 1312 0010 020 020030(1)3002(1)24300004 0040004++=-=⨯-=- （4） 11 12 13 100 002 3 002346 45(1) 45 62(1) 3(1) 4045 6 810 89 8910 78910 +++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题 （1） 2 1412141312150620123 21 2325 62 5062 -== （2） 28512851105131025319061 9 65 125 1131080512051 2 1 21 1 1 7 609712 --------==---=----=---------- （3）1111 111 1 1 ab ac ae b c e bd cd de adf b c e adfbce bf cf ef b c e ----=-=----

111 0240 20 adfbce adfbce -== （4） 3 300 011 () ()0 10 a b b b a b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -= =--=-------- （5） x a a a a x a a a a x a a a a x =(1)(1)(1)(1)x n a a a a x n a x a a x n a a x a x n a a a x +-+-+-+- =[(1)] x n a +-1111a a a x a a a x a a a x =[(1)]x n a + -1 0010010 01 x a x a x a ---[(1)]x n a =+-1()n x a -- （6） 22222222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325 a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c c c d d d d d d d d ++++++++++++= =++++++++++++ （7） 123110000112 31110001223110200(1)!12321100201 2 3 1 1100 1 n n n n n n n n n n n n n n n -+-+-==--+----+-

《线性代数》课后习题答案

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒ ∈∃,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。