概率收敛与强大数定律
§3 概率1收敛与强大数定律
一、以概率1收敛 二、强大数定律 本章补充与注记 本章习题
一、以概率1收敛
大家知道, 随机变量是定义在概率空间上取值为实数的函数. 因此我们可以像数学分析讨论函数序列逐点收敛性那样去讨论随机变量序列在每个样本点处的值的收敛性. 然而, 由于随机变量取值的随机性, 我们常常不可能期望随机变量序列在所有点处都存在极限. 现在的问题是研究极限是否在一个概率为1的点集上存在.
定义1 设ξ和{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量序列.
1. 如果存在Ω0∈F , P(Ω0)=0, 且对任意ω∈ΩΩ\0，有ξωξωn ()()→，则称ξn 以概率1收敛（converge with probability one ）或几乎处处收敛(almost surely converge)于ξ，记作
ξξ→n (a. s. ).
2. 如果存在Ω0∈F , P(Ω0)=0, 且对任意ω∈ΩΩ\0，数列{ξn (ω)}是柯西基本列，即
n ξ(ω)-m ξ(ω)→0，(n > m →∞), 则称ξn 以概率1是柯西基本列.
注
ξξ→n (a. s. ) 意味着最多除去一个零概率事件外, n ξ逐点收敛于ξ. 根据柯西基本
数列一定存在极限的原则,
n ξ以概率1收敛当且仅当n ξ以概率1是柯西基本列.
下面给出以概率1收敛的判别准则. 定理1 设ξ和{n ξ}是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量序列.
(1)
ξξ→n (a. s. ) 当且仅当对任意ε
>0,
)||sup (lim =≥-≥∞
→εξξk n
k n P ,
或者等价地
})||({lim =≥-≥∞
→εξξk n
k n P .
(2) {
n ξ}以概率1是柯西基本列当且仅当对任意ε
>0,
)||sup (lim 0
=≥-+≥∞
→εξξk k n k n P ,
或者等价地
})|{|({lim 0
=≥-+≥∞
→εξξk k n k n P .
证 (1) 对任意ε>0, 令
},
|{|εξξε
≥-=n n A ∞
=≥=1n n
k k
A A ε
ε
. 那么
{
ξξ→/n }
∞
==1/1m m
A .
由连续性定理（第一章§3）,
n
k k n n
k n k A P A P A P ≥∞
=≥∞
→==)
(lim )()(1εεε
.
则下列关系式成立:
0 = P(
ξξ→/n )
)(1
/1=?∞
= m m A P
0)(/1=?m
A P , 对任意m ≥1 n
k m k A P ≥→?0
)(1
, 对任意m ≥1
)1||(→≥-?≥ m k k m P ξξ, 对任意m ≥1 n
k k P ≥→≥-?0
)||(εξξ, 对任意ε>0 .
(2). 对任意ε>0, 令
∞
=≥≥+=≥-=11
,,},|{|m m n k k
n n k n k n B B B ε
ε
εεξξ, 那么
{
n ξ不是柯西基本列}=
>ε
εB .
以下类似于(1)即可证明.
推论 如果对任意ε>0,
∑∞
=∞
<≥-1
)|(|n n
P εξξ
, 则
ξξ→n (a. s. ).
证 注意到
n
k k P ≥≤≥-)||(εξξ∑∞
=→≥-n
k k P 0
)|(|εξξ即可.
注 定理1表明ξξ→n (a. s. )可推出ξξ?→?P n . 反之, 存在例子表明
ξξ?→?P
n 并不能
导出
ξξ→n (a. s. )（见补充与注记4）.
二、强大数定律
与以概率1收敛密切相关的是强大数定律. 定义2 设{
n ξ}是定义在概率空间(Ω, F , P)上的随机变量序列, 如果存在常数列{}a n 和
{}b n 使得
∑=→-n
k n k
n
b a 1
1ξ
(a. s. ) ,
则称{
n ξ}服从强大数定律(strong law of large numbers). 由于几乎处处收敛性强于依概率收敛性,
故强大数定律也比弱大数定律更深入一步.
我们在第二节知道，贝努里通过对二项分布的精确估计得到贝努里弱大数定律，即贝努里随机试验中事件发生的频率依概率收敛于该事件的概率. 直到1909年波雷尔才证明了下面更强的结果.
定理2（波雷尔强大数定律） 设{
n ξ}是定义在概率空间(Ω, F , P)上的独立同分布随机变量
序列，P(n ξ=1)= p, P(n ξ=0)=1-p, 0 ∑==n k k n S 1ξ, 则 0→-p n S n (a. s. ). (1) 定理2进一步表达了“频率稳定到概率”这句话的含义. 柯尔莫哥洛夫1930年将上述结果从二项分布的随机变量推广到一般随机变量. 定理3（柯尔莫哥洛夫强大数定律） 设{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的独立同分布随 机变量序列，E ||,ξ1<∞μξ=E 1. 记 S n k k n ==∑ξ1 , 则 S n n -→μ0 (a. s. ). (2) 事实上, 定理3的逆也成立: 如果存在常数μ, 使得(2)式成立, 那么1ξ的数学期望存在且等于μ. 这两个定理的证明从略. 例1 （蒙特卡罗方法） 令f (x) 是定义在[0, 1]上的连续函数, 取值于[0,1]. 令 ξηξη1122,,,, 是一列服从于[0, 1]上的均匀分布的独立随机变量序列. 定义 ?? ?=,0, 1i ρ .)(,)(i i i i f f ηξηξ<≥如果如果 , 则{ρi }也独立同分布. 而且 ??? ??=== ≥=≤1 10 ) (0 ) (111)()())((dx x f dx dy dxdy f P E x f x f y ηξρ, 由定理3, ∑?=→n k k dx x f n 1 10)(1ρ (a. s. ). (3) 因此我们可以通过模拟来计算积分值?1 )(dx x f , 方法是：在xoy 平面的正方形{0≤x ≤1, 0≤y ≤1}上随机投点, 统计落在区域{0≤x ≤1, 0≤y ≤f (x)}内的频率（即为(3)式的左边）, 当投点次数充分多时, 此频率可充分接近所求积分. 至此, 我们已经介绍了概率论中一些经典的极限定理. 补充与注记 1. 在18和19 世纪, 极限定理一直是概率论研究的中心课题. 贝努里大数定律是第一个从数学上被严格证明的概率论定律, 它由贝努里在其1713年出版的名著《 推测术》中详细给出. 大数律这个名称则是泊松（Poisson 1781-1840）于1837年提出的. 中心极限定理这个名词1920年由波利亚（lya o o P ）给出，用于统称随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理. 它是概率论中最为重要的一类定理, 并有着广泛的实际背景. 最初的中心极限定理是关于n 重 贝努里试验的, 1716年，德莫佛对 21 = p 的情形作了讨论，随后拉普拉斯将其推广到1 0< 2. 在18世纪以前，证明贝努里大数律是一件相当困难的事情，它涉及到下列和式的计算： . |):|(∑≥--???? ??εp n k k k n k q p k n 直到德莫佛-拉普拉斯的重要发现以后，贝努里大数律才有了新的、较为简单的证明. 事实上, 德莫佛-拉普拉斯证明了如下的局部和整体中心极限定理：对足够大的n 和n k /∽p ， k n k q p k n -???? ??～ , 21) 2() (2 npq np k npq - π ∑≥--???? ??ε|):|(p n k k k n k q p k n ～ , 21 2 2 dx pq n pq n x ?- -ε ε π 从上述渐近结果，我们不难得到贝努里大数定律. 3. 特征函数的泰勒渐近展开 作为第三章结果的一个推论，如果分布函数)(x F 有r 阶有限矩，那么它的特征函数)(t f r 次连续可导. 这样我们可以在0=t 处对)(t f 进行泰勒展开. 定理 假设随机变量ξ有r 阶有限矩，记这些矩分别为r ααα,,,21 . 那么它的特征函数 )(t f 在0=t 处有如下形式的泰勒展开： ) |(|!)(1)(1r r k k k t o k it t f ++=∑=α )1(≥r = !||!)(11 1r t k it r r r r k k k θβα++∑-= )1(>r , 其中r r E ||ξβ=, |1|≤r θ. 4. 依概率收敛不能推出以概率1收敛, 例如: 令Ω=[0,1], F 为[0,1]上所有波雷尔集构成的σ域，P 为[0,1]上的勒贝格测度（长度）. 定义 ?? ?=,0,1i n η ]./,/)1[(], /,/)1[(n i n i n i n i -?-∈ωω i=1,2,…,n ; n=1,2,…. 考虑随机变量序列{ ,,,,,,332313221211ηηηηηη}, 并重新记成{n ξ}. 首先注意到, 对任意ε>0, 01 )|(|max 1→≤≥≤≤n P i n n i εη, 即 0?→?P n ξ. 另一方面, 对任意ω∈Ω,n ξ(ω), n=1,2,…中有无穷多个1，也有无穷多个0, 因此n ξ(ω)不存在极限. 习 题 1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数？ (1) x <-1/ n 时, F x n ()=0; x ≥-1/n 时, F x n ()=1; (2) F x x n n n (),()/,,=+??? ??021 ., , n x n x n n x ≥<≤--< 2. 设ξn 的分布列为: P(ξn =0)=1-1/ n, P(ξn =1)=1/ n, n=1,2,…. 求证相应的分布函数列收敛于分布函数, 但E ξn 不收敛于相应分布的期望. 3. 设{ξn }为独立同分布随机变量序列, ξn 的分布列为 010505..?? ?? ? , ηξn k k k n ==∑/21 . 求证 ηn 的分布收敛于[0, 1]上的均匀分布. 4. 某计算机系统有120个终端. (1) (1) 每个终端有5 %时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的, 求有10个或更多终端在使用的概率; (2) (2) 若每个终端有20%时间在使用, 求解上述问题. 5. 现有一大批种子，其中良种占1/ 6. 在其中任取6000粒，问在这些种子中良种所占的比例与1/ 6之差小于1 %的概率是多少？ 6. 某车间有200台车床，工作时每台车床60 %时间在开动，每台开动时耗电1千瓦. 问应供给这个车间多少电力才能有0. 999的把握保证正常生产？ 7. 一家保险公司里有10000个同类型人参加某种事故保险，每人每年付12元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0. 006，发生事故时该人可向保险公司领得1000元. 问： (1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？ (2) 对该项保险保险公司一年的利润不少于60000元的概率有多大？ 8. : 假设 1) 每幢房屋每年一次理赔概率0.04，大于一次理赔概率为0； 2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立； 3) 如果理赔发生，理赔量服从0到最高保险金额间的均匀分布. 记N 为一年中理赔次数，S 为理赔总量, a . 计算N 的期望值和方差； b . 计算S 的期望值和方差； c . 确定相对保证附加系数θ，即=θ(每份保单保费收入-平均理赔量)/ 平均理赔量，以确保保险公司的保费收入大于理赔总量的概率等于0. 99. 9. 某保险公司开办5种人寿险，每种险别（一旦受保人死亡）的赔偿额k b 及投保人数k n 如 下表所示. 设死亡是相互独立的, 其概率皆为0. 02. 保险公司为安全起见, 对每位受保人寻求再保险. 其机制如下：确定一个自留额，设为2万元；若某人的索赔在2万元以下，则都由该保险公司偿付；若赔偿金超过2万元，则超过部分由再保险公司偿付；再保险率为投保金额的2. 5%. 该保险公司（相对于再保险公司而言，也称为分出公司）希望它的全部费用（即实际索赔总额S+再保险费）不超过825万元，求实际费用突破此限额的概率. 10. 设{ξn }独立同分布，其分布分别为 (1) [-a, a] 上的均匀分布；(2) 泊松分布. 记 ηξξξn k k k k n k n E Var =-==∑∑()/ 1 1 . 计算ηn 的特征函数，并求n →∞时的极限, 从而验证林德 贝格—勒维定理在这种情况成立. 11. 用德莫佛—拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，若0< p <1，则不管k 是多大的常数，总有 P(| 0)|→<-k np n μ, ( n →∞). 12. 求证：泊松分布的标准化变量当参数λ→∞时趋近标准正态分布. 13. 13. 求证：当n →∞时， e n k n k k n -=∑→ ! 012. 14. 14. 设{ξηn n },{}各自独立同分布, 也相互独立. E ξn =0, Var ξn =1， P{ηn =±=112}/. 求证： S n n k k k n = =∑11 ξη的分布函数弱收敛于N (0,1). 15. 15. 设{ξn }为独立随机变量序列，都服从(0,π)上的均匀分布. 记n n n ξηcos A =， 其中0>A n 且0 ) /(2 3 1 213 →A A ∑∑==n k k n k k )(∞→n . 证明 {}n η服从中心极限定理. 16. 设ξn 服从柯西分布，其密度为p n (x)=n n x π()122+. 求证： ξn P ?→?0. 17. 设{ξn }独立同分布，密度为 p(x)=e x a x a x a --???>≤(),,0. 令ηξξξn n =min{,,,}12 . 求 证：ηn P a ? →?. 18. 18. 求证： (1) (1) 若ξξn P ?→?,ηηn P ?→?, 则ξηξηn n P ±?→?±; (2) (2) 若ξξn P ?→?,ηηn P ?→?, 则 ξηξηn n P ?→?; (3) (3) 若ξξn P ?→?,ηn P c ?→?, c 为常数, ηn 与c 都不为0，则ξηξn n P c //? →?; (4) (4) 设ξξn d ?→?,ηn P c ?→?,c 为常数, 则 ξηξn n d c +?→?+; ξηξn n d c //?→?, (c ≠0). 19. 19. 求证下列各独立的随机变量序列{ξk }服从大数定律. (1) P(ξk k ==ln )P(ξk k =-= ln )1 2; (2) P(ξξξk k k k k k k P P ===-===--+-222012212)(),()(); (3) P(ξk =21 2n n )=, n=1, 2, …; (4) P(ξk =n)=c n n 22 ln , n=2, 3, …; c 为常数. 20. 设{ξk }服从同一分布，Var ξk <+∞, ξk 与ξk +1相关, k=1,2,…, 但当|k-l|≥2时, ξk 与 ξl 独立. 求证这时大数定律成立. 21. （伯恩斯坦(Bernstein)定理）设{ξk }的方差有界：Var ξk ≤c, 且当|i-j|→∞时, Cov(ξi ,ξj ) →0，则{ξk }服从大数定律. 试证明之. 21. 在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，令 ξk =10,,???若在第次和第次试验中出现其它k k A +1 , 求证{ξk }服从大数定律. 23. 设{ξk }独立同分布，都服从[0, 1]上的均匀分布，令 ηξn k n k n ==∏()/11 , 求证： ηn P c ?→?(常数)，并求出c. 24. 设{ξk }独立同分布，E ξk =a, Var ξk <∞. 求证： 211 n n k k P k n ()+? →?=∑ξ a . 25. 设{ξk }独立同分布，都服从N (0, 1) 分布， ηξξn n k k n n =+=∑121 /. 求证：ηn 的分布函 数W N ? →?(0, 1). 26. 设{ξk }为独立同分布随机变量序列，Var ξk <∞. a n n =∞ ∑1 为绝对收敛级数，令 ηξn k k n ==∑1 , 则{a n n η}服从大数定律. 27. 设{ξk }为独立同分布随机变量序列，{a n }为常数列，a n →∞. 求证： ξk k n n P n a =∑?→?1 120/()/. 28. {ξk }, {ηk }相互独立，均服从N (0, 1)分布. {a n }为常数列，求证： [a n k k n k k k n P ==∑∑+? →?1 1 0ξη]/ 的充要条件是a n k k n 212 0=∑→/. 29. 设{ξk }独立同分布，都服从N (0, 1) 分布. 求证：ηξξξξn n n = ++++112 2 渐近正态分布N (0, 1). 30. 设{ξk }独立同分布，都服从 [-1, 1]上的均匀分布. 求证： (1) {ξn 2}服从大数定律； (2) U n k k k n k n ===∑∑ξξ/ 21 1 的分布函数收敛于N (0, 1). 31. 设{ξk }为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理，则它服从大数定律的充要条 件是Var(ξk k n o n )() ==∑21 . 32. 取Ω=(0,1), F 为其中波雷尔集全体所成的σ域. 对任一事件A={ω∈(a,b)?Ω}，定义P(A)=b-a. 现定义 )(ωξ≡0, .1/1,/10,0,)(/1≤<≤ ?=ωωωξn n n r n 求证：ξξn P ?→?, 但ξξn L r ?→?. 一、大数定律 切比雪夫大数定律：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，且具有相同的数学期望且方差有界， 那么对 辛钦大数定律：设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量序列，且数学期望E（X i）=μ存在， 则对任意 【例87·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从P（λ），那么 依概率收敛到_____ [答疑编号986305101：针对该题提问] 答案： 【例88·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从参数为0.5的指数分布， 则。 [答疑编号986305102：针对该题提问] 【例89·选择题】设随机变量列X1，X2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律， 当n充分大时依概率收敛于共同的数学期望，只要X1，X2，…，X n，…（） A.有相同的数学期望 B.服从同一离散型分布 C.服从同一泊松分布 D.服从同一连续型分布 [答疑编号986305103：针对该题提问] 答案：C 【例90·选择题】设随机变量，X1，X2，…，X n，…是独立同分布，且分布函数为 则辛钦大数定律对此序列（） A.适用 B.当常数a,b取适当的数值时适用 C.不适用 D.无法判别 [答疑编号986305104：针对该题提问] 答案C 二、中心极限定理 独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，服从同一分布， 【例91·选择题】（05-4-4）设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ（λ>0）的指数分布，记为标准正态分布函数，则（） [答疑编号986305105：针对该题提问] 答案：C 概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第五章 大数定律及中心极限定理 教学要求： 一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式； 三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率． 重点：中心极限定理． 难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理． 综合练习题 一、选择题 1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且 1,2,,i n = .令∑==n i i n X Y 1 ，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则 ()=?? ????????≤--∞ →11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ?=? ?事件不发生， 事件发生， ()100,,2,1 =i ，且 ()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==100 1 i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函 数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）?? ? ??-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy . 3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为 2 1 的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 1 1的概率分布近似服从（B ）. （A ）()4,2N ； （B ）??? ??n N 4,2； （C ）?? ? ??n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题 1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2 σ， 令∑==n i i n X n Z 1 1，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 . 2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差 ()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =??? ? ??? ???????≤-∑=∞ →x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥ 9 5 . 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤??????≥- 3121X P 4 1. 5.设随机变量() 2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中 ()()9938.05.2=Φ） 三、应用题 1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率. 解：设?? ?=台车床没有工作 第台车床正在工作 第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ， 则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得 ()???? ??-≤-≤-=≤≤168086168016 80708670X P X P 概率论与数理统计概率历史介绍 一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率． 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。 概率论大数定律及其应 用 Revised as of 23 November 2020 概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。 概率论中的大数定律及中心极限定理 唐南南 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章 里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。 关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量 引言 大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。 一 、大数定律 （一）、问题的提法（大数定律的提法） 重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n 第四章大数定律与中心极限定理 第一节大数定律 一、历史简介 概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理. 二、大数定律 定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有 证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次 试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝 努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且 而 于是 由契比晓夫不等式有 又由独立性知道有 从而有 这就证明了定理1. 若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的 ,有 成立,则称随机变量序列服从大数定律. 定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有 则对于任意的,有 证明:利用契比晓夫不等式,有 因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到 从而有 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量， 且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少 伯努利大数定律 现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数 定律的第4部分。回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝a a b +。有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以X N 去估计p 。这个估计法现今 仍是数理统计学中最基本的方法之一。此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。这一点在实践中并不见得容易。例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。 伯努利企图证明的是：用X N 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。其 确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件 X p N ε??->?? ??的概率不超过η。这意思是很显然：X p N ε->表明估计误差未达到指定的 接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1 ()a b -+，虽然其证明对一般ε也有效。他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和rb 个， 则p 不改变，1 ()a b -+改为1 ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。其次，伯努利要 证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使 X X P p cP p N N εε????-≤>-> ? ? ????. (8) 这与前面所说是一回事。因为由上式得 1 (1)X P p c N ε-?? -><+ ???, (9) 取c 充分大可使它小于η。另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只 能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。 伯努利上述对事实上确定性的数学理解，即（8）式，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。因为，既然我们想要证明的是 三、伯努利大数定律 现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数 定律的第4部分。回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝a a b +。有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以X N 去估计p 。这个估计法现今仍 是数理统计学中最基本的方法之一。此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。这一点在实践中并不见得容易。例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。 伯努利企图证明的是：用X N 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。其 确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件 X p N ε???>????的概率不超过η。这意思是很显然：X p N ε?>表明估计误差未达到指定的 接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ） 。为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1 ()a b ?+，虽然其证明对一般ε也有效。他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个， 则p 不改变，rb 1 ()a b ?+改为1 ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。其次，伯努利要证 的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使 X X P p cP p N N εε????≤>?>???????? ?. (8) 这与前面所说是一回事。因为由上式得 1 (1)X P p c N ε??? ?><+????, (9) 第五讲 大数定律与中心极限定理 考纲要求 1.了解切比雪夫不等式. 2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定理和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）. 3.了解棣莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）. 问题1 何谓切比雪夫不等式？ 答 设随机变量X 的数学期望和方差存在，则对于任意0ε>，有 {}21DX P X EX εε-<>-或者{}2DX P X EX εε-≥≤. 利用切比雪夫不等式，可以用DX 估计事件X EX ε-<的概率. 例 1.设随机变量X 和Y 的数学期望分别2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，有}6{≥+Y X P . 解 ()0E X Y +=，()2(,)3D X Y DX DY Cov X Y +=++=， 根据切比雪夫不等式，有231{6}612P X Y +≥≤ =. 2.设随机变量X 的数学期望为1，方差为14 ，试何用切比雪夫不等式估计{03}P X <<. 问题2 何谓大数定律？叙述切比雪夫大数定律、辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）和伯努利大数定理. 答 将切比雪夫不等式应用于随机变量列n X X X ,,,21 的算术平均值1 1n n i i X X n ==∑，得 {}21n n n DX P X EX εε-<>- . 若,0n n DX →∞→，则有 {} lim 1n n n P X EX ε→∞-<=. 称随机变量列12,,,,n X X X 服从大数定律，并称n X 依概率收敛于n EX . ⑴切比雪夫大数定律：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，则 概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ ◎韦奇定律 ——不要让闲话动摇了你的意志 即使你已经有了自己的看法，但如果有十位朋友的看法和你相反，你就很难不动摇。这种现象被称为“韦奇定律”。它是由美国洛杉矶加州大学经济学家伊渥.韦奇提出的。 韦奇定律有以下观点： 一、一个人能够拥有自己的主见是一件极其重要的事情； 二、确认你的主见是正确的并且不是固执的； 三、未听之时不应有成见，既听之后不可无主见； 四、不怕众说纷谈，只怕莫衷一是。 不要让闲话动摇了你的信念。一旦确立了自己的目标，就要一直走下去，如果自己觉得那就是自己想要的，就不要在乎别人的看法，努力达成自己的人生目标。 ◎巴纳姆效应 认识自己，心理学上叫自我知觉，是个人了解自己的过程。在这个过程中，人更容易受到来自外界信息的暗示，从而出现自我知觉的偏差。即所谓的“从众”。 要避免巴纳姆效应，客观真实地认识自己，有以下几种途径：第一，勇敢地面对自己。 学会正确看待自己的优缺点，不掩耳盗铃，也不自欺欺人，切莫以己之短比人之长，或以己之长比人之短。认识了解自己，从容面对自己的一切。不要觉得自己有“缺陷”就要把“缺陷”用某种方式掩盖起来， 这样的人后果只是自己骗了自己。 第二，培养一种收集信息的能力和敏锐的判断力。 判断力是一种在收集信息的基础上进行决策的能力，信息对于判断的支持作用不容忽视，没有收集相当数量的信息，很难做出明智的决断。没有人天生就拥有明智和审慎的判断力，所以需要我们主动去培养自己这种能力。 第三，以人为镜，通过与自己身边的人在各方面的比较来认识自己。 在比较的时候，对象的选择至关重要。要根据自己的实际情况，选择条件相当的人来进行比较，找出自己在群体中的合适位置，这样认识自己，才会相对客观。 第四，要善于总结。 通过对重大事件，特别是重大的成功和失败认识自己。重大事件中获得的经验和教训可以提供了解自己的个性、能力的信息，从中发现自己的长处和不足。越是在成功的巅峰和失败的低谷，最容易暴露自己的真实性格。 ◎杜根定律 ——自信比什么都重要 D.杜根是美国橄榄球联合会前主席，他曾经提出这样一个说法：强者未必是胜利者，而胜利迟早都属于有信心的人。换句话说，你若仅仅接受最好的，你最后得到的常常也就是最好的，只要你有自信。这就是心理学上的“杜根定律”。 在体育竞技中，自古希腊以来，人们一直试图达到4分钟跑完l英 三.几个常见大数定律及其比较 由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。 定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη…..，如果对于任意的0ε>，有 ()l i m 1n n P ηηε→∞ -<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作 (),p n n ηη??→→∞。 定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若 (){}l i m 1n n P ηωη→∞ ==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a e n n ηη??→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ???,使得对任意的0ε>,有 11lim 1n i n n i P a n ξε→∞ =?? -<= ??? ∑ （8） 成立,则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律. 定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、r n E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0r n n E ηη→∞ -=则称n ηr 次平均收敛到η。记 作 r L n ηη??→。 此时必有r r n E E ηη=。 当r=2时是常用的二阶矩，2 L n ηη??→称为均方收敛。 定义5 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε?>有 11lim 1n n k k n i i E n n ξξε→∞??-<= ??? ∑∑ 则称随机变量序列12,,n ξξξ??????服从弱大数定律。 定义6 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε?>有 概率论与数理统计重点总结及例题解析 一：全概率公式和贝叶斯公式 例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝0.08，P(B| A2)＝0.09，P(B| A3)＝0.12。 由全概率公式P(B) = P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9 练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三、1）【0.4 】 练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5） （1）取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一 等品} （1）P(1 B )=P(1 A )P(1 B |1 A )+P(2 A )P(1 B |2 A )=5 230 182150 10 21= + （2）P(1 B 2 B )= 194 .02121230 2 182 50 2 10=+ C C C C ,则P(2 B |1 B )= ) ()(121B P B B P = 0.485 二、连续型随机变量的综合题 例：设随机变量X 的概率密度函数为 ?? ?<<=others x x x f 02 0)(λ 求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1 概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者：信计1301班王彩云130350119 摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。第五章 大数定律和中心极限定理
概率论大数定律及其应用
概率论复习题及答案
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计概率历史介绍
概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案
数学分析公式定理111章
概率论大数定律及其应用
概率论中的大数定律及中心极限定理
第四章 大数定律与中心极限定理
概率论与数理统计 习题(5)答案
伯努利大数定律
数学中的概率分析之伯努利大数定律
05第五讲 大数定律与中心极限定理
概率论(复旦三版)习题五答案
心理学的几个著名定律
大数定理
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论大数定律及其应用