三角形的边与角
第21章 三角形的边与角
填空题
1. （2011浙江金华，12，4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是
（写出一个即可）.
【答案】答案不唯一，如5、6等
2. （2011浙江省舟山，14，4分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，?=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ 度．
【答案】110
3. （2011湖北鄂州，8，3分）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平
分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．
【答案】50°
4. （2011宁波市，17，3分）如图，在?ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是?ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°，若BE ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BC ＝ cm
【答案】8
5. （2011浙江丽水，12，4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是 (写出一个即可).
第8题图
（第14题）
A
B
C
D
【答案】答案不惟一，在4 6. （2011江西，13，3分）如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC +∠PCA +∠P AB = 度. 【答案】90 7. （2011福建泉州，15，4分）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点18AD BC PEF =∠=，，则PFE ∠的度数是 ． 【答案】18 8. （2011四川成都，13,4分） 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，若 DE =4, 则AB = . D A B E 【答案】8. 9. （2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O 。若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积= ． C F D B E A P （第15题） 【答案】 74 S 10．（2011江苏淮安，10，3分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=8，则DE= . B 【答案】4 11. （2011上海，16，4分）如图， 点B 、C 、D 在同一条直线上，CE //AB ，∠ACB ＝90°，如果∠ECD ＝36°，那么∠A ＝_________． 【答案】54° 12. （2011江苏无锡，17，2分）如图，在△ABC 中，AB = 5cm ，AC = 3cm ，BC 的垂直平 分线分别交AB 、BC 于D 、E ，则△ACD 的周长为______________cm ． A B C D E （第17题） E D C B A A B C D E G F O 13. （2011湖北黄冈，6，3分）如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是 AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________． 【答案】2 14. （2011湖北黄冈，8，3分）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平 分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 【答案】50° 15. （2011湖南衡阳，17，3分）如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，AB =3，AC =5，将△ ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为 ． 【答案】 8 16. （2011江苏盐城，16，3分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE =5，则AB 的长为 ▲ ． A B C D E 第8题图 第6题图 A B C E F D 17. （2011重庆市潼南,13,4分）如图，在△ABC 中，∠A=80°,点D 是BC 延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B= . 【答案】70○ 18. （2011湖北鄂州，6，3分）如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是 AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________． 【答案】2 19. （2011江苏扬州，16,3分）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，MN=6，则BC= 【答案】8 20．（2011湖南湘潭市，15，3分）如下图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，AE ＝2，则EC ＝_______. 第6题图 A B C E F D A B D 13题图 o 150o 80 【答案】4 三、解答题 1.（2011江苏连云港，28，12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比； … 现请你根据对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论.(S表示面积) 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分AC. 经探究S四边形P1R1R2R2=1 3 S△ABC，请证明. 问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的△ABC拼合成四边形ABCD， 如图2，Q1，Q2三等分边DC.请探究 S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间的数量关系. A E C B D 问题3：如图3，P1，P2,P3,P4五等分边AB，Q1，Q2,Q3，Q4五等分边DC.若S四边形ABCD=1，求S四边形P2Q2Q3P3. 问题4：如图4，P1，P2,P3四等分边AB，Q1，Q2,Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2,P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3,S4.请直接写出含有S1，S2，S3,S4的一个等式. 三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0 1.如图,a,b,c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是( ) 2.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能说明△ABC≌△DEF,这个条件是( ) A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF 3.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是( ) A.∠A=∠C B.∠D=∠B C.AD∥BC D.DF∥BE 4.如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( ) A.BC=ED B.∠BAD=∠EAC C.∠B=∠E D.∠BAC=∠EAD 5.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB, 詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②AO=CO=错误!未找到引用源。AC;③△ABD≌△CBD,其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( ) A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD 7.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为( ) A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 8.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( ) A.AC=BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D D.BC=AD 9.如图,在△ABC和△ABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA.试说明:AC=BD. 10.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,且CD=BE,△ADC 与△AEB全等吗?请说明理由. 第九讲 三角形的边与角 三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用． 解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类． 熟悉以下基本图形、并证明基本结论： (1) ∠l ＋∠2=∠3+∠4； (2) 若BD 、CO 分别为∠ABC 、∠ACB 的平分线，则∠BOC=90°+ 21∠A ； (3) 若BO 、CO 分别为∠DBC 、∠ECB 的平分线，则∠BOC=90°－ 21∠A ； (4) 若BE 、CE 分别为∠ABC 、∠ACD 的平分线，则∠E= 2 1∠A ． 注： 中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部． 代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)． 例题求解 【例1】 在△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C ，4∠C ＝7∠A ，则∠B 的度数为 ．(北京市竞赛题) 思路点拨 设∠C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A 、∠B 用x 的代数式表示，建立关于x 的不等式组． 【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有( ) A ．4个 B ．7个 C ．13个 D ．60个 (河南省竞赛题) 思路点拨 1995=3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应满足的 1 第一课：三角形“边角边”面积公式 1、借助“单位菱形面积”探索正弦定义； 2、运用正弦定义探索三角形的“边角边”面积公式； 3、运用“正弦定义、三角形的“边角边”面积公式”解决简单问题. 问题引入：求下面两个三角形的面积： 提问：已知“边角边”，你会求三角形的面积吗？ 一、认识单位菱形的面积 基本概念： 1、四边都等于1的正方形叫单位正方形； 2、四边都等于1的菱形叫单位菱形 二、探索平行四边形的面积 1、如何计算长方形的面积； 2、如何计算平行四边形的面积 归纳： 三、核心概念：正弦定义 观察：单位菱形的面积与一个角的大小关系。 归纳：单位菱形的面积由其中一个角决定。 定义：设∠A 是单位菱形ABCD 的一个内角，单位菱形ABCD 的面积叫做∠A 的 ,记作： 。 即：._________________________________________====单位菱形 S A C DA= 60.0° B 3DA= 90.0°☆学习流程 ☆学习目标 D 11 2 练习1：问题解决：计算平行四边形的面积 A C DA= 60.0° 四、等角（或补角）的正弦 结论：等角（或补角）的正弦值 . [练习]1.填空: sin120sin( )°=° ，sin 45sin()°=°； 如图1，sin 1sin D= . 五、三角形边角边面积公式 1. 平行四边形的面积公式： 结论：平行四边形的面积= 一组邻边和它们夹角的 的乘积. 2．三角形“边角边”面积公式： 结论：三角形的面积=两边和它们夹角的 的乘积的 . 用“边角边”面积公式表示下面三个三角形的面积： A C [练习]2.三角形的两条边分别为3和6，这两条边的夹角为150°，三角形的面积为______. 3.如图2，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边作正方形ABDE 、ACFG ，△AEG 、△ABC 的面积分别为1S ,2S .求证：12=S S . 三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（ 内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 （1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余 （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线 1、中线 (1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线 （1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线 （1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数 （1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________ 三角形边与角的范围问题 课堂练习： 1、在锐角ABC 中，1,2a b ，则最大边c 的取值范围为_____________． 2 222214cos 0245,5,,25a b c c C C ab c c c c c 解析：由题意知是锐角，则又为最大边2、在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，边AC=2，则三角形周长的取值范围为_________． A B C 2,3sin sin sin sin 43sin sin 3 sin 43sin 43sin()sin 33343(sin sin cos cos sin )3333 1 4(sin cos )4sin() 22625(0,),(,)(2,4]3666 B A C B a b c A B C b A A a B b C C c A B a c A A A A A A A A a c 解析：角、、成等差数列，由正弦定理=====周(4,6] 长取值范围为3、在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，c,且sin sin()sin sin cos A B C B C A ，则2ab c 的最大 值为_______． 解析： 2222222222 sin (sin cos cos sin ) sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin sin() sin cos cos 32A B C B C B C A A B C A B C B C A C A B C c ab C c C ab a b c c a b c ab ab 由题可得移项得由正弦定理可得由余弦定理得因此 即最大值为. 4、在ABC 中，已知BC=AC ，ABC 周长为7，则BC 边上的中线AD 的最小值是________． 铺头中学课堂教学导学案 年级七学科数学课型新授主备教师李云云协作教师 设计时间授课时间总课时序数授课人李云云学习内容 学习目标 1、体验角边角(基本事实)、角角边(定理)三角形全等判定的探索过程，理解并掌握角边角、角角边解决问题。 2、在学生经历观察、归纳、猜想、探索角边角(基本事实)、角角边（定理）过程中，发展合情推理能力，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。 3、通过探索角边角(基本事实)、角角边(定理)，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦及数学模型与实际生活中的问题之间的联系. 学习重点掌握角边角(基本事实)、角角边(定理)学习难点文字命题的证明 学习准备学案、课件、三角板等 导学过程一、问题导学 1、你已经知道的判定三角形全等的方法有几种？ 2、如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，可以分 成几种不同的情况，它们分别是怎样的？ 二、自主学习 1、阅读教材P66中的做一做，按要求画图。 请将自己所画的三角形与其他同学所画的三角形进行比 较，所以的三角形都全等吗？换两个角和一条线段，试试看， 是否有同样的结论。 2、如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相 等，那么这两个三角形是否一定全等？（完成课本68页的证 明过程） 3、练习 （1）如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证:AB=AD . （2）已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于 点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD 三、合作探究 组长组织：将自己明白的与大家分享、不明白的与大家交 流。共同分析、探究。 二次备课 导学过程四、拓展延伸 阅读教材P69例4，从中你学到了什么？用这种方法解决下列问题。 1、如图，AB//DC，AD//BC,BE⊥AC，DF ⊥AC垂足为E、F。 试说明：BE＝DF 2、变形，如图，将上题中的条件“BE⊥AC，DF ⊥AC”变为“BE //DF”，结论还成立吗？请说明你的理由。 五、达标检测 1、如图，∠ABC=∠DCB，试添加一个条 件，使得△ABC≌△DCB,这个条件可以是 _______ 或______ 或______ 2、一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？ 六、收获小结 1、畅所欲言。 2、作业布置：一定要动脑筋哦 （1）预习P69页例5，结合例5的证明完成P70的思考。（2）等腰三角形两底角的角平分线相等吗？两腰上的高呢？两腰上的中线呢 板书设计导学反思 学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( ) A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 第三讲三角形的角与边 一、基础知识 本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系. 1.边与边的关系 (1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）； (2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.角与角的关系 (1)三角形的内角和为180?； (2)直角三角形中两锐角互余; (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和. 3.边和角的关系 (1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边; (2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大. 4.不等式变形时常用的性质 (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d; (2)若a>b,c>d,则a-d>b-c; (3)若a>b,c>0,则ac>bc; 若a>b,c<0,则ac 例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形 例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( ) A.3 1 4 k << B. 1 1 3 k << C.12 k << D. 1 1 2 k << 例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( ) A.17cm B.5cm C.17cm或5cm D.无法确定 例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点, 求证: 1 () 2 AB AC BC PA PB PC AB AC BC ++<++<++. 例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长. 14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五课时安排： 一节课 六教学过程： （一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 （二）合作交流，探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导： 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题： （1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征; （3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。 （1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？ （3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？ 小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形； 我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？ 解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7 三角形三大专题 知识互联网 题型一：整数边三角形 思路导航 1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形． 2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则 ⑴ 三角形的最小的边a 满足：03 a b c a ++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立； ⑵ 三角形的最大的边c 满足：32 a b c a b c c ++++< ≤，当且仅当a b c ==时，等号成立． 方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验． 例题精讲 【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？ 典题精练 【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围. ⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长 的三角形共有多少个？ 【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的 三角形. ⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． ⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． 题型二：多边形及其内、外角和 思路导航 多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线 内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠ 对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD . n 边形对角线条数： (3) 2 n n -条 ② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图） 图（a ）为凸多边形 图（b ）为凹多边形 （ a ） （b ） ③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -?° ① 多边形内角和公式推理方法一： 过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 边形分成 (2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内角和． 将n 边形分成()2n -个三角形 ② 多边形内角和公式推理方法二： 在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这 (1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -?-=-?°°° 将n 边形分成()1n -个三角形 F E D C B A 《三角形中的边角关系》测试卷 一、选择题 1、三角形的三边分别为3，1-2a,8,则a 的取值范围是（ ） 三角形中边与角之间的不等关系 《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过 实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。教学重点：三角形中边与角之间的不等关 系及其探究过程。教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几 何证明的表达。教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同 一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究 “等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示， 请写出证明过程。（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。思考：是否还 有不同的方法来证明这个结论？ 实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。 形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边 三角形的边与角 三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用． 解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类． 熟悉以下基本图形、并证明基本结论： (1) ∠l ＋∠2=∠3+∠4； (2) 若BD 、CO 分别为∠ABC 、∠ACB 的平分线，则∠BOC=90°+ 21∠A ； (3) 若BO 、CO 分别为∠DBC 、∠ECB 的平分线，则∠BOC=90°－ 21∠A ； (4) 若BE 、CE 分别为∠ABC 、∠ACD 的平分线，则∠E= 2 1∠A ． 注： 中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部． 代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)． 例题求解 【例1】 在△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C ，4∠C ＝7∠A ，则∠B 的度数为 ．(北京市竞赛题) 思路点拨 设∠C ＝x °，根据题设条件及三角形内角和定理把∠A 、∠B 用x 的代数式表示，建立关于x 的不等式组． 【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有( ) A ．4个 B ．7个 C ．13个 D ．60个 (河南省竞赛题) 思路点拨 1995=3×5×7×19，为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角形三边应满足的 1、 如图,BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 、CF 相交于点G,∠BDC=140°, ∠BGC=110°。求∠A 的度数. 2、如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP,PB,PC 求证:（1）PA+PB+PC > 2 1(AB+AC+BC) （2）PA+PB+PC < AB+AC+BC 3、如图1,△ABC 中,点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点． （1）求∠P 与∠A 有怎样的大小关系？ （2）如图2,点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系. （3）如图3,点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系. 4、如图1,在△ABC 中,AD ⊥BC,AE 是角平分线, （1）求∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系; （2）如图2,AE 是∠BAC 的角平分线,FD 垂直于BC 于D,求∠DFE 与∠B 、∠C 之间的关系. （3）如图3，当点F 在AE 延长线上时，FD 仍垂直于BC 于D ，继续探讨∠DFE 与∠B 、∠C 的关系 E G A B D C F 十一章经典例题 图1 图2 F 图3 5、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE的大小. 6、△ABC中,AD、BE、CF是角平分线,交点是点G,GH⊥BC 求证：∠BGD=∠CGH. 7、如图,∠xOy＝90°,点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动,BF是∠ABP的平分线,BF的反向延 长线与∠OAB的平分线交于点C,求证∠ACB的度数是定值. 8、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限， 点B是x正半轴上一点。过点O做OD∥AB，∠BAO的平分线与 ∠MOD的平分线相交于点Q， 求 AQO AON ∠ ∠ 的值 9、直角坐标系中，OP平分∠XOY，B为Y轴正半轴上一点，D为第四象限内一点，BD交x轴 于C，过D作DE∥OP交x轴于点E，CA平分∠BCE交OP于A，∠BDE的平分线交OP 于G，交直线AC于M，如图 求证2OGD OED OAC ∠-∠ ∠ 为定值 E D C B A F G A B C D E F H M D B A Q N y x O 全等三角形边角边判定的基本练习 1、边角边公理． (简称“边角边”或“SAS”) 一、例题与练习 1、填空： (1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)。 (2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是___________,二是 ____________还需要一个条件________________(这个条件可以证得吗？)。 2、例1 、已知：AD∥BC，AD＝CB(图3)。求证：△ADC≌△CBA． 例2 、已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)。求证：△ABD ≌△ACE。 练习： 1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证： △ABE≌△ACF。 A B C D E 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD ∥BC ，CB AD =，CF AE =。求证：CEB AFD ???。 7、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，DB AC =，DF AE =，AD EA ⊥，AD FD ⊥，垂足分别是A 、D 。求证：FDC EAB ??? 8、已知：如图，AC AB =，AE AD =，21∠=∠。求证：ACE ABD ???。 9、如图，在ABC ?中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，FE DE =，CE AE =，AB 与CF 有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB ∠=∠，BD AC =。求证∠C=∠D 11.2 三角形全等的判定(3) 教学目标 ①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等． ②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点 理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”． 教学难点 探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用． 教学过程（师生活动） 创设情境 复习： 师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些? 生：“SSS”“SAS” 师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。 探究新知： 一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？ 1．师：我们先来探究第一种情况．(课件出示“探究5……”) (1)探究5 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC 上，它们全等吗? 师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。 在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决． 生：独立探究，试着画△A'B'C'，(有问题的，可以小组内交流解决……)…… (2)全班讨论交流 师：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步) 你是这样画的吗? 师：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等． 生：(剪△A'B'C'，与△ABC作比较……) 师：全等吗? 生：全等． 师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现． 生1：我发现…… 生2：…… 生3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 全等三角形角边角判定的基本练习 V三角形辅助线做法＞图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 注意：三角形全等的条件的选用选择哪种方法判定两个三角形全等, 要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：已知条件可选择的判定方法 一边一角对应相等SAS、AAS ASA 两角对应相等ASA、AAS 两边对应相等SAS、SSS 但形如“ SSA和“ AAA不能判定三角形全等。 1. 如图，∠ ABC∠ DCB ∠ ACB∠ DCB 试说明△ ABC^△ DCB. 4 / D 2. 已知：如图，∠ DAB∠ CAB ∠ DBE∠ CBE 求证：AC=AD. 3. 已知：如图，AB=AC ∠ B=∠ C, BE DC交于O点。求证：BD=CE. 4. 如图：在厶ABC和厶DBC中，∠ ABD∠ DCA,∠ DBC∠ ACB求证: AC=DB 5. 如图，D E分别在AB AC上，且AD=AE DB=DC ∠ B=∠ G 求证: BE=CD. 6. 如图，已知：AE=CE ∠ A= ∠ C ∠ BED ∠ AEC 求证：AB=CD. 9. 如图，AB // CD, AD BC 交于O 点，EF 过点O 分别交AB CD 于E 、 F ,且AE=DF, 求证：O 是EF 的中点. 求证: ZA=ZB. BE=CF l 求证:AB=DC. C F ABC中，中线BE, CD相交于点0,连接DE,下列结论:其中正确的个数有（） 【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质. 【分析】①DE是厶ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；② 利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定. 【解答】解：①I DE是厶ABC的中位线, 1 卄DE 1 二DE=2BC,即卩1C =2 ; 故①正确； ②??? DE是厶ABC的中位线， ??? DE// BC 故②错误; ③??? DE/ BC AD OE AB = OB ， 、选择题 三角形的边与角 DE _ 1 BC = 2 DOE ② S^ COB ③ AB = ol ； S^ ODE S^ ADE 1. （2016 ?湖北咸宁）如图，在△ A. 1个 D. 4个 S^ DOE S^ COB=(iC 2=d)2=i， ? △ADE s^ ABC △DOE sA COB 皿 AB = DE =BC OE DE OB :=BC B. 2个 C.3个 故③正确; ④???△ ABC的中线BE与CD交于点0。 ???点0是厶ABC的重心， 根据重心性质，B0=20E, △ ABC的高=3A B0C的高， 且厶ABC与厶B0C同底（BC） ? - ABC =3S A B0C, 由②和③知， 1 1 S\ 0DE= 4 S A COB, S\ADE= ~4 S A B0C, S 0DE 1 …ADE = 3 . 故④正确? 综上，①③④正确? 故选C. 【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质?要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方. 2. （2016 ?四川广安?3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（） A ? 1个 B ? 2个C. 3个D ? 4个 【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判 定与性质；菱形的判定. 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、 平行四边形的判定方法即可解决问题. 【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外. ②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形 是矩形. 初一几何——三角形的边角关系（一） 【学习目标】 1． 根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。 2． 充分利用三角形三边关系解决相关问题。 3． 学会并掌握双垂直图形。 【知识库】 1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边 即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 【规律探索】 （北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A ．∠A ＝∠1＋∠2 B ．2∠A ＝∠1＋∠2 C ．3∠A ＝2∠1＋∠2 D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2） 变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。 【题型精讲】 重难点一：三角形的面积。 例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ． 若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为 ． 例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。（要求画出草图再求证） 拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题： （1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若点P 在△ABC 外（图3） ，此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由 重难点二：三角形的三边关系 例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( ) A.11 2 (AB +AC ) 练习： 1、已知a 、b 、c 是ΔABC 的三边长，化简|a +b -c |-|a -b -c | 2、已知三角形的三边长a 、b 、c 都是整数，且a ≤b ＜c ，b =7，则这样的三角形有多少个？ 3、已知O 是△ABC 中任意一点，求证：1 2 (AB + AC +BC )＜OA + OB+OC B A C P O B A C三角形中的边角关系
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