信号与系统习题答案第三章

第三章习题

基础题

3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。它是否是完备集?

解：

(积分???)此含数集在(0,2)π为正

交集。又有sin()nt 不属于此含数集0

2sin()cos()0nt mt dt π

=⎰

，

对于所有的m 和n 。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。 3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？

解：

由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。

3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T

-内的能量定义为222

()T

T E f t dt -=⎰。如有和信

号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22

T T

-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;

(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。

解：(1)和信号f(t)的能量为

[]2

2

222

2

2222212122

2

2

()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt

f t dt f t dt f t f t dt

f t f t -----=

=

=

+++⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

（少乘以2）

由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得

2122

()()0

T T f t f t dt -=⎰

则有 2222122

2

()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰

即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。 和信号的能量为

(2)

[]2

2

222

2

2222212122

2

2

()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt

f t dt f t dt f t f t dt

f t f t -----===+++⎰⎰

⎰

⎰⎰

（少乘以2吧？）

由1()f t 与2()f t 在区间(,)22

T T

-内不正交可得

2122

()()0T T f t f t dt K -=≠⎰

则有222222221

2

122

2

2

2

()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰

⎰

⎰

即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。

3.4 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。

（1）100j t

e

（2） ]2/)3(cos[-t π

（3）)4sin()2cos(t t + （4）cos(2)cos(3)cos(5)t t t πππ++

（5）)4/sin()2/cos(t t ππ+ （6） )5/cos()3/cos()2/cos(t t t πππ++

解：(1)角频率为Ω＝100rad s ，周期22100T s ππ

=

=Ω (2)角频率为2

rad s π

Ω=

，周期42T s π

=

=

(3)角频率为2rad s πΩ=，周期2T s π

π==Ω（先求T ，后求omg 吧？） (4)角频率为rad s πΩ=，周期22T s π

==Ω

(5)角频率为4rad s πΩ=，周期28T s π

=

=Ω

(6)角频率为

30rad

s

π

Ω=，周期

2

60

T s

π

==

Ω

3.5 用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。

解：(1)周期T=4,

2

T

π

Ω=2

π

=

，则有

1, 4k-1 t 4k+1

f(t)=

0, 4k+1 t 4k+3

⎧

⎨

⎩（k是整数；怎么求的边界条件？）

由此可得

2

2

2

()cos()()

T

T

n

a f t n t d t

T-

=Ω

⎰2

2

1

()cos()

22

n t

f t dt

π

-

=⎰11

1

cos()

22

n

t

dt

π

-

=⎰

2

sin(),0,1,2,

2

n

n

n

π

π

==

2

2

2

2

1

()sin()()()sin()

22

T

T

n

n t

b f t n t d t f t dt

π

--

=Ω=

⎰⎰1

1

1

sin()0,1,2,

22

n t

dtn

π

-

==

⎰

（X？）(2)周期T=2，

2

T

π

ππ

==

，则有

sin(),221

()

0,2122

t k t k

f t

k t k

π≤≤+

⎧

=⎨

+<<+

⎩

由此可得：

11

2

10

2

2

111

()()()sin()

22

1

,0,1,2,

2(1)

T

jn t jn t jn t

T

n

n

jn t

F f t e d t f t e dt t e dt

T

e

n

n

π

π

-Ω-Ω-Ω

--

-Ω

===

+

==±±

-

⎰⎰⎰

（积分？

3.6如图所示是4个周期相同的信号

(1)用直接求傅里叶系数的方法求图（a ）所示信号的傅里叶级数（三角形式）； (2)将图（a ）的函数1()

f t 左（或右）移，就得图（b ）的函数

2()

f t ，利用(1)的

结果求

2()

f t 的傅里叶级数；

(3)利用以上结果求图（c ）的函数3()

f t 的傅里叶级数； (4)利用以上结果求图（d ）的信号4()

f t 的傅里叶级数；

解：

(1)由

1()

f t 的波形可知

12

,2

()0,2T t kT t kT T f t T kT t kT T ⎧≤≤+⎪⎪=⎨

⎪+<<+⎪⎩ 令

2T π

Ω=

，则有

22021211

2121211

222cos()sin()sin(),1,2,

1cos()1cos()()cos()sin()4()()()()()

22

11cos()1cos()sin()4()T T

T n n n n n n b n t dt t n t dt n T T T n n n f t n t n t n n T T

f t f t f t f t n n t n t n n πππππππππ-∞∞

==∞∞

===Ω=Ω=-=-=+Ω-Ω=+=--=+Ω-Ω⎰⎰∑∑∑

∑

2

2102

22cos()()cos()T T

T n a n t f t dt n t dt

T T -=Ω=Ω⎰⎰

2

cos()1

,1,2,()

n n n ππ-=

=

2

2102222sin()()sin()cos()

,1,2,T T T n b n t f t dt t n t dt

T T T n n n ππ

-=Ω=Ω=-=⎰

⎰

则

1()

f t 的傅里叶级数为

12111cos()1cos()()cos()sin()4()n n n n f t n t n t n n ππππ∞∞

==-=+Ω-Ω∑∑

(2)由

2()

f t 和

1()

f t 的波形图可知

21()()2T f t f t =+或21()()

2T

f t f t =- 则

2()

f t 的傅里叶数为

21()()

2T

f t f t =+

2111cos()1cos()cos ()sin ()4()22n n n T n T n t n t n n ππππ∞∞==-⎡⎤⎡⎤=+Ω+-Ω+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 2

111cos()1cos()cos()sin()4()n n n n n t n n t n n n ππππππ∞∞==-=+Ω+-Ω+∑∑ 2

111cos()1cos()cos()cos()cos()sin()4()

n n n n n n t n n t n n ππππππ∞∞==-=+Ω-Ω∑∑

2

1111cos()1cos(

)sin(

)4()n n n n t n t n n πππ∞∞

==-=+-Ω--Ω∑∑

(3)由

3()

f t 的波形可知

32()()

f t f t =-

则3()

f t 的傅里叶级数为

32()()

f t f t =-

2

1111cos()1cos()sin()4()n n n n t n t n n πππ∞∞

==-=+-Ω--Ω∑∑ 2

1111cos()1cos()sin()4()n n n n t n t n n πππ∞∞

==-=+Ω+Ω∑∑

(4)有

4()

f t 的波形可知

423()()()

f t f t f t =+

则

4()

f t 的傅里叶级数为

[]4232

121cos()1()()()cos()2()n n f t f t f t n t n ππ∞=-=+=+Ω∑

3.7试画出图示信号的奇分量和偶分量

解：

（1）由1()f t 的波形求得1()f t -的波形 则奇分量的波形为()od f t =

11()()2f t f t --偶分量的波形为()ed f t =11()()

2

f t f t +-

（2）由2()f t 的波形求得2()f t -的波形 则奇分量的波形为()od f t =

11()()2f t f t --偶分量的波形为()ed f t =1

1()()

2

f t f t +-

3.8利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。

解：

（1） 由1()f t 的波形可知

1()f t =1()f t -=1()2

t

f t -±

则有 2

4()cos()t n a f t n t dt t =Ω⎰ ,0,1,2,n =…

0n b =

0242460a a a b b b ========……

则1()f t 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。 （2） 由2()f t 的波形可知 22()()f t f t =-- 则有 0n a =

2

4()sin(),0,1,2,t n b f t n t dt n t =Ω=⎰…

则2()f t 的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。

（3） 由3()f t 的波形可知33()()f t f t =-则有 0n b =

2

4()cos(),0,1,2,t n a f t n t dt n t =Ω=⎰…

即3()f t 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。 （4） 由4()f t 的波形可知，4()f t 为奇谐函数，即

44()()2

t

f t f t =-±

则有 0242460a a a b b b ========……

即4()f t 的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。 3.9 如图的周期性方波电压作用于RL 电路，试求电流()i t 的前五次谐波。

解：由()s u t 的波形图可知周期22,1T T

π

π=Ω=

=，则有 1,2222()30,2222

{

s k t k u t k t k ππ

ππππ

ππ-≤≤+=

+≤≤+

由此可得傅立叶级数的系数 222()cos()T

n s T

a u t n t dt T -=Ω⎰

1

()cos()s

u t nt dt π

ππ-

=

⎰22

1

cos()nt dt π

ππ

-

=⎰ 22

1

021,2,sin()

2

{

n dt n n n π

ππππ-==

=

==⎰时， a 0时，a n

因()s u t 为偶数，则0,1,2,n b n =

=

则电路激励()s u t 的前五次谐波为

5

011222()cos(5)cos cos(3)cos(5)2235

s n n

a

u t a t t t t πππ

==

+=+-+∑ 由电路得系统微分方程为'

()()()s i t i t u t +=

欲求电流()i t 的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。 设0123456()cos sin cos(3)sin(3)cos(5)sin(5)p i t C C t C t C t C t C t C t =++++++ 代入上面微分方程比较两边系数可得

01234561111,,,,

215111

,,56515C C C C C C C ππππππ

====-=-==

则电流()i t 的前五次谐波为 1111111()cos sin cos(3)sin(3)cos(5)sin(5)21556515p i t t t t t t t ππππππ

=

+++-+-++ 3.10求图示各信号的傅立叶变换。

解：（a ）由()1f t 的波形可知

()11,00,{

t f t τ≤≤=其它

则()1f t 的傅立叶变换为

()()110

j t

j t F j f t e

dt e dt τ

ωωω∞

---∞

==⎰

⎰

2

12

j j e sa e j ωτωτωτ

τω--

-⎛⎫=

= ⎪⎝⎭

（b ）由()2f t 的波形可知

()21

,00,{

t t f t τ

τ

≤≤=其它

则()2f t 的傅立叶变换为

()()220

1

j t

j t F j f t e

dt te dt τ

ωωωτ

∞

---∞

==⎰

⎰

2111j j j j e e e j e j j j ωτωτωτωτ

ωτωωτωωτ

-------=--⋅=- （c ）由()3f t 的波形可知

()3cos ,1120,{

t t f t π⎛⎫

-≤≤ ⎪⎝⎭=其它

则()3f t 的傅立叶变换为

()()33j t

F j f t e

dt ωω∞

--∞

=⎰

1

1

cos 2j t t e dt ωπ--⎛⎫

= ⎪⎝⎭

⎰

1

22112j t j t j t e e e dt ππω---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰122

112j t j t e e dt ππωω⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎰ sin sin 2222ππωωππωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-+2

2cos 2πωπω=⎛⎫- ⎪⎝⎭

（d ）由()4f t 的波形可知

()()4sin ,220,{

T T

t t f t Ω-≤≤

=

其它

则()4f t 的傅立叶变换为 ()()44j t F j f t e dt ωω∞

--∞

=

⎰

()()()

()22

2

222

sin sin sin 222242sin sin 222T j t T t e dt

T T T

T j j T T j T j T ωωωωωπωωωπω--=Ω⎛⎫⎛⎫Ω-Ω+ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭=-Ω-Ω+⎛⎫⎛⎫Ω ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭==Ω-⎛⎫- ⎪

⎝⎭

⎰

3.11根据上题（a ）（b ）的结果，利用傅立叶变换的性质，求下图所示各信号的傅立叶变换。

解： (a) 令()1,00,{t f t τ≤≤=

其它

，由上题可知其傅立叶变换为 ()2

2

j F j sa e ωτ

ωτ

ωτ-⎛⎫=

⎪⎝⎭

由()1f t 的波形可知 ()()()1f t f t f t =-- 由傅立叶变换的性质可知()1f t 的傅立叶变换为

()()()2

2

2

14sin 2

2

2

j j j F j F j F j sa e sa e ωτωτωτωτ

ωτωωωττω

--⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦

=--=-

-=

⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

(b) 令()1,010,

{t f t ≤≤=

其它

，由上题可知其傅立叶变换为 ()22j

F j sa e ω

ωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭

由()2f t 的波形可知

()()()233t t f t f t f f t f ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则由傅立叶变换的性质可知，()2f t 的傅立叶变换为

()()()()()23333F j F j F j F j F j ωωωωω=+-++-

33222

2

2333322228sin cos j j j

j

sa e sa e sa e

sa e

ωω

ωωωωωωωωω

--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=

(c) 由()3f t 的波形可知

()()2

312

f t f t dt τ

-∞

=

⎰

则由傅立叶变换的性质可知，()3f t 的傅立叶变换为

()()()()31121

0F j F j F j ωωπδωτω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

24sin 212j j ωττωω⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 24sin 212j j ωττωω⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

22

8sin 2ωτωτ

⎛⎫

⎪⎝⎭=

(d) 令()1

,00,{t t f t τ

τ

≤≤=其它

，由前题可知其傅立叶变换为

()2

1j j e j e F j ωτωτωτωωτ

---=- 由()4f t 的波形可知 ()422f t f f ττ⎛⎫⎛⎫=--

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

由傅立叶变换的性质可知，

()()()42222F j F j F j ωωω=--

()()()()()()

22222

2

2121222222cos 2j j j j e

j e

e j e j

ωτ

ωτ

ωτωτ

ωτωτωτ

ωτ

ωτωτωτ

-----------=⋅-⋅

---=

（e ）由()5f t 的波形图可知

()(){

sin 6,11

50,t t f t π-≤≤=

其他

则()5f t 的傅立叶变换为

()()()()1

552

2

1

12sin sin 66j t j t j F j f t e dt t e dt ωωπω

ωππω

∞

---∞

-===

-⎰

⎰

(f) 由()6f t 的波形图可知

()()()()()1cos 10,10

61cos 10,01

0,t t t t t t f t ππ+-≤≤-+≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩

其他

则()6f t 的傅立叶变换为

()()()()()()0

1

661

01cos 101cos 10j t

F j f t e

dt t t dt t t dt ωωππ∞

--∞

-==++-+⎰

⎰

⎰

()()22222

24sin 10210ωωπωπ⎛⎫

⎡⎤

⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭=⎡⎤-⎣⎦

3.12 若()f t 为虚函数，且()()()F j R jX j ωωω=+，试证

⑴ ()()()(),R R X X ωωωω=--=- ⑵ ()()*

F j F

j ωω-=-

解： 令()()f t jg t =，()g t 为t 的实函数，则有 ()()()()()cos sin j t

F j f t e

dt jg t t j t dt

ωωωω∞

∞

--∞

-∞

=

=-⎡⎤⎣⎦⎰

⎰

()()()()()()

sin cos g t t dt j g t t dt

R jX j ωωωω∞∞

-∞

-∞

=+=+⎰⎰

式中频谱函数的实部和虚部为 ()()()sin R g t t dt ωω∞

-∞=⎰

()()()cos X g t t dt ωω∞

-∞

=⎰

则有

()()()()()()

()()()()()()

sin sin cos cos R g t t dt g t t dt R X g t t dt g t t dt X ωωωωωωωω∞∞

-∞

-∞

∞∞

-∞

-∞

-=-=-=--=-==⎰⎰⎰⎰

即 ()()()(),R R X X ωωωω=--=- 由上面结果可知

()()()()()()*

F j R jX j R jX j F

j ωωωωωω-=-+-=-+=-

3.13若()f t 为复函数，可表示为

()()()r i f t f t jf t =+

且()f t 的频谱函数为()F j ω。式中()r f t 、()i f t 均为实函数，证明： ⑴ ()()*

*f

t F j ω↔

⑵ ()()()1

*2r f t F j F j ωω↔+-⎡⎤⎣

⎦ ()()()1

*2i f t F j F j j ωω↔

--⎡⎤⎣

⎦ 解：⑴()()()()[]cos sin j t r

i F j f t e dt f t jf t t j t dt ωωωω∞

∞

--∞

-∞==+-⎡⎤⎣⎦⎰

⎰ ()()()()cos sin cos sin r i i r f t t f t t dt j f t t f t t dt ωωωω∞

∞

-∞-∞=++-⎡

⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 而()()()*

r i f

t f t jf t =-，则有

()*f t ↔

()()()[]*cos sin j t r

i f t e dt f t jf t t j t dt ωωω∞

∞

--∞

-∞=--⎡⎤⎣⎦⎰

⎰ ()()()()()

cos sin cos sin *r i i r f t t f t t dt j f t t f t t dt F j ωωωωω∞

∞

-∞-∞=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-⎰⎰

⑵ 由 ()()()r i f t f t jf t =+，()()()*

r i f

t f t jf t =-，可知

()()()()()()**

12

12r i f t f t f t f t f t f t j ⎡⎤=

+⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦

由()()()()*,*f t F j f t F j ωω↔↔-，利用傅立叶变换的线性性质可得

()()()()()()1

*2

1

*2r i f t F j F j f t F j F j j ωωωω↔

+-⎡⎤⎣⎦↔--⎡⎤⎣⎦

3.14 据傅立叶变换对称性求下列函数的傅立叶变换

⑴ ()()()

sin 22,2t f t t t ππ-⎡⎤⎣⎦

=-∞<<∞-

⑵()22

2,f t t t

α

α=

-∞<<∞+ ⑶()()2

sin 2,2t f t t t ππ⎡⎤

=-∞<<∞⎢⎥⎣⎦

解： ⑴ 由于宽度为τ，幅度为1的门函数()g t τ的频谱函数为2

sa ωτ

τ⎛⎫

⎪⎝⎭

，即 ()sin 222

g t sa τωτωττω⎛⎫

⎪⎛⎫⎝⎭↔= ⎪⎝⎭

取2,τ=幅度为

1

2

，根据傅立叶变换的线性性质有 ()()()211

222g t sa sa ωω↔⨯= 即 ()()21

2

g t sa ω↔

注意到()2g t 是偶函数，根据对称性可得

()()()221

22

sa t g g πωπω↔⨯=

根据时移性和尺度变换可知

()()241

222

j sa t g e ωππω--↔

⎡⎤⎣⎦

由()()()

()sin 222222t f t sa t t πππ-⎡⎤⎣⎦

=

=-⎡⎤⎣⎦-，可知

()()24j f t g e ωπω-↔

⑵ 由于 22

2t

e αα

αω-↔

+

可知 22

222e e

t αωαω

αππα---↔=+ 即 ()22

2,f t t t

αα=

-∞<<∞+的傅立叶变换为2e αω

π- ⑶由于 ()21sin 2g t ω

ω

↔

根据对称性可知

()()4sin 21

22

t g t

ππωπ↔

根据频域卷积性质，可得

()()()2

44sin 21

11*2222t g g t πππωωππ⎡⎤⎡⎤

↔⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

又有

()()11,424440,4111

*222rad s

rad s

g g ωωπππ

πωπωωπ⎡⎤

-<⎢⎥⎣⎦

>⎧⎪⎡⎤=⎨

⎢⎥⎣

⎦⎪

⎩ 3.15求下列信号的傅立叶变换

⑴ ()()2jt

f t e

t δ-=- ⑵()()()311t f t e t δ--'=-

⑶ ()()

2sgn 9f t t =- ⑷ ()()21t

f t e t ε-=+

⑸ ()12t f t ε⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

解： ⑴已知 ()1t δ↔

由时移性质可得

()22j t e ωδ--↔

再由频移性质可得()f t 的傅立叶变换

()()

212j jt e t e

ωδ-+--↔

⑵ ()()

()()()()()()

311131131t f t e

t t t t t δδδδδ--'''=-=----=-+-

又()()1,,t t j δδω'↔↔由时移特性可知()f t 的傅立叶变换为

()()3j F j j e ωωω-=+

⑶ ()()

()26sgn 912f t t g t =-=- 又 ()()()

3

663

4sin 3j t j t g t g t e dt e dt ωωωω

∞

---∞

-↔

==

⎰

⎰

()12πδω↔

则有 ()()()

4sin 32f t ωπδωω

↔-

⑷ ()()()2212j j t

t j t

e F j

f t e

dt e t e

dt j ω

ωωωεω

+∞

∞

----∞

-∞

=

=+=+⎰

⎰

⑸ 由 ()()1t j επδωω

↔+ 利用时移特性可得

()()()11j j e t e j j ω

ωεπδωπδωωω--⎡⎤-↔+=+

⎢⎥⎣

⎦ 再由尺度变换特性可得

()()22112222j j t e e j j ωωεπδωπδωωω--⎡⎤⎛⎫

-↔+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

即()f t 的傅立叶变换为

()()2j e F j j ω

ωπδωω

-=+

3.16 试用时域微积分性质，求图示信号的频谱。

解：（1）由()1f t 的波形可得其闭合表达式为

()()()1t

f t t t ετεττ=

+--⎡⎤⎣

⎦

由此可得

()()()()()11t

f t t t t t ετετδτδτττ

'=+-----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 又有

()()()1

1

t j t επδωωδ↔+↔

可得

()()()j j e t j t e ωτ

ωτ

ετπδωωδτ±±±↔+

±↔ 则有 ()()()12sin 12cos f t ωτωττ

ω

'↔

⋅-

当0ω=时上式值为0，则有

()()()()1122cos 2sin F f t f t j j ωωτωτωωτ

⎡⎤

'-⎣

⎦↔=⋅

⑵ 由()2f t 的波形可得其闭合表达式为 ()2422444422f t t t t t t t t t ττττττττεεεετ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

++-++---+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由此可得 ()242442f t t t t t ττττεεεετ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=

+-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

又有 ()()1

t j επδωω

↔+

可得 ()22j e t j τ

ω

τεπδωω±⎛⎫

±↔+ ⎪⎝⎭

()44j e t j τ

ω

τεπδωω±⎛⎫

±↔+

⎪⎝⎭

则有 ()28cos cos 24f t j ωτ

ωτωτ⎡⎤

⎛⎫⎛⎫'↔- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

当0ω=时，上式为0，则有

()22316sin sin 88

f t ωτ

ωτ

ωτ

⎛⎫⎛⎫

⋅

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭↔

3.17 已知()()f t F j ω↔，试求下列函数的频谱：

⑴ ()tf t ⑵ ()()2t f t - ⑶ ()df t t

t

⑷ ()1f t - ⑸ ()()11t f t -- ⑹ ()25f t - ⑺

()112t f d ττ--∞

⎰

⑻ ()32jt e f t - ⑼

()1*

df t t

t

π 解：⑴ 根据频域微分特性可知

()()()d

jt f t F j d ωω

-↔

则有 ()()d

tf t j F j d ωω

↔ 根据尺度变换特性可得

()12222d tf t j

F j d ωω⎛⎫

↔ ⎪⎝⎭

则可得 ()1242d tf t j F j d ωω⎛⎫

↔ ⎪⎝⎭

⑵ 根据频域微分特性可得

()()()d

jt f t F j d ωω

-↔

则有 ()()d

tf t j F j d ωω

↔ 由傅立叶变换的线性性质可得

()()()()22d

t f t j

F j F j d ωωω

-↔

-

信号与系统课后习题与解答第三章

3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。 图3-1 解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n 2 1120 11201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n E dt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-== = =⎰⎰ 所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为 T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+++= 指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪ ⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0, 021n n jE n jb F n n π 所以，指数形式的傅利叶级数为 T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j π ωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=-- 3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若： 图3-2 2 τT -2τ -

重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10= 求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。 解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛== = =⎰⎰--22 sin 12,)(1112212211τωττωππωτ τ ωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F t jn T T t jn n 则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为 ∑∑∞ -∞ =∞-∞ =⎪⎭⎫ ⎝⎛== n t jn n t jn n e n Sa T E e F t f 112)(1ωωτωτ 其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim 100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ ⋅= +-2sin 2111τωπE F F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ ⋅= +-22sin 122τωπE F F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ ⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得 s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得 直流分量大小为 V 11021020104 6 =⨯⨯⨯-- 基波的有效值为 () )(39.118sin 2 10101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ 二次谐波分量的有效值为 () )(32.136sin 2 51010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ

信号与系统习题答案第三章

第三章习题 基础题 3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。它是否是完备集? 解： (积分???)此含数集在(0,2)π为正 交集。又有sin()nt 不属于此含数集0 2sin()cos()0nt mt dt π =⎰ ， 对于所有的m 和n 。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。 3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？ 解： 由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。 3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T -内的能量定义为222 ()T T E f t dt -=⎰。如有和信 号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22 T T -内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和; (2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。 解：(1)和信号f(t)的能量为 []2 2 222 2 2222212122 2 2 ()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt f t dt f t dt f t f t dt f t f t -----= = = +++⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ （少乘以2） 由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得 2122 ()()0 T T f t f t dt -=⎰

则有 2222122 2 ()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰ 即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。 和信号的能量为 (2) []2 2 222 2 2222212122 2 2 ()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt f t dt f t dt f t f t dt f t f t -----===+++⎰⎰ ⎰ ⎰⎰ （少乘以2吧？） 由1()f t 与2()f t 在区间(,)22 T T -内不正交可得 2122 ()()0T T f t f t dt K -=≠⎰ 则有222222221 2 122 2 2 2 ()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰ ⎰ ⎰ 即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。 3.4 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。 （1）100j t e （2） ]2/)3(cos[-t π （3）)4sin()2cos(t t + （4）cos(2)cos(3)cos(5)t t t πππ++ （5）)4/sin()2/cos(t t ππ+ （6） )5/cos()3/cos()2/cos(t t t πππ++ 解：(1)角频率为Ω＝100rad s ，周期22100T s ππ = =Ω (2)角频率为2 rad s π Ω= ，周期42T s π = = (3)角频率为2rad s πΩ=，周期2T s π π==Ω（先求T ，后求omg 吧？） (4)角频率为rad s πΩ=，周期22T s π ==Ω (5)角频率为4rad s πΩ=，周期28T s π = =Ω

【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答

3-1 解题过程： （1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ） f ( t ) = a + +∞ cos ( n ω t ) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1 n 1 n =1 式中ω1 = 2π ，n 为正整数，T 1 为信号周期 T 1 1 t +T （a ）直流分量 a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dt T 1 t 2 t +T （b ）余弦分量的幅度 a n = 0 ∫ 1 f ( t ) cos ( n ω1t ) dt T 1 t 0 2 t +T （c ）正弦分量的幅度 b n = 0 ∫ 1 f ( t ) sin ( n ω1t ) dt T 1 t （2）指数形式的傅立叶级数 +∞ f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1t n = 其中复数频谱 F n = F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1 f ( t ) e ? jn ω1 t dt T 1 t 0 F n = 1 ( a n ? jb n ) F ? n = 1 ( a n + jb n ) 2 2 由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 0 4 T b n = T ∫02 = 2E π n 4 T E ?2E E f ( t ) sin ( n ω t ) dt = sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 ? cos ( n π 2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1 n = 2, 4, n = 1, 3, 所以，三角形式的 FS 为 2 E 1 1 2π f ( t ) = sin ( ω1t ) + sin ( 3ω1t ) + sin ( 5ω1t ) + ω1 = π 3 5 T 指数形式的 FS 的系数为 1 n = 0, ±2, ±4, F n = ? jb n jE = 2 n = 0, ? ± 1, ±3, n π 1

信号与系统(吴大正)--完整版答案--纠错修改后版本

第一章 信号与系统 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （3）)()sin()(t t t f επ=

（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=

1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin( )(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f

（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ

信号与系统课后习题答案

习 题 一 第一章习题解答 基本练习题 1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。因此，公共周期3 110==f T s 。 (b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+== 基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。因此，公共周期5 1 10==f T s 。 (c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期的。 (d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。因此，公共周期π==0 1 f T s 。 1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。显然是功率信号。 t d t f T P T T T ? -∞→=2 )(21 lim 16163611lim 2211 0=?? ????++=???∞→t d t d t d T T T W (b) 波形如图1.2(b)所示。显然是能量信号。 3716112=?+?=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim 10102 5=-===? ?∞ ∞ ---∞ →T t t t T e dt e dt e E J (d) 功率信号，显然有 1=P W 1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=?+?=E J 信号的功率为 87 56 === T E P W 1-5 解 (a) )(4)2 ()23(2t t t δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t e t t δδδ (c) )2 (23)2 ()3 sin()2 ()32sin(πδπ δπ ππ δπ +- =+ + -=+ + t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21

信号与系统第三章习题课3

第三章 习题 1．图3-1给出冲激序列∑∞ -∞ =-=k T kT t t )()(00 δδ。求)(0 t T δ的指数傅里叶级数和三角傅里 叶级数。 解：00020 21 1()T jn t T n F t e dt T T ωδ+ --= =? 000 1 ()jn t T n t e T ωδ∞ =-∞ ∴= ∑ 001a T =，0 0200 222 ()cos T T n a t n tdt T T δω+ -= = ? ，因为偶函数0n b = 001 0012()cos T n t n t T T δω∞=∴=+∑，上述002T π ω= 2．利用1题的结果求图3-2所示三角波)(t f 的三角傅里叶级数。 解： ①利用1题的结果求解： 令[]100 ()()()()A f t A t u t u t T T =--- 则100000()()[()][()((1))]n n A f t f t nT A t nT u t nT u t n T T ∞ ∞ =-∞ =-∞??=-= -----+???? ∑ ∑ 00000 00()()[()((1))][()]{()((1))}AC n n A A f t f t u t nT u t n T A t nT t nT t n T T T δδ∞ ∞ =-∞=-∞??''==----++-----+???? ∑∑ 00011 00000122()cos cos n n n A A A A t nT A n t n t T T T T T δωω∞ ∞∞=-∞==??=-+-=-++= ???∑∑∑ 0011 0sin 2()cos t AC n n n t A A f t n d T n ωωττπ∞∞-∞==∴==∑∑? 2D A f =，所以01sin ()2n n t A A f t n ωπ∞==+∑ ②利用直接法求解： 00 012 T A A a tdt T T -= - =? ； 因为信号为去直为奇函数， 所以0n a =； 00 t 图3-1 00 图3-2

信号与系统自测题(第3章参考答案)

《信号与系统》自测题 第3章 连续时间信号与系统的的频域分析 一、填空题 1、周期信号的傅里叶级数的两种表示形式是 三角函数形式 和 指数形式 。 2、信号的频谱包括两部分，他们分别是 幅度 谱和 相位 谱。 3、从信号频谱的连续性和离散型来考虑，非周期信号的频谱是 连续 的。 4、周期信号的频谱是 离散 的。 5、时域为1的信号傅里叶变换是2()πδω。 6、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()(3)x t x t =的傅里叶变换为 1()33 X j ω 7、频谱函数1()[(2)(2)]2F u u ωωω=+--的原函数()f t =1(2)Sa t π 。 8、频谱函数()(2)(2)F ωδωδω=-++的傅里叶反变换()f t =cos(2)t π 。 9、已知()f t 的频谱函数为()F j ω，则函数 0()j t df t e dt ω-的频谱函数为0()j F ωωω+。 10、若()f t 的频谱函数为()F j ω，则0()j t f t e ω-的傅里叶变换为0()F ωω+，()df t dt 的傅里叶变换为()j F ωω。 11、()t δ的傅里叶变换是 1 。 12、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()()3y t x t =的傅里叶变换为3(3)X j ω 。 13、常见的滤波器有 低通 、 高通 和 帯通 。 14、对带宽为20kHz 的信号()f t 进行抽样，其奈奎斯特间隔N T = 25 s μ； 信号(2)f t 的带宽为 40 kHz ，其奈奎斯特频率N f = 80 kHz 。 15、人的声音频率为300 3400Hz ，若对其无失真采样，则最低采样频率应为6800Hz 。 16、对频带为020kHz 的信号进行抽样，最低抽样频率为40kHz 。 17、无失真传输系统的频率响应函数为0()j t H j Ke ωω-=。

信号与线性系统三四章习题答案

第3章 连续信号的正交分解 重点、难点学习指导 1、正交函数 （1）两函数正交条件 ① 两实函数1()f t 和2()f t 在区间12(t ,t )内正交的条件： 2 1 12()()0t t f t f t dt =⎰ ② 两复函数1()f t 和2()f t 在区间12(t ,t )内正交的条件： 2 2 1 1 **1212()()()()0t t t t f t f t dt f t f t dt ==⎰ ⎰ 式中，** 12(),()f t f t 分别是12(),()f t f t 的复共轭函数。 （2）正交函数集如果函数12(),().....()n g t g t g t 构成一个函数集，当这些函数在区间 12(,)t t 内满足 2 1 ,()(),t i j t i o i j g t g t dt k o i j =⎧=⎨≠≠⎩⎰ 则此函数集成为在区间12(,)t t 的正交函数集。如果在这个正交函数集之外不存在 2 1 2()(0())t t g t g t dt <<∞⎰ 满足等式 2 1 ()()0(1,2 )t i t g t g t dt i n ==⎰ 则此函数集为完备正义函数集. 2．周期信号的傅里叶级数 任何周期为T 的周期信号()f t ，若满足狄里赫莱条件，则可展为傅里叶级数。 （1）三角形式的傅里叶级数 01 ()(cos sin )2n n n a f t a n t b n t ∞ ==+Ω+Ω∑

式中，2;,,o n n a a b T π Ω= 为相关系数， 00000002()2()cos 2()sin t T t t T n t t T n t a f t dt T a f t n tdt T b f t n tdt T +++= =Ω=Ω⎰⎰⎰ （2）指数形式的傅里叶级数 ()jn t n n f t c e ∞ Ω=-∞ = ∑ 或 1(),0,1,2,....2jn t n n f t A e n ∞∙Ω=-∞ ==±±∑ 002()t T jn t n t A f t e dt T ∙ +-Ω= ⎰ 式中 12 n n c A ∙ = 与三角形式的傅里叶级数比较，其相关系数存在如下关系： 0,0,0,0 n n n n n a jb n A a n a jb n ∙ +<⎧⎪ ==⎨⎪->⎩ 3．非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换定义式： 正变换式 ()()j t F j f t e dt ωω∞ --∞ = ⎰ 反变换式 1 ()()2j t f t F j e d ωωωπ ∞ -∞ = ⎰ 由于频谱密度函数()F j ω为复函数，故可表示为 () ()()j e F j F j ϕωωω= 式中()F J ω是ω的偶函数；()ϕω是ω的奇函数

2020年智慧树知道网课《信号与系统(山东联盟-山东师范大学)》课后章节测试满分答案

第一章测试 1 【判断题】(10分) 正弦连续函数一定是周期信号 A. 对 B. 错 2 【判断题】(10分) 正弦离散函数一定是周期序列。 A. 错 B. 对 3 【判断题】(10分) 余弦连续函数一定是周期信号。 A. 错 B. 对

4 【判断题】(10分) 余弦离散序列一定是周期的 A. 对 B. 错 5 【判断题】(10分) 两个离散周期序列的和一定是周期信号。 A. 对 B. 错 6 【判断题】(10分) 两个连续周期函数的和一定是周期信号。 A. 对 B.

错 7 【判断题】(10分) 两个连续正弦函数的和不一定是周期函数。 A. 对 B. 错 8 【判断题】(10分) 取样信号属于功率信号。 A. 对 B. 错 9 【判断题】(10分) 门信号属于能量信号。 A. 错

B. 对 10 【判断题】(10分) 两个连续余弦函数的和不一定是周期函数。 A. 错 B. 对 第二章测试 1 【判断题】(10分) 微分方程的齐次解称为自由响应。 A. 对 B. 错 2

【判断题】(10分) 微分方程的特解称为强迫响应。 A. 错 B. 对 3 【判断题】(10分) 微分方程的零状态响应是稳态响应的一部分 A. 对 B. 错 4 【判断题】(10分) 微分方程的零输入响应是稳态响应的一部分 A. 对 B. 错

5 【判断题】(10分) 微分方程的零状态响应包含齐次解部分和特解两部分。 A. 错 B. 对 6 【判断题】(10分) 微分方程的零状态响应中的特解部分与微分方程的强迫响应相等。 A. 错 B. 对 7 【判断题】(10分) 对LTI连续系统，当输入信号含有冲激信号及其各阶导数，系统的初始值往往会发生跳变。 A. 对 B.

信号与系统习题解答(第1、2、3、4章)周昌雄主编

信号与系统习题解答(第1章,p27)) 1-2. 左上图: )2t ()1t (2)t ()t (f -ε+-ε-ε= 右上图: ))2t ()1t ()(t 2()1t ()t ())t ()1t ()(1t ()t (f -ε--ε-+-ε-ε+ε-+ε+= 左下图: )2t ()1t ()1t ()2t ()t (f -ε--ε++ε-+ε= 右下图: ⎩⎨⎧≤=其它 ,01t ,t )t (f 或))1t ()1t ((t )t (f -ε-+ε= 1-3 图(a): )2n ()n (f +ε= 图(b): )7n ()3n ()n (f -ε--ε= 图(c): )2n ()n (f +-ε= 图(d): )1n ()1()n (f n -ε-= 1-5 1-7 (1) )t (x )0(q )t (y 2 2+= 满足可分解性, ),0(q )t (y 2 zi =)t (x )t (y 2 zs =均为非线性,故为非线性系统。 (2) )t (x lg )0(q )t (y = 不满足可分解性, 故为非线性系统。 (3) ⎰λλ+ =t d )(x )0(q )t (y 满足可分解性, ),0(q )t (y zi =⎰λλ=t zs d )(x )t (y 均为线性,故为线性系统。 (4) )t (x dt d )0(q lg )t (y + = )0(q lg )t (y zi =为非线性,故为非线性系统。 t t t 0 f(n) 1 3 6 4 5 2 1 7 题1-3图(b)

1-8 (1) )t (f t )0(x 2)t (y 2 += 满足可分解性, ),0(x 2)t (y zi =)t (f t )t (y 2 zs =均为线性,故为线性系统。 (2) )t (f 3)0(x 4)t (y 2 += ))t (f 3)t (y 2zi =为非线性,故为非线性系统。 (3) )t (f 5)0(x 3)t (y += 满足可分解性, ),0(x 3)t (y zi =)t (f 5)t (y zs =均为线性,故为线性系统。 (4) )t (f )3t 2()0(x )5t ()t (y 2 +++= 满足可分解性, ),0(x )5t ()t (y 2 zi +=)t (f )3t 2()t (y zs +=均为线性,故为线性系统。 (5) ⎰ ∞ -ττ+=t d )(f t )0(x 3)t (y 满足可分解性, ),0(x 3)t (y zi =⎰ ∞ -ττ=t zs d )(f t )t (y 均为线性,故为线性系统。 (6) ⎰ ∞ -ττ+=t d )(f ) t (f )0(x 2)t (y ⎰∞ -ττ=t zs d )(f )t (f )t (y 为非线性,故为非线性系统。 (7) )t (f 2)t (f )0(x )t (y += 不满足可分解性,故为非线性系统。 (8) )t (tf 3)t (f t )0(x 4)0(tx 2)t (y 2 +++= 满足可分解性, ),0(x 4)0(tx 2)t (y zi +=)t (tf 3)t (f t )t (y 2 zs +=均为线性,故为线性系统。 1-11 解: 根据线性系统的线性和微分特性可得: 0t e 2)e 1(dt d )e 1(2)t (y t t t ≥-=-+ -=--- 1-12 解: (1) t e 6e 17)e 2e 3(3)e 6e 4(2)t (y 3)t (y 2)t (y t 4t 2t 4t 2t 4t 22x 1x 3x > +=-++=+=------(2) t ) e 6e 15e 36)e 2e e 5(3)e 2e 3(3)e 6e 4(3) t (y 3)t (y 3)t (y 3)t (y t t 4t 2t t 4t 2t 4t 2t 4t 2f 2x 1x >++=+++-++=++=----------

信号与线性系统第三章答案(简)

3-9 求图题3-9所示各信号的傅里叶变换。 解： ()()()() ()()() 1 222j j j j a j 1Sa e e 12 b j 1j e T F E F T T ττ ττ---=⋅=-=--ωωωωωωωωω 3-10 试求下列信号的频谱函数。 ()()()()()()()()sgn()()()() t t f t e t f t t G t f t t f t e t εδε () -=--=-+=-=312234j212122113 4 2 解：() ()()()()()()j j e F F e Sa j ωωπδωω -+-=- =++3 121j 4 2j 223 ωωω ()()()()()() F F j πδ ==-+ - 34113 j j 4 j 22ωωωω ω 3-11 利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。 (1)) 2(π) 2(π2sin )(1--= t t t f (2)()()f t G t =22 解：()()()()()()F G e F Sa ω-==j2 124π1 j 2 j 2ωωωω 3-12 已知信号f (t )的频谱函数F (j )如下，求信号f (t )的表达式。 ()()();()()()(). 0001 j 3 j F F δεε =-=+--ωωωωωωωω 解：()()()()().000j 11 3 Sa 2ππ t f t e f t t == ωωω △3-13 利用傅立叶变换的微积分性质求图所示信号的频谱函数F (j )。 解：()[()cos()] 2j 2j F Sa =-ωωωω 3-15 已知f (t )* f '(t ) (1-t )e -t ε(t )，求信号f (t )。 解：()()e t f t t ε-=± (b)

信号与系统陈生潭习题答案章部分

第一章， 第二章， 第三章， 第四章， 第一章： 1．找两个表示信号的例子,并指出信号表示的信息(消息)。 1.1(1), 1.1(5), 1.1(9); 1.2(4), 1.2(6) ;

1.3(a); 1()(1)0.5*() 2.5*(1)(3)f t t t t t εεεε=++--+- 1.4(6), (1)6()j t f t e π-=， 周期信号，周期为 22T ππ == 1.5(10); 1.6(4); 1.11(3), []00 000()()()()1j t j t j t j t j t e t t t dt e t dt e t t dt e e e ωωωωωδδδδ∞ --∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ ----=--=-=-⎰ ⎰⎰ 1.11(7) 22 21(1)()(1)()21/22(1)()2()2 t t t dt t t t dt t t t dt t dt δδδδ∞ ∞-∞-∞ ∞∞ -∞ -∞ ++=++=++==⎰⎰⎰⎰ 1.11(8) ()()2 2 1()2 12()2()2() t t t x x x dx x x x dx x dx t δδδε-∞ -∞ -∞ ++=++==⎰⎰⎰ 1.17(a) 解：设左边加法器的输出为'()x t ，则积分器的输出为()x t 。根据两个加法器的输入 输出关系，可以得到 '' ()()3()()()2() x t f t x t y t x t x t =-=+ 因此

"'''"''''''''()()3()()()2() ()3()2(()3())()2()3(()2())()2()3()()3()()2() x t f x x t y t x t x t f x x t f t x t f x f t x t x t f x f t y t y t y t f t f t =-=+=-+-=+-+=+-∴+=+ 1．17(b) "'" ' ()()3()2()()3()2()() y t f t y t y t y t y t y t f t =--⇒++= 1.17(c) 解：设左边加法器的输出为()x k ，则 ()()(1)x k f k ax k =-- （1） ()()(1)y k x k bx k =+- （2） 由 式（1）和（2） (1)(1)(2) (1)(1)(2) x k f k ax k y k x k bx k -=----=-+- 因此 [] []()()(1)(1)(2)()(1)(1)(2)()(1)(1) y k f k ax k b f k ax k f k bf k a x k bx k f k bf k ay k =--+---=+---+-=+--- 即 ()(1)()(1)y k ay k f k bf k +-=+- 1．17(d) ()4[()2(1)3(2)]5[(1)2(2)3(3)] 6[(1)2(3)3(4)] 4()5(1)6(1) 2[4(1)5(2)6(3)] 3[4(2)5(3)6(4)]4()5(1)6(2)2(1)3(2) y k f k x k x k f k x k x k f k x k x k f k f k f k x k x k x k x k x k x k f k f k f k y k y k =+-----+---+-+---=--+-+---+-----+-=--+-+--- 所以，输入输出方程是 ()2(1)3(2)4()5(1)6(2)y k y k y k f k f k f k --+-=--+- 1.18 是否为线性系统 (1)否; 零输入响应2 0()x t 为非线性响应，零输入响应和零状态响应也不是和的关系。 (2)否;零状态响应2 ()f t 为非线性响应。 (3)否; (4)是； 1.19 解：

信号与系统第三版课后习题答案

信号与系统第三版课后习题答案 信号与系统第三版课后习题答案 信号与系统是电子信息类专业中一门重要的基础课程，它是研究信号的产生、传输、处理和识别的学科。在学习这门课程时，课后习题是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高解决问题的能力。下面是信号与系统第三版课后习题的答案。 第一章：信号与系统的基本概念 1. 信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的物理量。系统是指能够对输入信号进行处理并产生输出信号的物理设备或数学模型。 2. 连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号，可以用连续函数表示。离散时间信号是在离散时间范围内定义的信号，可以用数列表示。 3. 周期信号是指在一定时间间隔内重复出现的信号，具有周期性。非周期信号是指不具有周期性的信号。 4. 奇对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=-f(-t)。偶对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=f(-t)。 5. 系统的线性性质是指系统满足叠加原理，即对于输入信号的线性组合，输出信号也是这些输入信号的线性组合。 6. 系统的时不变性质是指系统对于不同时间的输入信号，输出信号的特性是不变的。 7. 系统的因果性质是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号，而不依赖于未来的输入信号。 第二章：连续时间信号与系统的时域分析

1. 奇偶分解是将一个信号分解为奇对称和偶对称两个部分的过程。奇偶分解的目的是简化信号的处理和分析。 2. 卷积是信号处理中常用的一种操作，它描述了两个信号之间的相互作用。卷积的定义为：y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ。 3. 系统的冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。冲激响应可以用来描述系统的特性和性能。 4. 系统的单位阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。单位阶跃响应可以用来描述系统的稳定性和响应速度。 5. 系统的单位斜坡响应是指系统对于单位斜坡信号的输出响应。单位斜坡响应可以用来描述系统的积分特性。 6. 系统的单位脉冲响应是指系统对于单位脉冲信号的输出响应。单位脉冲响应可以用来描述系统的加权特性。 第三章：连续时间信号与系统的频域分析 1. 傅里叶级数展开是将周期信号展开为一系列正弦和余弦函数的和的过程。傅里叶级数展开的目的是分析和处理周期信号。 2. 傅里叶变换是将连续时间信号分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。傅里叶变换的目的是分析和处理非周期信号。 3. 系统的频率响应是指系统对于不同频率信号的响应特性。频率响应可以用来描述系统的滤波特性和频率选择性。 4. 系统的幅频特性是指系统对于不同频率信号的幅度响应特性。幅频特性可以用来描述系统对于不同频率信号的衰减或放大程度。 5. 系统的相频特性是指系统对于不同频率信号的相位响应特性。相频特性可以

信号与系统练习题及答案

第一章 习 题 1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号？ 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。 )(a t ) (b t ) (c n t ) (b t )(a

题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 1 1[)(t t t x ΩΩ+ = ⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图： ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()() 1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2 -=t u t x ⑹ )4()(2 -=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X n n )(a t

《信号与系统分析基础》第3章习题解答

第三章习题解答 求下列方波形的傅里叶变换。 (a) 解： 110 2 ()()11()2 t j t t j t t j t t j t j a F j f t e dt e e dt j e t tS e j ωωωωωωω ωω-----=-=⋅= -==⎰⎰ (b) 解： 20 02 2 ()11 1()[]1 (1) 1 (1) t j t t j t t t j t j t t t j t j t j t j t j t j t t F e dt e e dt tde j j j te e dt j e e e j e ωωωωωωωωωωωτ ω τωτω ω τω ωττω----------=-=⋅==⋅ ⋅-=-=+-=+-⎰ ⎰⎰⎰ (c) 解： 1 31 1 2 2 11()()2211 1 ()()22 1 1 ()cos 2 1 ()2 1()211 12() 2() 2 2 j t j t j t j t j t j t j t j t F t e dt e e e dt e e dt e e j j ωπ π ωππ ωωπ π ωωπωππ ωω-------+---+--=⋅=+⋅=+=- -+⎰⎰ ⎰ ()()()()22221 111 [][]2222 j j j j e e e e j j ππππ ωωωωππωω----++=⋅--⋅--+

2222sin()sin()cos ()cos () cos 2222()()2222 ππππ ωωωωωωπωππππωωωω-+⋅++⋅-⋅=+== -+-- (d)解： 242 22()()22 22()()2 2 ()()()()2 2 2 2 ()sin 1()21()2112()2() sin[(22() 2() T j t T T j t j t j t T T j t j t T T T j t j t T T T T T T j j j j F t e dt e e e dt j e e dt j e e T e e e e j j j j ωωωωωωωωωωωωωωω--Ω-Ω--Ω--Ω+-Ω--Ω+--Ω--Ω-Ω+-Ω+=Ω⋅=-= --=-Ω-Ω+Ω---= + =⋅Ω-⋅Ω+⎰⎰⎰)]sin[()] 2()() T j j ωωωωΩ++Ω-Ω+ 3.3依据上题中a,b 的结果，利用傅里叶变换的性质，求题图3.3所示各信号的傅里叶变换. (a) 解：11111()()()f t f t f t =-- 11()f t 就是3.2中(a)的1()f t 如果1()()f t F ω↔，则1()()f t F ω-↔- 11111111122 2 ()()()()()sin()42 ( )[]sin( )sin ()2 2 2 2 j j a f t f t f t F F t S e e j j ττω ω ωωωτωττωτωττωτω-∴=--↔--=⋅⋅-= ⋅ = (b) 解：2()()()f t g t g t στ=+,而()( )2 a g t S τωτ τ↔ 2()(3)2()a a F S S ωσωω∴=+ 如利用3.2中(a)的结论来解，有： 211'()(3)(1)f t f t f t ττ=+++，其中,'2τστ==. 3211'()()()(3)2()j j a a F e F e F S S ωωττωωωσωω∴=⋅+⋅=+ (如()()f t F ω↔，则0 0()()j t f t t e F ωω±↔) 2()f t