同余及其应用
同余及其应用
CONGRUENCE AND ITS APPLICATIONS
专业：信息与计算科学
姓名：X X X
指导教师：X X X
申请学位级别：X X
论文提交日期：XXXXXXXX
学位授予单位：XXXX大学
摘要
本论文归纳总结了同余的相关性质定理，如Wilson定理，Fermat小定理以及Euler定理，以及集合论中的等价关系、商集等相关知识、数论中关于同余的一些性质，并熟悉剩余环相关的知识。还研究了含有未知数的同余方程，例如线性同余方程，多项式同余方程，线性同余方程组等。学习同余在实际和理论中的应用，结合实际探究了同余性质在整除性校验，万年历，散列函数上的应用以及构造校验位等方面的应用。这些应用体现了用同余性质解决问题的简洁性。在文章的最后，研究了当今在数论中最流行的工具Maple语言，学习其如何执行数论中关于同余的计算，并且编程计算相关的问题。
关键词：同余；同余方程；剩余环；欧拉定理；同余的应用；Maple语言
ABSTRACT
The article summarizes the related theorems of congruence, such as Wilson theorem, Fermat theorem and Euler theorem, some properties of the congruence equivalence relations, quotient set and other related knowledge, number theory as well as in set theory, and familiar with the relevant knowledge of the remaining ring. Also study the congruence equation containing the unknown number, such as linear congruence equation, polynomial congruence equation, linear congruence equations and so on. Learning the application of congruence in practical and theory, combined with the actual research in the congruence properties of divisibility checking, calendar, a hash function is applied on the application and construction check etc.Embodies simplicity to solve problems with congruence properties. At the end of the article, studying the most popular theory in today's tools of Maple language and learning how to perform the calculation about congruence in number theory, and programming computing the related problem of congruence.
Key words: Congruences; congruence equation; the remaining ring; Euler theorem; congruence application; Maple language
目录
1. 前言 (1)
2.同余 (3)
2.1 同余引言 (3)
2.1.1 相关定义 (3)
2.1.2 相关性质定理 (3)
2.2 线性同余方程 (5)
2.3 中国剩余定理 (6)
2.4 求解多项式同余方程 (8)
2.5 线性同余方程组 (9)
2.6 利用波拉德方法分解整数 (13)
3. 同余的应用 (16)
3.1 整除性检验 (16)
3.2 万年历 (19)
3.4 散列函数 (24)
3.5 校验位........................................................... 错误！未定义书签。
4.特殊的同余式 (31)
4.1 威尔逊定理和费马小定理 (31)
4.2 欧拉定理 (32)
5. Maple 语言或Mathematic语言 (35)
5.1 求解多项式同余方程 (35)
5.2 求解同余方程组 (35)
5.3 求解中国剩余定理 (36)
结论 (37)
参考文献 (38)
致谢 (39)
1 前言
整个数学的发展史是和人类物质文明和精神文明的发展史交融在一起的。数学不仅是一种精确的语言和工具、一门博大精深并应用广泛的科学，而且更是一种先进的文化。它在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的一个重要支柱。自古（这里指1975年以前）数论拥有数学最纯粹部分的美称。同余理论是数论里的重要内容之一，同余这一特殊语言在数论中极为有用，其性质及应用的研究已引起许多学者的关注，人们之所以研究同余，是因为它历史悠久且硕果累累，也因为它有大量易于理解而令人着迷的问题，更因为它富裕智慧的魅力。前者的研究只是对同余的某个性质进行探讨，不够全面、彻底。本论文归纳总结了同余的若干性质，结合实例探究了同余性质在整除校验、构造校验位、解方程、求余数、素性判定等方面的应用。现代数论的发展始于德国数学家高斯（Gauss）,他是历史上最伟大的数学家之一，在19世纪初期发明了同余的语言。我们称两个整数a和b是模m同余的（其中m为正整数）是指m整除a-b。这种语言是我们我们在研究整除性关系的时候，变得像研究方程那样容易。
人们在日常生活中，不知不觉地在运用着大量的同余数知识。本论文用丰富的例子、通俗的语言、易懂的证明，介绍同余式的概念、计算方法及其应用，证明了费马小定理和中国剩余定理、整除、二次剩余的讨论和计算。提现了用同余性质解决问题的简洁性。在引入同余之前，人们研究整除关系所用的记号笨拙而且难用。而引入方便的记号对加速数论的发展起了重要作用。同时，本文还研究了一些特殊的同余式，如威尔逊定理和费马小定理、伪素数、欧拉定理。
本论文主要分为三个方面，第一阶段研究同余。将给出它的一些基本性质（等价性，传递性等）描述如何进行同余式的算术运算，还将研究含有未知数的同余方程，例如线性同余方程，多项式同余方程，线性同余方程组等。引出线性同余方程组，它们来源于古代中国难题：求一个数，它被3,5和7除所得余数为2,3和2。我们将如何运用著名的中国剩余定理来解像上一难题那样的线性同余方程组。我们还将学习怎样解多项式同余方程。最后，我们用同余语言来介绍一种（整数）分解方法，即波拉德ρ方法。第二阶段研究同余的应用。同余有广泛的应用，如利用同余展示怎样在计算机上做大整数的乘法。本论文广泛涉及了同余的各种类型的有趣的应用，首先，我们将指出如何利用同余进行整除性检验，比如已经熟知的如火如何判断一个整数能否被3或9整除的简单检验。然后会推导出一个可以确定历史上任何一天的星期数的同余式。还有利用同余编排循环赛程。我们也将讨论同余性质在计算科学中的一些应用，例如，应用在散列函数上，散列函数本身就有很多种应用，比如确定数据储存的计算机存储地址。最后，我们将给
出如何利用同余构造校验位，用来确定一个认证数是否被错误复制。如何利用同余从不同的途径对信息惊醒加密，或者利用同余产生随机数。最后一个阶段研究当今最流行的工具Maple或Mathematic如何用于执行数论中的计算。本论文将简单的描述一些对于同余的计算有用的命令，主要通过描述这两种系统中已经存在的命令，编程计算同余相关的问题。
2 同余
2.1 同余引言
同余在日常生活中随处可见。例如，钟表对于小时是模12或24的，对于分钟和秒是模60的；日历对于星期是模7的，对于月份是模12的水电表是模1000的，里程表通常是模100000的。我们有时需要将同余式转换为等式。
人们从孩提时代开始就知道每个星期有七天：从星期一到星期六，再加上一个星期日，接下来又是星期一。如果某一天是星期一，那么在它以后的第8天、第15天、第22天、……都是星期一。这些都是星期一的―天数‖有一个共性：它们除以7所得的余数都是1。也就是说，它们除以7是―同余的‖。 2.1.1 相关定义
定义 给定一个正整数m 把它叫做模，如果用m 去除整数a 和b ，所得余数相同，我们就说a 与b 对模m 同余，记作(mod )a b m ≡。如果余数不相同，那么我们就说a 与b 对模m 不同余，记作a ≡(mod )b m 。或设m 是正整数，若a 和b 是整数，且
()
m a b -，则称a 和b 模m 同余。如果a 和b 模m 同余,则记
(mod )a b m ≡。如果a 和b 模m 不同余，则记m|(a,b)，并称a 模m 不同余b 。整
数m 称为同余的模。 2.1.2 相关性质定理
定理 2.1 a 和b 是整数，则(mod )a b m ≡当且仅当存在整数k ，使得
a b km =+。
证明 若(mod )a b m ≡，则
()
m a b -。这说明存在整数k ，使得
km a b =-，所以a b km =+。
反过来，若存在整数k 使得a b k m =+，则k m a b =-。于是，()m a b -,(mod )
a b m ≡。
定理2.2 设m 是大于0的整数，则模m 的同余有下列性质： （1）自反性. 如果a 是整数，则(mod )a a m ≡。
（2）对称性. 如果a 和b 是整数，且(mod )a b m ≡，则(mod )b a m ≡。
（3）传递性. 如果a ，b 和c 是整数，且(mod )a b m ≡和(mod )b a m ≡，则
(mod )a c m ≡。
定理2.3 如果a,b,c 和m 均是整数，并且m 大于0，同余式可以相加减，即若有(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡ 则 （1）(mod )a c b d m +≡+ （2）(mod )a c b d m -≡- （3）(mod )ac bd m ≡
定理2.4 如果a,b,c 和m 是整数，
0m >，(,)d c m =并且有(mod )ac bc m ≡，那么(mod /)a b m d =。
推论2.4.1 如果a,b,c 和m 是整数，
0m >，c 与m 互素，并且有(mod )ac bc m ≡则有(mod )a b m =。
定理2.5 如果a,b,n 和m 是整数，并且n 和m 均大于0，(mod )a b m ≡
则有
(mod )n n
a b m ≡。 定理2.6 如果12,,,,...,k a b m m m 是整数，12,,...,k m m m 均大于0，且有
12(mod ),(mod ),...,(mod )k a b m a b m a b m ===则[]12(mod ,,....)k a b m m m ≡。 推论2.6.1 如果 12(mod ),(mod ),...,(mod )k a b m a b m a b m ===，其中，a,b 是整数，12,,...,k
m m m 是两两互素的整数，则12(mod ...)k a b m m m =。
定理 2.7 若自然数2,(mod ),1,2.......i i n a b m i n ≥≡=,
则11
(mod )n
n
i i i i a b m ===∑∑。
定理2.8 设
1
()n
i
i i f x a x
==∑ ，
1
()n
i
i i g x b x ==∑ ，x z ∈。如果
(mod )
i i a b m ≡，
0,1,2,......i n =则()()(mod )f x g x m ≡。
定理 2.9 若(mod )a b m ≡
（1）当 d m ，0d >时，(mod )a b d ≡。
（2）d 是a,b 及模m 的任一正公因数，则mod a b m d d d ??
≡ ? ???。
定理 2.10 设,a b Z ∈，且0b >，则存在唯一一对整数q,r ，使得a=bq+r ，其中0r b ≤≤。
定义 一个模m 完全剩余系是一个整数的集合，使得每个整数恰和此集合中的一个元素模m 同余。
定理2.11 如果12,,...,m r r r 是一个模m 完全剩余系，并且正整数a 使得a 与m 互素，那么对于任何的整数b ，12,,...,m ar b ar b ar b +++都是模m 的完全剩余系。 2.2 线性同余方程 设x 是未知整数，形如
(m o d )a x b m ≡ （2-1）
的同余式称为一元线性同余方程。 如果我们有0
x x =是同余方程(mod )ax b m ≡的一个解，并且
10(mod )
x x m ≡，
那么
10(mod )
ax ax b m ≡≡，所以1x 也是一个解。因此，由文献[1]可知：如果一个
模m 同余类的某个元素是解，则此同余类的所有元素都是解。那么，方程有多少个模m 不同余的解等价于模m 的m 个同余类中有多少个给出方程的解。引用下面的定理，我们会得知一元线性同余方程在那种情况下有解，更进一步的在有解时方程有多少模m 不同余的解。
定理2.12 设a,b 和m 是整数，m>0,(a,m)=d.若d 不整除b ，则(m o d )a x b m ≡无解。若d 整除b,则(mod )ax b m ≡恰有d 个模m 不同余的解。 在证明之前，我们先引入一个定理
定理2.13 设a,b 是整数且d=(a,b)。如果d 不整除c,那么方程ax by c +=没有整数解。如果d 整除c ，那么存在无穷多个整数解。另外，如果0x x =，0
y y =
是方程的一个特解，那么所有的解可以表示为 0()m x x t d =+ ，0()a y y n
d =-
其中n 是整数。
证明 由定理2.1 可知，线性同余方程(mod )ax b m ≡等价于二元线性丢番图
[1]
方程ax my b -=。整数x 是同余方程（2-1）的解，当且仅当存在y 使得
ax my b -=。
根据定理2.13可知，如果d 不整除b ，则无解。而当d 整除b 时，-ax my b
=，
有无穷多解：
0()m x x t d =+， 0()a y y t
d =+ 其中，00
,x x y y ==是方程的特解。上述x 的值是
0()m x t d +且是线性同余方程的解，有无穷多这样的解。
为了确定有多少不同余的解，我们先找出两个解，设这两个解分别为
101()m x x t d =+和202
()m x x t d =+，再找出这两个解模m 同余的条件。
首先，若这两个解同余，那么0102()()(mod )m m x t x t m d d +≡+，两边减去0
x ，有 12()()(mod )m m t t m d d ≡
因为m d 整除m ，所以
(,)m m
m d d =。再由定理2.4我们可以知道12(mod )t t d ≡ 这表明，不同余的解的一个完全集合可以通过取
0()m x x t
d =+得到，其中t 取遍模d 的完全剩余系。一个这样的集合可以由0()m x x t
d =+给出，其中0,1,2,...,t d =-。
同时，我们还可以得到，乘数a 和模m 互素的线性同余方程有唯一解。这是因为当a 和m 互素时，那么（a,m ）整除b,由上述结论即定理2.12可知，线性同余方程(mod )ax b m ≡恰有(,)1a m =个模m 不同余的解。 2.3 中国剩余定理
在本节中，我们讨论联立的同余方程组。本节将会研究两种类型的方程组：第一种类型有两个或更多具有不同模的一元线性同余方程组；第二种类型的同余
方程变元数多于一，且方程数多于一，但是方程的模相同。
首先，我们考虑仅有一个未知数但有不同模的同余方程组，我们先给出关于一元线性同余方程组的解的主要定理：中国剩余定理。
定理2.14（中国剩余定理） 设有r 个两两互素的正整数12,,...,r m m m 。那么同余方程组
11(mod )
x a m ≡
22(mod )
x a m ≡
. . (m o d )
r r
x a m ≡
有模
12...r
M m m m =的唯一解。
那么，中国剩余定理是如何解决关于一元线性同余方程组的解的问题，我们首先通过阐述古代的中国难题来说明中国剩余定理的主要用途。
在公元3世纪晚期的《孙子算经》中，有这样一个问题：求一个数，它能被3除余1，被5除余2，被7除余3。我们可以列出下面的同余方程组
1(m o d 3)
2(m o d 5)
3(m o d 7)x x x ≡≡≡ 根据中国剩余定理，我们有
357105M =??=， 1105/335M ==，2105/521M ==，3105/715,M ==，为确定
1
y ,我们需要解同余方程
1351(mod3)
y ≡或者与其等价的121(mod3)
y ≡。得到
12(mod3)
y ≡。解同余方程
2211(mod5)y ≡，立即得到
21(mod5)
y ≡。最后，解
3151(mod 7)y ≡得31(mod 7)
y ≡。因此，
1352221
1315115752(m
x ≡??+??+??≡≡ 可以验证，满足52(mo d 105)x ≡的x 是同余方程组的解，这只需注意到
521(mod3)≡，522(mod 5)≡，523(mod 7)≡。
引理2.1 如果a 和b 是正整数，则
21a -模21b -的最小正剩余是21r -。其中，r 是a 模b 的最小正剩余。
同时，中国剩余定理提供了实施大整数的计算机算术运算的方法。存储很大的整数并做它们之间的算术运算需要特殊的技巧。中国剩余定理告诉我们给定两个互素的模12,,...,r m m m ，一个小于12...r M m m m =的正整数n 由它的模j m 最小正剩余唯一确定，其中
1,2,...j r =假设一个计算机的字长仅为100，但是我们想做
大小为106的整数的算术运算。首先，找到小于100的两两互素的正整数，是它
们的积超过106
；例如，可以取199m =，298m =，397m =和495m =。我们将小于 106的整数转换为4元组，每个分量分别是它模 1m ，2m ， 3m ，4m 的最小正剩余。然后，例如做整数的加法，我们仅仅需要把他们模1m ，2m ，3m ，4m 的最小正剩余相加，这利用到之前得出的结论：
(mod )
i i x x m ≡，
(mod )
i i y y m ≡则
(mod )
i i i x y x y m +≡+。然后利用中国剩余定理将所得的四个最小正剩余的和的
集合转换为一个整数。 2.4 求解多项式同余方程
若m 有素因子分解1212...a a ak
k m p p p =，则求解形如()0(mod )f x m ≡等价于求解同余方程组()0(mod )i a i f x p ≡，1,2,...,i k = 。一旦解出k 个模i
a p 的同余方程，
就可以利用中国剩余定理求出模m 的解。
例 因为4
8025=?，所以求解同余方程
32740(m o d 80)x x +-≡ 化为求解
32740(m o d 16)x x +-≡ 和
32740(mod5)x x +-≡。 模16的解释整数12(mod16)x ≡。（因为若x 为解，则必为偶数;容易验证x 是奇数的情形不是解）。模5的解释整数1(mod 5)x ≡，我们利用中国剩余定理求
12(mod16)x ≡和1(mod5)x ≡的联立解，通过运算我们得到76(mod80)x ≡。这就
是
32740(mod80)x x +-≡的解。 我们知道，一旦知道了多项式模p 同余方程的所有解，就有相对简单的方法
来解多项式的模k
p 同余方程。
我们会知道，模P 的解可以用来求模2p 的解，模2p 的解可以用来求模3
p 的解，
等等。我们先举例说明从模P 的解可以用来求模2
p 的解的基本思路。
例 通过对0,1,2,3x =和4直接验证，可见
3
2740(m o d 5)x x +-≡ 的解是1(mod5)x ≡。如何求模25的解？我们可以从0到24这25个值依次验证。我们有更加系统给的方法。因为
3
2740(m o d 25)x x +-≡ 的每一个解都是模5的解，而且每个模5的解都满足1(mod5)x ≡，那么15x t =+，t 是整数。用15t +代替x 可以求出t 的值，继而我们得到
32(1
5)7(15)4
0(m o d 25)
t t +++-≡ 将其化简得到t 的线性同余方程6551550(mod 25)t t +≡+≡消去因子5，得到 310(m o d 5
t +≡ 解为3(mod 5)t ≡这表明模25的解是1515316(mod 25)x t ≡+≡+?≡，我们可以验证出这的确是解。 2.5 线性同余方程组
线性同余方程组即未知数个数与方程个数是同一大于1的整数，并且所有方程的模都相同。
例 线性同余方程组
439(m o d 13
527(m o d 13)
x y x y +≡+≡的所有整数x 和y 。尝试求x 和y ，将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3, 我们得到
8618(m o d 13
15621(m o d 13)
x y x y +≡+≡ 再用第二个方程减去第一个方程，得到 73(m o d 13
x ≡
因为2是7的模13逆，所以我们将上面的同余方程两边同时乘以2，得到 2723(m o d 1x ?≡? 即
6(m o d 13
x ≡ 同样的，我们将（原来的）第一个方程乘以5，将第二个方程乘以4，我们又会得到如下方程组
201545(m o d 120828(m o d 13)
x y x y +≡+≡ 用第一个方程减去第二个方程，得到
717(m o d 13
y ≡ 为求y ，上面的同余方程两边同时乘以2，这里7模13的一个逆，得 27217(m o d 1y ?≡? 所以
8(m o d 13y ≡ 这就证明了，任何解（x,y ）都满足
6(mod13)x ≡，8(mod13)y ≡
将以上求得的关于x 和y 这两个同余方程代入到原来的同余方程组，可以得知他们确实是解：
434638489(m o d
52562846
7(m o d 13)
x y x y +≡?+?=≡+≡?+?=≡ 因此，我们得到 同余方程组的解释使得
6(m o d 13x ≡，8(mod13)y ≡的所有整数对（x,y ）。
我们给出一个关于含有两个二元方程的同余方程组的一般结论。
定理2.15 设a ，b ，c ，d ，e ，f 和m 是整数，0m >，且(,)1m ?=，其中
ad bc ?=-。那么同余方程组
(m o d )
(m o d )
a x
b y e m
c x
d y f m +≡+≡ 有模m 的唯一解如下：
'
'()(m o d )
()(m o d )x d e b f m y a f c e m ≡?-≡?-其中，
'?是?模m 的一个逆。
利用类似的方法，我们就可以求解含有n 个未知数和n 个方程的同余方程组。当n 很大时，我们就很有必要引入矩阵的语言来求解。我们首先介绍矩阵同余的概念。
定义 设A 和B 是n k ?整数矩阵，第(,)i j 个分量分别是ij a 和ij b ，若
(mod )ij ij a b m ≡对所有(,)i j 成立，1i n ≤≤，1j k ≤≤，则称A 和B 模m 同余。若A 和B 模m 同余，则记为(mod )A B m ≡ 。
矩阵同余(mod )A B m ≡提供了表达nk 个同余式(mod )ij ij a b m ≡的一种简洁方法。 定理 2.16 设A 和B 是
n k ?阶矩阵
，满足
(mod )A B m ≡，C 是k p ?阶矩
阵，D 是p n ?阶矩阵，它们都是整数元素的矩阵。则(mod )AC BC m ≡，
(mod )DA DB m ≡。
现在考虑同余方程组
11112211211222221122...(m o d )...(m o d )
...
(m o d )n n n n n n nn n n a x a x a x b m
a x a x a x
b m
a x a x a x
b m +++≡+++≡+++≡M
利用矩阵记法，此含有n 个方程的同余方程组等价于矩阵同余方程
(mod )AX B m ≡，其中
11121
2122212.........n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=????
??O
12n x x X x ??????=??????M 12n b b B b ??????=??????M
例如方程组
439(m o d 13527(m o d 13)x y x y +≡+≡可以将其写为439(mod13)527x y ??????
≡????????????
更进一步地，我们学习一种形如
(mod )AX B m ≡的同余方程组的求解方法。这种方法的原理是，基于求出矩阵A
使得AA I =,即A 是矩阵A 的逆。其中，I 是单位矩阵。 定义 设A 和A 是n n ?阶矩阵，且(mod )AA AA I m ≡≡，其中
10...001...0001I ?????
?=???
???
M O
L
是n 阶矩阵，则称A
是A 模m 的一个逆。 例如求解
2212??
????
模7的逆，因为我们有 2
21681410(m o d 7)1
2317801??????
??
=≡???????????????
?，
并且
1
62281410(m o d 7)3
1127801??????
??
=≡?????????
??????
?
所以我们得到1631?????
?是2212??
??
??模7的逆。 定理2.17 设
a b A c d ??
=?
???是整数矩阵，
且det A ad bc ?==-与正整数m 互为素数。则矩阵是A 模m 的逆，其中'
?是?模m 的逆。
例 设
3547A ??=????,因为14是det 1A =模13的逆，所以有 757514(m o d 13)4343A --????=≡????
--????
例 考虑同余方程组
123131236263(mod 7)24(mod 7)
2421(mod 7)x x x x x x x x ++≡+≡++≡ 这等价于矩阵同余方程
12362
631054(m o d 7)2
421x x x ?????
?
??????≡???????????
??
?????
我们可以证明出25620112
3?????????
?是626105242??
????????模7的一个逆。因此，我们有 1232563324
201470(m o d 7)1231140x x x ????????????????????≡=≡??????????????????????????????
根据本节内容，有很多解线性方程组的方法修改后可以用于求解同余方程组。例
如，高斯消元法可以修改用于求解同余方程组，其中除法变为乘以模m 的逆。而且，有类似于克莱姆法则的求解方法。 2.6 利用波拉德方法分解整数
本节描述的分解方法是源于同余的基础。它由波拉德在1974年提出的。波拉德称之为蒙特卡洛方法，因为它依赖于生成貌似随机挑选的整数；现在成为波拉德 方法。
为什么称此方法为波拉德方法？我们现在借助下面的图形解释一下为什么这样命名。
?
?
?
?
此图说明了数列x 的周期特性。其中0x 的值为2，1i x +与21i x +模97同余，i
的值大于等于1。这个序列周期性出现之前的部分为字母ρ的尾部，周期性的部分为ρ的环部。
设n 是一个大合数，p 是它的最小素因子。 我们的目标是选取整数
12,,...,s
x x x ，使得它们有不同的模n 最小非负剩余，但它
们模p 的最小非负剩余不是全部不同的。使用一些概率公式，在s 与p
相比较
大，而与n 相比较小，数字12,,...,s
x x x 是随机地选取时，这是可能发生的。一旦
找到整数i x 和
j x ，0i j s ≤<≤，满足(mod )i j x x p ≡，且i
x ≡(m o d )
j x n
，则
(,)i j x x n
-是n 的非平凡因子，这是因为p 整除i j
x x -，但n 不整除
i j
x x -。我们可以用欧
几里得算法迅速求出
(,)
i j x x n -。
我们用下面的方法寻找这样的整数i x 和
j
x ：第一步，随机选取初始值即种子
值0x ，()f x 是次数大于1的整系数多项式，紧接着我们用递归定义
()(m o d )k x f x n ≡， 10k x n
+≤<
求解k x ，其中1,2,...k =。多项式()f x 的选取应该使得有很高的概率在出现重复
226x =367795(mod97)x =≡
15x = 474745(mod97)x =≡
02x =
之前生成适当多的整数i x 。而根据经验，我们通常选取多项式()f x 等于2
1x +。
例 设8051n =，02x =，
2
()1f x x =+，那么我们有 1234565,26,677,7474,2839,
871
x x x x x x =====
= 值得注意的是，由k x 的递归定义，如果
(m o )
i j x x d ≡
其中d 是一个正整数，则
11()()(mod )
i i j j x f x f x x d ++≡≡≡
于是，如果，则序列k x 变为模d 周期的，其周期整除j i -；即在q 与r 同余在模
j i -的条件下，并且，q 与r 的值均大于等于i ，q x 与r x 模d 同余。因此，如果s 是不小于i 的j-i 的最小倍数，那么s x 与2s x 模d 同余。因此，为寻找n 的一个因子，我们要求
2k k
x x -与n 的最大公因子，1,2,3,....k =。当找到k 使得
21(,)k k x x n n
<-<时，我们就得到了n 的一个因子。根据之前的观察，我们很可
能找到一个接近于p
的整数k 。
关于波拉德ρ方法在实际生活中的应用，我们经常选用多项式f(x)使其等于
21x +来生成整数序列01,,...,,...k x x x 。并且，经常选用初始值为2的0x 。这样的
选取方法在分解过程中，使得选取的多项式和初始值所生成的序列的行为很像随机序列。
经过试验得出，如果想要分解具有相当大的素因子的整数，波拉德ρ方法是实用的。在实际应用中，我们如果想要分解大的整数时，首先用小素数试除，例如小于104的素数；其次，我们用波拉德ρ方法来找出中等大小的（例如不超过1015）的素因子。一般的，我们在采用此方法失败之后，我们才采用真正强力的方法，比如二次筛法或者椭圆曲线方法，在此不予介绍。
浅谈留数及其应用
浅谈留数及其应用 徐松松41345053 计1304 1. 留数 留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. （1） 留数的概念及留数定理 定义5.4 设0z 是解析函数)(z f 的孤立奇点，我们把)(z f 在0z 处的洛朗展 开式中负一次幂项的系数1-C 称为)(z f 在0z 处的留数.记作]),([Re 0z z f s ，即]),([Re 0z z f s =1-C .显然，留数1-C 就是积分 dz z f i C ?)(21π的值，其中C 为解析函数)(z f 的0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线. 关于留数，我们有下面定理. 定理5.7（留数定理） 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点 n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么∑?==n k k C z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π. 一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内 的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数 更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本性奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. （2） 函数在极点的留数 法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则 )()(lim ]),([Re 000 z f z z z z f s z z -=- （5.4） 法则2：设) ()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且 ) ()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. （5.5）
浅谈同余及其应用
揭阳职业技术学院 毕业论文（设计） 题目：浅谈同余定理及其应用 学生姓名黄指导教师某某某 系（部）师范教育系专业数学教育 班级 999 班学号 11211211 提交日期200 年月日答辩日期 200 年月日 200 年月日
浅谈同余定理及其应用 摘要 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。同余理论是初等数论中的重要内容之一，其性质及应用研究已引起许多学者的关注。本文归纳总结了同余的若干性质，结合实例，探究了同余性质在检验、判断整除问题、求余数、判断合数、韩信点兵问题等方面的具体应用。体现了用同余性质解决问题的简洁性。 关键词：同余整除余式方程
绪论 初等数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。同余问题在当今中小学乃至大学的数学教学中都有涉及，它作为初等数论的核心内容之一，具有很强的应用价值，很多数学问题都要借助同余理论来解决。同余的应用问题分为很多种类型，每种类型的题目又有一定的解题技巧。掌握了这些题型的技巧，可以提高大家解决问题的能力。本文基于对同余理论的理解，将应用同余理论解决的问题具体整理分类，从中分析出一些借助同余理论解题的技巧与规律。现在初等数论中关于同余的内容主要包括：同余的定义及基本性质、剩余类与剩余系、欧拉定理、费马小定理、循环小数、一次同余方程及一次同余方程组。 到目前为止，古今中外很多学者与数学家，对同余的应用问题都有了一定的研究。在中国，早在宋代，大数学家秦九韶所著的《数书九章》中就记载了求解同余方程的“大衍求一术”。还有，著名的古代数学著作《孙子算经》中也记载能解决“物不知其数”问题的孙子定理，也被称作“中国剩余定理”。以及“韩信点兵”问题的研究，都为解决一次同余方程和同余方程组的问题带来了便利。在西方，除了高斯引入同余的概念之外，欧拉和费马提出的定理也为解决同余的相关问题做出了重要的贡献。希望通过本文的研究能将同余理论的应用问题更加系统全面的展现出来。以便，今后大家在探究同余理论时，能对同余应用问题的类型和解决技巧有一个清晰的认识和理解，更好的解决相关问题。 1 相关性质定理[1] 性质1同余是一种等价关系，即有： （1）反身性 a≡a（mod m）. （2）对称性若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）. （3）传递性若a≡b（mod m）， b≡c（mod m）， 则a≡c（mod m）. 性质2同余式可以相加减,即 若 a≡b（mod m），c≡d（mod m），则 (1) a＋c≡b＋d（mod m）. (2) a－c≡b－d（mod m）. 性质3同余式可以相乘,即有：
同余的性质与应用
. 1 同余的性质及应用 1 引言 数论的一些基础容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的. 在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一. 我国古代子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…, (mod )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家九韶在他的《数学九章》中提出了同余式1(mod )i i x M m ≡, 1,2,...,i k =, i m 是k 个两两互质的正整数， 12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法. 同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题. 数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性
【小学六年级奥数】第38讲 应用同余问题
第38讲应用同余问题 一、知识要点 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大 1
的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 二、精讲精练 【例题1】求1992×59除以7的余数。 应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1： 1、求4217×364除以6的余数。 2、求1339655×12除以13的余数。 2
余数性质及同余定理(B级) 1
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
减法的性质
减法的运算性质 教材第21页的内容及第22页练习六的第5~9题。 教学目标 1.通过观察、猜想、验证等数学活动,让学生探究、发现、归纳减法的运算性质,提高学生理性思考、推理和抽象概括的能力。 2.掌握一个数连续减去两个数,可以用这个数减去两个减数的和,会用减法的运算性质进行一些简便计算。 3.提高学生根据具体情况选择算法的意识和能力,发展思维的灵活性,渗透“从特殊到一般,从一般到特殊”的数学思想。 重难点 重点:正确理解减法的运算性质。 难点:应用减法的性质,灵活、熟练地进行计算。 教具 多媒体课件。 教学过程 一．情境导入 师:同学们喜欢看书吗?李叔叔也喜欢看,李叔叔读的这本书共234页,他第一天看了66页,第二天看了34页,还剩多少页没有看? (课件出示教材情景图) 师:给出一共的页数和两天分别读的页数求剩下的页数,用什么
方法计算? 生1:减法。 生2:不对,减法中的连减。 师:好,这就是我们今天要研究的减法的运算性质。(板书:减法的运算性质) 【设计意图:直接给出教材中的情景图,引出本节课的教学内容——减法的运算性质】 二．自主探究 1.师:通过读题,你了解到什么信息?要解决的问题是什么? 生1:已知这本书一共234页,李叔叔第一天看了66页,第二天看了34页。 生2:要解决的问题是还剩下多少页没看? 师:这个问题你会解决吗? 小组交流,汇报。 师:谁来介绍一下你的解题方法,并说说你是怎么想的? （生1:我们是从这本书的总页数里先减去第一天看的66页,再减去第二天看的34页,算出还剩多少页没看,列式为234-66-34。 生2:我们先算出第一天和第二天一共看了多少页,然后再从总页数里面减去两天看过的页数,就是剩下没看的页数,列式为234-(66+34)。 生3:我们的方法和第一组差不多,只是先减去第二天看的34页,再减去第一天看的66页,列式为234-34-66。）
浅析中国剩余定理及其应用
浅析中国剩余定理及其应用 李辉 （井冈山学院数理学院信息与计算科学 343009） 指导老师颜昌元 [摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. [关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学 引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键. 一中国剩余定理的由来 我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”. 为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23. 书中问题及其解法,建立起数学模型就是: 设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7) 的解是: N=70a+21b+15c-105P (1) 现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则 70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/3
同余的应用的开题报告
呼伦贝尔学院 本科生毕业论文开题报告题目同余的应用 专业数学与应用数学 姓名______________________彭丽霞 学号2011071115 指导教师付莉 2014年11月7日
七、论文提纲 （一）前言 同余是《算术研究》中的一个基本研究课题，这个术语来自拉丁文，同余的概念的建立和同余符号的引入大大简化了数论中的许多问题，它的引入使得无限的整数被划分为有限类。而且同余在生产、生活中也有广泛的应用，如制作万年历、循环赛程、电话电缆的 （二）提纲 一、同余 1、同余的定义 2、同余的定理 3、同余的性质 4、完全剩余系定义 5、完全剩余系定理 6、一次同余式定义 7、孙子定理 二、同余的应用 1、求最大公约数 2、检验因子 3、检验整数计算 4、检验素数合数 5、循环赛程 6、万年历 （三）结论 通过本文的论证，我们发现同余的出现给很多问题的解决提供了简便的途径。同余的性质虽然只有固定的那几条，但它却能解决许多困扰我们的问题，在解决问题时开阔了我们的思路。同余的性质易懂，但在运用其解题时有一定的困难，所以在生活中我们要仔细观察。 八、参考文献 [1]苏亚丽，杨继明.孙子定理在两个数学竞赛题的应用[J].云南：玉溪师范学院学报（第27卷），2011年第4期. [2]郭小菊.同余法求最大公约数[J].读与写杂志，2012，4. [3]潘承洞，潘承彪.初等数论[M]北京大学出版社，1992. [4]刘合义.谈数论中的同余及其应用[J].河北：衡水师范专科学校.第4卷，第11期，2002， [5]姜浩瑞.初等数论在高中数学解题中的一些应用[J].中学数学教学，2006，第5期. [6]姚磊.整除性的若干解法[J].皖西学院学报2001，5 [7]王志兰.关于同余的几个问题[J].高师理科学刊.2009，28(5)：44—46 [8]颜松远.数论及应用[J]数学实践与认知，2002，19(4)：486—508 [9]原新生.一次同余方程的几种解法[J].牡丹江教育学院学报，2009，115(3)：115 [10]陈小辉.关于同余理论在中学奥数中的应用[J].数学通讯，2001，(5)：43—46
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式：
Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：
15、同余法解题
第十五讲同余法解题 一、知识要点 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2……4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1、同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A 和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质 （1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性） （3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性） （4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性） （5）若A≡B(modM)，则A n≡B n (modM)，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果A≡B(modM),那么M｜(A－B)（A－B的差一定能被M整除）,这是为什么呢？ 3、同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。 2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。 3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
余数性质及同余定理(B级)
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架
(完整版)《减法的运算性质》教学设计
减法的运算性质 教学内容：青岛版小学数学四年级下册15页信息窗3第3课时 教学目标 1．掌握一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个减数的和，会用减法的运算性质进行一些简便计算。 2．通过观察、猜想、验证、归纳，让学生探究发现减法的性质。培养学生理性思考、推理能力和抽象概括的能力。 3．培养学生根据具体情况选择算法的意识和能力，发展思维的灵活性。 教学重难点 教学重点：学生通过实践体验概括减法的运算性质。 教学难点：灵活运用减法的运算性质进行简便计算。 教具、学具 教师准备：多媒体课件。 学生准备：练习本。 教学过程 一、创设情境，提出问题 1.师：同学们喜欢看《西游记》这本书吗？小丁丁也喜欢看，《西游记》这本书共234页，他第一天看了66页，第二天看了34页，还剩多少页没有看？ (课件出示) 2.引导学生认真审题，看能了解到什么信息？要解决的问题是什么？这个问题你会解决吗？把自己想法在小组内交流交流，看看有什么好办法。 3．小组交流，汇报。 师：谁来介绍一下你的解题方法，并说说你是怎么想的？ 预设：生１：我们是从这本书的总页数里先减去第一天看的６６页，再减去第二天看的３４页，算出还剩多少页没看。 生２：我们先算出第一天和第二天一共看了多少页，然后再从总页数里面减去两天看过的页数，就是剩下多少页没看。 生３：我们的方法和第一组差不多，只是先减掉第一天看的３４页，再减去
第二天看的６６页。 随学生板书：（一）234-66-34 （ =）234-（66+34）（三）234-34-66 师：同学们用不同的方法解决这个问题，讲得很有道理，那小丁丁到底还剩多少页没看呢？好，请拿出练习本，请你从这三个算式中选择一个进行计算，然后在小组里交流一下。 师：都算完了吗？你是用哪种方法进行计算的？ 生：我是用第二种方法。 师：选这种方法的同学请举手。哦，这么多同学都选择这种方法，请你来说理由。 生：用这种方法算起来比较简便，66+34刚好是100。 师：是吗？谁还有不同的选择？ 生：我选的是第三个算式，我认为第三种方法算起来也比较简单，因为234-34正好得200。 师：有道理。选第一种的请举手？噢，只有几个同学，“这种方法计算起来比较麻烦。” 4.比较、发现 师：前两种算法有何相同之处与不同之处？ 生：两种算法都由三个相同的数组成，计算结果也相同，不同之处是运算符号不同，运算顺序也不一样。 师：由于两个算式的结果相同，我们就可以用“=”把它们连接起来。请你用数学语言读一读。 234-66-34=234-（66+34）生个别读，齐读。 5.提出猜想 师：234-66-34变为234-（66+34）后，计算结果保持不变。这是一个偶然的巧合呢，还是其背后隐藏着一定的规律？这个规律是只有在“234、66、34”这个三个数中有，还是在所有的三个数连减的运算中都存在？ 【设计意图：引导学生从一个特殊的、偶然的问题出发去归纳探究内在于其中的一般又必然的规律。】 6.举例验证
幂同余定理及其应用
幂同余定理及其应用 吴敏金mjwu1940@https://www.sodocs.net/doc/b812911262.html, 由同余式的性质，可推出 [幂同余定理] 设同余式a==b (mod m)，那么对于任意的正整数n, a^n==b^n (mod m).。（^n表示n次方，==表示同余）证明： 由同余式的性质，如果a==b (mod m)，c==d (mod m)，则a*c==b*d (mod m)。 取c=a, d=b，作n次乘法即得结论。证毕 幂同余定理可应用于幂同余方程求解： 对于给定的m,n，已知a，求a^n==x (mod m)，(0<=x 所以，13^2015除以170的余数为155。 由上面2例可见，利用幂同余定理 比直接计算3^2015，13^2015方便得多了。 下面示例，给出当a>m时的求解方法。 3，求23^5555除以7的余数？ 解：由23==2 (mod 7), 及8==1 (mod7) 23^5555==2^5555==(2^3)^1851*4==1^1851*4==4 (mod 7) 所以，23^5555除以7的余数为4。 对于另一类幂同余方程：对于给定的m,n，已知b, 求x^n==b (mod m)。较为复杂，另文讨论。 同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再 过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7 “三”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■ 2. 同余的性质 （1）-，-?:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性） （3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性） 1- 」（称为同余的可乘性） （5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果詔 -：1- ■- '■- 那么日瑤严的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ ? d；- 上） a=充7〕4鬥 盘一B =切［+ 口一（舫2 +与） 二切-切-金） k也就是■二的公约数，所以有…一- ■ k\（a -町 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412?笳6讷化57-1辺， 说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 (巧5, 124, 279) =31 所以a最大是31 o 例2. 除以19,余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 249.2(uodl9) 388 = 8(mod 19) 234要乳m初19) 234x 388x249 = 6x8x2(mod!93 6x8x2 = 所以一 I .： 1.： 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 222 (2) ' ------ V ------ ' 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 222 (2) 吃这个数除以13,商是有规律的。 222 (2) 、-- V------- ' 1997个2 亠13= 170940170940... 商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是 我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o 余数是几呢？ 222 (2) ' ----- V ------ ' ? 199亍个2 -^13 = 170^40170940.... 1995^ 6= 332 (4) 则'丄「」_ 所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5 【模拟试题】(答题时间：20分钟) 1. 求下列算式中的余数。 111......1 222 (2) 第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡- 减法的性质及应用 【教学内容】 教材第21页例4。 【教学目标】 1.通过观察、猜想、验证、归纳，让学生经历探究发现减法的特殊规律并选择相应规律进行简算的过程。 2.让学生从解决生活实际问题中体会到计算方法的多样化。 3.使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。 【重点难点】 理解一个数连续减去两个数，可以写成这个数减去后两个数的和的道理，灵活运用减法的性质进行简便运算。 【情景导入】 1.竞赛：出示两组题，分男女各算一组，比赛看哪组同学既对又快？（幻灯片出示） 第一组（男生做）第二组（女生做） 136-65-35 136-（65+35） 362-87-113 362-（87+113） 545-149-251 545-（149+251） 根据比赛的结果提问：男同学输了，服不服气呀？你们就不想知道女同学为什么能算得又对又快吗？ 2.发现：学生通过观察、比较发现了什么？（学生说说自己的发现） 3.猜想：观察三个等式，激励学生大胆猜测：这里面有没有什么规律呢？（学生发表自己的说法） 4.师板书：从一个数里连续减去两个数可以写成这个数减去后两个数的和。 5.师提问：是不是从一个数里连续减去两个数都可以写成这个数减去后两个数的和呢？（在猜想后打上√号） 6.举例验证 7.师小结：大家善于观察，善于动脑，这是一种很好的学习习惯，刚才大家通过观察发现了规律，利用这些规律使计算简便。（板书：简便） （创设情景引出例题。） 师：“同学们喜欢旅游吗？（喜欢）如果让你自己去旅行，你能行吗？不要着急，李叔叔给大家介绍了一个旅行法宝——《自助旅行》指南。这本书可以告诉我们旅行时应做的准备和注意事项。” 【新课讲授】 1.出示情境图。 师：李叔叔在外出旅行前，他就仔细的查阅了这本书的资料。从图上，你能了解到什么数学信息？ （数学信息：李叔叔昨天看了66页，今天又看了34页。这本书一共有234页。） 师：根据这些数学信息，你能提出哪些数学问题？ 2.尝试各种算法 第18次 同余问题 一、知识要点和基本方法 14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余，记作14 ≡26（mod6）．同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余．应用同余性质，可以很简便地求一些较大算式或数除以某个自然数的余数． 有一些数学问题，与数的大小关系不大，而主要与这个数除以某数的余数有关．例如，自然数的个位数字，实际上就是这个自然数除以10的余数．还有一些数学问题，是要解决一些周期性变化的数字问题，这里不—一列举．利用同余性质，可以巧妙地解决上述的这些问题． 二、例题精讲 例11991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和l，那么n最小是多少？ 解1991－2＝1989能被n整除，同理1769－1＝1768也能被这个数n整除．所以n是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2． 因为（1989，1768）＝13 × 17，所以n最小是13． 例2把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几？ 解把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1 ×9＝9（个）数码，两位数写了2 ×90＝180（个）数码，5位数写了（201－9＝180）÷3＝4（个），即写到了99＋4＝103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的．经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除．因为一共是103个自然数，所以103 ÷3＝34……l，前102个自然数（3 ×34＝102）的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以： 103 ÷ 3＝34……1，即这个201位数除以3余数是1． 例3除以3余l，除以5余已除以7余4的最小三位数是几？ 解因为除以3余l，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，…．又因为67 ÷7＝9……4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…． 所以，符合条件的最小三位数是172． 例4有1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是多少？ 解因为9 999 ÷74＝135......9，即135 × 74＝9 990，这说明凡是9 990 (00) 形式的数均能被74整除，而1991个9可以分为若干段这种数（每一段中有3个9）．因为1991 ÷3＝663……2，余数为2，说明去掉这些663段后，还剩2个9．而99＋74＝1……25，所以由1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是25． 例5一串数1、2、4、7、11、16、22、29…这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依次类 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2小学奥数同余问题
1.同余的概念及基本性质
四年级数学下册第3单元运算定律减法的性质及应用教案
第十八讲同余问题
小学奥数—同余问题