高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量

一、平面向量的基本概念：

1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。

向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.

5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。

6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②,,a == 则a = ；③,//,//a a //

④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；

⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：

1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.

（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量

（1）+++ （2）)()()(+++++

（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；

a + 是以a ，b

为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：

例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++

例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则

2.向量的加法运算律：交换律与结合律

（二）向量的减法：

减法是加法的逆运算，A.-=-= （终点向量减始点向量）

在平行四边形中，已知以a 、b

为邻边的平行四边形中，b a b a -+, 分别为平行四边形的两条对角线，当

b

a b a -=+

时，此时平行四边形是矩形。

例1.已知

86==b a

，且

b

a b a -=+ ，则

b

a b a -=+ =______

例2.设点M 是BC 的中点，点A 在线段BC 外，BC=16AC AB AC AB -=+____

=AM

向量的加减运算：

例1.（08辽宁）已知、O A 、B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足CB →+2AC →=0，则OC →

=______ A.2OA →-OB →

B.—OA →

+2OB →

C.

32OA →—31OB → D. —31OA →+3

2OB →

例2.(15课标全国I ）设D 是三角形ABC 所在平面内一点，3=，则______

A.3431+-=

B.3

4

31-= C.3134+= D.3

134-= 例3.（12全国）在ABC ?中，AB 边上的高为CD ,CB →

=a, CA →

=b,a ?b=0, 2,1==b a ,则AD →

=______ 例4.（10全国）在ABC ?中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB →

=a, CA →

=b,2,1==b a ，则CD →

=________ 例5.在ABC ?中，设D 为边BC 的中点, E 为边AD 的中点,若BE →

=m AB →

+n AC →

，则m +n =___

例 6.（15北京理）在ABC ?中，点N M ,满足==,2，若y x +=，则

_________==y x

例7.（13江苏）设D 、E 分别是ABC ?的边AB 、BC 上的点，若BC BE AB AD 3

2

,21==，若DE →=1λAB →+2λAC →

(1λ,2λ为实数)，则1λ+2λ=_________

例8.（12东北四市一摸）在ABC ?中，设P 为边BC 的中点，内角C B A ,,的对边c b a ,,，若c AC →

+a PA →

+b PB →

=0，则ABC ?的形状为________

(三）实数与向量的积：

1.定义：实数λ与非零向量a 的乘积a

λ是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0=λ时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。

3.运算律：设a 、b

是任意向量，μλ,是实数，则实数与向量的积适合以下运算：

4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）

①如果a λ= ，则a // ；若a // ，0≠，则存在唯一的实数λ，使得a λ=

.

②若a 、b

是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ,，使________.

③若22122111,e e e e a μλμλ+=+= ，21,e 不共线，a // ，则在有意义的前提下，21

2

1μμλλ= 例1.（15课标全国II ）设向量若a 、b

是两个不平行的向量，向量b a + λ与b a 2+ 平行，则____=λ

例2.（09湖南）对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的___A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例3.（12四川）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使

||||

=a b a b 成立的充分条件是A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |

5.单位向量

给定一个向量a ，与a 同方向且长度为1的向量叫做a

的单位向量，即_______________ 重要结论：

已知ABC ?，O 为定点，P 为平面内任意一点.

①PA →+PB →+PC →

=0?________________________?_______________________. ②若OP →=

3

1OA →+OB →+OC →

，则P 为ABC ?__________________________ ③若OP →=OA →

+λ（AB →+AC →

），),0(+∞∈λ，则P 点的轨迹__________________. ④若OP →=OA →

+λ_________,),0(+∞∈λ,则P 点的轨迹通过ABC ?的内心 ⑤若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ?的外心 ⑥若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ?的垂心

例1.（10湖北）在ABC ?中，点M 满足MA →+MB →+MC →=0，若存在实数m ，使得AB →+AC →=m AM →

，则m =________. 例2.在ABC ?中，重心为G ，若sin 3sin 3sin

2=++C B A ，则_____cos =B

例3.在ABC ?中，重心为G ，若3

3

=+

+b a ，则_____=A 三、平面向量的基本定理

(一）平面向量基本定理内容：

如果1e 、2e

是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21,λλ，

使__________________,其中1e 、2e 是一组基底，记作_______._____________叫做向量a

关于基底的分解式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。

注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。

例1.（14福建）在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a 表示出来的是______

A.)2,1(),0,0(21==

B.)2,5(),2,1(21-=-=

C.)10,6(),5,3(21==e e

D.)3,2(),3,2(21-=-=e e

例2.（09安徽）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，BC 的中点，若 AF AE AC μλ+=，则_____=+μλ （二）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用

设B A ,是直线l 上两点，O 是直线外一点，对于直线上任意一点P ，存在R t ∈，使___________________________成立.反之，满足上式的点P 在直线l 上. 特别地，当P 为B A ,的中点时，则_________________________.

例1.已知、O A 、B 是平面内的三个点，线段BA 的延长线上有一点C ，满足3AC →+CB →

=0 则OC →

=____

A.3OA →

-2OB →

B.—2OA →

+3OB →

C. 23OA →—21OB →

D. —2

1OA →+23OB →

例2.数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →满足OB →=1a OA →

+2006a OC →

，且C B A ,,三点共线，则_____2006=S

例 3.已知向量j i ,不共线，且AB →=j m i

+，AD →j i n +=，若D B A ,,三点共线，则实数n m ,应满足的条件

_____

A. 1=+n m

B. 1-=+n m

C. 1=mn

D. 1-=mn

例4.（07江西）如图，在ABC ?中，设O 为边BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 于不同两点N M ,.若AB →

=m AM →

，AC →

=n AN →

，则m +n =___mn 的最大值为_______

例5.在ABC ?中，设M 为边BC 的任意点，N 为AM 中点，AN →

=λAB →

+μAC →

，则λ+μ=_____. 例6.在ABC ?中，设M 为边BC 的中点，N 为AM 中点，AN →

=λAB →

+μAC →

，则λ+μ=_____.

例7.如图，在ABC ?中，设D 为边BC 的中点，G 为AD 中点，过G 任作一条直线MN 分别交AB 、AC 于N M ,两点，若AM →

=x AB →

，AN →

=y AC →

，试问

y

x 1

1+是否为定值？

四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算： （一）向量的正交分解与向量的直角坐标

1.向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直；

2.向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

3.在平面直角坐标系下，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量a ，有且只有一对实数x,y ，使得21e y e x a +=

.有序数对),(y x 叫做a

的坐标，记作),(y x a =

注意：（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。

（2）符号),(y x 有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。

（二）向量的坐标运算

1.若),(),,(2211y x b y x a == ，则_______________=±b a

.

2.若),(),,(2211y x B y x A ==，则AB →

=_______________|AB →

|=__________________

3.若R y x a ∈=λ),,( ，则____________

=a

λ 4.若),(),,(2211y x b y x a == ，b a //,则有________________.

N

M O C B A

B M D G N

C

A

平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

高三高考平面向量题型总结

平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）

2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)

江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D

【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：

2018全国卷高考复习--平面向量(知识总结+题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】

1. 判断正误（在括号内打或“X”） ⑴零向量与任意向量平行.（） （2）若a// b, b// c,贝U a// c.（） ⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（） （4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（） ⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（） 2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 ③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（） A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017 ? 枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =() A.2 B.3 C. —2 D. —3 4.(2015 ?全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X = 5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示). 1 2 6.（2017 ?嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE = 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ ,入2= _______________ . 考点一平面向量的概念 【例1】下列命题中，不正确的是_________ （填序号）. ①若I a| = |b| ,则a= b； ②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a= b, b= c,贝V a= c. 【训练1】下列命题中，正确的是_________ （填序号）. ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； a, b都是单位向量，则a= b；

2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练

（ （ 2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 平面向量的基本定理 例 1 给出下列命题： （1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量； （2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ； （3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形； （4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是 ． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小 两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一 定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0 时， a 与 b 可以共线可以不共线 【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D 四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。 【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略： （1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量， 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． （2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等 变形手段在线性运算中同样适用． （3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果． 1

平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒doc

一、多选题 1．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3 π ，a ＝7，则以下判断正确的是（ ） A ．△ABC 的外接圆面积是493 π ； B ．b cos C ＋c cos B ＝7； C ．b ＋c 可能等于16； D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大 值是73 . 2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 3．下列结论正确的是（ ） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形AB C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为3 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===? C ．14,16,45a b A ===? D ．7,5,80a b A ===? 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ） A ．2 AB AB AC B ．2 BC CB AC C ．2AC AB BD D ．2 BD BA BD BC BD

2019高考平面向量及考试题型汇总

2019高考平面向量及考试题型汇总 高考数学平面向量部分知识点梳理 一、向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O. 单位向量aO 为单位向量?｜aO ｜＝1. (5) (6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0 (7)平行向量(共线向量) ：方向相同或相反的向量，称为平行向量. 记作a ∥b. 平 行向量也称为共线向量. (8)向量的运算： ?x =x 2 ??1 ?y 1=y 2(ｘ1，ｙ1) ＝（ｘ2，ｙ2） 二、重要的公式、定理： (1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任 一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ?a ＝λb(b≠0) ?x1y2－x2y1＝O. (3)两个 向量垂直的充要条件：a ⊥b ?a ·b ＝O ?x1x2＋y1y2＝O. 1P 2所成的比为λ，即 P 1＝λPP 2(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段P 11 OP ＝1+λOP 1＋1+λOP 2 (线段的定比分点的向量公式) ?x =????y =?? x 1+λx 2 , 1+λy 1+λy 2 . 1+λ (线段定比分点的坐标公式)

当λ＝ 1 x 1+x 2?x =, ??2? 1?y =y 1+y 2. ?2＝2（1＋OP 2）或? (5)平移公式： 设点P(x，y) 按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′）， ?x '=x +h , ? y '=y +k . 则O P ＝+a或? 曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6) a b c ===2R . sin A sin B sin C 正弦定理： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－ 2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为ha ，hb ，hc ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r. ①S △=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S △= P P -a P -b P -c [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

平面向量题型汇总,基础

《平面向量》题型汇总 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量, 41==且满足2.=，则与的夹角为 . 2.已知非零向量, （2-⊥=，则与的夹角为 . 3.已知向量b a , 满足424)2.(==-=+-（，则与的夹角为 . 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=

全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 【基础练习】

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12 (AC →＋AB → ).( ) 2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA → 相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC → (λ∈R )， 则λ＝( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 5.(必修4P92A12改编)已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC → ＝______，BC → ＝________(用a ，b 表示). 6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC → (λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________. 考点一 平面向量的概念 【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . 【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

全国卷高考复习--平面向量(知识总结+题型)

第一部分 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±错误! 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为０ 2.向量的线性运算 向量 运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a +b ＝ｂ+a . （2)结合律: (ａ＋b )+ｃ= a +( b + c ） 减法 求ａ与b 的相反向量 -b 的和的 运算叫做 a 与b 的差 a － b =ａ+(-b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ|｜a |； (2)当λ>0时，λａ的方向与a 的方向相同;当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝ 0时,λａ＝0 λ(μa )=λμa ; (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λａ＋λb 向量ａ(a ≠0)与ｂ共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa . 【基础练习】

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.（ ) （2）若ａ∥b ,ｂ∥c ,则a ∥c ．( ） (3)向量错误!与向量错误!是共线向量，则A ，B ,C ,D 四点在一条直线上．( ) （4)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b ＝λa ,反之成立.( ) (5)在△ABC 中,D 是BC 中点，则错误!=错误!(错误!+错误!)．( ) ２.给出下列命题：①零向量的长度为零,方向是任意的;②若ａ，b 都是单位向量,则a ＝b ； ③向量AB ，→与错误!相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① ? B.③ ?Ｃ.①③ D.①② 3.(2０17·枣庄模拟)设D 为△ＡBC 所在平面内一点,错误!=－错误!错误!+错误!错误!，若错误!=λ错误!(λ∈R )，则λ=( ） A.２ ?Ｂ.3 Ｃ.－2 ?D ．－３ 4．（2０15·全国Ⅱ卷)设向量a ，ｂ不平行，向量λａ+b 与a +2b 平行，则实数λ＝______＿___＿_. 5.（必修4Ｐ９２Ａ12改编)已知?ＡBCD 的对角线AC 和B Ｄ相交于O ,且错误!=a ，错误!=ｂ，则错误!＝___＿__,错误!=_____＿__(用a ,ｂ表示). ６．(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△A ＢC 的边ＡB ,BC 上的点,AD =错误!AB ,B Ｅ=错误!ＢC ,若错误!=λ1错误!+λ2错误!(λ1,λ2为实数)，则λ１＝__＿＿____,λ2=＿＿__＿__＿. 考点一 平面向量的概念 【例1】 下列命题中,不正确的是______＿_(填序号). ①若|ａ｜＝|ｂ|,则a ＝ｂ； ②若Ａ，B ，C ,D 是不共线的四点，则“错误!=错误!”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a =b ,b ＝c ，则ａ＝c ． 【训练１】 下列命题中，正确的是____＿__＿（填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量ａ与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段，有向线段也不是向量; ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反； ③正确，向量既有大小,又有方向，不能比较大小;向量的模均为实数，可以比较大小． 答案 ③ 考点二 平面向量的线性运算

2018全国卷高考复习 平面向量(知识总结+题型)

第一部分 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向 量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a | 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较 大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝ a ＋( b ＋ c ) 减法 求a 与b 的相反向量 －b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【基础练习】

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12 (AC →＋AB → ).( ) 2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA → 相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC → (λ∈R )， 则λ＝( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 5.(必修4P92A12改编)已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC → ＝______，BC → ＝________(用a ，b 表示). 6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC → (λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________. 考点一 平面向量的概念 【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . 【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒 百度文库

一、多选题 1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是 （ ） A ．() 0a b c -?= B ．() 0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?= D ．2a b c ++= 2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点 时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23?? ??? B ．4,33?? ??? C ．()2,3 D ．8,33?? ??? 4．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 5．下列结论正确的是（ ） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形AB C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积S =3 6．在ABC 中，若30B =?，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 7．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =- C ．()13,4e =-，234,55??=- ??? e D ．()12,6=e ，()21,3=--e

高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结汇编

专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍： 1．“四心”的概念与性质 (1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的 重心时，有GA ＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13 (PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3， y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33 . (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2 ＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心． (3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心． (4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心． 2．关于“四心”的典型例题 [例1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． [解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，根据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△

2020年高考平面向量常考题型总结

平面向量题型分类 题型一：向量模的求法 【例1】设向量a ，b 满足||1,||a a b =-=()0a a b ?-=，求|2|a b + 【点评】公式||a b +===r r 公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式. 【变式1】已知向量,a b r r 满足||2,||1,|| 2.a b a b ==-=r r r r （1）求a b ?r r 的值；（2）求||a b +r r 的值. 【例2】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22 a b θθθ==-<<． （Ⅰ）若a b ⊥r r ，求θ；（Ⅱ）求a b +r r 的最大值． 【变式2】已知直角梯形ABCD ,AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点， 则3PA PB +u u u r u u u r 的最小值为____________.

题型二：向量夹角的求法 方法一 利用公式cos ,a b a b a b <>=u u r r r r g r r 求解. 使用情景 一般没有坐标背景. 解题步骤 先求a b r r g ，||,||a b r r ，再代入公式cos ,a b a b a b <>=u u r r r r g r r 求解. 【例1】已知,2,x a b y a b =+=+r r r u r r r 且||||1,.a b a b ==⊥r r r r （1）求||||x y r u r 和；（2）求,x y r u r 夹角的余弦值. 【变式1】已知,a b r r 都是非零向量，且3a b +r r 与75a b -r r 垂直，4a b -r 与72a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角. 方法二 利用公式121222221 1 2 2 cos x x y y x y x y θ+= +?+求解. 使用情景 一般有坐标背景. 解题步骤 先求出,a b r r 的坐标，再代入公式121222221 1 2 2 cos x x y y x y x y θ+= +?+求解. 【例2】 如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1). （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM u u u u r 与PN u u u r 的夹角的余弦.