b ＝12 2>20＝1,7－0.5＝1 217⎛⎫ ⎪⎝⎭<12 14⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝12， 即0a >c . 命题点3 特殊值法 例3 已知a >b >1,0b c ，故A 错误； ab c ＝4×14 2＝94 2，ba c ＝2×14 4＝32 2， ∴ab c >ba c ，故B 错误； log a c ＝log 414＝－1，log b c ＝log 21 4＝－2，a log b c ＝－8，b log a c ＝－2， ∴a log b c log b c ，故C 正确，D 错误． 思维升华 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，1 2，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较， 有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1＝log 22b >c B ．a >c >b C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D 解析 因为y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增， 所以1.60.6>0.60.6>0，
2023届高考数学二轮复习：指对幂比较大小(学生版+解析版)
专题01 指对幂比较大小 【考点1】指数函数 1.定义：函数()1,0≠>=a a a y x 叫做指数函数，定义域为R . 2.性质： 【考点2】对数函数 1.定义：函数()1,0log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，定义域是()0,+∞. （1）定义域：R
2.性质： 【考点3】幂函数 1、幂函数定义 一般地，形如()f x x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2、五种常见幂函数 R R R {|0}x x ≥ {|0}x x ≠ 3
幂函数()f x x α =，在(0,)x ∈+∞ ①当0α>时，()f x x α =在(0,)+∞单调递增； ②当0α<时，()f x x α=在(0,)+∞单调递减； 方法一：放缩法 1 、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 2、指数和幂函数结合来放缩。 3、利用均值不等式等不等关系放缩 4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 方法二：作差法、作商法 1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小 2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 方法三：构造函数，运用函数的单调性比较 学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练. 构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律. 1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f （）外衣”比较大小； 2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小. 题型一:简单放缩比较大小 例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知0.7 2a =，0.7 13b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>
高考数学重难点第4讲 指对幂比较大小6大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第四讲指对幂比较大小6大题型 ——每天30分钟7天掌握指对幂比较大小6大题型问题【命题趋势】 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 第1天认真研究满分技巧及思考热点题型 【满分技巧】 比较大小的常见方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较； 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法； 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值； 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 【热点题型】
高考数学热点问题专题练习——指对数比较大小知识归纳及典型例题分析
指对数比较大小 一、技巧和方法 1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞ （1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等 2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念： （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：111342 3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ()()() 1111114363 4212 12 12 33 ,44 ,55 ===，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式： （1）n m m n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N -=
高三数学专项训练函数值的大小比较
高三数学专项训练：函数值的大小比较 一、选择题 1 c b a ,,的大小关系是（ ）. A. b c a >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >> 2 ．设2 lg ,(lg ),lg a e b e c === ( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 3．设a b c ，，分别是方程1122 2 112=log ,()log ,()log ,2 2 x x x x x x == 的实数根 , 则有（ ） A.a b c << B.c b a << C.b a c << D.c a b << 4．若13 (1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ ） A ．a > B 、c a b >> C 、b a c >> D 、b c a >> 9．若)1,0(∈x ，则下列结论对的的是（ ） A ．x x x 2lg 2 1>> B ．2 1lg 2x x x >>
高考数学中的“比较大小”赏析
高考数学中的“比较大小”赏析 高考数学中的“比较大小”问题是一类常见的命题形式，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混合在一起进行排序。解决这类问题可以从代数和几何两方面进行探究，即利用函数的性质及图像解答。本文将通过典型的例题来说明此类问题的方法与技巧。 方法一：特殊值或特殊函数比较大小。例如，对于题目“若a>b，则ln((a-b))>3aa^3>b^3>a>b”，可以通过代入特殊值或比较特殊函数值来解决。 方法二：不等式的性质比较大小。例如，对于题目“若a>b>c在解决这类问题时，需要注意排除格式错误和明显有问题的段落，同时可以适当地改写每段话，使其更加清晰明了。 第一段话已经没有明显的问题，但是可以将其改写为更流畅的语言： 已知函数f(x)为定义在实数集上的奇函数，且满足 f(1+x)=f(1-x)。当x∈[0,1]时，f(x)=ln(x^2+1)。设a=f(log1/54)，b=f(2019/32)，c=f(3)，则a、b、c的大小关系是什么？ 第二段话存在格式错误，可以改写为： 已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数。设a=f(2cos(π/3))，b=f(log(1/4.1))， c=f(20.8)，则a、b、c的大小关系是什么？ 第三段话同样存在格式错误，可以改写为： 已知函数f(x)=x-x^2+1，g(x)=log(1-x+1/2)的零点分别为a、 b、c。则a、b、c的大小关系是什么？ 1.格式错误已删除，无明显有问题的段落需要删除。
指数、对数、幂函数对比
指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图
专题12 指、对数函数比较大小-2021年高考数学(理)母题题源解密(原卷版)
专题12 指、对数函数比较大小 【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈， ()22 2 528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫ ++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4 5 b < ； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45 c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则 A ．f （log 314 ）＞f （ 3 2 2 - ）＞f （ 23 2- ） B ．f （log 314 ）＞f （232-）＞f （322-）
热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型(原卷版)
热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型 指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 一、指数幂运算的一般原则 1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； 2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； 3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； 4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 二、对数运算常用方法技巧 1、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式 log log m n a a n M b m 化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 2、对数运算中的几个运算技巧
（1）lg 2lg51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg5+，再应用公式 lg 2lg51+=进行化简； （2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =， log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。 三、指数型复合函数值域的求法 1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域，但要注意“新元 t ”的范围 2、形如() =f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用=y a μ的单调性求出 ()=f x y a 的值域。 四、对数型复合函数值域的求法 1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域，再利用()=y f t 的单调性，再求出()=y f t 的值域。 2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，再利用log =a y μ的单调性，求出()log =a y f x 的值域。
专题14 指、对、幂形数的大小比较问题(精讲精练)(解析版)
专题14 指、对、幂形数的大小比较问题 【命题规律】 指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升． 【核心考点目录】 核心考点一：直接利用单调性 核心考点二：引入媒介值 核心考点三：含变量问题 核心考点四：构造函数 核心考点五：数形结合 核心考点六：特殊值法、估算法 核心考点七：放缩法 核心考点八：不定方程 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.7 2a =，0.7 13b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 【答案】C 【解析】因为0.7 0.7 2211 20log 1log 33 ⎛⎫ >>=> ⎪⎝⎭ ，故a b c >>. 故答案为：C. 2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >> 【答案】A 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()22 2lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=. 又()22 2lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）
