第2招：一争高下-利用指对幂函数性质比较大小

第2招：一争高下-利用指对幂函数性质比较大小第2招：一争高下 - 利用指对幂函数性质比较大小

1.求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过指数(真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.

2.利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“,,”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”),也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.

3.利用函数的单调性比较大小:例:在上单调递增,则,

,(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁).

总之,比较数式的大小,若同底,考虑指数函数(或对数函数),若同指,则考虑幂函数,再利用函数的单调性比较大小,若不同底,也不同指,则其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决,或者利用中间量法.

方法一:估算法

就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法.

例如比较与的大小.

因为

,进而可估计是一个大于且小于的数,从而便于比较,同理可得为大于且小于的数,所以.

方法二:数形结合法

就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将比较大小与某些函数

图象结合起来,利用函数图象性质,再辅以简单计算,确定正确答案的方法.

例如已知,,,则( )

A.

B.

C.

D.

因为

,在同一平面直角坐标系中分别作出函数

,,的图象,如图所示:

由图象知

,由于函数为增函数,∴

,∴,故选C.

方法三:单调性比较法

解题时根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较大小,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,然后根据函数的单调性进行比较大小.

例如(2020·全国卷II理·11)若,则( )

A.

B.

C.

D.

本题考查函数的单调性.由,得,即

,设函数,则,因为函数

在上为增函数,在上为减函数,则在上为增函数,所以函数在上为增函数,所以,所以,所以,故选A

方法四:对数法比较大小

题型特点:有些题目可以用函数方法或中间量的方法来比较大小,但是有些题目,靠上述手段很难比较大小,我们就需要新的武器——对数法比大小.

例如比较与的大小.

设,则,设,则,等号两边同时取对数有

,,所以

,所以,即.

(2020·全国卷III理·12)已知,,设,, ,则( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】本题考查对数函数的性质、不等式的性质.易知,,

,由

,知,因为

,,所以,,即,,又因为, ,所以

,即,综上所述,,故选A.

1.（2021八省联考）已知且,且,且

,则( )

A.

B.

C.

D.

2.(原创）已知,,,则,,的大小关系为( ) A.

B.

C.

D.

3.（原创）三个数,,大小关系是( )

A.

B.

C.

D.

利用指幂对函数单调性比较大小解答题

1.已知幂函数()()2 23 *k k f x x k N --∈＝的图象关于y 轴对称， 且在区间()0+∞，上是减函数， (1)求函数()f x 的解析式； (2)若>a k ，比较()0.7lna 与()0.6 lna 的大小． 【解答】解(1)幂函数()()2 23 *k k f x x k N --∈＝ 的图象关于y 轴对称， 2*23013,12k k k k N k ∴--<∴-<<∈∴=，，,； 且幂函数()()2 23 *k k f x x k N --∈＝在区间()0+∞， 为减函数， ()41k f x x -∴=∴=, ； (2)由(1)知，1a >． ①当1a e <<时，()()0.7 0.6 01lna lna lna <<∴<,； ②当a e =时，()()0.7 0.6 1,lna lna lna =∴=； ③当a e >时，()()0.7 0.6 1,lna lna lna >∴>． 2.设a>0，a≠1，t>0，比较 12a log t 与1 2 a t log +的大小，并证明你的结论． 【解答】解：当t>0 时，由基本不等式可得1 2 t +≥1t =时取“=”号 ∴1t = 时，111 222 a a a t t log log log log t ++∴==， 1t ≠时，1 2 t t +>， 当01a <<时，a y log x = 是单调减函数，∴111 222a a a t t log log log log t ++<<; 当1a >时，a y log x = 是单调增函数，∴111 222 a a a t t log log log log t ++>∴>. 3.比较()231log x + 与()3x -的大小. 答案： 解答： 要使()231log x + 与()3x -有意义，则310 330x x x +>∴>->??? ，， ( )()() 22331331log x log x x log x -∴+--=+-

第2招：一争高下-利用指对幂函数性质比较大小

第2招：一争高下-利用指对幂函数性质比较大小第2招：一争高下 - 利用指对幂函数性质比较大小 1.求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过指数(真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 2.利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“,,”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”),也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 3.利用函数的单调性比较大小:例:在上单调递增,则, ,(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁). 总之,比较数式的大小,若同底,考虑指数函数(或对数函数),若同指,则考虑幂函数,再利用函数的单调性比较大小,若不同底,也不同指,则其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决,或者利用中间量法. 方法一:估算法 就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法. 例如比较与的大小. 因为 ,进而可估计是一个大于且小于的数,从而便于比较,同理可得为大于且小于的数,所以. 方法二:数形结合法 就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将比较大小与某些函数

图象结合起来,利用函数图象性质,再辅以简单计算,确定正确答案的方法. 例如已知,,,则( ) A. B. C. D. 因为 ,在同一平面直角坐标系中分别作出函数 ,,的图象,如图所示: 由图象知 ,由于函数为增函数,∴ ,∴,故选C. 方法三:单调性比较法 解题时根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较大小,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,然后根据函数的单调性进行比较大小. 例如(2020·全国卷II理·11)若,则( ) A. B. C. D. 本题考查函数的单调性.由,得,即 ,设函数,则,因为函数

同指数幂函数比较大小

同指数幂函数比较大小 指数函数是一种常见的函数，是以指数曲线为基础的、非常常见的、有重要意义的函数。它的定义域为实数，值域也是实数。其数学表达式形式如下： y = aX^n (a≠0，n∈R) 同指数幂函数比较大小也就是比较两个函数形式如： f(x)=a1x^n1 g(x)=a2x^n2 一般来说，要比较两个同指数幂函数的大小，我们有以下几种情况： 1、当n1>n2时，存在x，使f(x)>g(x)，即f(x)大于g(x)； 2、当n1=n2时，存在x，使a1x^n1>a2x^n2，即f(x)>g(x)； 3、当n1n2时，f(x)大于g(x)；当n1=n2时，a1x^n1>a2x^n2，即f(x)>g(x)；当n12×2^x。

例2：比较f(x)=2×3^x和g(x)=7×3^x的大小 根据上述基础知识，首先比较两个函数的指数幂次数，可以得知这里n1=3，也就是n1=n2，所以比较两个函数的系数，得到 a1x^n1>a2x^n2，也就是2×3^x>7×3^x。 综上所述，可以得知比较两个同指数幂函数的大小，最直接的方法为比较其指数幂次数，若n1>n2，则f(x)大于g(x)；若n1=n2，则比较系数a1和a2的大小即可；若n1

指对数比较大小8种常考题型总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)

第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结 【知识点梳理】 指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法． （1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可 （2）利用指数对数函数图象关系比较大小 （2）比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如12.02.0003.0=<<， 12.0log 3.0log 1log 02.02.02.0=<<= （3）取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与 2 1 的大小等 （4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较． 例如：log log 1log log n a a a a ma m ma m n =+=+；． （5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如2ln =a 和2log 3=b ， e a 2log 12ln = =，3 log 1 2log 23==b ，因为e 22log 3log >，所以b a > （6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如3log 2=a 和4log 3=b ，则()5,427log 3log 3322∈==a ， ()4,364log 4log 3333∈==b ，所以b a 33>，所以b a > （7）构造函数，利用函数的单调性比价大小 【题型目录】 题型一：直接利用单调性比较大小 题型二：比较与1,0的大小关系 题型三：取中间值比较大小 题型四：利用换底公式比较大小 题型五：分离常数再比较大小 题型六：利用均值不等式比较大小 题型七：乘倍数比较数的范围比较大小 题型八：构造函数比大小 【典型例题】 题型一：直接利用单调性比较大小 【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知222log 0.6,log 0.8,log 1.2a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题(精讲精练)(解析版)

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题 【命题规律】 指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升． 【核心考点目录】 核心考点一：直接利用单调性 核心考点二：引入媒介值 核心考点三：含变量问题 核心考点四：构造函数 核心考点五：数形结合 核心考点六：特殊值法、估算法 核心考点七：放缩法 核心考点八：不定方程 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.7 2a =，0.7 13b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 【答案】C 【解析】因为0.7 0.7 2211 20log 1log 33 ⎛⎫ >>=> ⎪⎝⎭ ，故a b c >>. 故答案为：C. 2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >> 【答案】A 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()22 2lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=. 又()22 2lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）

对数指数幂函数比大小技巧

对数指数幂函数比大小技巧 对数指数幂函数是高中数学中的重要内容之一，其中比大小技巧是必须掌握的基本技能，本文将围绕“对数指数幂函数比大小技巧”展开讨论。 一、对数函数比大小技巧 对数函数的比大小主要有以下两个步骤： 1、若底数相同，则指数大的数值大； 2、若指数相同，则底数大的数值大。 例如，比较$log_2 3$和$log_2 5$的大小，由于它们的底数相同，所以比较它们的指数即可，显然$log_2 5>log_2 3$，因此$log_2 5$比$log_2 3$大。 二、指数函数比大小技巧 指数函数的比大小主要有以下两个步骤： 1、若底数相同，则指数大的数值大； 2、若指数相同，则底数大的数值大。 例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们的指数相同，所以比较它们的底数即可，显然$3^{0.1}>2^{0.1}$，因此 $3^{0.1}$比$2^{0.1}$大。 三、幂函数比大小技巧 幂函数的比大小主要有以下两个步骤： 1、若底数相同，则指数大的数值大； 2、若指数相同，则底数大的数值大。 例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们的指数相同，所以比较它们的底数即可，显然$3^{0.1}>2^{0.1}$，因此 $3^{0.1}$比$2^{0.1}$大。 四、对数、指数和幂函数比大小综合技巧 对于对数、指数和幂函数的混合比较，我们要根据具体情况来决定采用哪一种比较技巧，具体方法如下：

1、若比较的两个函数中只有同一种函数，则按该函数的比较规 则比较大小。 例如，比较$2^{0.1}$和$3^{0.1}$的大小，由于它们都是指数函数，所以按照指数函数的比较规则比较大小，结果为 $3^{0.1}>2^{0.1}$。 2、若比较的两个函数中包含不同种类的函数，则利用对数函数 将它们都化为幂函数，再比较大小。 例如，比较$log_2 3$和$2^{0.5}$的大小，由于它们是不同种类 的函数，所以需要利用对数函数将它们都化为幂函数，化简后为 $2^{log_2 3}$和$2^{0.5}$，由于它们的底数相同，所以只需比较指 数的大小，即$log_2 3>0.5$，因此$2^{log_2 3}>2^{0.5}$，即 $log_2 3>2^{0.5}$。 总之，对数指数幂函数比大小技巧是高中数学的重要内容，其掌 握程度直接影响到解题的效率和准确度。因此，要认真掌握上述技巧，在实际解题中熟练运用。

专题12 指、对数函数比较大小-2021年高考数学(理)母题题源解密(解析版)

专题12 指、对数函数比较大小 【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈， ()22 2 528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫ ++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4 5 b < ； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45 c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则 A ．f （log 314 ）＞f （ 3 2 2 - ）＞f （ 23 2- ） B ．f （log 314 ）＞f （232-）＞f （322-）

高中数学满分秘籍3-高考幂指对三角函数比较大小10类题型解题方法与技巧

高考幂指对三角函数比较大小10类题型 解题方法与技巧 目录 一、十大题型精讲 【题型一】临界值比较：0、1临界 【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点） 【题型三】差比法与商比法 【题型四】利用对数运算分离常数比大小 【题型五】构造函数：lnx/x型函数 【题型六】构造函数综合 【题型七】放缩（难点） 【题型八】函数奇偶性和单调性等综合 【题型九】三角函数值比较大小 【题型十】数值逼近 二、最新模拟试题精练

一、十大题型精讲 【题型一】 临界值比较：0、1临界 【典例分析】 1. 设0.2 515 log 4,log 4,0.5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b a c << C. c b a << D. c a b << 【分析】 根据对数函数的单调性和对数的运算可得到01a <<，10b -<<；根据指数函数的单调性得到1c >，从而可得出答案. 【详解】 因为5550log 1log 4log 51=<<=，所以01a <<； 因为 11555 log 4log 4log 4 b -===-，所以10b -<<； 又0.200.50.51c -=>=，所以b a c <<. 故选：B. 【提分秘籍】 基本规律 因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小. 【变式演练】 2. 已知1 2021 202220221 2022,log 2021,log 2021 a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a >b >c B. b >a >c C. c >a >b D. a >c >b 【分析】 利用指数函数及对数函数的性质即得.

高考数学重难点第4讲 指对幂比较大小6大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)

重难点第四讲指对幂比较大小6大题型 ——每天30分钟7天掌握指对幂比较大小6大题型问题【命题趋势】 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。 第1天认真研究满分技巧及思考热点题型 【满分技巧】 比较大小的常见方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较； 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法； 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值； 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 【热点题型】

对数指数幂函数比大小

对数函数.指数函数,幂函数如何比较大小 比较大小主要有三种方法： 1、利用函数单调性。 2、图像法。 3、借助有中介值-1、0、1。 举例说明如下： （1/2）的2/3次方与（1/2）的1/3次方大小比较： 2/3>1/3 ，利用y=(1/2)^x为单调递减所以1/2的2/3次方小于（1/2）的1/3次方。 扩展资料 对数函数性质： 值域：实数集R，显然对数函数无界； 定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）； 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数； 0log 5 2所以1/log5 7<1/log 5 2即log7 5

指对幂函数知识点总结

指对幂函数知识点总结 幂函数是指将一个变量的函数，其函数表达式类似于ax^b，其 中x表示函数的自变量，a与b为实数，a可以为1，b可以为任意实数（包括0）。 2、幂函数的特点 （1）该函数的图像一般具有一个模式，当b>0时，以原点为顶点，向右延伸的弧线；当b<0时，以原点为顶点，向左延伸的弧线；当b=0时，是一条水平线。 （2）幂函数是单调函数，当b>0时，其函数值由小到大；当b<0时，其函数值由大到小。 （3）幂函数具有对称性，当b为偶数时，其横轴对称；当b为 奇数时，其纵轴对称。 （4）幂函数具有对称性，当b为偶数时，其横轴对称；当b为 奇数时，其纵轴对称。 3、幂函数的基本性质 （1）幂函数的导数 当b=1时，函数的导数为ax；当b≠1时，函数的导数为abx^(b-1)。 （2）幂函数的极值 当a>0且b>1时，函数的极大值为+∞，极小值为0；当a<0且b>1时，函数的极大值为-∞，极小值为0；当a>0且b<1时，函数的极大值为a，极小值为0；当a<0且b<1时，函数的极大值为0，极 小值为-a。

（3）函数的增减性 当b>1时，函数在[0, +∞)内递增；当b<1时，函数在[0, +∞)内递减；当b=1时，函数在x>0和x<0两段位置都是递增的。 4、幂函数的应用 （1）实际问题的求解：幂函数主要用于解决一些实际问题，如财务计算中的时间价值计算。 （2）计算机科学：幂函数也被应用于计算机科学中，它用于表示某些算法的时间复杂度，用最好的、最坏的以及平均的情况来表示。 （3）物理学：幂函数在物理学中也有应用，可以用它来描述很多物理现象，如重力加速度的变化曲线、质点运动轨迹等等。 5、总结 本文介绍了幂函数的基本概念，特点及其基本性质，同时介绍了它在实际问题、计算机科学以及物理学中的应用，以期让读者对幂函数有一个全面而深入的了解。

幂函数大小比较方法

幂函数大小比较方法 幂函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常用的一种函数形式。在比较不同幂函数的大小时，我们可以通过一些方法和规则来进行判断和推导。本文将以幂函数大小比较方法为标题，介绍一些常用的方法和技巧。 一、正整数指数的幂函数大小比较 当幂函数中的指数为正整数时，可以通过比较底数的大小来确定函数的大小关系。如果底数相同，指数越大，则幂函数的值越大。例如，比较函数f(x) = 2^x和g(x) = 2^(x+1)，可以发现当x为正整数时，f(x)的值始终小于g(x)的值。 二、负整数指数的幂函数大小比较 当幂函数中的指数为负整数时，可以通过比较底数的大小以及指数的绝对值来确定函数的大小关系。如果底数相同，指数的绝对值越大，则幂函数的值越小。例如，比较函数f(x) = 2^(-x)和g(x) = 2^(-x-1)，可以发现当x为正整数时，f(x)的值始终大于g(x)的值。 三、小数指数的幂函数大小比较 当幂函数中的指数为小数时，可以通过取对数将其转化为指数为整数的形式，进而进行比较。例如，比较函数f(x) = 2^x和g(x) = 2^(x+0.5)，可以取对数得到log2(f(x)) = x和log2(g(x)) = x+0.5，可以发现当x为正整数时，f(x)的值始终小于g(x)的值。

四、幂函数和多项式函数的大小比较 当比较幂函数和多项式函数的大小时，可以通过比较它们的增长速度来确定大小关系。一般情况下，多项式函数的增长速度要快于幂函数。例如，比较函数f(x) = x^2和g(x) = 2^x，可以发现当x趋向于无穷大时，g(x)的值增长得更快，因此g(x)的值始终大于f(x)的值。 五、幂函数和指数函数的大小比较 当比较幂函数和指数函数的大小时，可以通过比较它们的增长速度来确定大小关系。一般情况下，指数函数的增长速度要快于幂函数。例如，比较函数f(x) = x^2和g(x) = e^x，可以发现当x趋向于无穷大时，g(x)的值增长得更快，因此g(x)的值始终大于f(x)的值。 六、复合函数的大小比较 当比较复合函数的大小时，可以通过对函数进行分解和化简，进而进行比较。例如，比较函数f(x) = (2^x)^2和g(x) = 2^(2x)，可以将f(x)化简为f(x) = 2^(2x)，可以发现f(x)和g(x)是等价的，它们的值相等。 总结： 通过上述方法和规则，我们可以比较不同幂函数的大小关系。在实际问题中，常常需要对幂函数进行大小比较，以便做出正确的判断和推导。同时，需要注意的是，幂函数的大小比较是基于特定的条

十大方法玩转指对幂比较大小

十大方法玩转指对幂比较大小 指数对幂比较大小是高中数学中一个非常重要的概念，在学习指数对 幂比较大小时，学生可以使用以下十种方法来更好地理解和掌握这个概念。 1.化简幂的指数：使用指数的基本性质，将幂的指数化简为最简形式。例如，将2^3与2^(2+1)比较时，将2^(2+1)化简为2^2*2^1，然后进行 比较。 2.应用指数的运算法则：利用指数的运算法则，如乘法法则和乘方法则，对幂进行化简。例如，将2^3与(2^2)^2比较时，可以利用乘法法则 将(2^2)^2化简为2^4，然后进行比较。 3.求幂的值：计算出幂的具体数值，然后进行比较。例如，将2^3与 8比较时，可以计算出2^3=8，然后进行比较。 4.比较幂的指数：比较幂的指数大小，而不必计算具体数值。例如， 比较2^3与2^4时可以直接说2^4的指数更大。 5.利用幂的递增性质：利用幂的递增性质，即相同底数的幂，指数越 大幂越大。例如，比较2^3与2^4时可以直接说2^4更大。 6.利用幂的递减性质：利用幂的递减性质，即相同底数的幂，指数越 小幂越小。例如，比较2^3与2^2时可以直接说2^3更大。 7. 利用对数函数的性质：利用对数函数的性质，将幂转化为对数进 行比较。例如，比较2^3与2^4时可以利用对数函数将其转化为比较 log₂(2^3)与log₂(2^4)，然后进行比较。

8.通过图像比较大小：通过绘制幂函数的图像，比较不同指数下的幂函数在数轴上的位置，进而比较幂的大小。例如，比较2^3与2^4可以通过绘制y=2^3和y=2^4的图像，并观察图像在数轴上的位置来比较大小。 9.利用数学推理和证明：根据指数的性质和规律，运用数学推理和证明方法来比较幂的大小。例如，通过数学归纳法证明对于任意正整数n，2^n>n。 通过以上十种方法的学习和应用，学生可以更好地理解和掌握指数对幂比较大小的方法和技巧，从而在解决相关的问题时能够灵活运用这些方法，提高数学解题的效率和准确性。

函数大小比较

㈠与幂函数αx y=相关的大小比较 ⑴两个幂函数的指数同样(底数为负数时须先化为正数)，利用幂函数的单一性判断大小； ⑵两个幂函数的指数不一样，能化为同指数的，利用幂函数的单一性判断大小，不可以化为同指数的，利用中间数0来比较大小； 幂函数αx y=的性质： ⑴在),0(∞上，0> α时是减函数： α时是增函数，0< ⑵1>x时，指数大的图象在上方，1 α时，图象过（1，1）。 α时，图象过（0，0），（1，1），0< ㈡与指数函数x a y=相关的大小比较 ⑴两个指数函数的底数同样指数不一样时，利用指数函数的单一性判断大小； ⑵两个指数函数的底数不一样指数同样时，可依据图象与底数的关系进行比较； ⑶两个指数函数的底数和指数都不一样时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比较，经过常数传达比较大小。 指数函数的性质：

⑴1>a 时，x a y =是增函数，10<a 时，a 越大图象上涨越快，10<a 时，x y a log =是增函数，10<a 时，010,01<⇒<<>⇒>y x y x ，10<⇒<<<⇒>y x y x ； ⑶x y a log =的图象过（1，0）点，),0(,∞∈∈x R y 。

幂的大小比较

幂的大小比较 今天的数学课堂上，以新课改理念指导教学实践已成为广大一线教师的自觉行动。传统的“变式教学”、“双基教学”、“解题教学”等与新理念下的“启发式教学”、“素质教学”相结合，形成了新数学课。在教学实践中我们以确立学生主体地位为始终，竭尽手段来调动学生学习的积极性，尽可能地发挥学生的主体作用。同时我们作为课堂的设计者、引导者能轻驾课堂，引导学生探索新知，体验成功的喜悦，感受探索的乐趣，就得花费大量的精力来做些准备。幂的大小比较，是高中数学第一册（上）函数教学中的重点，也是难点内容，我们通常都是运用函数的单调性来比较它们的大小，但很多时候，因底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性．本文就幂的大小比较谈谈一些常用方法和特殊方法． 1．利用函数单调性比较幂的大小 1．1构造幂函数：如果要比较的两个幂满足指数相同，底数不同时，可以构造幂函数，根据幂函数的单调性进行比较它们的大小： 例1．比较0.30.2与0.50.2的大小。 显然这两个幂的指数相同，都是0.2= ,因此由幂函数在为单调递增函数，比较得出0.30.20时，幂函数y=xα在为单调递增函数，此时0.8α＞0.7α；当α<0时，幂函数在为单调递减函数，此时0.8α<0.7；特别的，若α=0，则0.8α=0.7=1。 需要注意的是幂函数单调性随着指数取值的不同，变化很多，情况比较复杂。教学中我总结了这样几句：（图象特征看指数正负）正似抛物过原点，负是双曲靠轴边；（奇偶性由指数中互质的m,n奇偶性确定）奇分之奇方为奇，奇分之偶正是偶，偶分之奇两不是；（单调性由奇偶性确定）奇在一三同增减，偶在一二对台戏。有了这些总结再加上第一象限图象分布规律总能很迅速画出幂函数的草图，进而利用其单调性解决问题。 1．2构造指数函数：如果要比较的两个幂底数相同，指数不同时，可以构造指数函数，根据指数函数的单调性进行比较它们的大小： （2）0.8-0.1和0.8-0.2。 （1）1.72.5和1.73； 例3．比较下列各题中两个值的大小： 显然这两组幂底数相同，指数不同，因此分别构造指数函数y=1.7x，和指数函数y=0.8x，利用它们在上分别为单调递增函数和单调递减函数性质比较出大小。 例4．比较与的大小。 咋看似乎无法比较，但细看两个幂，可以迅速得出它们的联系：由，所以，

指数式和对数式比较大小

指数式和对数式比较大小五法 方法一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性. 2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性. 3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性. 例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3 （2）2log 0.8,2log 8.8 （3）0.30.3,0.33 [解]（1）利用函数0.3x y =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,0.3<3,所以0.30.3>30.3. （2）利用函数2log y x =的单调性. 因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,0.8<8.8,所以2log 0.8<2log 8.8. （3）利用函数0.3y x =的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,0.3<3,所以0.30.3<0.33. 方法二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小. （1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =) （2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题. 例2：比较下列各组数的大小 （1）0.41.9, 2.40.9 （2）124()5,139()10 [解]（1）取中间值1. 因为0.4 01.9 1.91>=, 2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>. （2）取中间值1 29()10 . 利用函数910x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10 .利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>124()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.） 方法三：特值代入法 对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,