北师大版数学高一必修1素材 3.6指、对、幂函数难点突破

指、对、幂函数难点突破

函数是高中数学的重要组成部分，而指、对、幂等基本初等函数又是函数中的难点。为此，下面举例探讨突破难点的方法。

一、函数定义域、值域问题

例1 已知函数，求函数的值域。

解析：∵函数为，由得，

∴的定义域为，

∴。

又因为，

故函数的值域是。

点评：函数是定义域与对应法则（解析式）构成的不可分割的整体，定义域是构成函数的重要因素，求解函数问题时，坚持定义域优先原则，可有效地纠错防错。本题误认为定义域为，是常犯的错误。而在求与指、对、幂函数有关的函数的值域时，除要考虑指、对、幂函数本身的取值外，还要灵活运用单调性来求解。

二、比较大小问题

例2 比较的大小。

解析：∵指数函数在上是减函数，且，

∴。

又∵，

∴。

点评：对于同底的两个函数值，我们可以直接利用指数、对数函数的单调性来比较大小，而对于与则不能直接看作某一个指数函数的两个值，此时常借助中间量“”来牵线搭桥。常用的中间量还有“”、“”等。

例3 设且，若，，试比较的大小。

解析：（1）当时,有，即。

又当时,在上单调递减，

∴,即。

（2）当时, 有，即。

又当时,在上单调递增，

∴,即。

综上所述,。

点评：像这类含参数的比较大小问题，要注意结合指数、对数函数的本身特点，对参数进行分类。

三、函数单调性问题

例4 讨论下列函数的单调性。

（1）；（2）。

解析：（1）函数的定义域为，设，，在上是减函数。

当时，为减函数，为增函数；当,+时，为增函数，为减函数。

（2）要使函数有意义，必须。

设，，为增函数。

当时，为减函数，

故函数在上为减函数。

点评：对于复合函数的问题，注意应用复合函数的单调性来求解。需要注意的地方是，在求函数单调区间前应先考虑函数的定义域。

例5 已知函数在区间上总有，求实数的取值范围。

解析：∵，∴。

当时,，即。

∵，∴,解得。

当时,，即。

∵，∴,解得。

综上可得, 实数的取值范围是。

点评：先对底数分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数的不等式（组），解不等式（组）而得到参数的范围。解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论。

四、函数图象的应用

例6 若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。

解析：，则，在同一坐标系中作出函数与的图象，如图。

要使在只要在上，函数的图象在

的上方。

由于当时,，而当时,，所以，要使在内恒成立，只有且，由此解得。

=故的取值范围是。

点评：不等式的解,从图象的角度考虑,其实就是函数的图象在的图象上方的部分点的横坐标的变化范围。

北师大版高中数学必修一教案简单幂函数的图象和性质 Word版含解析 (1)

第二章函数 第4.2节简单幂函数的图像和性质教学设计 y=及其他们的图像《简单的幂函数》是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x 和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。 一．教学目标： 1．了解指数是整数的幂函数的概念; 2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法； 3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。 二. 核心素养 1.数学抽象：幂函数概念的理解 y=及其他们的图像和性质的基础上 2. 逻辑推理：通过对正、反比例函数和二次函数2x 来研究的，我把这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征推理到一般的形式上。 3. 数学运算：求简单的幂函数解析式； 4. 直观想象：通过幂函数的图像，可以直观的分析函数性质 5. 数学建模:在具体情境问题中，运用数形结合思想，利用幂函数的性质，图像，解决实际问题 教学重点 幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法 教学难点 简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性 PPT

1．知识引入 我们已经熟悉，y=x是正比例函数， 1 y x =是反比例函数 ,y=x2是一元二次函数，还有y x =,y=x3，它们都是简单的幂函数. 2.幂函数的概念概述： 一般地,形如y=x a(a为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的 函数称为幂函数。 这里的 1 y x = 和 y x =在今后的学习中可以分别写成y=x-1和y=x-2 【知识点扩充】 具体特点:①底数是自变量②指数是常量③xα的系数是1 3.动手实践 1.将y=x; 1 y x =;y=x2,y x =,y=x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3. 2 在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象,并说出画法的依据.

北师大版高中数学必修1《二章 函数 5 简单的幂函数 简单的幂函数》优质课教案_29

简单的幂函数 教学目标： 一、知识与技能： 1、幂函数的概念以及简单幂函数的图像和性质； 2、奇函数与偶函数的概念及其判断。 二、过程与方法： 通过常见的一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，得出幂函数的概念，并总结出奇偶函数的概念与性质。 三、情感态度与价值观： 通过本节学习，增强学生数形结合的思想。 教学重点： 1、幂函数的理解与应用； 2、函数奇偶性的判断。 教学难点： 函数奇偶性的判断 教学过程： 一、 课题引入 我们以前学习过这样几个函数： x x y y y x y x 211),(,=== =- 下面画出它们的图像

(1)y=x (2)x y 1 -= (3)x y 2 = 从它们解析式的形式上看，底数都是自变量x ，只是指数不同，而且指数都是常数。这样的函数，就是本节课所要研究的幂函数。

二、 讲授新课 1、幂函数的概念 幂函数：如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常数α，即x y α= ，这样的函数称为幂函数。 注：（1）条件：指数是常数，底数是自变量x ，系数为1 （2）幂函数x y α=中，α为任意实数。在第三章将进一步讨论。 例1：指出下列哪些函数是幂函数 答:(1)、（6）是幂函数 例2：画出幂函数x y 3=的图象,并讨论其图象特征. 2 3220)6()1()5(2)4()3()2()1(x y x y x y x y x y x y x =+==-===

特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在R 上单调递增； （2）图像关于原点对称，且对于任意的R x ∈，都有f(-x)=-f(x). 再观察x y 2 =的图像，说出它有哪些特征？ 特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在(- ∞,0]上单调递减，[0,+ ∞） 上单调递增。 （2）其图像关于y 轴对称，且对任意的R x ∈，都有f(-x)=f(x) 可以得出幂函数的性质： （1）幂函数图像恒过点（1,1）; （2）α<0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而减小； （3）α=0时，是常函数，不具有单调性； （4）α>0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而增大。 2、函数的奇偶性 （1）奇函数 定义1：图像关于原点对称的函数，叫作奇函数 ] 3,3(,13)2(3)1(2-∈+=-=x x y x y 的值 求时为减函数，是幂函数，且练习：函数m x x m m y m m ),0()1(3222+∞∈--=--

北师大版高一数学必修一函数及习题

二.重点、难点 重点：指数函数与对数函数的性质。难点：灵活运用函数性质解决有关问题。 四、教学过程 （一）、回顾本章的知识结构 1、指数与对数：指数式与对数式的互化 真数 ＝ b 指数←→对数值 提问：在对数式中，a ，N ，b 的取值范围是什么？ 例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值 解法1：由54b ＝3得54log 3＝b ∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a +++==+-- 解法2：由 设54log 275427a ==得108log 81,10881x x ==则 所以21(5427)327x -?=? 即：2 (5454)5454a x b a -?=? 所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即 因此得：2a b x a += - 法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。 2．指数函数与对数函数 问题1：函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件. 问题2：在同一直角坐标系中画出函数log x x a y a =与的图象，并说明两者之间的关系. 问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质. 例2：已知函数()y x 的图象沿x 轴方向向左平移1个单位后与()3x f x =的图象关于直线y x =对称，且 (19)2g a =+，则函数3(01)ax y x =<≤的值域为 . 分析：函数3x y =关于直线y x =对称的函数为3log (1)y x =- ∴33(19)log 182log 2g ==+ ∴3log 23log 2,3(3)2ax x a y x =∴=== ∵(0,1],(1,2]x y ∈∈则 小结：底数相同的指数函数与对数函数关于y x =对称，它们之间还有一个关系式子： log (1,0,0)a N a N a a N =≠>> 例3：已知1()log (01)1a x f x a a x +=>≠-且 （1）求()f x 的定义域；（2）求使()0f x >的x 的取值范围 分析：（1）要求1()log 1a x f x x +=-的定义域， 则应有 1010101010 1x x x x x x +>+???->-<-??或 （2）注意考虑不等号右边的0化为log 1a ，则（2）小题变为1log log 1,1a a x x +>-再分a>1和0<<--和. 2013年10月 20日

高一数学必修1(北师大版)同步练习3-6

3-6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 基础巩固 一、选择题 1．函数y＝a x与y＝－log a x(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是() [答案] A [解析]排除法： ∵函数y＝－log a x中x>0，故排除B； 当a>1时，函数y＝a x为增函数，函数y＝－l og a x为减函数，故排除C； 当00时，图像的交点个数是() A．0B．1 C．2D．3 [答案] C [解析]作出函数图像，易知有2个交点(2,4)和(4,16)．

3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示．现给出以下说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是() A．①④B．②④C．②③D．①③ [答案] B [解析]因为温度y随着时间t变化的图像是先凸后为平行于x 轴的直线，即前5分钟每当t增加一个单位量Δt，y相应的增量Δy 越来越小，故②正确；而5分钟后y关于t的增量为0，故④正确．故选B. 4．某种动物的数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到() A．300只B．400只 C．500只D．600只 [答案] A [解析]当x＝1时，y＝100＝a log22， ∴a＝100，∴y＝100log2(x＋1)， 当x＝7时，y＝100log28＝300，故选A. 5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是() A．f(x)＝1 x B．f(x)＝(x－1) 2 C．f(x)＝e x D．f(x)＝ln(x＋1) [答案] A [解析]由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符

高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案2 北师大版必修1

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、教学目标： 1、知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性． 2、过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用． 3、情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用． 二、教学重点： 重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题． 三、教学程序与环节设计 1、创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣． 2、组织探究——选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异． 3、探索研究——总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告． 4、巩固反思——师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤． 5、作业回馈——强化基本方法，规范基本格式． 6、课外活动——收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用． 四、教学过程与操作设计 （一）、创设情境 材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大

北师大版必修一6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人：王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第11周 集体备课 一、课题： 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 二、学习目标 1、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢． 2、借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化． 三、落实目标 【自主预习】 问题1、在同一坐标系，画出指数函数，幂函数，对数函数的图像 问题2、在同类函数中，各自函数图象的画法是怎样，参数变化时，有怎样的特点？ 问题3、指数函数，幂函数，对数函数在同一个参数下的变化情况。 问题4：当a >1时，指数函数x y a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越 ．当a >1时，对数函数log a y x =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越 ．当1,1x n >>时,幂函数n y x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越 ． 问题5：那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?我们通过对三个 具体函数x y 2,= 100y x (x 0),=> 2y log x =的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢． 1．完成课本98-99的表格（借助计算器或设计程序通过计算机完成）． 2．三个变量y 1、 y 2、 y 3、随变量x 变化的数据如下表 x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1715 3645 6655 y 2 5 29 245 2189 19685 177149 y 3 5 6．1 6．61 6．95 7．2 7．4 其中，x 呈对数型函数变化的变量是＿＿＿;呈指数型函数变化的变量是＿＿＿;呈幂函 数型变化的变量是＿＿＿＿。 3．四个变量y 1、 y 2、 y 3、 y 4随变量x 变化的数据如下表：

北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》优质课教案_3

《对数函数的图像和性质》教学设计 一、设计理念 根据《普通高中数学课程标准》，教学内容的设计要有利于调动教师的积极性，创造性地进行教学，有利于改进学生的学习方式，促进他们主动地学习和发展。课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则。教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。教材的呈现应为引导学生自主探究留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、试验、猜测、推理、交流、反思等过程。 本节课是高一新教材北师大版高中数学必修1第三章第5.3节内容。函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一，本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数在生产、生活实践中都有许多应用．通过对本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．能类比指数函数的图像画出具体对数函数的图像，并能通过图像研究对数函数的性质； 2．能利用对数函数的性质解决一些问题； 3.渗透类比及数形结合的数学思想 三、教学重、难点

六、教学反思 ⒈反思数学教学观 笔者的数学教学基本观点是：创设丰富的情境，激发学生的学习兴趣；以学生为中心，加强数学活动过程的教学，留有探索与思考的余地；营造一种合作交流的课堂气氛，引导学生主体参与，还学生学习主动权，自我挖掘其创造潜能。 本节课基本上做到让学生经历数学化的过程，在数学活动中学习数学，引导学生自主研究对数函数的图象和性质花了二十分钟，基本上做到了“让学生用自己的方式重新构造知识”。 ⒉反思教学设计 ⑴对教学目标的反思：课前对教学目标进行了反复的推敲，从知识、能力、态度情感价值观三个维度进行了考量，本节可目标贴切； ⑵对学生已有内容的反思：由于“影响学习最重要的因素是学生已有的内容，弄清这一点后，进行相应的教学”，上课后再来反思学生已有内容，有如下几点：指数式与对数式转换比较娴熟，指数函数的性质还记忆犹新，教学设计考虑到了学生知识的个体差异与认知差异； ⑶对教学内容组织及教学设计环节的反思：本课在教学设计上对教学内容进行了重组，整体上把握教材，补充了一个例题，做到了内容上的整体性。 ⒊反思教学过程 ⑴教学过程中利用图像变换得到2log y x 的图像变换过快，没有达到预期的效果； ⑵对课堂提问的反思：由于担心不能暗示完成教学任务，留给学生思考的时间偏少，思维活跃的同学回答问题积极，其余的同学则反应平淡； ⑶对时间结构的反思：整堂课感觉前松后紧，节奏偏快；

北师大版数学高一必修1素材 3.6指、对、幂函数难点突破

指、对、幂函数难点突破 函数是高中数学的重要组成部分，而指、对、幂等基本初等函数又是函数中的难点。为此，下面举例探讨突破难点的方法。 一、函数定义域、值域问题 例1 已知函数，求函数的值域。 解析：∵函数为，由得， ∴的定义域为， ∴。 又因为， 故函数的值域是。 点评：函数是定义域与对应法则（解析式）构成的不可分割的整体，定义域是构成函数的重要因素，求解函数问题时，坚持定义域优先原则，可有效地纠错防错。本题误认为定义域为，是常犯的错误。而在求与指、对、幂函数有关的函数的值域时，除要考虑指、对、幂函数本身的取值外，还要灵活运用单调性来求解。 二、比较大小问题 例2 比较的大小。 解析：∵指数函数在上是减函数，且， ∴。 又∵， ∴。 点评：对于同底的两个函数值，我们可以直接利用指数、对数函数的单调性来比较大小，而对于与则不能直接看作某一个指数函数的两个值，此时常借助中间量“”来牵线搭桥。常用的中间量还有“”、“”等。

例3 设且，若，，试比较的大小。 解析：（1）当时,有，即。 又当时,在上单调递减， ∴,即。 （2）当时, 有，即。 又当时,在上单调递增， ∴,即。 综上所述,。 点评：像这类含参数的比较大小问题，要注意结合指数、对数函数的本身特点，对参数进行分类。 三、函数单调性问题 例4 讨论下列函数的单调性。 （1）；（2）。 解析：（1）函数的定义域为，设，，在上是减函数。 当时，为减函数，为增函数；当,+时，为增函数，为减函数。 （2）要使函数有意义，必须。 设，，为增函数。 当时，为减函数，

故函数在上为减函数。 点评：对于复合函数的问题，注意应用复合函数的单调性来求解。需要注意的地方是，在求函数单调区间前应先考虑函数的定义域。 例5 已知函数在区间上总有，求实数的取值范围。 解析：∵，∴。 当时,，即。 ∵，∴,解得。 当时,，即。 ∵，∴,解得。 综上可得, 实数的取值范围是。 点评：先对底数分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数的不等式（组），解不等式（组）而得到参数的范围。解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论。 四、函数图象的应用 例6 若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。 解析：，则，在同一坐标系中作出函数与的图象，如图。

北师大版高中数学必修1《二章 函数 5 简单的幂函数 简单的幂函数》优质课教案_35

幂函数的性质与图像 【教学目标】知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能简 单应用。 过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会从 思想。 情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学生 的学习兴趣和探究热情。 【教学重点】幂函数的性质与图像 【教学难点】幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】 一． 创设情境，引入新知 回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x 1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？ 解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1. 这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。 二． 幂函数定义 一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数 概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？ （1） y=x 3.0 （2）y=21 _x （3）y=3x +x (4) y=23x 三． 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法 例题：研究函数y=21 _x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。 （师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并观察此幂函数性质在图像上的体现）。 自主探究： 研究函数y=2-x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。

（在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价） 四． 合作探究一般的幂函数性质与图像特征 1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=x,y=2x 、 y=3x y=1—x 和y=21x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。 2.小组讨论： 归纳幂函数（k<0）的性质和图像特征 （1） 在第一象限单调性如何？ （2） 有无公共点? （3） 图像与坐标轴的位置关系？ （4） 图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？ 3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图 像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当01时幂函数性质 五． 课堂巩固、简单应用 练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96) 31__________ (-0.95)31_ 六． 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？ 七． 布置作业：课本81页：习题4.1

《 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》 本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。 【知识与能力目标】 1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像； 2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。 【过程与方法目标】 1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化； 2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。 【情感态度价值观目标】 使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。 【教学重点】 列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。 【教学难点】 指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分 [互动过程1] ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教材分析 ◆教学过程 ◆教学目标

复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质． 请你画出函数222,,log x x y y x y ===的草图,并观察比较函数图像的变化。 你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？ 二、研探新知，建构概念 [互动过程2]提出问题： 当1a >时，指数函数x y a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。当1a >时，指数函数log x a y =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。当0,1x n >>时,幂函数n y x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快。那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数10022,(0),log x x y y x x y ==>= 的函数值（取近似值）的比较, 来体会它们增长的快慢。1．完成下表（借助科学计算器或设计程序通过计算机完成）。 x

高中数学 第二章 函数 25 简单的幂函数教案 北师大版必修1 教案

简单的幂函数 教学目的：了解简单幂函数的概念，理解图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征，能基本运用；培养学生 形数结合的能力，及图像对称性的审美能力。 教学重点：理解幂函数的图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征。 难点：判断函数奇偶性，及运用幂函数的图像和性质、函数奇偶性解决问题。 教学过程： 一.导入：观察--- 正比例函数 y=x （即x1 ) 反比例函数 y= （即x-1) 二次 函数 y=x 2 （即x 2 )-------------三者有何共性？ 二.知识构建： 1．幂函数 （1）定义：（略） [注] 哪个是幂函数？ A.y=2x B.y=x2 C.y=xx D. y=-x2 [答] B （2）图像： 【探究1】幂函数y=x 3 【探究2】幂函数y=x 1/2 【2 、 （3）性质：(引导学生发现下列特点) 1).特征点：(1,1)?; (0,0)? 2).单调性：略. 2.函数的奇偶性 【观察1】以上各幂函数图像关于y 轴对称吗？ 偶函数定义：若一个函数的图像关于y 轴对称，则称之为偶函数. 【观察2】以上各幂函数图像关于原点对称吗？ 奇函数定义：若一个函数的图像关于坐标原点对称，则称之为奇函数. 【观察3】奇偶函数的图像有什么特点吗？（通过观察课件，知：） 偶函数满足f(-x )=f(x )， 奇函数满足f(-x )=-f(x ) 【设问2】以上各幂函数x 1 、x -1 、x 3 、x 2 、x 1/2 各有怎样的奇偶性？ 答：略. 【观察4】哪些函数定义域关于原点O 对称？ 1.定义域对称O ？ 2.公式f(-x)成立？ 三.用法示范 例1.已知f(x )=(2m 2 -1)·x 是幂函数，且在区间 （0，+∞）上递增. (1)试求f(x)的解析式,并画图； (2)判断f(x)奇偶性及单调性. （黑板讲解分析后，图像可由课件给出） 练习1：幂函数f(x)=(m-1)·x m-1.5 ,试画图象，并判断其单调性、奇偶性. 2 1 3m m 212-+y

2021_2022学年高中数学课时作业20指数函数、幂函数、对数函数增长的比较北师大版必修1

课时分层作业(二十) 指数函数、幂函数、对数函数增长的比 拟 (建议用时：60分钟) [合格根底练] 一、选择题 1．以下函数中，自变量x充分大时，增长速度最快的是( ) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6D．y＝6x [答案] A 2．以下四种说法中，正确的选项是( ) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x＞0，x a＞log a x C．对任意的x＞0，a x＞log a x D．一定存在x0，使x＞x0，总有a x＞x n＞log a x D[对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比拟，而B、C都受a的影响．] 3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，那么函数y＝f(x)的图像大致为( ) D[由题意，设林区原来的蓄积量为a，那么ax＝a(1＋10.4%)yy＝x，那么y＝log x，故y＝f(x)的图像大致为D.] 4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10e kt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能到达的个数为( ) A．640 B．1 280 C．2 560 D．5 120 B[由题意可得，当t＝0时，y＝10，当t＝1时，y＝10e k＝20，可得e k＝2.故10个细菌经过7小时培养，能到达的细菌个数为10e7k＝10×(e k)7＝1 280.] 5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，那么沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近

高中数学3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步测试北师大版必修1

第三章§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、选择题 1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100D．y＝100x [答案] D [解析]由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快． 2．若－1g(x) B．g(x)>f(x) C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x) [答案] A [解析]在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x的图像的上方，则f(x)>g(x)． 4．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为( ) A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4 B．y＝8×1.1x＋2.4x C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4 D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4

[答案] A [解析] 第一年企业付给工人的工资总额为 8×1.1＋3×0.8(万元)， 第二年应付给工人的工资总额为 (8＋3)×1.12 ＋3×0.8(万元)， 依次类推：第x 年企业付给工人的工资总额应为 y ＝[8＋3(x －1)]×1.1x ＋2.4＝(3x ＋5)×1.1x ＋2.4. 5．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) [答案] A [解析] 由题意得函数f (x )是减函数，在四个选项中，只有A 符合，故选A. 6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则y 与x 的函数关系为( ) A ．y ＝0.9576x 100 B ．y ＝0.9576 100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫0.9576100x D ．y ＝1－0.0424x 100 [答案] A [解析] 设镭每年放射掉其质量的百分比为t ，则有95.76%＝(1－t )100 ，所以t ＝1－ ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫95.761001100 ，所以y ＝(1－t )x ＝0.9576x 100 . 二、填空题 7．方程2x ＝2－x 的解的个数为____________． [答案] 1 [解析] 分别作出函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解． 8．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…，这样，一个细胞分裂x

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》核心素养专练

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》核心素养专练 必备知识练 必备知识 指数函数、对数函数、幂函数增长的比较 一、选择题 1.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为212(),()4f x x f x x ==，324()log ,()2x f x x f x ==，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ） A.21()f x x = B.2()4f x x = C.32()log f x x = D.4()2x f x = 2.如图所示，能使不等式22log 2x x x <<成立的自变量x 的取值范围可能是（ ） A.0x > B.2x > C.0x < D.02x << 3.下面对函数1 2121()log ,(),()2x f x x g x h x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，在区间(0,)+∞上的衰减情况说法正确的是（ ） A.()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越慢 B.()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越快

C.()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越慢 D.()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰速度越来越快 二、填空题 4.当112 a <<时，若23log ,log ,2a x a y a z ===-，则x y z ，，之间的大小关系是___________. 三、解答题 5.试比较44,x y y x ==与4log (0)y x x =>的增长情况. 6.函数12 () 1.1,()ln 1,()x f x g x x h x x ==+=的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，a b c d e ，，，，为分界点）. 关键能力练 关键能力1 建立函数模型解决问题 一、填空题 7.一种药在病人血液中的量保持在1500mg 以上时才有疗效，而低于500mg 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟必须在注射后______小时前向病人的血液补充这种药（精确到0.1h ）. 二、解答题 8.目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某行业计划从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为x （01x <<） （1）设n 年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a 倍，请用a ，n 表示x ； （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考

【志鸿全优设计】高中数学 第三章 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较讲解与例题 北师大版必修1

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 (1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件 当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快． (2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况) 在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)． 从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快． 由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快． (3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性． 一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n； 同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x 增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x ＜x n. 综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x. 由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”． 析规律三种函数模型的性质

北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》优质课教案_1

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题． 3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣． 重点难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同． 教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入) 国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．思路2.(直接导入) 我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异． 推进新课 新知探究 提出问题 ①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性. ②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像. ③结合函数的图像找出其交点坐标. ④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围. ⑤由以上问题你能得出怎样结论？ 讨论结果： ①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数． 063

高中数学北师大版一学案：第三章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标 1.了解三种函数的增长特征。2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用． 知识点一同类函数增长特点 思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？ 梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快． 当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快． 当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快． 知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异 思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?

梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)． 类型一根据图像判断函数的增长速度 例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。 (1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； （2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．

反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快． 跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。3x－1的图像如图所示． (1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较． 类型二函数增长模型的应用 例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0。4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？