⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
例2．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；
(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2，求实数m 的值．
【解析】（1）因为2()(33)a
f x a a x =-+为幂函数，
所以2331a a -+=，解得2a =或1a = 因为()f x 为偶函数，
所以2a =，故()f x 的解析式2()f x x =；
（2）由（1）知()()2
213
g x x m x =+--，对称轴为
122m
x -=
，开口向上，
当1212m
-≤即12m ≥-时，()()max 3362g x g m ==+=，即16
m =-； 当
1212m ->即12
m <-时，()()max 1122g x g m =-=--=，即3
2m =-； 综上所述：16
m =-或32m =-．
例3．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时
()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售
完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，20020018010020300y x x x =---=-， 当产量大于50万盒时，222002006035001403700y x x x x x =----=-+-， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为
220300,050
,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩
（2）当050x ≤≤时，2050300700y ≤⨯-=； 当50x >时，21403700y x x =-+-， 当140
702
x =
=时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200．
因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年⨯月⨯日，天气：阴；能见度：1.8千米；11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点(0,12)A ，点B 坐标为(,0)m ，曲线BC 可用二次函数：2
1(125
s t bt c b =
++，c 是常数）刻画. (1)求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
(2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度02
(30)125
v v t =+
-，0v 是加速前的速度） 【解析】（1）11:40到12:10的时间是30分钟，则(30,0)B ，即30m =， 潮头从甲地到乙地的速度
12
0.430
=（千米/分钟）. （2）因潮头的速度为0.4千米/分钟，则到11:59时，潮头已前进190.47.6⨯=（千米）， 此时潮头离乙地127.6 4.4-=（千米），设小红出发x 分钟与潮头相遇， 于是得0.40.48 4.4x x +=，解得5x =， 所以小红5分钟后与潮头相遇.
（3）把(30,0)，(55,15)C 代入21125s t bt c =++，得2
21303001251555515125b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨
⎪⨯++=⎪⎩，解得
225b =-，245c =-
， 因此21224
125255s t t =
--，又00.4v =，则22(30)1255
v t =-+， 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即0.48v =时，
22
(30)0.481255
t -+=，解得35t =，
则当35t =时，21224111252555
s t t =
--=， 即从35t =分钟(12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头，
设小红离乙地的距离为1s ，则1s 与时间t 的函数关系式为10.48(35)s t h t =+≥， 当35t =时，1115s s ==
，解得：735
h =-，因此有11273
255s t =-，
最后潮头与小红相距1.8千米，即1 1.8s s -=时，有212241273 1.8125255255
t t t ---+=， 解得150t =，220t =（舍去），
于是有50t =，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时0.485
60.4
⨯=（分钟）， 因此共需要时间为6503026+-=（分钟），
所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
例5．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()
2253m
f x m m x =-+的定义域为全体实数R.
(1)求()f x 的解析式；
(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.
【解析】（1）∵()
f x 是幂函数，∴2
2531m m -+=，∴
1
2m =
或2.
当1
2
m =
时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ， ∴m ＝2,∴()2
f x x =.
（2）
()31f x x k >+-即2310
x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，
令()231g x x x k =-+-,只需使函数()2
31g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0.
∵()2
31g x x x k =-+-图象的对称轴为3
2
x =
，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∴()()min 11g x g k ==--， 由10k -->，得1k <-， ∴实数k 的取值范围是(,1)-∞-.
【过关测试】 一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）若函数()f x x α
=的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则
19f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．13
B ．3
C ．9
D ．8
【答案】B
【解析】由题意知()193f =
，所以193
α
=，即2133α-=， 所以12
α=-，所以()12f x x -
=，所以
12
11399f -
⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）已知4
32a =，254b =，1325c =，2
36d =，则（ ） A ．b a d c <<< B ．b c a d <<< C ．c d b a <<< D ．b a c d <<<
【答案】D 【解析】由题得4
13
3
216a =
=，2155416b ==，1325c =，2133
636d ==，因为函数13
y x =在R 上单调递增，所以
a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以
b a <．
故选:D ．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，则函数1()
()1
f x y f x -=
+在区间［1,9]上的
值域为（ ） A ．［－1,0] B ．1[,0]2
-
C ．［0,2]
D ．3
[,1]2
-
【答案】B
【解析】解法一：因为幂函数()
a f x x 的图象过点()9,3 ，所以93=a ，可得1
2
a =
，所以()f x x =1()12(1)
1()1111
f x x x y f x x x x ---+===
++++．因为19x ≤≤，所以214x ≤≤，故11,021y x ⎡⎤=
∈-⎢⎥+⎣⎦
．因此，函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦．
故选：B ．
解法二：因为幂函数()
a f x x 的图象过点(9,3)，所以93a =，可得1
2
a =
， 所以()f x x =[1,9]x ∈，所以()[1,3]f x ∈．因为y =1()
()1
f x f x -+，
所以1()1y f x y -=+，所以1131y y -≤≤+，解得102y -≤≤，即函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
故选：B ．
4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数m
n y x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（ ）
A ．m n 、是奇数且
1m
n
< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n
> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n
< D ．m n 、是偶数，且
1m n
> 【答案】C
【解析】函数n m n
m y x x =y 轴对称，故n 为奇数，m 为偶数， 在第一象限内，函数是凸函数，故1m
n
<， 故选：C.
5．（2022·全国·高一期中）幂函数2
225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ） A ．27 B ．9
C ．1
9
D ．
127
【答案】A
【解析】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-， 当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A.
6．（2022·全国·高一课时练习）向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】当容器是圆柱时，容积V =πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D 不满足条件；
由函数图象可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A 、C 不满足条件，而B 满足条件. 故选：B ．
7．（2022·全国·高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位60030x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
元（试剂的总产量为x 单位，50200x ≤≤），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A ．60单位
B ．70单位
C ．80单位
D ．90单位
【答案】D
【解析】设每生产单位试剂的成本为y ，
因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元， 职工的工资总额为750020x +元，后续保养总费用为60030x x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭元， 则2507500203060081008100
40240220x x x x y x x x x x
+++-+=
=++≥⋅=， 当且仅当8100
x x
=
，即90x =时取等号， 满足50200x ≤≤，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位． 故选：D ．
8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3
f x x =；④()f x x ()1
f x x =
．其中满足条件()()()12122102
2f x f x x x f x x ++⎛⎫>
>> ⎪⎝⎭
的函数的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>
>> ⎪⎝⎭
表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.
故选：A 二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数()()
2
26
57m
f x m m x
--=+在()0,∞+上是增函数，则以下说法正确的是
（ ） A ．3m =
B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增
C ．函数()f x 是偶函数
D ．函数()f x 的图象关于原点对称 【答案】ABD
【解析】因为幂函数()()
2
26
57m f x m m x
--=+在()0,∞+上是增函数，
所以2257160
m m m ⎧-+=⎨->⎩，解得3m =，所以()3
f x x =，
所以()()()3
3f x x x f x -=-=-=-，故()3
f x x =为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以()f x 在(),0∞-上单调递增； 故选：ABD
10．（2022·全国·高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润()p x （单位：万元）与每月投入的研发经费x （单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16
万元，且21()6205p x x x =-+-，利润率()
p x y x =.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ） A ．此时获得最大利润率
B ．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C ．再投入1万元研发经费可获得最大利润率
D ．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【答案】BC
【解析】当16x ≤时，22
11()620(15)2555
p x x x x =-+-=--+，
故当15x =时，获得最大利润，为()1525p =，故B 正确，D 错误；
()1201
201206626255
5p x y x x x x x x x ⎛⎫=
=-+-=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当1205x x
=，即10x =时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C 正确，A 错误.
故选：BC.
11．（2022·全国·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千元)､乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B ．甲厂的总费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为10.51y x =+
C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为215
42
y x =+ 【答案】ABCD
【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确； 设甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为y kx b =+，
代入点(0,1),(6,4)，可得1
64b k b =⎧⎨+=⎩
，解得0.5,1k b ==，
所以甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为10.51y x =+，故B 正确； 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为32 1.5÷=元，故C 正确； 设当2x >时，设2y 与x 之间的函数关系式为y mx n =+
代入点(2,3),(6,4)，可得2364m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得15
,42k b ==，
所以当2x >时，2y 与x 之间的函数关系式为215
42
y x =
+，故D 正确.
故选：ABCD.
12．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()
f x x
在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数” B ．若()1f x x x
=+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”
C ．若()3
f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”
D ．若()()2
4f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =
【答案】ABD
【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x
在定义域内的任何区间上都是增函数，故不
存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确；
对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x
=+在[)1,+∞上为增函数，()
21f x y x x
-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x
-=
=+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1
f x x x =+为“弱增函数”，B 正确；
对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3
f x x x
=+为R 上的增函数，()21f x y x x
=
=+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3
f x x x
=+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；
对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()2
4f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函
数，所以402a --
≤，解得4a ≤，又()()4f x a
y x a x x
==+-+在(]
0,2上为减函数，由对勾函数的单调性可知，2a ≥，则4a ≥，综上4a =.故D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题
13．（2022·全国·高一单元测试）已知1114,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭
，若函数()a
f x x =在()0,+∞上单调递减，
且为偶函数，则=a ______． 【答案】4-
【解析】由题知：0a <， 所以a 的值可能为4-，1-，1
2
-．
当4a =-时，()()1
440f x x x x -==≠为偶函数，符合题意．
当1a =-时，()()1
1
0-==
≠f x x x x
为奇函数，不符合题意． 当1
2a =-时，()12f x x x
-==，定义域为()0,+∞，则()f x 为非奇非偶函数，不符合题意．
综上，4a =-． 故答案为：4-
14．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()2
232
(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，
上单调递增，则()f x 的解析式是_____.
【答案】()2
f x x =
【解析】
()f x 是幂函数，
211m ∴-=，解得2m =或0m =，
若2m =，则()0
f x x =，在()0+∞，
上不单调递减，不满足条件； 若0m =，则()2
f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件； 即()2
f x x =. 故答案为：()2
f x x =
15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，
甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*
1620,n n n ∈<和白豆共有________粒. 【答案】58
【解析】设红豆有x 粒，白豆有y 粒， 由第一轮结果可知：1042
x y -=，整理可得：220x y =-； 由第二轮结果可知：
2
y
x n =-，整理可得：22y x n =-； 当17n =时，由220234x y y x =-⎧⎨=-⎩得：883
743x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；
当18n =时，由220236x y y x =-⎧⎨=-⎩得：923
763x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（舍）；
当19n =时，由220
238x y y x =-⎧⎨=-⎩
得：3226x y =⎧⎨=⎩，322658x y ∴+=+=，
即红豆和白豆共有58粒. 故答案为：58.
16．（2022·全国·高一期中）已知幂函数()2
23
()p p f x x p N --*=∈ 的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，
上是减函数，实数a 满足()()
23
3
133p
p a a -<+，则a 的取值范围是_____．
【答案】14a <<
【解析】幂函数()()2
23
*
p p f x x
p N --=∈在()0+∞，
上是减函数， 2230p p ∴--<，解得13p -<<，
*p N ∈，1p ∴=或2．
当1p =时，()4
f x x -=为偶函数满足条件，
当2p =时，()3
f x x -=为奇函数不满足条件，
则不等式等价为233(1)(33)p
p
a a -<+，即()1
1
233(1)33a a -<+，
()13
f x x =在R 上为增函数， 2133a a ∴-<+，解得：14a <<.
故答案为：14a <<. 四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小： (1)()3
2--，()3
2.5--； (2)78
8--，7
819⎛⎫- ⎪
⎝⎭
； (3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭，3415⎛⎫ ⎪⎝⎭
，14
12⎛⎫ ⎪⎝⎭．
【解析】（1）因为幂函数3
y x -=在(),0∞-上单调递减，且2 2.5->-，所以
()()33
2 2.5---<-． （2）因为幂函数78
y x =在[)
0,∞+上为增函数，且
77
8
8
18
8-
⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1189>，所以778
8
1189⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以
778
8
1189⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，所以
77
8
8
189-
⎛⎫-<- ⎪⎝⎭．
（3）4
13
4
1128⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3
14
4
115125⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11112582<<，因为幂函数1
4y x =在()0,∞+上单调递增，所以
3
31444
111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x x =()2g x x =-.
(1)求方程()()f x g x =的解集；
(2)定义：{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值. 【解析】（12
x x =-，得2540x x -+=且0x ≥，解得11x =，24
x =；
所以方程()()f x g x =的解集为{1,4}
（2）由已知得()2,01,2,14
222,4
x x x x x h x x x x x x x x -≤<⎧⎧-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩. （3）函数()h x 的图象如图实线所示：
函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.
19．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数()a g x x =的图像经过点(22,，函数2(4)()1
g x a
f x x ⋅+=
+为奇函数.
(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数a 的值；
(2)判断函数f （x ）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明
【解析】(1)由条件可知22a
=1
2a =
，即()12
g x x x ==，
()42g =，
因为()221x a f x x +=
+是奇函数，所以()00f a ==，即()221
x
f x x =+，
满足()()f x f x -=-是奇函数，所以2a =成立； (2)由（1）可知()221
x
f x x =
+， 在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <， ()()()()()()211212
1222
22121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++，
因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()22
12110x x ++>
所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，
所以函数在区间()1,1-上单调递增.
20．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t （件）与销售价格x （元/件）（*x ∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，(
)()2
510050t x a x =-++；②当6076x ≤≤时，
()1007600t x x =-+.记该店月利润为M （元），月利润=月销售总额-月总成本.
(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；
(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.
【解析】（1）当60x =时，()2
60510050100607600a -++=-⨯+，解得2a =.
∴()()
()()()2*
*
220100003420000,3460,,
10076003420000,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧--+--≤≤∈⎪=⎨-+--≤≤∈⎪⎩
即()32*2*
24810680360000,3460,,
10011000278400,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧-++-≤≤∈=⎨-+-≤≤∈⎩
（2）当3460x ≤≤，x ∈R 时，设()3224810680360000g x x x x =-++-，
则()()2
6161780g x x x '=---.
令()0g x '=，解得182461x =-，()28246150,51x =+， 当3450x ≤≤时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当5160x ≤≤时，()0g x '<，()g x 单调递减.
∵*x ∈N ，()5044000M =，()5144226M =，()M x 的最大值为44226.
当6076x ≤≤时，()()2
1001102784M x x x =-+-单调递减，故此时
()M x 的最大值为()6021600M =.综上所述，当51x =时，()M x 有最大值44226.
∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件. 21．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；
(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为1，求实数m 的值. 【解析】（1）因为()f x 为幂函数
所以233112a a a a -+===，得或 因为()f x 为偶函数
所以2a = 故()f x 的解析式2()f x x =.
（2）由（1）知
()()2213
g x x m x =+--，
当1212m
-≤即12m ≥-时，()()max 3361g x g m ==+=，即13m =- 当
1212m ->即1
2
m <-时，()()max 1121g x g m =-=--=即1m =- 综上所述：1
3
m =-或1m =-
22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()()22t
f x t t x t R -=+∈，且()f x 在区间()0,∞+上单调递减.
(1)求()f x 的解析式及定义域； (2)设函数()()()2
2
1g x f x f x =-
⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦
，求证：()g x 在()0,∞+上单调递减.
【解析】（1）因为幂函数
()()()
22t f x t t x t R -=+∈，
()
f x 在区间(
)
0,+∞上单调递减，
所以221+=t t ，解得1t =-或1
2
t =
， 所以()1
2f x x -=，定义域为()0,+∞.
（2）由（1）知函数
()()()()2
22
2
11
0--=-
=-
≠⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦
g x f x x x x f x ，
设120x x >>，则()()()222
222
21121
22122221212
11------=--+=-+x x g x g x x x x x x x x x
因为120x x >>，所以22
12x x >，222221210,0-<>x x x x ，
所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减.
专题幂函数以及函数的应用(解析版)
专题10 幂函数以及函数的应用 【考点预测】 考点一、幂函数概念 形如y x α=的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 考点诠释： 幂函数必须是形如y x α=的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数．例如：4223,1,(2)y x y x y x ==+=-等都不是幂函数． 考点二、幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象： （1）y x =；（2）1 2 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 考点诠释： 幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点()1,1； （2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2．作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为(0,)+∞或[0,)+∞，作图已完成； 若在(0)-∞，或0]-∞(， 上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3．幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =． 4．幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 考点三、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 【典型例题】 例1．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数()()231 2 22 33m m f x m m x ++ =-+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式； (2)若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意，幂函数 ()() 231 2 22 33m m f x m m x ++ =-+， 可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，函数()31 1322 f x x x ++==为奇函数， 当2m =时，()2115232 2 f x x x ++ ==为非奇非偶函数， 因为()f x 为奇函数，所以()3 f x x =. （2）由（1）知 ()3 f x x =，可得 () f x 在R 上为增函数，
幂函数练习题及答案解析
幂函数练习题及答案解析 1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^ 2. 解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。 2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。 解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。 3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。 解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3. 4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。(-3)^n。 解析：因为 (-2)^n。0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。+∞) 上为减函数。因此 n = -1 或 n = 2. 1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。-4)。
解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。-4) 上递减。 2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。0)。 解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。0)。 3.正确的说法有 2 个。 解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。 4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值 的个数是 1. 解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α 可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。因此个数为 1. 1.α=-1,1,3. 由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1. 2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-32021年高中数学核心知识点3.5 幂函数(精讲精析篇)(解析版)新高考
专题3.5幂函数（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 幂函数的概念 一般地，形如y ＝x α(α为常数)的函数叫做幂函数. 【典例1】（2020·广东省高一期末）若函数( ) 2 1 ()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（ ） A ．3 B ．1- C ．3或1- D ．13【答案】C 【解析】 因为函数( ) 2 1 ()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=, 解得1m =-或3m =. 故选:C 【典例2】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知幂函数n y mx =(,)m n R ∈的图象经过点(4,2)， 则m n -=_______． 【答案】1 2 【解析】 由n y mx =是幂函数，可得1m =. 由n y x =的图象经过点(4,2)，可得2=4n ，解得12 n =. 所以11122 m n -=- =.
故答案为： 1 2 . 【特别警示】 形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋1、y ＝x 2＋1均不是幂函数， 【变式探究】 1.（2018·重庆市綦江中学高一期中）若幂函数y x α=的图像过点(4,2)，则y x α =的值域是_________ 【答案】[0,)+∞ 【解析】 由幂函数y x α =的图像过点(4,2)，可得24α=，可得12 α= ， 故12 y x x α ==，由幂函数的性质可得其值域为[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞. 2.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32, (),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩ ，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点， 则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】 ∵()() g x f x a =-有两个零点， ∴() f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =． ①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意． ②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意．
专题20 幂函数(解析版)
专题20 幂函数 题组1幂函数的概念 1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C. 2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（） A.0 B.1 C.2 D.0或1 【答案】B 【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<. 又因为m∈N，所以m＝0或m＝1， 当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意； 当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意. 综上知，m＝1. 3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（） A. B.－1 C.2或－1 D.2 【答案】D 【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数， 所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0， 解得m＝2或－1，且m＞－1， 即m＝2. 故选D. 题组2求幂函数的解析式 4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）
A.f（x）＝3x B.f（x）＝x3 C.f（x）＝x－2 D.f（x）＝（）x 【答案】B 【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，）， 所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3， 故选B. 5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（） A.3 B. C. D. 【答案】C 【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4）， ∴16α＝4，解得α＝， ∴f（x）＝， ∴f（）＝＝. 故选C. 题组3 幂函数的定义域和值域 6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（） A.（－∞，＋∞） B.（－∞，） C.[，＋∞） D.（，＋∞） 【答案】D 【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）. 7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝. 某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质： （1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}. 如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（） A.① B.② C.③ D.④
幂函数的图像性质和应用
幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >〕 负分数指数幂的意义是：m n a -= 〔0a >，m 、n N ∈，且1n >〕 1、 幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
y 0n < 幂函数根本性质 〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕； 〔2〕α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 〔3〕α＜0时，幂函数的图象在区间〔0，+∞〕上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进展讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的根本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横〞，即α＞0〔α≠1〕时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 2、 幂函数的应用 例1、 幂函数n m y x =〔m 、n N ∈，且m 、n 互质〕的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 〔 〕 O * y O * y O * y
幂函数与对数函数的应用题解析
幂函数与对数函数的应用题解析幂函数与对数函数是高中数学中的重要知识点，它们在实际问题的解决中发挥着重要的作用。本文将通过几道应用题的解析，深入探讨幂函数与对数函数的应用。 1. 题目一：某市人口增长问题 某市的人口增长是以每年增加10%的速度递增的。如果现在城市的人口为100万，问经过多少年后，该市的人口将达到200万？ 解析： 假设经过x年后，该市的人口将达到200万。根据题意可得： 100万 ×（1 + 0.1）^x = 200万 化简得： 1.1^x = 2 接下来引入对数函数的概念。以底数为1.1，对数为2的幂函数为对数函数，即： log1.1(2) = x 通过求对数可以求得x的值。使用计算器计算可得： x ≈ 7.272 所以，经过大约7.272年后，该市的人口将达到200万。 2. 题目二：货币贬值问题
某国货币每年贬值20%，现在某商品的价格为5000元，问经过多少年后，该商品的价格将增长到10000元？ 解析： 设经过x年后，该商品的价格将增长到10000元。根据题意可得：5000 ×（1 - 0.2）^x = 10000 化简得： 0.8^x = 2 同样引入对数函数的概念。以底数为0.8，对数为2的幂函数为对数函数，即： log0.8(2) = x 通过求对数可以求得x的值。使用计算器计算可得： x ≈ 6.907 所以，经过大约6.907年后，该商品的价格将增长到10000元。 3. 题目三：物体的声音强度问题 某物体的声音强度（声音的能量流过单位面积的大小）与距离的平方成反比，在距离为2米时，声音强度为120分贝。问距离为4米时，声音的强度是多少分贝？ 解析： 设距离为4米时，声音的强度为x。根据题意可得：
高中数学：幂函数与函数应用
第6讲 幂函数与函数应用 [玩前必备] 1.幂函数 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. [玩转典例] 题型一 幂函数的概念 例1 函数f (x )＝(m 2－m －1)x 23 +-m m 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x ) 的解析式.
[玩转跟踪] 1.已知函数为偶函数，且在上为增函数. 题型二 幂函数的图像 例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±1 2四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( ) A.－2，－12，1 2，2 B.2，12，－1 2，－2 C.－12，－2,2，12 D.2，12，－2，－12 [玩转跟踪] 1.如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A.－1＜n ＜0＜m ＜1 B.n ＜－1,0＜m ＜1 C.－1＜n ＜0，m ＞1 D.n ＜－1，m ＞1 题型三 幂函数的性质 例3 若(2m ＋1)1 2 >(m 2 ＋m －1) 1 2 ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢ ⎡⎭⎪⎫ 5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢ ⎡⎭ ⎪ ⎫5－12，2 例4 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫1321 与⎝⎛⎭⎫142 1 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)0.2541 -与6.254 1；(4)0.20.6与0.30.4. [玩转跟踪] 2 23 ()()m m f x x m -++=∈Z (0,)+∞
幂函数(精讲)(解析版)
3.3 幂函数 【典例精讲】 考点一 幂函数的判断 【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数2 1y x =，2 2y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】因为2 21y x x -= =，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数； 01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数 函数1y =不是幂函数.故选：B .
【一隅三反 】 1．（2019·广东揭阳.高一期末）下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3 y = D ．3(2)y x -=- 【答案】A 【解析】幂函数是y x α =，α∈R ，显然331y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是幂函数. 2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3y =，3 (2) y x -=-都不满足幂函数的定义，所以A 正确．故选：A ． 2．（2019·滦南县第二高级中学高一期中）下列函数是幂函数的是 （ ） A ．2 2y x = B ．3 y x x =+ C ．3x y = D ．1 2 y x = 【答案】D 【解析】形如y x α =的函数称为幂函数，据此只有12 y x =才符合幂函数的定义，故选择D. 考点二 幂函数的三要素 【例2-1】（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知幂函数()a f x k x =⋅的图象过点1,22⎛ ⎝⎭ ， 则k a +=______. 【答案】1.5 【解析】因为函数()a f x k x =⋅是幂函数，所以1k =，又因为幂函数的图象过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以 0.5 11222a ⎛⎫ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭，所以0.5a =所以 1.5k a +=，故答案为：1.5 【例2-2】（2020·全国高一课时练习）（1）函数4 5y x =的定义域是_____，值域是_____； （2）函数4 5 y x -=的定义域是____，值域是_____；
考点11 幂函数(练习)(解析版)
考点11：幂函数 【题组一 幂函数定义辨析】 1．已知函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m = 。 【答案】-1 【解析】函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数， 211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-， 2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意， 1m =-时，()4 1f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故1m =-。 2．函数2()(1)n f x n n x =--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数n =_______ 【答案】﹣1 【解析】函数f （x ）＝（n 2﹣n ﹣1）x n 是幂函数，∴n 2﹣n ﹣1＝1，解得n ＝﹣1或n ＝2； 当n ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣ 1，在x ∈（0，+∞）上是减函数，满足题意； 当n ＝2时，f （x ）＝x 2，在x ∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意． 综上，n ＝﹣1．故答案为：﹣1． 3．2222()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______. 【答案】2 【解析】2222()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-. 当2m =时，()2f x x -=，在(0,)x ∈+∞上是减函数，满足； 当1m =-时，()f x x =，在(0,)x ∈+∞上是增函数，排除. 综上所述：2m =.故答案为：2. 4．若幂函数a y x =的图像过点(28)， ，则a =__________． 【答案】3 【解析】幂函数a y x =的图像过点()28， ，3282,3a a ∴===，故答案为3. 5．幂函数()()22m f x m m x =+在[ )0,+∞上为单调递增的，则m =______.
高考数学复习典型题型专题讲解与练习13 幂函数
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题13 幂函数 题型一 幂函数的定义域和值域 1．函数()() 1 234 21x x y += -的定义域为__________． 【答案】[)2,1- 【解析】函数解析式为()() 12 34 21y x x = = -+，则2010x x +≥⎧⎨->⎩ ，解得2 1x . 因此，函数()() 1 23 4 21x x y += -的定义域为[)2,1-. 故答案为：[)2,1-. 2．讨论函数23 y x =的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性． 【答案】定义域R ；偶函数；图象见解析；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数． 【解析】函数23y x == R =，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在(],0-∞单减，在[0,+∞)上单增. 3．已知幂函数()()21* m m f x x x N +=∈.
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围． 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m 与m ＋1中必定有一个为偶数,可知m 2＋m 为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过 点(2)和m∈N *求出m 的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a 的范围即可. 试题解析: （1）m 为正整数，则：m 2+m ＝m （m +1）为偶数，令m 2+m ＝2k ，则： () f x =[0，+∞），函数在定义域内单调递增． （2）由题意可得：()1 2 2m m -+= 求解关于正整数m 的方程组可得：m ＝1（m ＝﹣2舍去）， 则：()f x f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）脱去f 符号可得： 2﹣a ＞a ﹣1≥0，求解不等式可得实数a 的取值范围是：312 a ≤＜． 4．已知幂函数f (x )=(m -1)22 -42m m x +在区间(0，+∞)上单调递增，函数g (x )=2x -k . （1）求实数m 的值； （2）当x ∈(1，2]时，记ƒ(x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B =A ，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）m =0；（2）[0，1]. 【解析】（1）依题意得(m -1)2=1.∴m =0或m =2. 当m =2时，f (x )=x -2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.
专题9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝1 2 x y ＝x － 1 图象 性质 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R 上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R 上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 R R 值域 [4ac −b 24a ，+∞) (−∞，4ac −b 2 4a ]
单调性 在x ∈(−∞，− b 2a ]上单调递减；在x ∈[− b 2a ，+∞)上单调递增 在x ∈(−∞，−b 2a ]上单调递增；在 x ∈[− b 2a ，+∞)上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b 2a 对称 【题型1 求幂函数的解析式】 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. (2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y ＝x α(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式. 【例1】（2021秋•临渭区期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点（2，8），则f （﹣2）的值为（ ） A ．8 B ．﹣8 C ．4 D ．﹣4 【解题思路】设所求的幂函数为f （x ）＝x a ，由幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8），解得f （x ）＝x 3，由此能求出f （﹣2）的值． 【解答过程】解：设所求的幂函数为f （x ）＝x a ， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8）， ∴f （2）＝2a ＝8，解得a ＝3， ∴f （x ）＝x 3， ∴f （﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：B ． 【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，则f （4）的值为（ ） A ．﹣2 B ．1 C ．2 D ．4 【解题思路】设幂函数的解析式为f （x ）＝x α，代入点可求α的值，从而可求f （4）的值． 【解答过程】解：设幂函数的解析式为f （x ）＝ x α， 因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，所以3α=√3，解得α=1 2． 所以f （x ）=√x ，f （4）=√4=2． 故选：C ． 【变式1-2】（2022春•无锡期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点(2，√2 2)，则f （16）＝（ ）
高考数学专题《幂函数》习题含答案解析
专题3.4 幂函数 1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数 C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数 D ．y = 1 2 x 既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】C 【解析】 根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】 因为1 1x x -= ， 11 =--x x ，所以A 正确； 因为2 2 ()x x -=，所以B 正确； 因为x x -=不恒成立，所以C 不正确； 因为12 y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确. 故选：C. 2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2 y x -=- B ．23 y x =- C ．13 y x =- D ．3y x -= 【答案】B 【解析】 A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除； B: 2 3y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B. 练基础
3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数( ) 2 21 ()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实 数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1或2 D ．2 【答案】D 【解析】 由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即1 2 m >，所以2m =. 故选D. 4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3 ()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( ) A ．()f x 的定义域和值域相等 B ．()f x 的图象关于原点中心对称 C ．()f x 在定义域上是减函数 D ．()f x 是奇函数 【答案】C 【解析】 3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确； 3()-=f x x ，()()3 3()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确； ()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误. 故选：C. 5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B 【解析】 设()f x x α =，依题意可得1()42 α =，解得2α=-， 所以2()f x x -=，因为2 2()() ()f x x x f x ---=-==， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.
专题 幂函数(基础)(解析版)
专题3.5 幂函数 知识点一幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考如何判断一个函数是幂函数？ 知识点二五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y ＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1 定义R R R[0，＋∞){x|x≠0}
域 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0} 奇偶 性 奇偶奇非奇非偶奇 单调性增 在[0，＋∞) 上增，在(－ ∞，0]上减 增增 在(0，＋∞) 上减，在(－ ∞，0)上减 知识点三一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，
按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1】现有下列函数：①3 y x =；② 1()2 x y =；③24y x =；④5 1y x =+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦ (1)x y a a =>，其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数， ∴ ①3 y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件； 而②1()2 x y =、⑦(1)x y a a =>是指数函数，故②⑦不满足条件； 显然，③2 4y x =、④5 1y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤ 不满足条件； 故其中幂函数的个数为2，
高考数学重难点分析：幂函数(题型战法)(解析版)
第二章 函数 2.6.1幂函数（题型战法） 知识梳理 一 幂函数的概念 一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. 二 幂函数的图像与性质 （1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示 （2）五个常见幂函数的性质： 函数 性质 y ＝x 12 y x = y ＝x 2 y ＝x 3 1y x -= 定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,-∞+∞ 值域 R [)0+∞， [)0+∞， R ()(),00,-∞+∞ 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R 上增 [)0+∞， 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R 上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像， 并且图像都过点()1,1. （2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞， 上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞， 上是减函数 题型战法 题型战法一 幂函数的概念
典例1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．21y x =- C ．3y x = D ．2x y = 【答案】C 【解析】 【分析】 由幂函数定义可直接得到结果. 【详解】 形如y x α=的函数为幂函数，则3y x =为幂函数. 故选：C. 变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．3 1y x = D ．2x y = 【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义判断. 【详解】 形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数， 所以，函数3 31=x y x -=为幂函数，函数22y x =、1y x -=-、2x y =均不是幂函数. 故选：C. 变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4- 【答案】B 【解析】 【分析】 设()a f x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得() 2f -的值. 【详解】
突破15 幂函数(重难点突破)(解析版)
突破15 幂函数重难突破 一、基础知识 【知识点一、幂函数】 1．幂函数的概念 一般地，函数(y x α α=是常数）叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的结构特征 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1． 3．幂函数与指数函数的区别与联系 函数 解析式 相同点 不同点 指数函数 (0,1)x y a a a =>≠且 右边都是幂的形式 指数是自变量，底数是常数 幂函数 ()y x αα=∈R 底数是_______，指数是_______ 【知识点二、幂函数的图象与性质】 1．几个常见幂函数的图象与性质 函数 y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x = 图象 定义域 R R R [0,)+∞ {|0}x x ≠ 值域 R [0,)+∞ R [0,)+∞ {|0}y y ≠ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在R 上单调递增 在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增 在R 上单调递增 在[0,)+∞上单 调递增 在(,0)-∞和(0,) +∞上单调递减 过定点 过定点(0,0),(1,1) 过定点(1,1) 【注】幂函数(y x α α=是常数）中，α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同． 2．幂函数(y x αα=是常数）的指数对图象的影响 （1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1 y x -=的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大； （2）当_______时，函数图象向x 轴弯曲，类似于y x = 的图象； （3）当_______时，函数图象向y 轴弯曲，类似于2 y x =的图象，而且逆时针方向指数在增大． 具体如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过（0，0），（1，1） 过（0，0），（1，1） 过（1，1） 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y =x 2 12 y x = 1y x -=、12 y x - = 3．常用结论 （1）幂函数在_______ 上都有定义． （2）幂函数的图象均过定点_______． （3）当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （4）当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （5）幂函数在第四象限无图象．
2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题6：幂函数常考题专练(解析版)
【期末宝典】专题6：幂函数常考题专练（解析版） 一、单选题 1．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A ． 11 a b > B ．a b -> C ．22a b > D ．11 33试卷第2页，共25页 根据幂函数的性质判断． 【精准解析】 由幂函数性质知BC 是奇函数，AD 是偶函数，在(0,)+∞上D 递增，A 递减，因此在(,0)-∞上A 递增，D 递减． 故选：A ． 3．（2021·上海闵行·高一期末）下列函数中，值域为(0,)+∞的是（ ） A ．2y x B ．2x y = C ．ln y x = D ．1 y x x =+ 【标准答案】B 【思路点拨】 利用基本初等函数求值域，对选项逐一判断即得结果. 【精准解析】 A 选项中，2y x 值域为[)0,+∞，不满足题意； B 选项中，2x y =值域为(0,)+∞，满足题意； C 选项中，ln y x =值域为R ，不满足题意； D 选项中，对勾函数1 y x x =+ ，在(],1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，故值域为(][),22,-∞-+∞，不满足题意. 故选：B. 4．（2021·上海徐汇·高一期末）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数1 3 y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
专题24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习
专题24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题（解析版） 幂函数图像及性质分析 1 y x = 12 y x = 2y x = 3y x = y x = 表1 幂函数()y x R αα=∈ α 0α< 0<α 01α<< 1α> 1α= 第一象限性质 减函数 增函数 过点（1，1）后，|α|越大，图像下落的越快 图像是向上凸的 图像是向下凸的 过定点 （1，1） （0，0）,（1，1） 1．已知幂函数()()f x x αα=∈R 的图象过点14,2⎛ ⎫ ⎪⎝⎭ ，则α=（ ） A ．14 - B ．12 - C ． 12 D ． 14 【答案】B 【分析】 代入已知点的坐标可得结论． 【详解】 解：幂函数()()f x x α α=∈R 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 则142α= ，解得：12 α=-， 故选：B. 2．已知幂函数()() 231m f x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（ ） A ．23 - B ．1 C ． 23 D ．1-
【答案】A 【分析】 由幂函数的定义及性质可知2311 0m m m ⎧--=⎨<⎩ 即可满足条件，计算可得解. 【详解】 由幂函数定义，2311m m --=， 解得：2 3 m =-或1m =，又()f x 在定义域内不单调， 所以23 m =-， 故选：A ． 3．已知函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数，则函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,2) D ．(1,2)- 【答案】A 【分析】 先由函数是幂函数，求出1m =，再由对数函数的特征，即可判断定点坐标. 【详解】 因为函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数， 所以211m -=，因此1m =， 所以()log ()2log (1)2a a g x x m x =++=++， 由log (1)0a x +=可得0x =，(0)2g =， 所以函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是(0,2). 故选：A. 4．若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数，则m =（ ） A ．0 B ．1 C ．0或2 D ．1或2 【答案】C 【分析】
2023年新高考数学大一轮复习专题08 幂函数与二次函数(解析版)
专题08 幂函数与二次函数 【考点预测】 1.幂函数的定义 一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①a x 的系数为1； ②a x 的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质： R R R {|0}x x ≥ （1）一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠； （2）顶点式：2 ()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 5．二次函数的图像 二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a =- ，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --. （1）单调性与最值 ①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当
2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，；2max 4()4ac b f x a -=. （2）与x 轴相交的弦长 当240b ac ∆=->时，二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和 22(,0)M x ，1212|||||| M M x x a =-== . 6.二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是 m ，令02 p q x += ： （1）若2b p a - ≤，则(),()m f p M f q ==； （2）若02b p x a <- <，则(),()2b m f M f q a =-=； （3）若02b x q a ≤-<，则(),()2b m f M f p a =-=； （4）若2b q a - ≥，则(),()m f q M f p ==. 【方法技巧与总结】 1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下： ①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出； ②当01a <<时，其图象可类似1 2y x =画出； ③当1a >时，其图象可类似2y x =画出． 2．实系数一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系
