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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§３．6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

【使用说明与预习指导】

1、认真阅读课本第98--103页的内容，认真归纳出98—99页三个表的规律以及100-103页信息技

术应用部分得到的规律，规范填写预习案部分的内容，并熟记基础知识。

2、根据预习到的知识和以前学过的知识，小组合作、讨论完成【探究案】部分的内容，由组长负责，

拿出讨论结果，准备展示、点评。

3、及时整理展示、点评的结果（用双色笔），独立完成【检测案】部分的内容并和组员核对结果。【学习目标】

1.通过观察和类比函数图象，体会三种函数增长的快慢。

2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

3.培养学生数形结合的思想以及分析推理能力【重点难点】

重点：认识指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸，对数增长的含义；难点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。

【预习案】

1、幂函数的图像和性质：函数性质 y x =

y x =

y x -=

定义域值域单调性

奇偶性定点坐标

幂函数的图像一定过，一定不过。

2、指数函数与对数函数的图像和性质：指数函数

对数函数

图像

性质

定义域：定义域：值域：值域：定点坐标：

定点坐标：

当0x >时，，

当0x <时，当1>x 时，，

当10<

单调性：

x y a =的图像与1

()x y a

=的图像关于

对称

log a y x =的图像与1log a

y x =的图像关

于对称

x y a =与log a y x =互为，它们的图像关于对称。

【探究案】

探究1.在左下图中画函数x

y 2=、2

x y =的图像。

0 1 2 3 4 5 x y 2=

3x y =

探究2.在右下图中画函数x

y 3=、3

x y =的图像。

0 1 2 3 4 x y 3=

3x y =

结合上图及课本98—99页、100—103页的内容可得下面的结论：

①在同一坐标系中，指数函数x a y =与幂函数a

x y =有个交点。

②在同一坐标系中，虽然函数(1),log (1),(0)x n

a y a a y x a y x n =>=>=>都是增函数，但是

它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x 的增大，指数函数的增长速度越来越快，会

超过并远远大于幂函数的增长速度，人们常称这种增长为“指数爆炸”，而对数函数的增长速度则会

越来越慢，因此，总会存在一个0x ，使得0x x >时，log n x

a x x a <<恒成立。同理，在同一坐标系中，虽然函数(01),log (01),(0)x n

a y a a y x a y x n =<<=<<=<都是减函数，但是它们的衰减速

度不同，而且不在同一“档次”上，随着x 的增大，指数函数的衰减速度越来越慢，会远远小于幂函数的衰减速度，而对数函数的衰减速度会越来越快，因此，总会存在一个0x ，使得0x x >时，

log n x a x x a >>恒成立。

③若1>a ，0>n 时，当x 足够大时，一定有x x a a n

x log .

探究3.已知⎩

⎨⎧≤>=020

log )(2x x x x f x ，m x g =)(，求m 为何值时，)(x f 与)(x g 的图像有一个交点

何时有两个交点?何时没有交点?

探究4.比较30

2与20

3的大小。

【检测案】

1．函数y 1＝2x 与y 2＝x 2，当x ＞0时，图象的交点个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 2．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( )

A ．y ＝50(x ∈Z )

B ．y ＝1 000x

C ．y ＝0.4·2x －

1 D ．y ＝

100 000

·e x

3．下面对函数x x f 2

1log )(=与x

x g )2

1()(=在区间),0(+∞上的衰减情况说法正确的是（）

A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快

B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢

C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢

D ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越快

４．当2

，log 2x ，的大小关系是( )

A ．2x >x 2>log 2x

B ．x 2>2x >log 2x

C ．2x >log 2x ＞x 2

D ．x 2>log 2x >2x

５．若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 的大小关系是________________．６．试比较函数y ＝x 200，y ＝e x ，y ＝lg x 的增长差异．

７．函数f (x )

＝1.1x

，g (x )＝ln x ＋1，2

1)(x x h =的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，

并比较三个函数的增长差异(以1，e ，a ，b ，c ，d 为分界点)．

精品教学设计3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

精品教学设计《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》设计理念：以建构主义理论为支持，以问题思考 ——实践认知———实验探究————巩固知识为主线，注重新课引入，通过分析比较降次思想,构造商式函数二种方法比较函数增长的快慢更好的掌握这节课的内容教学目标：知识目标：会用二种方法比较函数增长的快慢，明确指数函数增长的快慢特点能力目标：渗透分类、比较、归纳的数学思想情感目标：注重数学知识与实际生活得紧密联系，增强数学的趣味性，提高学生学习数学的兴趣教学重点：函数增长快慢的比较教学难点：降次思想,构造商式函数教学准备：制作ppt,几何画板,学生提前预习教学过程：一、问题思考 1.指数函数x y a = (1a >)，对数函数log a y x =(1a >)和幂函数n y x = (n>0)在区间(0,)+∞上的单调性如何？ 2、对于这三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？二、实践认知观察函数2x y =，100(0)y x x =>，2log y x =的自变量与函数值（取近似值）的对应表，思考这三个函数的增长快慢如何？

三、实验探究利用几何画板画出指数函数、幂函数和对数函数的图象，观察图象比较函数增长的快慢. 1、观察函数2x y =，2(0)y x x =>，2log y x =的图像，这三个函数的增长快慢如何？ 2、观察函数2x y =，2(0)y x x =>的图像，有几个交点？ 3、比较2x y =，3(0)y x x =>增长的快慢. 4、比较2x y =，100(0)y x x =>增长的快慢. 四、降次思想采用降次的方法可以比较函数增长的快慢：对于函数2x y =与100(0)y x x =>，由图象知不便于比较，若分别对函数2x y =，100(0)y x x =>两边取以2为底的对数，则得到函数y x =和2100log y x =，这样就只需比较函数y x =和2100log y x =的增长情况. 五、构造商式函数构造商式函数1002()(0)x h x x x =>，只需观察函数()h x 与1的大小关系. 六、归纳总结若1,0a n >>，那么当x 足够大时，一定有log .x n a a x x >>

必修1示范教案3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标 1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题． 3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入) 国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．思路2.(直接导入) 我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．推进新课新知探究提出问题 ①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性. ②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像. ③结合函数的图像找出其交点坐标. ④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围. ⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果： ①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数． 063

指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本

1．三种函数的增长特点 (1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． (2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快． (3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快． 2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x. [小问题·大思维] 1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立． 2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2. [研一题] [例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x0510********

关于x呈指数型函数变化的变量是________． [自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2 [悟一法] 解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断． [通一类] 1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大； (2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§３．6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【使用说明与预习指导】 1、认真阅读课本第98--103页的内容，认真归纳出98—99页三个表的规律以及100-103页信息技术应用部分得到的规律，规范填写预习案部分的内容，并熟记基础知识。 2、根据预习到的知识和以前学过的知识，小组合作、讨论完成【探究案】部分的内容，由组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。 3、及时整理展示、点评的结果（用双色笔），独立完成【检测案】部分的内容并和组员核对结果。【学习目标】 1.通过观察和类比函数图象，体会三种函数增长的快慢。 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 3.培养学生数形结合的思想以及分析推理能力【重点难点】重点：认识指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸，对数增长的含义；难点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。【预习案】 1、幂函数的图像和性质：函数性质 y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1 y x -= 定义域值域单调性奇偶性定点坐标幂函数的图像一定过，一定不过。 2、指数函数与对数函数的图像和性质：指数函数对数函数图像性质定义域：定义域：值域：值域：定点坐标：定点坐标：当0x >时，，当0x <时，当1>x 时，，当10<

第3章 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标：1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点) [自主预习·探新知] 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题． 1．三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？ [提示]指数函数 2．三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x. 思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x1，n>0，x>x0时，log a x

(1)y ＝x 10比y ＝1.1x 的增长速度更快些．( ) (2)对于任意的x >0，都有2x >log 2x .( ) (3)对于任意的x ，都有2x >x 2.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A ．2x >x 12>lg x B ．2x >lg x >x 12 C ．x 12>2x >lg x D ．x 12>lg x >2x A 3．如图3-6-1所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势．图3-6-1 对数 4．当x >4时，a ＝4x ，b ＝log 4x ，c ＝x 4的大小关系是________. 【导学号：60712318】 a >c >b [合作探究·攻重难] 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1

北师大版(2019)数学必修第一册：4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】 1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。 2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。【教学重难点】 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。(重点) 2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。(难点) 【教学过程】一、基础铺垫 (1)三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。当x>0，n>1时，幂函数y＝x n也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快。思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？ [提示]指数函数 (2)三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x。思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x1，n>0，x>x0时，log a x

(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小。 [解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x。 (2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024， ∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)。 ∴1x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数。 ∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)。【教师小结】函数 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 性质在(0，＋∞)上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同（二）指数、幂、对数比较大小 (1)常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差(商)法。 (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。 (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。 2．建立函数模型解决实际问题【例2】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；

高中数学第三章指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案2 北师大版必修1

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、教学目标： 1、知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性． 2、过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用． 3、情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．二、教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．三、教学程序与环节设计 1、创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣． 2、组织探究——选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异． 3、探索研究——总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告． 4、巩固反思——师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤． 5、作业回馈——强化基本方法，规范基本格式． 6、课外活动——收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．四、教学过程与操作设计（一）、创设情境材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大

幂函数对数函数指数函数增长速度比较

幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0

三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。指数函数随着x的增大而快速增加。例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和 3比1.5和1.1更大。比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论： 1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。 2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。 3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。 4. 当指数和幂函数的指数或幂相等时，它们的增长速度是相等的。例如，y=x^2和y=2^log2(x^2)的增长速度相等。综上所述，我们可以通过分析幂函数、对数函数和指数函数的增长速度来比较它们之间的大小关系。在数学问题中，正确理解三种函数的

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。【知识与能力目标】 1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像； 2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。【过程与方法目标】 1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化； 2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。一、导入部分 [互动过程1] ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教材分析 ◆教学过程 ◆教学目标

复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质．请你画出函数222,,log x x y y x y ===的草图,并观察比较函数图像的变化。你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？二、研探新知，建构概念 [互动过程2]提出问题：当1a >时，指数函数x y a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。当1a >时，指数函数log x a y =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。当0,1x n >>时,幂函数n y x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快。那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数10022,(0),log x x y y x x y ==>= 的函数值（取近似值）的比较, 来体会它们增长的快慢。1．完成下表（借助科学计算器或设计程序通过计算机完成）。 x

高一数学教案第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》北师大版必修1

§6 三种函数增长比较一、教学目标: 1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 2.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用. 3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 二、教学重点、难点： 1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题. 三、学法与教学用具： 1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索. 2．教学用具：多媒体. 四、教学设想：（一）引入实例，创设情景. 教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. （二）互动交流，探求新知. 1.观察数据，体会模型. 教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流. 2.作出图象，描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据. （三）实例运用，巩固提高. 1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流. 2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异. 3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

指数函数幂函数对数函数增长速率

指数函数幂函数对数函数增长速率指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们的增长速率对于数学学习和应用都有重要的意义。本文将从理论和实际应用两个方面，介绍指数函数、幂函数和对数函数的增长速率。一、理论推导 1. 指数函数的增长速率指数函数的一般形式为 $y=a^x$，其中 $a>0$ 且 $a eq1$。当 $a>1$ 时，指数函数是递增的；当 $01$ 时，指数函数的增长速率随着 $x$ 的增大而增大；当 $01$ 时，指数函数的增长速率可用导数表示： $$frac{dy}{dx}=a^xln a$$ 可以看出，当 $x$ 很大时，$frac{dy}{dx}$ 也很大，因此指数函数的增长速率很快。例如，$2^x$ 的增长速率要比 $1.5^x$ 的增长速率快得多。 2. 幂函数的增长速率幂函数的一般形式为 $y=x^a$，其中 $a>0$。幂函数的增长速率与指数函数有些类似，也与幂指数 $a$ 的大小有关。当 $a>1$ 时，幂函数的增长速率随着 $x$ 的增大而增大；当 $01$ 时，幂函数的增长速率可用导数表示：

$$frac{dy}{dx}=ax^{a-1}$$ 可以看出，当 $x$ 很大时，$frac{dy}{dx}$ 的大小与 $a$ 的大小有关。当 $a$ 越大，幂函数的增长速率就越快。例如，$x^2$ 的增长速率要比 $x^{1.5}$ 的增长速率快得多。 3. 对数函数的增长速率对数函数的一般形式为 $y=log_ax$，其中 $a>0$ 且 $a eq1$。对数函数的增长速率与自变量 $x$ 的大小有关。具体而言，当 $x$ 很大时，对数函数的增长速率可用导数表示： $$frac{dy}{dx}=frac{1}{xln a}$$ 可以看出，当 $x$ 很大时，$frac{dy}{dx}$ 的大小与底数 $a$ 的大小有关。当 $a$ 越大，对数函数的增长速率就越小。例如，$log_2x$ 的增长速率要比 $log_{10}x$ 的增长速率快得多。二、实际应用指数函数、幂函数和对数函数在实际应用中都有重要的意义。下面分别介绍它们的应用。 1. 指数函数的应用指数函数在科学、工程、经济等领域都有广泛的应用。例如，在化学反应速率中，指数函数可以用来描述反应速率与反应物浓度的关系；在电子电路中，指数函数可以用来描述电容充电和放电的过程；在经济学中，指数函数可以用来描述人口增长、物价上涨等现象。 2. 幂函数的应用幂函数在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。例如，在牛

高中数学第三章指数函数和对数函数指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础知识素材1

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1．了解指数增长、幂增长、对数增长的意义． 2．能够解决相应的实际问题．三种增长函数模型的比较在区间（0，＋∞)上尽管y＝a x(a＞1），y＝x n（x＞0,n＞1)和y ＝log a x（a＞1）都是________，但它们增长的速度不同，而且不在一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度会越来越____，会超过并远远大于y＝x n（x＞0，n＞0)和y＝log a x（a＞1)的增长速度．由于指数函数值增长非常快,人们常称这种现象为“________"．【做一做1－1】当a＞1时,下列结论： ①指数函数y＝a x,当a越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y＝log a x，当a越大时,其函数值的增长越快； ④对数函数y＝log a x，当a越小时,其函数值的增长越快．其中正确的结论是( ）． A．①③B．①④C．②③D．②④ 【做一做1－2】当x越来越大时，下列函数中,增长速度最快的是( ）． A．y＝2x B．y＝x10 C．y＝lg x D．y

＝10x2 【做一做1－3】当x＞0，n＞1时,幂函数y＝x n是________函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就________．答案：增函数快指数爆炸【做一做1－1】B 【做一做1－2】A 【做一做1－3】增越快如何选择增长型函数描述实际问题？剖析：选择的标准是:指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．题型一比较函数增长的差异【例1】分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况．分析：解答本题时,应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．反思：在同一坐标系内作出y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增减变化情况．如图所示:

(学习指导) 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较Word版含解析

§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标核心素养 1.了解三种函数的增长特征．(重点) 2．初步认识“直线上升”、“指数爆炸”和“对数增长”．(重点) 3．尝试函数模型的简单应用．(重点、难点) 通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养． y ＝a x ()a >1 y ＝log a x ()a >1 y ＝x α()α>0 在()0，＋∞上的增减性增函数图象的变化趋势随x 增大，近似与y 轴平行．随x 增大，近似与x 轴平行． α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快．增长速度 ①随x 增大，y ＝a x 增长速度越来越快，并且当a 越大时，y ＝a x 增长的速度越快． ②随x 增大，y ＝log a x 增长速度越来越慢，并且当a 越大时，y ＝log a x 增长速度越慢． ③当x 足够大时，一定有a x >x α>log a x . 思考：举例说明“指数爆炸”增长的含义？提示：如1个细胞分裂x 次后的数量为y ＝2x ，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x 0，当x >x 0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果． 1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )

A B C D D [设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意得，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象．] 2．下列函数中，增长速度最慢的是( ) A ．y ＝6x B ．y ＝log 6x C ．y ＝x 6 D ．y ＝6x B [对数函数增长的速度越来越慢，故选B.] 3．当x >4时，a ＝4x ，b ＝log 4x ，c ＝x 4的大小关系是________． b < c