指数函数幂函数对数函数当趋于无穷时比较大小

当x→正无穷大时，指数函数比幂函、幂函数比对数函数幂函更快趋向无穷大，证明。

用定义证明，我给个例子，其他状况同理可证设a>1，b>0，则需要证明a^x/x^b趋于无穷或者x^b/a^x趋于0。我们证明后者。取xn为正有理数数列，即需证明对任意的正数c>0，存在N，使得n>N，都有xn^b/a^xnN时成立。证毕

指数、对数、幂函数对比

[ 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： ; 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 ！ 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法：

1. ( 2. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 3. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 4. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 5. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 % 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 | 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. { 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图

对数函数指数函数幂函数

对数的公理化定义 真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零, 底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的;但是,根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等第二,根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立比如,log-2 4^-2 就不等于 -2log-2 4；一个等于4,另一个等于-4 通常我们将以10为底的对数叫常用对数common logarithm,并把 log10N记为lgN;另外,在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数natural logarithm,并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系： 当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN; 由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论： 负数和零没有对数； loga 1=0 loga a=1 a为常数 对数的定义和运算性质 一般地,如果aa大于0,且a不等于1的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数; 底数则要大于0且不为1 真数大于0 对数的运算性质： 当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么： 1logaMN=logaM+logaN; 2logaM/N=logaM-logaN; 3logaM^n=nlogaM n∈R

幂函数与对数函数的性质

幂函数与对数函数的性质 幂函数和对数函数是数学中的两个重要函数，它们在各个领域都有广泛的应用。本文将介绍幂函数和对数函数的相关性质，帮助读者更好地理解和应用它们。 一、幂函数的性质 幂函数是形如y=x^n（n为常数）的函数。下面将介绍幂函数的几个重要性质。 1. 幂函数的图像特点 当n为正整数时，函数图像随着x的增大而增大，呈现上升趋势；当n为负整数时，函数图像随着x的增大而减小，呈现下降趋势；当n 为奇数时，函数图像为关于原点对称，当n为偶数时，函数图像右半部分为关于y轴对称。 2. 幂函数的增减性与奇偶性 当n为正整数时，幂函数为单调递增函数；当n为负整数时，幂函数为单调递减函数；当n为偶数时，幂函数关于y轴为偶函数；当n为奇数时，幂函数关于原点为奇函数。 3. 幂函数的极值点与拐点 幂函数的极值点与拐点的存在与n的奇偶性相关。当n为偶数且大于0时，幂函数存在极小值点和拐点；当n为奇数时，幂函数不存在极值点和拐点。

二、对数函数的性质 对数函数是指数函数的逆运算，表示为y=loga(x)(a>0且a≠1)。下面将介绍对数函数的几个重要性质。 1. 对数函数的定义域与值域 对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集。 2. 对数函数的图像特点 对数函数的图像关于直线y=x对称，y轴是其渐近线。当x趋于0时，对数函数趋于负无穷大；当x趋于正无穷大时，对数函数趋于正无穷大。 3. 对数函数的基本性质 对数函数具有以下基本性质： （1）loga(1) = 0，loga(a) = 1； （2）loga(MN) = loga(M) + loga(N)； （3）loga(M/N) = loga(M) - loga(N)； （4）loga(M^k) = kloga(M)，其中k为实数； （5）loga(a^k) = k。 三、幂函数和对数函数的关系

指数函数 幂函数 对数函数比较大小

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学 和现实生活中都有着重要的应用。在本篇文章中，我们将深入探讨这 三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。通过本文的阅读， 你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。 1. 指数函数 指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x， 其中a为常数且不等于1。指数函数的特点是随着自变量x的增大， 函数值y以指数方式增长或者下降。指数函数在自然科学、工程技术 以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等 都可以使用指数函数来描述。在指数函数中，底数a的大小决定了函 数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之 间时，函数呈现下降趋势。 2. 幂函数 幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。当a为正数时，幂 函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。幂函数在 物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的 物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数 对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。对数函数的一般形式可以表示为 y = loga(x)，其中a为底数。对数函数的特点是能够将幂函数转化为线 性函数，便于进行求解和分析。对数函数在科学领域、信息论以及计 算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都 离不开对数函数的运算。 指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数 学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和 求解。 在我看来，这三种函数之间的关系非常有意思。它们既有着密切的联系，又有着各自的特点和应用。通过深入学习和了解这些函数，我们 可以更好地理解数学世界，也能够更灵活地运用数学知识解决实际问题。 在这篇文章中，我们深入探讨了指数函数、幂函数和对数函数的性质 及比较大小关系。通过逐步介绍每种函数的特点和应用，我们能够更 全面地认识它们，并从中获得更深入的数学启发。希望本文能够为你 对这些函数的理解提供一定的帮助。

幂函数对数函数指数函数增长速度比较

幂函数对数函数指数函数增长速度比较 幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。 一、幂函数的增长速度 幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0

三、指数函数的增长速度 指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。指数函数随着x的增大而快速增加。 例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和 3比1.5和1.1更大。 比较三种函数的增长速度 根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论： 1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢 的是对数函数。 2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函 数快。 例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。 3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指 数函数慢。 例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。 4. 当指数和幂函数的指数或幂相等时，它们的增长速度是相等的。 例如，y=x^2和y=2^log2(x^2)的增长速度相等。 综上所述，我们可以通过分析幂函数、对数函数和指数函数的增长速 度来比较它们之间的大小关系。在数学问题中，正确理解三种函数的

指数函数与一次函数的大小关系

指数函数与一次函数的大小关系 相信大家对指数函数和幂函数并不陌生，作为常用的几大初等函数，在高中课堂上我们已经对它们了解并熟悉。二者当 x 趋于正无穷时都是趋于正无穷的函数，这就让我们产生好奇：哪一个的增长速度更快呢？老师常常会给出二者的图像，并告诉我们：当x很大的时候，指数函数的增长速度远大于幂函数——这直观上很好理解。 f(x)=2^xg(x)=x^2 我们取 x_{0}=10000 ，探究 f(x_{0}) 和 g(x_{0}) 的大小关系：两边取对数： lnf(x_{0})=ln2^{10000}=10000\times{ln2}\approx{6931.47 18} lng(x_{0})=ln10000^2=2\times{ln10000}\approx{18.42} 不难看出 lnf(x_{0})>>lng(x_{0}) ，所以我们有 f(x)>>g(x)(x→+∞）一般地成立. 同时，我们亦可构造 h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^2}{2^x}对其求导函数并探究其单调性. 不难找出某 \tilde{x} 当 x>\tilde{x} 时有 f(x)单调下降，而显然 f(x)>0 ,根据单调收敛原理可以知道 f(x) 存在某个极限，但这并不足以说明 h(x) 的极限就是 0 . 诸如 \lim_{x \rightarrow +∞}{\frac{x^{99999}}{1.00001^x}}=0 这样的结论 是极不平凡的.

那么，一般情况下，如何探究指数函数和幂函数的增长率呢？序列式证明 接下来，我将先从序列出发，引入序列极限的 \epsilon-N 定义来证明结论的一般性，即 \lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{n^\alpha}{c^n}}=0(c>1)\\ 我们设 c=1+\delta(\delta>0) 原式 =\frac{n^\alpha}{(1+\delta)^n}=\frac{n^\alpha}{1+n\del ta+\frac{n(n-1)}{2}\delta^2+\ldots+\delta^n} (二项展开） 首先我们限制 n>[\alpha]+2 ，则必然 \exist k，s.t. k=[\alpha]+2>\alpha \begin{align}原式&<\frac{n^\alpha}{\frac{n(n- 1)\ldots(n-k+1)}{k!}\delta^k}=\frac{k!\cdot n^\alpha}{n(n-1)\ldots(n- k+1)\delta^k}\\&<\frac{k!\cdot n^\alpha}{(n- k+1)^k\cdot \delta^k}=\frac{k!}{\delta^k}\cdot (\frac{n}{n-k+1})^{k-1}\cdot \frac{1}{n- k+1}=\frac{k!}{\delta^k}\cdot \frac{1}{(1-\frac{k- 1}{n})^{k-1}}\cdot \frac{1}{n- k+1}\\&<\frac{k!}{\delta^k}\cdot \frac{1}{(1-\frac{k-1}{k})^{k-1}}\cdot \frac{1}{n-k+1}\end{align} 注意到\frac{k!}{\delta^k}\cdot \frac{1}{(1-\frac{k-1}{k})^{k-1}} 是常数项，不妨暂记为 M .

指数、对数、幂函数对比

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指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是 减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a≠1). 因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x的定义域为(0，+∞)，值域

指数、对数、幂函数对比

指数函数 概念：一般地,函数y=a^x（a＞0,且a≠1）叫做指数函数,个中x是自变量,函数的界说域是R. 留意：⒈指数函数对外形请求严厉,前系数要为1,不然不克不及为指数函数. ⒉指数函数的界说仅是情势界说. 指数函数的图像与性质： 纪律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性. 2.当a＞1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越接近y轴; 当0＜a＜1时,底数越小,图像降低的越快,在y轴的左侧,图像越接近y轴.在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”. 3.四字口诀：“大增小减”.即：当a＞1时,图像在R上是增函数;当0＜a ＜1时,图像在R上是减函数. 4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数. 比较幂式大小的办法： 1.当底数雷同时,则应用指数函数的单调性进行比较; 2.当底数中含有字母时要留意分类评论辩论; 3.当底数不合,指数也不合时,则须要引入中央量进行比较; 4.对多个数进行比较,可用0或1作为中央量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移. 在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移. 对数函数 因为指数函数y=a x在界说域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它消失反函数,

我们把指数函数y=a x (a ＞0,a ≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a ＞0,a ≠1). 因为指数函数y=a x 的界说域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x 的界说域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞). 对数函数与指数函数互为反函数,是以它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质. 为了研讨对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的性质,我们在统一向角坐标系中作出函数 y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图 由草图,再联合指数函数的图像和性质,可以归纳.剖析出对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的图像的特点和性质.见下表. ] 图 象 a ＞1 a ＜1 性 质 (1)x ＞0 (2)当x=1时,y=0 (3)当x ＞1时,y ＞0 0＜x ＜1时,y ＜0 (3)当x ＞1时,y ＜0 0＜x ＜1时,y ＞0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 填补 性质 设y 1=log a x y 2=log b x 个中a ＞1,b ＞1(或0＜a ＜1 0＜b ＜1) 当x ＞1时“底大图低”即若a ＞b 则y 1＞y 2 当0＜x ＜1时“底大图高”即若a ＞b,则y 1＞y 2 比较对数大小的经常应用办法有： (1)若底数为统一常数,则可由对数函数的单调性直接进行断定. (2)若底数为统一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类评论辩论. (3)若底数不合.真数雷同,则可用换底公式化为同底再进行比较.

指数、对数、幂函数对比

指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法： 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x .据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

课时作业21指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是() A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 【解析】画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数 图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)． 【答案】 B 2．若－11，显然y＝a x的图像不符，排除A，B，选D. 【答案】 D 4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10e kt，其中k为常数，t表示时间(单位：

小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为() A．640 B．1 280 C．2 560 D．5 120 【解析】由题意可知，当t＝0时，y＝10；当t＝1时，y ＝10e k＝20，可得e k＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×(e k)7＝1 280. 【答案】 B 5．如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的() 【解析】当h最大时，S为0，h为0时，S最大，排除A， B，当h越接近H时，S减少得越慢，故选C. 【答案】 C 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________． 【解析】∵a＝0.32<1<20.3＝c，∴c>a>0. 又∵b＝log20.3a>b. 【答案】c>a>b 7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________． 【解析】在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x 的图像，如图所示，

指数、对数、幂函数对比

指数函数 概念:一般地,函数y=a^x(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x就是自变量,函数得定义域就是R。 注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。 ⒉指数函数得定义仅就是形式定义。 指数函数得图像与性质: 规律:1、当两个指数函数中得a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。 2、当a＞1时,底数越大,图像上升得越快,在y轴得右侧,图像越靠近y轴; 当0＜a＜1时,底数越小,图像下降得越快,在y轴得左侧,图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。

3、四字口诀:“大增小减”。即:当a ＞1时,图像在R 上就是增函数;当0＜a ＜1时,图像在R 上就是减函数。 4、 指数函数既不就是奇函数也不就是偶函数。 比较幂式大小得方法: 1. 当底数相同时,则利用指数函数得单调性进行比较; 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论; 3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较; 4. 对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较 底数得平移: 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。 对数函数 1、对数函数得概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞,+∞)上就是单调函数,所以它存在反函数, 我们把指数函数y=a x (a ＞0,a ≠1)得反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a ＞0,a ≠1)、 因为指数函数y=a x 得定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x 得定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)、 2、对数函数得图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数,因此它们得图像对称于直线y=x 、 据此即可以画出对数函数得图像,并推知它得性质、 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)得性质,我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 得草图

指数、对数、幂函数对比

指数、对数、幂函数对比

指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上 是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a≠1). 因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本

1．三种函数的增长特点 (1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． (2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快． (3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快． 2．三种函数的增长比较 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a ＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x. [小问题·大思维] 1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？ 提示：结合图像知一定成立． 2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？ 提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2. [研一题] [例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 0510******** y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108 y35305580105130155 y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是________． [自主解答]以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于