新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 42 双曲线

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习

考点知识总结42 双曲线

高考 概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度

考纲 研读

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简

单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想

一、基础小题

1．已知双曲线x 2m 2＋16－y 2

4m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为

( )

A ．±54

B ．±45 C.±53 D ．±

35 答案 D

解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±

35.故选D.

2．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨

迹方程是( )

A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 2

9＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 2

16＝1(x ≥3) 答案 D

解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2

＝c 2

－a 2

＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 2

16＝1(x ≥3)．故选D.

3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )

A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 2

20＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 2

80＝1 答案 A

解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的焦距为10， ∴

c ＝5＝a 2＋b 2.①

又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2b

a ＝1，即a ＝2

b .②

由①②，解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 2

5＝1.故选A.

4．设双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的

一条渐近线于另一点A (O 为坐标原点)，且|OA |＝2|AF |，则双曲线C 的离心率e 为( )

A.5 B ．5

2 C.2 D ．2 答案 B

解析 由题意可得tan ∠AOF ＝|AF ||OA |＝|AF |2|AF |＝12，渐近线方程为y ＝±b a x ，∴

b a ＝12，e 2

＝c 2a 2＝b 2＋a 2

a 2＝a 24＋a 2

a 2＝54，故e ＝5

2.故选B.

5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )

A ．2

B ．4 C.6 D ．8 答案 B

解析 由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.

6．(多选)已知曲线C 的方程为x 2k 2－2－y 26－k ＝1，则下列结论正确的是( )

A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为4＋15

B ．当k ＝2时，曲线

C 为双曲线，其离心率为3

C ．对任意实数k ，曲线C 都不可能为焦点在y 轴上的双曲线

D ．当k ＝3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9相切

答案 BC

解析 对于A ，当k ＝8时，曲线C 的方程为x 262＋y 2

2＝1，该曲线为椭圆，焦距2c ＝262－2＝415，A 错误；对于B ，当k ＝2时，曲线C 的方程为x 22－y 2

4＝1，该曲线为双曲线，则a ＝2，c ＝6，其离心率e ＝c

a ＝3，B 正确；对于C ，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧

6－k <0，

k 2－2<0，不等式组无解，故不存在实数k 使得曲线C 为焦点

在y 轴上的双曲线，C 正确；对于D ，当k ＝3时，曲线C 的方程为x 27－y 2

3＝1，该曲线

为双曲线，其渐近线方程为y ＝±21

7x ，则圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心到渐近线的距离d ＝|±421|21＋49＝4310＝230

5≠3，所以双曲线C 的渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9不相切，D 错

误．故选BC.

7．(多选)已知动点P 在双曲线C ：x 2

－y 2

3＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，

F 2，下列结论正确的是( )

A ．C 的离心率为2

B ．

C 的渐近线方程为y ＝±3

3

x

C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值

D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2

|2的最大值为1

4

答案 AC

解析 对于双曲线C ：x 2

－y 2

3＝1，a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线C 的离心率为

e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，A 正确，B 错误；设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20－y 2

03

＝1，双曲线C 的两条渐近线方程分别为x －33y ＝0和x ＋3

3y ＝0，则点P 到两条渐近线的距离之积为⎪

⎪⎪⎪⎪⎪x 0－33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

－332·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x 20－y 20343＝34，C 正确；当动点P 在双曲线

C 的左支上时，|PF 1|≥c －a ＝1，|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝|PF 1|＋2，|PF 1|

|PF 2

|2＝

|PF 1|

(|PF 1|＋2)2

＝

|PF 1|

|PF 1|2＋4＋4|PF 1|

＝

1|PF 1|＋4

|PF 1

|＋4

≤12

|PF 1|·

4

|PF 1|＋4

＝1

8，当且仅当|PF 1|＝2时，等号

成立，所以|PF 1||PF 2

|2的最大值为1

8，D 错误．故选AC.

8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 2

20＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离为9，则点P 到焦点F 2的距离为________．

答案 17

解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17.

解法二：若P 在右支上，则|PF 1|≥a ＋c ＝4＋6＝10>9，∴P 在左支上．∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17.

9．直线y ＝k (x ＋6)(k >0)与双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)及其渐近线从左至右依次

交于点A ，B ，C ，D ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为4，则△F 2CD 与△F 1AB 的面积之比为________．

答案 2

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2a 2－y

2b

2＝1，

y ＝k (x ＋6)，

得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2

b 2x 2－12k 2x

b 2－1－36k 2b 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2a 2－y 2b 2＝0，y ＝k (x ＋6)，

得

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2x b 2－36k

2

b 2＝0，由以上两式可知，x A ＋x D ＝x B ＋x C ，故AD ，BC 具有相同

的中点，故|AB |＝|CD |，又直线y ＝k (x ＋6)过定点G (－6,0)，如图，过F 1，F 2作直线y ＝k (x ＋6)的垂线，垂足分别为N ，M ，

由焦距为4可得F 1(－2，0)，F 2(2,0)，则|GF 2|＝2|GF 1|.所以S △F 2CD S △F 1AB

＝1

2|CD |·|MF 2|12|AB |·|NF 1|＝|GF 2|

|GF 1|

＝2.

二、高考小题

10．(2022·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )

A ．x 2

－y 23＝1 B ．x 23－y 2

＝1

C ．x 2－3y 23＝1

D ．3x

23－y 2＝1

答案 A

解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c 2－a 2

＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1

a 2＝1，解得a ＝1，故

b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2

－y 2

3＝1.故选A.

11．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )

A.72 B ．13

2 C.7 D ．1

3 答案 A

解析 由|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即(2c )2＝(3a )2＋a 2－2×3a ×a ×cos60°，得4c 2＝7a 2，所以C 的离心率e ＝c a ＝72.故选A.

12．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |＝2|AB |.则双曲线的离心率为( )

A.2 B ． 3 C.2 D ．3 答案 A

解析 设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线为x ＝－c ，令x ＝－c ，则c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2

a ，所以|AB |

＝2b 2a ，又因为双曲线的渐近线方程为y ＝±

b a x ，所以|CD |＝2b

c a ，所以2bc a ＝22b 2a ，即c ＝2b ，所以a 2＝c 2－b 2＝12c 2，所以双曲线的离心率e ＝c

a ＝ 2.故选A.

13．(2022·浙江高考)已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )＝ax 2＋b (x ∈R )．若f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()

A ．直线和圆

B ．直线和椭圆

C ．直线和双曲线

D ．直线和抛物线 答案 C

解析 因为函数f (x )＝ax 2＋b ，所以f (s －t )＝a (s －t )2＋b ，f (s )＝as 2＋b ，f (s ＋t )＝a (s ＋t )2＋b .因为f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，所以[f (s )]2＝f (s －t )f (s ＋t )，即(as 2＋b )2＝[a (s －t )2＋b ]·[a (s ＋t )2＋b ]，化简得－2a 2s 2t 2＋a 2t 4＋2abt 2＝0，得t ＝0或2as 2－at 2＝2b ，即t ＝0或as 2b －at 2

2b ＝1，易知点(s ，t )的轨迹是直线和双曲线．故选C.

14．(2022·天津高考)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )

A.x 24－y 24＝1 B ．x 2

－y 24＝1

C.x 24－y 2

＝1 D ．x 2－y 2＝1 答案 D

解析 由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l 的斜率为－b ，又双曲线的渐近线的方程为y ＝±b a x ，所以－b ＝－b a ，－b ×

b

a ＝－1.因为a ＞0，

b ＞0，所以a ＝1，b ＝1.故选D.

15．(2022·全国Ⅲ卷)设双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )

A ．1

B ．2 C.4 D ．8 答案 A

解析 ∵c

a ＝5，∴c ＝5a ，根据双曲线的定义可得||F 1P |－|F 2P ||＝2a ，∵S △PF 1F 2＝1

2|F 1P |·|F 2P |＝4，∴|F 1P |·|F 2P |＝8.∵F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝(2c )2，∴(|F 1P |－|F 2P |)2＋2|F 1P |·|F 2P |＝4c 2，即(2a )2＋2×8＝4(5a )2，解得a ＝1.故选A.

16．(2022·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )

A ．4

B ．8 C.16 D ．32 答案 B

解析 ∵直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，

E 两点，双曲线的渐近线方程是y ＝±

b

a x ，不妨设D 在第一象限，E 在第四象限，联立⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝a ，y ＝b a

x ，

解得⎩⎨⎧

x ＝a ，y ＝b .故D (a ，b )．联立⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝a ，

y ＝－b

a x ，解得⎩⎨⎧

x ＝a ，

y ＝－b .

故E (a ，－b )．∴|ED |

＝2b .∴△ODE 的面积为S △ODE ＝1

2a ×2b ＝ab ＝8.∵双曲线的焦距为2c ＝2a 2＋b 2≥22ab ＝216＝8，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，∴C 的焦距的最小值为8.故选B.

17．(2022·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )

A.2 B ． 3 C.2 D ． 5 答案 A

解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝

c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

c 22＝a 2，故c a ＝2，

即e ＝ 2.故选A.

18．(2022·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 24－y 2

2＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )

A.324 B ．32

2 C.22 D ．

3 2 答案 A

解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝2

2x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝3

2，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝32

4.故选A.

19．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 23－y 2

＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )

A.3

2 B ．

3 C.23 D ．

4 答案 B

解析 因为双曲线的一条渐近线为y ＝33x ，所以tan ∠FON ＝3

3，所以∠FON ＝30°，∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是|FN |＝|OF |＝2，|FM |＝1

2|OF |＝1，所以|MN |＝3.故选B.

20．(2022·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )

A.5 B ．2 C.3 D ． 2 答案 C

解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a .在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2

|＝

b

c ，∵在△PF 1F 2中，

cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|2

2|PF 2||F 1F 2|

＝b c ，

∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c

⇒c 2

＝3a 2

，∴e ＝ 3.故选C.

21．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂

直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 2

4＝1

C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 2

3＝1 答案 C

解析 解法一：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2

＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2

＝3a 2

，∴c 2

＝a 2

＋b 2

＝4a 2

，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2

a 2＝3，∴

渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |

2＝

23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋3

2a ＝6，解得a ＝3，∴b 2

＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 2

9＝1.故选C.

解法二：如图，设双曲线的右焦点为F (c,0)，一条渐近线为y ＝b

a x ，则F 到该渐近线的距离d ＝

|bc |

a 2＋b

2

＝b ，又d 1＋d 2＝6，由梯形中位线可知2d ＝d 1＋d 2，即2b ＝6，b ＝3，∵双曲线离心率为2，∴e ＝c 2a 2＝

a 2＋

b 2a 2＝2，∴a 2

＝3.∴双曲线的方程为x 23－

y 2

9＝1.故选C.

22．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．

答案 y ＝±3x

解析 因为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝

c 2a 2＝

a 2＋

b 2a 2＝

2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±

b

a x ＝±3x .

23．(2022·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2

＝1(m >0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C 的焦距为________．

答案 4

解析 双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±1m x ，即x ±my ＝0，又双曲线的一条

渐近线为3x ＋my ＝0，即x ＋m

3y ＝0，对比两式可得m ＝3.设双曲线的实半轴长为a ，

虚半轴长为b ，半焦距为c ，则有a 2＝m ＝3，b 2＝1，所以双曲线的焦距2c ＝2a 2＋b 2＝4.

24．(2022·北京高考)已知双曲线C ：x 26－y 2

3＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．

答案 (3,0)3

解析 在双曲线C 中，a ＝6，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝3，则双曲线C 的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2

2x ，即x ±2y ＝0，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为

3

1＋2

＝ 3. 25．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →

＝0，则C 的离心率为________．

答案 2

解析 解法一：由F 1A →＝AB →

，得A 为F 1B 的中点．

又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .

又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形． 如图1所示，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .

∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴b

a ＝3，

∴离心率e ＝c

a ＝ 1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b a 2＝2. 解法二：∵F 1B →·F 2B →

＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .

如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b

a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝

b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又F 1A →＝AB →

，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a

，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2.

三、模拟小题

26．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 23－y 2

＝1的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为( )

A ．±1

B ．±2 C.±3 D ．±2 答案 C

解析 由题设，渐近线为y ＝±33x ，不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 0，33x 0，而F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴

F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2，33x 0，F 2P →＝⎝

⎛⎭⎪⎫x 0－2，33x 0，又F 1P →·F 2P →＝x 2

0－4＋x 203＝0，∴x 0＝±3.故选

C.

27．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF ⊥AF 时满足|AF |>2|BF |，则双曲线离心率e 的取值范围是( )

A ．1

B ．1

2

解析 设双曲线半焦距为c ，因BF ⊥AF ，则由⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝c ，x 2a 2－y 2

b 2

＝1，得|BF |＝|y |＝b 2

a ，而|AF |

＝a ＋c ，于是得a ＋c >2·b 2a ，即a ＋c >2·c 2－a 2a ，整理得a >23c ，从而有e ＝

c a <3

2，又e >1，所以双曲线离心率e 的取值范围是1

2.故选B.

28．(2022·湖北黄石高三上调研)P 为双曲线x 2－y 2＝1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF

→的最小值为() A ．3 B ．4 C.5 D ．9 答案 C

解析 如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r ＝2，PE →·PF →＝(PC →＋CE →)·(PC →＋CF →)＝(PC →

＋CE →)·(PC →－CE →)＝|PC →|2－|CE →|2＝|PC →|2－4，则当点P 位于双曲线左支的顶点时，|PC →|2－4最小，即PE →·PF →最小．此时PE →·PF

→的最小值为(1＋2)2－4＝5.故选C.

29．(2022·重庆实验外国语学校高三上入学考试)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |＝2|FR |，则E 的离心率为( )

A.174 B ．173 C.214 D ．213 答案 B

解析 如图，令双曲线E 的左焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，RF ′，由对称性可知，点O 是线段PQ 的中点，则四边形PFQF ′是平行四边形，

而QF ⊥FR ，于是有▱PFQF ′是矩形，设|FR |＝m ，则|PF ′|＝|FQ |＝2m ，|PF |＝2m －2a ，|RF ′|＝m ＋2a ，|PR |＝3m －2a ，在Rt △F ′PR 中，(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝4a 3或m ＝0(舍去)，从而有|PF ′|＝8a 3，|PF |＝2a 3，Rt △F ′PF 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

2a 32

＝4c 2

，整理得c 2a 2＝179，e ＝c a ＝173，所以双曲线E 的离心率为17

3

.故选B.

30．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2

3－y 2＝1的两个焦点，点M 在直线x －y ＋3＝0上，则|MF 1|＋|MF 2|的最小值为( )

A ．213

B ．6 C.26 D ．5 答案 C

解析 由双曲线C ：x 23－y 2

＝1可得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，可得c ＝2，

所以F 1(－2，0)，F 2(2,0)，设点F 2(2,0)关于x －y ＋3＝0对称的点为P (m ，n )，由

⎩⎪⎨⎪⎧

m ＋22－n 2＋3＝0，n m －2＝－1，

可得⎩⎨⎧

m ＝－3，

n ＝5，

所以P (－3，5)，所以|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋

|MP |≥|PF 1|，当且仅当P ，M ，F 1三点共线时等号成立，|PF 1|＝[－3－(－2)]2＋(5－0)2＝26，所以|MF 1|＋|MF 2|的最小值为26，故选C.

31．(多选)(2022·辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO

→＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则() A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0 B ．双曲线C 的离心率为13

2 C ．|OE

→|＝1 D ．△OMN 的面积为6 答案 ABD

解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO

→＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 42 双曲线

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 考点知识总结42 双曲线 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度 考纲 研读 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简 单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想 一、基础小题 1．已知双曲线x 2m 2＋16－y 2 4m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为 ( ) A ．±54 B ．±45 C.±53 D ．± 35 答案 D 解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝± 35.故选D. 2．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨

迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 2 9＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 答案 D 解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2 ＝c 2 －a 2 ＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)．故选D. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 2 20＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 2 80＝1 答案 A 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的焦距为10， ∴ c ＝5＝a 2＋b 2.① 又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2b a ＝1，即a ＝2 b .② 由①②，解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 2 5＝1.故选A. 4．设双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的

2021年高考数学一轮复习双曲线的定义及其几何性质教学案

2021年高考数学一轮复习双曲线的定义及其几何性质教学案 一．考点要求： 内 容 要 求 A B C 圆锥曲线与方程 双曲线的标准方程与几何性质 √ 学习目标：了解双曲线的定义；了解双曲线的标准方程；了解双曲线的几何性质。 二．知识点： 2．方程(1) 标准方程：，焦点在 轴上；，焦点在 轴上．其中： ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式： 。 3．双曲线的几何性质(对进行讨论) (1) 范围 (2) 对称性 (3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ． (4) 离心率= ，且 ，越大，双曲线开口越 ，越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ． 三．课前热身： 1． 双曲线方程：，那么k 的范围是 。 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________． 3．已知双曲线的离心率为2，则m 的值为 。 4．设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________． 5．过双曲线的左焦点有一条弦PQ 交左支于PQ 点，若PQ =7，是双曲线的右焦点，则的周长是 。 6．设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 。 四．典型例题： 例1．根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5． (2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)． (3)与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。

(4)已知双曲线过平面上的两点A （），B （4，3）。 例2．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点,且=，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。 求这两曲线方程。 若P 为这两曲线的一个交点，求。 例3．已知双曲线的两条渐近线的夹角（包含双曲线的角）为，则离心率为 。 变式1：已知双曲线为标准方程，且它的一渐近线的倾斜角为，则离心率为 。 变式2：已知双曲线为标准方程，它的离心率为，则它的渐近线方程为 。 例4．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 分别是双曲线x 2－y 23 ＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin B sin C 的值是________． （2）设F 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1、l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1、l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与FA →同向，则双曲 线的离心率e 的大小为________． 五．课堂小结： 六．感悟反思： 1．若双曲线经过点A （0，2），且焦点为，则它的离心率为 。 2．已知双曲线的离心率为，则n 为 。 3．已知双曲线的焦点在坐标轴上且一个焦点在直线5x-2y+20=0上，两焦点关于原点对称，且e=，则双曲线方程为 。 4．设P 是双曲线x 2a 2－y 29 ＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________. 七、千思百练： 1．中心在原点，虚轴长为10，且以直线为渐近线的双曲线方程 。 2．过双曲线（a>0,b>0）的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN

2020届高考数学(理)一轮复习讲练测专题42直线的倾斜角与斜率、直线的方程(教学案)Word版含解析

专题42直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小 写字母k 表示，即k ＝tan__α； ②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1 x 2－x 1 ． 2．直线方程的五种形式 3.

若点P 1 ，P 2 的坐标分别为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )，线段P 1P 2 的中点M 的坐标为(x ，y )，则?????x ＝x 1＋x 22 ， y ＝y 1 ＋y 2 2， 此公式为 线段P 1P 2的中点坐标公式． 高频考点一 直线的倾斜角与斜率 例1、(1)直线2x cos α－y －3＝0? ? ? ??α∈??????π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.??????π6，π3 B.??????π4，π3 C.?? ?? ??π4，π2 D.?? ?? ??π4，2π3 (2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________. 又θ∈[0，π)，所以θ∈??????π4，π3， 即倾斜角的取值范围是???? ??π4，π3. (2)如图，∵k AP ＝1－0 2－1 ＝1， k BP ＝ 3－0 0－1 ＝－3， ∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)

2019届高考数学一轮复习：《双曲线》教学案(含解析)

双_曲_线 [知识能否忆起] 1．双曲线的定义 平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和几何性质 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.? ????－22，0 B.? ? ???－52，0 C.? ?? ??－ 62，0 D.()－3，0

解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2 －y 2 12 ＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2 ＝32，c ＝62. ∴左焦点坐标为? ?? ??－ 62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2 a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( ) A.25 5 B.32 C.23 3 D ．2 解析：选C 依题意得a 2 ＋1＝4，a 2 ＝3， 故e ＝ 2a 2 ＝2 3 ＝23 3. 3．设F 1，F 2是双曲线x 2 －y 2 24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等 于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48 解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝1 2 ×6×8＝24. 4．双曲线x 2 a 2－y 2 ＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________． 解析：由题意知a 2 ＋1 a ＝ 1＋? ?? ??1a 2 ＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x±y＝0，即y ＝±3 x. 答案：y ＝±3x 5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k|·e＝________. 解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支， ∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k|＝4 3. ∴|k|·e＝43×54＝5 3. 答案：5 3 1.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，而在双曲线中c 2 ＝a 2 ＋b 2 .双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)． 2．渐近线与离心率：

2021届新高考数学一轮专题复习(新高考专版)第42讲 双曲线(解析版)

第42讲双曲线 一、考情分析 1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程； 2、知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 二、知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若ac时，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a ， b ， c 的关系 c 2＝a 2＋b 2 [微点提醒] 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a . 2.离心率e ＝c a ＝a 2＋ b 2a ＝ 1＋b 2a 2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 三、 经典例题 考点一 双曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.45 (2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1 |·|PF 2 | ＝3 4. (2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，

2019-2020学年高考数学一轮复习-双曲线的标准方程教案

2019-2020学年高考数学一轮复习 双曲线的标准方程教案 教学目标： 1.掌握双曲线的定义理解双曲线的标准方程的推导思想及其结构； 2.能正确应用a ,b ,c 的关系求双曲线的标准方程. 教学重点:双曲线的标准方程及其应用 教学过程: 一. 复习提问: 1. 复习椭圆的定义,焦点,焦距及标准方程的概念 2. 椭圆的标准方程中,,,a b c 的关系如何? 二. 新课引入: 问题:如果把椭圆定义中“平面上到两个定点的距离的和”改为“平面上到两个定点的距离的差”，则结论如何？ 练习：已知两点()()125,0,5,0F F -，求到它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程 三．新课 1.双曲线的定义： 定义：平面上与两个定点12,F F 的距离的差的是非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。 问题：（1）将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹是____________________ （2）如果常数等于0，动点的轨迹是_____________________________ （3）将定义中的“小于”变为“等于”，动点轨迹___________________ （4）将定义中的“小于”变为“大于”，动点轨迹______________________ 定义可简写为：()12122,2,022FF c PF PF a a c =-=<< 2.双曲线的标准方程的推导： 当焦点在x 轴上时： 强调：（1）222 c a b =-（2）方程()22 2210,0x y a b a b -=>>叫做双曲线的标准方程 当焦点在y 轴上时标准方程是什么？

(强化训练)2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-双曲线的标准方程及性质(含答案)

双曲线的标准方程及性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.已知双曲线的离心率为，则的值为（） A. 1 B. C. 1或 D. -1 2.设,分别为曲线:+=1的左、右焦点,P是曲线:-=1与的一个交点, 则的值是( ) A. B. C. D. - 3.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，的张角为， 椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（） A. B. C. D. 4.已如双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，点P 是C的右支上一点，且•=0，∠PF1F2=，则双曲线C的方程为（）. A. B. C. D. 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为、,M、N为双曲线一条渐近线 上的两点,A为双曲线的右顶点,若四边形为矩形,且MAN=,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C. D. 6.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统 一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲

线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线.现有方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（） A. （0，1） B. （1，+∞） C. （0，5） D. （5，+∞） 7.设O为坐标原点，是双曲线的左,右焦点，若在双曲线上 存在点，满足，,则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 8.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,线段 的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为 ( ) A. B. 3 C. 6 D. 二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求） 9.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为,,右顶点为A,M为OA的中点,P 为双曲线C右支上一点且,且=,则（） A. C的离心率为2 B. C的渐近线方程为x y=0 C. PM平分 D. =+ 三、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x-y+1=0 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为． 11.已知F1，F2是双曲线C：-y2=1（a＞0）的左、右焦点，点P是双曲线C上的任意一点 （不是顶点），过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为H，O是坐标原点．若|F1F2|=6|OH|， 则双曲线C的方程为． 12.已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，若点F2关于双曲线 C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为________． 13.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点， 且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围 为 .

2020届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课时作业理(含解析)新人教A版

第4节 双曲线 课时作业 基础对点练(时间：30分钟) 1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2 －10x ＝0的圆心重合，且 双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( ) (A)x 25－y 220＝1 (B)x 225－y 2 20＝1 (C)x 220－y 2 5 ＝1 (D)x 220－y 2 25 ＝1 A 解析：因为圆x 2 ＋y 2 －10x ＝0的圆心为(5,0)，所以c ＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a ＝5，b ＝25，故选A. 2．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( ) (A) 2 (B)2 (C)1＋ 2 (D)2＋ 2 C 解析：由已知得b 2a ＝2c ，即c 2－2ac －a 2＝0，所以e 2 －2e －1＝0，解得e ＝1±2， 又e ＞1，所以e ＝1＋2，故选C. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上， 则C 的方程为( ) (A)x 220－y 2 5＝1 (B)x 25－y 2 20＝1 (C)x 2 80－y 220 ＝1 (D)x 220－y 2 80 ＝1 A 解析：依题意⎩⎪⎨⎪ ⎧ a 2 ＋b 2 ＝25，1＝b a ×2， 解得⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 2 ＝20， b 2 ＝5， ∴双曲线C 的方程为x 220－y 2 5 ＝1.故选A.

年高考第一轮复习数学.双曲线

8.2 双曲线 定义 1.到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （＞1）的点的轨迹 方程 1. 22a x －22b y =1，c =2 2b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） 2.22a y －22b x =1，c =2 2b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 性质 H ：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） 1.范围：|x |≥a ，y ∈R 2.对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 3.顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） 4.渐近线：y = a b x ，y =－a b x 5.离心率：e =a c ∈（1，+∞） 6.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2 7.焦半径：P （x ，y ）∈H ， P 在右支上， r 1=|PF 1|=ex +a ， r 2=|PF 2|=ex －a ； P 在左支上， r 1=|PF 1|=－（ex +a ）， r 2=|PF 2|=－（ex －a ） 对于焦点在y 轴上的双曲线22a y －22 b x =1（a ＞0，b ＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？ ●点击双基 1.（2004年春季北京）双曲线42 x －9 2y =1的渐近线方程是 A.y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±9 4 x 解析：由双曲线方程可得焦点在x 轴上，a =2，b =3. ∴渐近线方程为y =±a b x =±23 x . 答案：A 2.过点（2，－2）且与双曲线2 2 x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是

第06讲 双曲线 (精讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习

第06讲 双曲线 (精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：双曲线的定义及其应用 题型二：双曲线的标准方程 题型三：双曲线的简单几何性质 角度1：渐近线 角度2：离心率 题型四：与双曲线有关的最值和范围问题 第四部分：高考真题感悟 知识点一：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 12||F F )的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小. (1)若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支; (2)若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支. 知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质

标准方程 22 22 1x y a b -=（0,0a b >>） 22 22 1y x a b -=（0,0a b >>） 图形 性质 范围 x a ≥或x a ≤- y a ≤-或y a ≥ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 1(,0)A a -，2(,0)A a 1(0,)A a -,2(0,)A a 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 c e a = ，(1,)e ∈+∞， ,,a b c 间的关系 222c a b =+ 122 22=-b y a x （0a >，0b >）当a b =时称双曲线为等轴双曲线 ①a b =； ②离心率2= e ； ③两渐近线互相垂直，分别为y x =±； ④等轴双曲线的方程λ=-2 2 y x ，0λ≠； 知识点四：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±= 2、若双曲线方程为 （0a >，0b >） ⇒渐近线方程：22 220y x a b -= a y x b =± 3、若渐近线方程为n y x m =±，则双曲线方程可设为22 22(0)x y m n λλ-=≠， 4、若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为λ=-22 22b y a x （0>λ， 焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析) 本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。修正后的文章如下： 研究目标： 1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。 2.理解数形结合的思想。 3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。 一、单选题 1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。$1$ B。$\frac{1}{2}$ C。$\frac{1}{3}$ D。$\frac{1}{4}$

答案】B 解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。 点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。 2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点 $P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则 $\frac{b^2}{a^2}$ 的值为： A。$1$ B。$\frac{1}{2}$ C。$\frac{1}{3}$ D。$\frac{1}{4}$ 答案】D

解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求 $\frac{b^2}{a^2}$。 点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。双曲线的通径为 $2a$。 3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴， $OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为： A。$\frac{\sqrt{3}}{2}$ B。$\frac{\sqrt{2}}{2}$ C。$\frac{1}{2}$ D。$\frac{\sqrt{5}}{4}$ 答案】D

2020届高三一轮数学复习专题：双曲线的相关知识点和题型

考点一：双曲线定义及标准方程 双曲线的定义 1．平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0； (1)当2a＜2c时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝2c时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a＞2c时，P点不存在． 2．双曲线标准方程 (1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)． (2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2 a2－ x2 b2＝1(a>0，b>0)． 【重点解法】双曲线方程的几种常见设法 (1)与双曲线x2 a2－ y2 b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2－ y2 b2＝λ(λ≠0)． (2)若双曲线的渐近线方程为y＝±n m x，则双曲线方程可设为 x2 m2－ y2 n2＝λ(λ≠0) 或n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x2 a2－ y2 b2＝1共焦点的双曲线方程可设为 x2 a2－k－ y2 b2＋k＝1(－ b2

(5)与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为 x2 a2－λ＋ y2 b2－λ＝ 1(b2<λ

2020高考数学理科大一轮复习导学案《双曲线》含答案

第六节双曲线 知识点一双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距． 1．判断正误 (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×) 2．设P是双曲线x2 16－y2 20＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(B) A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对

解析：由题意知|PF1|＝9

2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.

3．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 2 5－k ＝1，那么k 的范围是( D ) A ．k >5 B ．25 解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－25. 4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：解法1：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以 b ＝ c 2－a 2 ＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A. 解法2：由e ＝c a ＝ 1＋(b a )2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线 方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A. 5．(2019·合肥市质量检测)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于62.

高三数学第一轮复习双曲线苏教文知识精讲

高三数学第一轮复习：双曲线苏教版（文） 【本讲教育信息】 一、教学内容： 双曲线 高考要求： 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 二、知识要点 1、双曲线的两种定义 （1）平面内与两定点F 1，F 2的 常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线． 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ． ②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． （2）平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线． 设P 到1F 的对应准线的距离为1d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF 2 21 1== 2、双曲线的标准方程 （1）标准方程：1b y a x 2222=-，焦点在 轴上；1b x a y 22 22=-，焦点在 轴上．其 中：a 0，b 0，=2 a ． （2）双曲线的标准方程的统一形式： )0nm (1ny mx 22<=+ 3、双曲线的几何性质（对0b ,0a ,1b y a x 22 22>>=-进行讨论） （1）范围：∈x ，∈y ． （2）对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． （3）顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ． （4）离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ． （5）焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若)y ,x (P 00是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若)y ,x (P 00是双曲线左支上任意一点， =1PF ，=2PF ．

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案双曲线

第六节 双曲线 1．双曲线的标准方程 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．双曲线的几何性质 知道双曲线的简单几何性质． 知识点一 双曲线的定义 条件 结论1 结论 2 平面内的动点M 与平面内的两个定点F 1，F 2 M 点的 轨迹为 双曲线 F 1，F 2为双曲线的焦点 ||MF 1|－|MF 2||＝2a |F 1F 2|为双曲线的焦距 2a <|F 1F 2| 易误提醒 双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在． [自测练习] 1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 2 16＝1的左焦点，P 、Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴 长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16，由左焦点F (－5,0)且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P 、Q 都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44. 答案：44 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) 图 形

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第六讲 双曲线学案(含解析)新人教版

学习资料 2022版高考数学一轮复习第 八章解析几何第六讲双曲线 学案（含解析）新人教版 班级：科目：

第六讲双曲线 知识梳理·双基自测 错误!错误!错误!错误! 知识点一双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2｜）__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__,两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注:设集合P＝｛M｜｜｜MF1|－|MF2｜｜＝2a｝，|F1F2|＝2c,其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1）当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__； (2)当a＝c时,P点的轨迹是__两条射线__； (3)当a＞c时，集合P是__空集__． 知识点二双曲线的标准方程和几何性质

标准方程错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0）错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a,y∈R x∈R,y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1__（－a,0)__， A2__(a,0）__ 顶点坐标： A1__（0，－a）__， A2__（0，a)__ 渐近线y＝__±错误!x__y＝__±错误!x__ 离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞),其中c＝错误! 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的__实轴__,它的长｜A1A2｜＝__2a__;线段B1B2叫 做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2｜＝__2b__；__a__叫做双曲线的__ 实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2（c＞a＞0，c＞b＞0） 错误!错误!错误!错误! 双曲线中的几个常用结论 (1）焦点到渐近线的距离为b． （2）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置 关系）． (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!（通径）． 过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b2 a；与两支相交所得弦长的最小 值为2a． （4）过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养． 【知识点展示】 （一）双曲线的定义及标准方程 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程

标准方程 x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) 图形 （二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) 图形 性质 范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x 离心率 e ＝c a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长． a 、 b 、 c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0) （三）常用结论 1.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . (2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ，异支的弦中最短的为实轴，其长

2022年高考数学一轮复习专题 专题42 圆锥曲线知识点与典型例题(解析版)

专题42 圆锥曲线知识点与典型例题（解版） 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 21 21 y y k x x -= - ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 d = ③夹角公式：直线111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则21 21 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离 ①AB = 12AB x = -= ③12AB y =- （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ） 111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ ①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 （Ⅱ） 11112222:0:0 l A x B y C l A x B y C ++=++= ①1212120l l A A B B ⊥⇔+= ② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111 222 A B C A B C =≠ 者（2220A B C ≠） 两平行线距离公式 1122 ::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩ 距离d = 1122:0:0 l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离d =二、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆 双曲线 抛物线 定义 1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的 点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹. （01） 与定点和直线的距离相等的 点的轨迹. 轨迹条件 点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}. 点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直 线l 的距离}. 图形 方 程 标准方程 122 22=+b y a x (b a >>0) 122 22=-b y a x (a>0,b>0) px y 22= 参数 方程 为离心角） 参数θθθ(sin cos ⎩ ⎨⎧==b y a x 为离心角） 参数θθθ(tan sec ⎩ ⎨⎧==b y a x ⎩ ⎨⎧==pt y pt x 222 (t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴 焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2 (p F 准 线 x=±c a 2 准线垂直于长轴，且在椭圆 外. x=±c a 2 准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +） 离心率 )10(<<= e a c e )1(>= e a c e e=1