高中数学选修双曲线的简单性质(基础)知识点巩固练习

目录

双曲线的简单性质 (1)

【学习目标】 (1)

【要点梳理】 (1)

【典型例题】 (5)

【巩固练习】 (13)

双曲线的简单性质

编稿：武小煊审稿：柏兴增

【学习目标】

1．知识与技能

理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念．

2．过程与方法

锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．

3．情感态度与价值观

通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．

【要点梳理】

【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】

要点一：双曲线的简单几何性质

双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质

范围

2

21x a

≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．

双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．

对称性

对于双曲线标准方程22

221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，

方程都不变，所以双曲线22

221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为

对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．

顶点

①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．

②双曲线22

221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为

A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率

①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c

e a a

==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1c

e a

=

>． 由c 2= a 2+b 2，可得

22222()11b c a c e a a a -==-=-，所以b a 决定双曲线的开口大小，b a

越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．

③等轴双曲线a b

=，所以离心率2

e=．渐近线

经过点A

2

、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是

b

y x

a

=±．

我们把直线

b

y x

a

=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．

22

||

b b

MN x a x

a a

=--

22

22

b

x a x

a

ab

x x a

=--

=→

+-

【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点一、3】

要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较

标准方程

22

22

1

x y

a b

-=(0,0)

a b

>>

22

22

1

y x

a b

-=(0,0)

a b

>>

图形

性质焦点

1

(,0)

F c-，

2

(,0)

F c

1

(0,)

F c-，

2

(0,)

F c

要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．

对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 要点三：双曲线的渐近线

（1）已知双曲线方程求渐近线方程：

若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒b y x a =±

已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：

若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．

（3）与双曲线22

221x y a b

-=有公共渐近线的双曲线

与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为22

22(0)x y a b

λλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，

0λ<，焦点在y 轴上）

（4）等轴双曲线的渐近线

等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征

双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．

双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>，如图：

（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；

（2）离心率：2

1211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a

=

=====+>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；

（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来； （5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211

sin 2

PF F S PF PF F PF ∆=

⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．

要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系

将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22

221x y a b

-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x

或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．

222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．

若2220,b a k -=即b

k a =±

，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．

若2220,b a k -≠即b k a

≠±

， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦

设直线y kx m =+交双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长

12||PP

12|x x -

同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

12||x x -=；

12||y y -

双曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．

在双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

【典型例题】

类型一：双曲线的简单几何性质

【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】

例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．

【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22

221x y a b -=(0,0)a b >>．

【解析】双曲线的方程可化为：22

1916

y x -=，由此可知

实半轴长3a =，虚半轴长4b =

，∴5c ==

∴实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率5

3

e =，

渐近线方程3

4

y x =±．

【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．

举一反三：

【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )

A ．14-

B ．－4

C ．4

D ．

14

【答案】A

【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3

(0,)2-，则k 的值等于（ ）

A ．－2

B ．1

C ．－1

D ．3

2-

【答案】C

类型二：双曲线的渐近线

例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．

（1）22

1916x y -=；

（2）22

1916x y -=-．

【解析】

（1）双曲线221916x y -=-的渐近线方程为：220916x y -=，即4

3y x =±．

（2）双曲线221916x y -=的渐近线方程为：220916x y -=，即4

3y x =±．

【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：

（1）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b

y x a =±；

（2）双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为b x y a =±，即a

y x b

=±；

（3）若双曲线的方程为22

22x y m n λ-=（00m n λ>>、，，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上），则其

渐近线方程为22220x y m n -=⇒0x y m n ±=⇒n

y x m

=±．

举一反三：

【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：

（1）22

11636x y -=；

（2）2228x y -=； （3）22272y x -=．

【答案】（1）3

2

y x =±；（2）y x =；

（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为5

3

的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）

A ．54y x =±

B ．45y x =±

C ．43y x =±

D ．3

4y x =±

【答案】D

例3． 根据下列条件，求双曲线方程．

（1) 与双曲线22

1916x y -=

有共同的渐近线，且过点(3,-；

（2）一渐近线方程为320x y +=

，且双曲线过点M ．

【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：

（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()22

0916

x y λλ-=≠；

（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y

±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．

【解析】 （1）解法一：

当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22

221x y a b -=

由题意，得22

4

3(3)1

b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2

94a =，24b = 所以双曲线的方程为22

4194

x y -=．

当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22

221y x a b

-=

由题意，得2

24

3(3)1

a b b ⎧=⎪⎪--=，解得24a =-，2

94b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为22

4194

x y -=

解法二：设所求双曲线方程为22

916x y λ-=（0λ≠）

，

将点(3,-代入得1

4λ=，

所以双曲线方程为2219164x y -=即22

4194

x y -=

（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023

x y

±=．

故设双曲线方程为22

49x y λ-=，

∵点M 在双曲线上， ∴

284λ=，解得4λ=，

∴所求双曲线方程为22

11636

x y -=．

【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．

举一反三：

【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为2

3

y x =

的双曲线方程是（ ） A ．225513654x y -= B ．22

5513654x y -

+= C ．22131318136x y -= D ．22

131318136x y -+=

【答案】D

【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2

212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )

A ． 22124y x -=

B ． 22

142x y -=

C ． 22142y x -=

D ． 22

124x y -=

【答案】A

【变式3】设双曲线22

21(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 【答案】C

【变式4】双曲线22221x y a b -=与22

22(0)x y a b λλ-=≠有相同的（ ）

A ．实轴

B ．焦点

C ．渐近线

D ．以上都不对 【答案】C

类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围

例4． 已知12,F F 是双曲线22

221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左

支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．

【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，

∴12||2tan30AF c ==，224||2tan30cos30c AF c ==

=，

∴21||||2AF AF a -=

==，

∴3c

e a

=

= 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a

=

举一反三：

【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】

(1) 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率23e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距

3

，求双曲线的方程． (2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22

149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．

【答案】（1）22

13x y -=； （2）2241273y x -=

【变式2】 等轴双曲线的离心率为_________

2

【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．1

B ．1< e <2

C ．1< e <3

D ．1< e <25

【答案】D

类型五：双曲线的焦点三角形

例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2

ABF ∆的周长．

【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．

【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，

∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=． 即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．

故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．

【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．

举一反三：

【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b -=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|

AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）

A ．2a +2m

B ．4a +2m

C ．a +m

D ．2a +4m

【答案】B

【变式2】已知12F F 、是双曲线22

1916

x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______

【答案】90

类型六：直线和双曲线的位置关系

例6． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．

【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．

【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)

1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：

(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ①

(1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =2

5，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．

(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，

则k ∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±

332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点． 综上所述，当k =±1或k =±

332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：

举一反三：

【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭

⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B

【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+9

1y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【答案】D

例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2

2

14y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2

2

14y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】

（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．

（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．

【解析】由2

2141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩

得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33

x x x x +==- 得， 212121242082|2()422933

d x x x x x x =-=+-=+=． （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，

由22114

y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->

∴21680,||k k << 且121222

25,44k x x x x k k +=

=---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 2

2444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩

得22

40(4x y y y -+=<-或0)y >．

方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则

221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41

y x x y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）

【总结升华】（1

）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．

举一反三： 【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205

x y -=

l 的方程 【答案】210y x =±

【巩固练习】

一、选择题

1．焦点为(0，±6)且与双曲线2

212

x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( )

A.22

11224

x y -= B.2211224y x -= C.22

12412y x -= D.22

12412

x y -= 2．双曲线22

22a

y b x -=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） A. 2 B.3 C.2 D.2

3 3.双曲线与椭圆22

11664

x y +=有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y x =-,则双曲线的离心率为( ) A.2296x y -= B. 22

160y x -= C. 2280x y -= D. 22

24y x -= 4．过双曲线22

22b

y a x -=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q=90︒，则双曲线的离心率是（ ） A.2 B.1+2

C.2+2

D.3

5. 已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )

A ．y ＝x

B ．y ＝±x

C ．y ＝±4

x D ．y ＝±3x 6．与双曲线16

92

2y x -=1有共同的渐近线，且经过点(-3,23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）.

A.8

B.4

C.2

D.1

二、填空题

7．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是________． 8．椭圆22

214x y a

+=与双曲线2221x y a -=焦点相同，则a ＝________.

9．双曲线以椭圆221925x y +=的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________． 10．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．

三、解答题

11．设双曲线22

22b

y a x -=1（0

3c ，求双曲线的离心率.

12. 设双曲线C ：1:)0(1222

=+>=-y x l a y a

x 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围：

13．已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0，b >0)过点(14,5)A ，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43

，求此双曲线方程． 14．已知双曲线2

214

x y -=的两个焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积.

15．如下图，已知F 1，F 2是双曲线22

221x y a b

-=(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．

【答案与解析】

1．【答案】: B

【解析】: 与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程可设为2

22

x y λ-=(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，

∴方程可写为2212x λλλ-=--. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，

∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为22

11224

y x -=. 2．【答案】C 【解析】双曲线的渐近线方程为a y x b

=± ∵渐近线互相垂直，且关于坐标轴对称，∴

1a b =，得a=b. 双曲线离心率22

2c a b e a +===. 3．【答案】 D

【解析】 设双曲线方程为22

(0)y x λλ-=≠

∵焦点(0,43),±

∴0,λ>又22(43)λ=,24λ=

4. 【答案】B 【解析】因为|PF 2|=|F 2F 1|， P 点满足22

22b y a c -=1，∴22b y c a a

=-, ∴222b c c a a

=

-,即 2ac=b 2=c 2-a 2, ∴12e e =-,故e=1+2. 5. 【答案】 B

【解析】如图，

分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ， ∴

13

OA AB OF FC ==， ∴13a c =，∴22b a = 故渐近线方程为：22y x =±.

6. 【答案】C

【解析】设所求方程为22916x y k -=,代入(-3,23)得14k =, 52

c =, ∵双曲线221916x y -=的渐近线为43

y x =±， ∴焦点5(,0)2到渐近线43y x =±

的距离d=2. 7. 【答案】(±2,0)

【解析】由题意得：a ＝1，e ＝

c a ＝2，所以c ＝2，又由标准方程可得焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±2,0)．

8．【答案】

2

【解析】； 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a

＝

29．【答案】 22

12539

44

y x -= 【解析】 椭圆22

1925

x y +=中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， 焦点为(0，±4)，离心率45

c e a ==， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85

， ∴111485c a a ==，∴a 1＝52

， ∴22211125164b c a =-=-＝394

， ∴双曲线的方程为22

12539

44

y x -=. 10. 【答案】3

【解析】已知双曲线方程为22

194

y x -=，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．

11.【解析】 由已知，l 的方程为ay+bx-ab=0,

原点到l

4c =,

又c 2=a 2+b 2,

∴24ab =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4. 两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或243

e =. ∵ 0

>,221b a >,得22222212a b b e a a +==+>, ∴e 2=4，故e=2.

12.【解析】由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=-.1,1222

y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.

242210.0 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<≠⎨+->⎪⎩所以解得

双曲线的离心率

01,2(2,).2

e a a e e e =<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为

13.【解析】

双曲线22

22

1x y a b

-=的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为

1

d =2d =已知d 1d 2＝43

，故2222|145|43b a a b -=+ (ⅰ) 又A 在双曲线上，则

14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)

(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)

联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.

故所求双曲线方程为22

142

x y -=. 14. 【解析】

解法一： 由双曲线的方程知a=2, b=1, ∴5c =. 因此12||225F F c ==.

由于双曲线是对称图形，如图所示， 设P 点坐标为(x,14

2

-x )， 由已知F 1P ⊥F 2P ，

∴111F P F P k k ⋅=-, 即221144155

x x x x --⋅=-+-， 得2

245x =，∴1221211||12512425F PF x S F F ∆=⋅⋅-=⨯⨯= 解法二：∵(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2=16,

又由勾股定理得|PF 1|2+|PF 1|2=(2c)2=20, ∴|PF 1||PF 2|=21[|PF 1|2+|PF 2|2-(|PF 1|-|PF 2|)2]=21(20-16)=2, ∴121F PF S ∆=.

15.【解析】设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin60°＝2c ·32＝3c .又由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以312a c -=

，3131c e a ===+-.

高中数学选修2-1第二章第8课时同步练习§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 1、双曲线22 154 x y -=的（ ） A 、实轴长为 4 B 、23实轴长为8 C 、实轴长为10，虚轴长为4 D 、实轴长为8 20，2），则双曲线的标准方程为（ ） A 、22144x y -= B 、22144y x -= C 、22148y x -= D 、22184 x y -= 3、椭圆222134x y n +=和双曲线22 2116 x y n -=有共同的焦点，则实数n 的值是（ ） A 、5± B 、3± C 、25 D 、9 4、P 是双曲线22 219 x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 1F 、2F 分别为双曲线左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =（ ） A 、1或5 B 、6 C 、7 D 、9 5、双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为（ ） A 、53 B C D 、53或54 6 ） A 、045 B 、030 C 、060 D 、0 90 7、双曲线与椭圆22 11664 x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =，则双曲线的方程为 ；

8、双曲线22 194 x y -=的渐近线方程为 。 9、已知1(F ，2F ， 动点P 满足21||||2PF PF -=，当点P 的纵坐标是12 时，点P 到原点的距离是 ； 10、已知平面内有一条长度为4的定线段AB ，动点P 满足||||3PA PB -=，O 为AB 的中点，则||OP 的最小值为 ； 11、过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与以曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双线的离心率等于 ； 12、已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，e =(4,P 。 （1）求此双曲线的方程； （2）若(3,)M m 在双曲线上，求证12MF MF ⊥ （3）求12F MF ?的面积。 13、设双曲线22 221(0)x y a b a b -=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a 、(0,)b 两点，且原点 到直线l ，求双曲线的离心率。 14、已知1F 、2F 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，求此双曲线的离心率。

高二选修双曲线及简单性质课后巩固试题 (1)

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 学习目标 1．理解并掌握双曲线的几何性质． P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上； ②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =． 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？ 二、新课导学： ※ 学习探究 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线 222 2 1x y a b - =的几何性质? 范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =>． 渐近线： 双曲线 222 2 1x y a b - =的渐近线方程为：0x y a b ± =． 问题2：双曲线 222 2 1y x a b - =的几何性质? 图形： 范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =>． 渐近线： 双曲线 222 2 1y x a b - =的渐近线方程为： ． 新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线． ※ 典型例题 例1求双曲线 2 2 149 25 x y - =的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程． 变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程： ⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； ⑵离心率e =(5,3)M -； ⑶渐近线方程为2 3y x =± ，经过点9 (,1)2 M -． ※ 动手试试 练1．求以椭圆 2 2 18 5 x y + =的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程． 练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．

双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

3.2.2双曲线的简单几何性质 （基础知识+基本题型） 知识点一 双曲线的性质 根据双曲线的标准方程22 221(0,0)x y a b a b -=>>研究它的几何性质． 1．范围 ,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或． 双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由22 2211y x b a --≥-，得y R ∈. 提示 双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的. 2．对称性 双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示 （1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关 于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称. （2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双 曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性. （4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中 心是双曲线的对称中心. 3．顶点与实轴、虚轴 如图所示．

（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴. （3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长. 拓展 双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形： （1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边 长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上. （2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论. 4．渐近线 （1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x 轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为 双曲线的渐近线.双曲线22 221x y a b -=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近. （2）渐近线方程：b y x a =±. 拓展 （1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为a y x b =±，两 者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了. （2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. （3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22 221x y a b -=共 焦点的双曲线方程可设为22 22221()x y b a a b λλλ -=-<<-+.

高中数学11双曲线的简单几何性质新人教A版选修2-1

课时分层作业(十一) 双曲线的简单几何性质 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 5 ＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( ) A ．31414 B ．324 C ．32 D ．43 C [由题意知a 2 ＋5＝9，解得a ＝2，故e ＝32 .] 2．已知双曲线方程为x 2 －y 2 4 ＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有 l ( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 B [因为双曲线方程为x 2 －y 2 4＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且 和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点 P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B ．] 3．双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲 线C 的焦距等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 C [由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2 ＝32 c ，从而双曲线的渐近线方程 为y ＝±b a x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得3 2 c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C ．] 4．若实数k 满足00,16－k >0，故方程x 216－y 2 5－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线， 且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝ 21－k 4 ；同理方

新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程2-2双曲线的简单几何性质分层练习含解析新人教A版选择性必修第一册

双曲线的简单几何性质 基础练 巩固新知夯实基础 1.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12 ＝1 B. x 212－y 2 4 ＝1 C.x 210－y 2 6 ＝1 D.x 26－y 2 10 ＝1 2.双曲线3x 2 －y 2 ＝3的渐近线方程是( ) A.y ＝±3x B.y ＝±1 3 x C.y ＝±3x D.y ＝± 33 x 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( ) A ．x 220－y 2 5＝1 B ．x 25－y 2 20＝1 C ．x 2 80－y 220 ＝1 D ．x 220－y 2 80 ＝1 4．已知双曲线C ：x 2 3 －y 2 ＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A ．32 B ．3 C ．2 3 D ．4 5.已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 2 16＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为 ______. 6．若双曲线x 2 －y 2 m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________，渐近线方程是________． 7．以y ＝±x 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________． 8.已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2 ＋4y 2 ＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程. 能力练

综合应用核心素养 9．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 2 5＝1的( ) A ．实半轴长相等 B ．虚半轴相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 10．(多选题)关于双曲线C 1：4x 2 －9y 2 ＝－36与双曲线C 2：4x 2 －9y 2 ＝36的说法正确的是( ) A ．有相同的焦点B ．有相同的焦距 C ．有相同的离心率D ．有相同的渐近线 11．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B．(2，2)C ．(1，2) D ．(1,2) 12.已知F 是双曲线C ：x 24－y 2 5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积 为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 13．过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心 率是( ) A ．2 B ．1＋2 C ．2＋ 2 D ．3－ 2 14.双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为________. 15.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2 －y 2 b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________. 16. 已知椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 2 3－y 2 ＝1的公共焦点为左焦点F 1，右焦点F 2，点P 是两条曲线在第一象限 内的一个公共点，则|PF 1|＝________，cos∠F 1PF 2的值为________． 17.已知圆M ：x 2 ＋(y －5)2 ＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 2 25＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程. 18．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点是F (2,0)，离心率e ＝2. (1)求双曲线C 的方程； (2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．

高中数学人教版选修1-1习题：第二章22-222双曲线的简单几何性质.doc

第二章圆锥曲线与方程 2.2双曲线 2. 2.2双曲线的简单几何性质 --------------- 高效演练知能提升 -------------- A 级基础巩固 一、选择题 1.双曲线2/-/=8的实轴长是（） A. 2 B. 2^2 C. 4 D. 4^2 2 2 解析：双曲线方程可变形为予一彳=1，所以a=4, a=2,从而2a=4. 答案:C 2・等轴双曲线的一个焦点是月（一6, 0）,则其标准方程为（） 2 2 2 2 C ， 18 _18 =1 D ， 18~18 = 1 解析：由已知可得c=6,所以曰=b=芈c=3边， 2 2 所以双曲线的标准方程是盒—希=1・ 答案：D 2 2 3. 已知双曲线扌一务=1（40）的焦点到其渐近线的距离为1,贝IJ 该双曲线的离心率为 =1,所以b=l,所以c=2,又a=£,所以双曲线的离心率为寥. 答案：C 4. 已知双曲线a 了一方=1@>0,方>0）的离心率为晋，则Q 的渐近线方程为（）2^3 3 3^/2 2 解析：由题意及对称性可知焦点（何0）到bx —电尸0的距离为1,即 IW+3-1I 册+3 C. D .

2 2 r 解析：因为双曲线与一纟=1的焦点在X 轴上，所以双曲线的渐近线方程为尸土n. a b a 所以务寺所以双曲线的渐近线方程为尸土扣 答案：c 2 2 5. 双曲线G J-^=l （a>0, b>0）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为羽，则Q 的 焦距等于（） A. 2 B. 2^2 C. 4 D ・ 4、问 解析：双曲线的-条渐近线方程为「的，即方…尸0,焦点6 0）到该渐近线的距 答案：C 二、填空题 2 2 6. 已知双曲线专一石士 =1（0〈水⑵的离心率为则刀的值为 ___________ • 解析：因为0〈水12,所以a=n, I ）=12-/ 7. 所以C 2=a 2+A 2=12.所以e=~=^=羽・ a yjn 所以刀=4. 答案:4 X y 7. （2016 -北京卷）已知双曲线了一方=1@>0, 6>0）的一条渐近线为2x+y=0, 一个焦点 为（、/^，0）,贝lj a= _ , b= ________ ・ # / b 解析：因为双曲线飞一卡=1（日>0, 6〉0）的一条渐近线为2x+y=0,即y=—2x t 所以-= a u a 又双曲线的一个焦点为（、荷，0）,所以£+F=5・② 由①②得a=l, b=2. 答案： 1 2 -=A /3,故b=书,结举=2, C 3 /=£+/得（=2,则双曲线Q 的焦距为2c 又离心率为&=£=姑+〃= a a

高中双曲线知识点总结

高中双曲线知识点总结 高中双曲线知识点总结 进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过数学知识点关。复习时，将双曲线方程知识点总结熟练掌握运用，小编相信您一定可以提高数学成绩! 高中双曲线知识点总结1 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：. ⑵①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 . ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) 长加短减原则： 构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号) ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程? 解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑹直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，

合计3条; 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. (2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 高中双曲线知识点总结2 一、用好双曲线的对称性 例1若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x 轴于B。则△ABC的面积为( )。 A。1 B。2 C。3 D。4 解：由A在双曲线y=上，AB⊥x轴于B。 ∴S△ABO=_1= 又由A、B关于O对称，S△CBO= S△ABO= ∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1故选(A) 二、正确理解点的坐标的.几何意义 例2如图，反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B 两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则S△AOB= 。 解：由y=-x+2交x轴于点M，交y轴于点N M点坐标为(2，0)，N点坐标为(0，2) ∴OM=2，ON=2 由解得或 ∴A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(4，-2) S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM =ON·+OM·ON+OM·=6

高中数学选修2-1：巩固练习_双曲线及其标准方程_提高

【巩固练习】 一、选择题 1．已知方程22 111x y k k -=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是( ) A ．－1< k <1 B ．k >0 C ．k ≥0 D ．k >1或k <－1 2．以椭圆 22 134 x y +=的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A ．2213x y -= B ．22 13 x y -= C ．22 134 x y -= D ． 22 134 y x -= 3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．5⎫ ⎪⎪⎝⎭ C ．6⎫ ⎪⎪⎝⎭ D ．)3,0 4．设 θ∈(34 π ，π)，则关于x ，y 的方程22 1sin cos x y θθ -= 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆

5．已知双曲线22 1259 x y -=的左、右焦点分别为 F 1、F 2，若双曲线的左支上有 一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A ．23 B ．1 C ．2 D ．4 6．已知双曲线的两个焦点为F 1(5- 0)、F 25 ，0)，P 是此双曲线上的一 点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A ．22 123 x y -= B ．22 132 x y -= C ．2 214 x y -= D ．2 2 14 y x -= 二、填空题 7．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 2a ＋b ＝________． 8．过双曲线22 134 x y -=的焦点且与 x 轴垂直的弦的长度为________． 9．如果椭圆22214x y a +=与双曲线22 12 x y a -=的焦点相同，那么 a ＝________． 10. 设 F 1、F 2分别是双曲线2 2 19 y x -=的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 12=0PF PF u u u r u u u u r g ，则12 +PF PF u u u r u u u u r =__________. 三、解答题

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课后导练新人教B版选修2-1

2.3.2 双曲线的简单几何性质 课后导练 基础达标 1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=－x，则双曲线方程为 （） A.x2-y2=96 B.y2-x2=160 C.x2-y2=80 D.y2-x2=24 答案：D 2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（） A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案：B 3.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 （） A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案：D 4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（） A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案：B 5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（） A. B. C. D. 答案：C 6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_____________,虚轴长为_____________,渐近线方程为,离心率为_______________.

答案：25 4 y=±x 7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_________________. 答案：xy= 8.已知双曲线x 2-3y 2=3上一点P 到左、右焦点的距离之比为1∶2,则P 点到右准线的距离 为______________. 答案：6 9.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k 的值. 解：直线y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切. 当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=± x. ∴k=±3 2式. 10.双曲线与圆x 2+y 2=17有公共点A （4，-1），圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行， 求双曲线的标准方程. 解:∵点A 与圆心O 的连线的斜率为- ， ∴过A 的切线的斜率为4. ∴双曲线的渐近线方程为y=±4x. 设双曲线方程为x 2=λ. ∵点A （4，-1）在双曲线上， ∴16=λ,λ=. ∴双曲线的标准方程为=1. 综合运用 11.已知双曲线=1(a ＞0,b ＞0),F 1、F 2为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，求|PF 1|·|PF 2|的最小值. 解:设P 点的横坐标为x 0，则x 0≥a 或x 0≤-a.由焦半径公式得|PF 1|·|PF 2|=|a-ex 0||a+ex 0|=|a 2- x 02|=22a c x 02-a 2=x 02-a 2 .

2020-2021高中数学人教版1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析 第二章2。22。2.2 A级基础巩固 一、选择题 1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（C) A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1 C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1 D．以上都不对 [解析］当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。 2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（C) A．2B．2错误! C．4D．42 [解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x2 4－ y2 8＝1，∴a＝2, ∴实轴长为2a＝4。 3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2 a2－y 2＝1的离心率的取值范围是（C)

A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）C．(1,错误!) D．（1,2） [解析]由题意得双曲线的离心率e＝错误!. ∴c2＝a2＋1 a2＝1＋错误!. ∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为(D) A． 2 B．2 C．错误!D．2错误! ［解析］由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!， 故选D． 5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（A) A．错误!B．错误! C．2错误!D．3错误! [解析]双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!，0），一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝|PF|,则点P的横坐标为错误!，纵坐标为错误!×错误!＝错误!，即△PFO 的底边长为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!。故选A．

2019高中数学第三章双曲线及其标准方程课后训练案巩固提升(含解析)北师大版

3.1 双曲线及其标准方程 课后训练案巩固提升 A组 1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是() A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 解析:由于两点间的距离为10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.在应用双曲线的定义时一定要注意其定义中的绝对值以及2c>2a. 答案:D 2.在双曲线中,,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是() A.-x2=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.y2-=1 解析:椭圆的标准方程为=1,故焦点坐标为(±,0), ∴c=.由,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1. 答案:B 3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于() A.2 B.4 C.6 D.8 解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4. 答案:B 4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为() A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,

由 得x2-6x+8=0. ∴x=2或x=4,即c=4,a=2. ∴双曲线方程为=1. 答案:A 5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB 的中点为N(-12,-15),则E的方程为() A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析:∵k AB==1,∴直线AB的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9. 设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 则=1. 整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴5a2=4b2. 又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为=1. 答案:B 6.已知双曲线=1的两个焦点分别为F1,F2,若双曲线上的点P到点F1的距离为12,则点P 到点F2的距离为. 解析:设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线左支上时,|PF2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点P 在双曲线右支上时,|PF1|-|PF2|=10,|PF2|=2. 答案:22或2

高中数学第三章圆锥曲线的方程 双曲线的几何性质课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

第三章 3.2 3.2.2 A 级——基础过关练 1．双曲线x 216－y 2 33＝1的焦点坐标是( ) A ．(±17,0) B ．(0,±17) C ．(±7,0) D ．(0,±7) 【答案】C 【解析】由题意可知c 2 ＝16＋33＝49,所以c ＝7．由双曲线方程可知焦点在x 轴上．故选C ． 2．与双曲线x 2 －y 2 4＝1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是( ) A ．x 23－y 212＝1 B ．x 212－y 2 3＝1 C ．x 2 4－y 2 16＝1 D ．x 2 12－y 2 48 ＝1 【答案】A 【解析】依题意设双曲线的方程为x 2 －y 2 4＝λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ＝3,所以 所求双曲线的标准方程为x 23－y 2 12 ＝1． 3．双曲线mx 2 ＋y 2 ＝1的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D ．14 【答案】A 【解析】双曲线方程化为标准形式y 2 － x 2 － 1m ＝1,则有a 2＝1,b 2 ＝－1m ,由题设条件知2＝－1m ,所以m ＝－14 ． 4．设双曲线x 2a 2－y 2 9 ＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0,则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

【答案】C 【解析】双曲线x 2a 2－y 2 9＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0,对比3x ±2y ＝0得a ＝2． 5．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (2,0),且双曲线的渐近线与圆(x － 2)2 ＋y 2 ＝3相切,则双曲线的方程为( ) A ．x 29－y 2 13＝1 B ．x 213－y 2 9＝1 C ．x 2 3－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 3 ＝1 【答案】D 【解析】由双曲线的渐近线bx ±ay ＝0与圆(x －2)2 ＋y 2 ＝3相切可知2b a 2＋ b 2 ＝3,又因 为c ＝a 2 ＋b 2 ＝2,所以有a ＝1,b ＝3,故双曲线的方程为x 2 －y 2 3 ＝1． 6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为14,则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝± 152 x C ．y ＝± 154 x D ．y ＝±22 5 x 【答案】C 【解析】因为e ＝c a ＝1 4,不妨设a ＝4,c ＝1,则b ＝15,所以对应双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±154 x ． 7．(多选)已知双曲线9y 2 －4x 2 ＝－36,则( ) A ．该双曲线的实轴长为6 B ．该双曲线的虚轴长为4 C ．该双曲线的离心率为133 D ．该双曲线的渐近线方程为±23 x 【答案】ABCD 【解析】将9y 2 －4x 2 ＝－36化为标准方程x 29－y 2 4＝1,即x 232－y 2 22＝1,所以a ＝3,b ＝2,c ＝ 13,所以实轴长2a ＝6,虚轴长2b ＝4,离心率e ＝c a ＝133,渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23 x ．故选ABCD ． 8．双曲线x 24＋y 2 k ＝1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是__________．

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含

2.2.2双曲线的简单几何性质 课后篇巩固提升 基础巩固 1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于() A.6 B.8 C.9 D.10 (-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为() A.x2-y2=1 B.x2-y2=2 C.x2-y2= D.x2-y2= ,设双曲线方程为=1(a>0), 则c=a,一条渐近线为y=x,∴, ∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2. 3.若实数k满足00,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A. 4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是() A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0. 5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为() A. B. C. D. a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D. 6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是. 双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4), ∴32-=1,

解得b2=2,即b=或b=-(舍去). ∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上, ∴双曲线的渐近线方程为y=±x. ±x 7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为. =2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1. 1 8.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程 为. =1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3. 设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1, 根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1. 1 9.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程. F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0

高中数学 双曲线练习题(含答案)

双曲线检测试题 一．选择题 1．设P 是双曲线22a x －92 y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别 是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于 A.1或5 B.6 C.7 D.9 2． “ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3．双曲线42 x －92y =1的渐近线方程是 A.y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±9 4 x 4．过点（2，－2）且与双曲线2 2 x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是 A.22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －4 2y =1 5．如果双曲线642 x －36 2y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离 是 A.10 B.77 32 C.27 D.5 32 二．填空题 6．给出问题：F 1、F 2是双曲线162 x －20 2y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的 距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. ______________________________________________________. 7．过点A （0，2）可以作____________条直线与双曲线 x 2－ 4 2 y ＝1有且只有一个公共点. 8．已知圆C 过双曲线92 x －16 2y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心 到双曲线中心的距离是____________. 9．求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.

2021年高中数学 2.3.2双曲线的几何性质同步练习(含解析)苏教版选修2-1

2021年高中数学 2.3.2双曲线的几何性质同步练习（含解析）苏教版选 修2-1 课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系． 1．双曲线的几何性质 标准方程 x 2 a 2－y 2 b 2＝1 (a>0，b>0) y 2a 2－x 2 b 2＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____ 离心率 渐近线 (2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两个顶点为A 1(－a,0)、A 2(a,0)．设B 1(0，－b)、B 2(0，b)，线 段A 1A 2叫做双曲线的________，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长，线段B 1B 2叫做双曲线的________，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为________． (3)当双曲线的离心率e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是b a ＝e 2 －1，当e 增大时，b a 也增大，渐近线的斜率的绝对值________． 一、填空题 1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程 为________________________________________________________________________． 2．以双曲线x 29－y 216 ＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是

____________________． 3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2 ＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为________． 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点， 且PF 1⊥PF 2，PF 1·PF 2＝4ab ，则双曲线的离心率是______. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支 上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 6．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的 离心率e ＝______. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是______________________． 8．与双曲线x 29－y 216 ＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为 ________________． 二、解答题 9．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π 3 . 10．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的离心率．

高中数学椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点 【知识点1】椭圆的概念: 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。 【知识点2】椭圆的标准方程 焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22 2210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()22 2210x y a b b a += >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c ) 【知识点3】椭圆的几何性质: 规律: (1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . (3)在椭圆中，离心率2 2 222221a b a b a a c a c e -=-=== (4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； 标准方程 ()22 22 10x y a b a b += >> ()22 22 10x y a b b a += >> 图形 性质 范围 a x a -≤≤ b y b -≤≤ 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)， A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 ∣F 1F 2 |=2c 离心率 e= c a ∈(0,1) a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2