人教版数学选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义

案例（二）——精析精练

课堂 合作 探究

重点难点突破

知识点一双曲线的几何性质 (1)范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对

于y 的任何值，

x 都有实数值。这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=,之间没有图

象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 (2)顶点

顶点：()()0,,0,21a A a A -，特殊点：()()b B b B ,0,,021-。

实轴：21A A 长为a 2，a 叫做半实轴长；虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长。

如右图所示，在双曲线方程122

22=-b y a x 中，令0=y 得a x ±=，故它

与x 轴有两个交点()0,1a A -，()0,2a A ，且x 轴为双曲线122

22=-b

y a x 的对称

轴，所以()0,1a A -与()0,2a A 其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点

间的线段21A A 叫做双曲线122

22=-b

y a x 的实轴长，它的长是a 2。

在方程122

22=-b

y a x 中，令0=x ，得22b y -=，这个方程没有实数根，

说明双曲线和y y 轴没有交点。但y 轴上的两个特殊点()()b B b B ,0,,021-，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是b 2，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 (3)渐近线

如上图所示，过双曲线122

22=-b

y a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线

a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线

b y ±=，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是⎪⎭

⎫

⎝⎛=±±=0b

y a

x

x a b y ，这两条直线就是

双曲线的渐近线。要证明直线⎪⎭

⎫

⎝⎛=±±=0b y a x x a b y 是双曲线12222=-b y a x 的

渐近线，即要证明随着x 的增大，直线和曲线越来越靠拢接近，也即要证曲线上的点到直线的距离MQ 越来越短，因此把问题转化为计算

MQ ，但因MQ 不好直接求得，因此又把问题转化为求MN 。显然

()

222222a

x x ab

a x x a

b a x a b x a b MN MQ -+=--=--=

<，当x 无限大时，0→MQ 。

对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质。特别地，等轴双曲线的两条渐近线方程为x y ±=，它们互相垂直且平分双曲线的实轴

和虚轴所成的角。

知识点二 有共同渐近线的双曲线方程

具有相同渐近线的双曲线方程为()R b

y a x ∈≠=-λλλ,022

22。当0

>λ时，焦点在x 轴上；当0<λ时，焦点在y 轴上。

(1)求双曲线122

22=-b

y a x 的渐近线方程，一般采用两种方法，即：

①代入x a

b

y ±=得渐近线方程。

②令02222=-b y a x 得02222=±b y a x ，即x a

b

y ±=。此法简明有效。

(2)反之，若双曲线一条渐近线方程为x a

b

y ±=，

即x a

b

y ±==0，则设双曲线方程为()02222≠=-λλb y a x 。

典型例题分析

题型1 由双曲线的方程研究其性质

【例1】求双曲线14416922=-x y 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离 心率，渐近线方程。

解析 由方程研究曲线的性质，应首先化为标准方程。

答案 双曲线方程1441692

2

=-x y 可化为19

162

2=-x y 。

∴实半轴长4=a ，虚半轴长3=b ，焦点坐标为(0，-5)，(0，5)，

顶点坐标为(0，-4)，

(0，4），离心率为45==a c

e ，渐近线方程为y x 43±=，即x y 3

4±=。

规律总结 由双曲线方程求渐近线方程时应正确应用公式，也可将双曲线左侧因式分解， 使因式分别得零也可。

【变式训练1】 求双曲线369422=-x y 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率和渐近线方程。

答案 将36942

2

=-x y 变形可14

92

2=-x y ，

13,2,3===∴c b a ，∴顶点()3,01-A ，()3,02A ，焦点()()13

,0,13,021F F -，

实轴长62=a ，虚轴长42=b ， 离心率313=

e ，渐近线方程为x y 2

3

±=。 【例2】 已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线13222

22=+n

y m x 有公共的焦

点，那么双曲线 的渐近线方程是 （ ）

A.y x 215±=

B.x y 215

±= C.y x 43±

= D.x y 4

3±= 解析 先确定焦点，确定m 、n 的比值。由双曲线方程判断出公

共焦点在x 轴上，∴椭圆的焦点()

0,5322n m -，双曲线焦点

()0,322

2

n m +，22222

2

8,3253n m n m n

m =∴+=-∴。

又Θ双曲线渐近线为x m

n y ⋅±

=26，

∴代入n m n m 22,822==，得x y 4

3

±

=，故选D 。 答案 D

规律总结 求渐近线时应注意对渐近线的两种不同公式的应用。

【变式训练2】 若点P 在双曲线19

2

2

=-y x 上，则P 到双曲线渐近

线的距离的取值范 围是 。

答案 双曲线的一条渐近线方程是03=-y x ，由渐近线的性质知，当P 点是双曲线的

一个顶点时，P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是()0,1±，

P ∴到渐近线的距离最大值为

10

10

310

03=

-。 故P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是⎥⎦

⎤

⎝⎛10103,0。

题型2 由双曲线的几何性质确定其方程

【例3】 求与双曲线11692

2=-y x 有共同的渐近线，且经过点

()3

2,3-M 的双曲线的

方程。

解析 双曲线116922=-y x 的渐近线方程是04

3=±y

x ，可设出双曲线的

方程，将点M 的 坐标代入，即可求出方程。

答案 设所求双曲线方程为()01692

2≠=-λλy x ，由于双曲线过点

(

)3

2,3-M ，有()()4

116

32932

2

=-

-=λ。 故双曲线方程为4116922=-y x ，即144

92

2=-y x 。

方法指导（1）与双曲线122

22=-b

y a x 有共同渐近线的双曲线方程可

设为

()02

2

22≠=-λλb y a x 的形式。 (2)本题中λ的值为正时焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上。

【变式训练3】 一椭圆的方程为()0122

22>>=+b a b

y a x ，焦距为102，

若一双曲线

与此椭圆共焦点，且它的实轴比椭圆的长轴短8，双曲线的离心率与

椭圆离心率之比是5：1， 求椭圆和双曲线方程。

答案 设b a '',各为双曲线的实半轴、虚半轴长，依题意有：

1:510:10,

4=⎪⎩⎪

⎨⎧⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛'='-a a a a ，解这个方程组，得⎩⎨

⎧=='.5,1a a 于是，椭圆短半轴长1522=-=c a b ，双曲线的虚半轴长

32

2

='-='a a b ，故椭圆、双曲线方程分别是19

,1152522

22=-=+

y x y x 。 【例4】如果双曲线的渐近线方程是x y 4

3±=，求离心率。 解析 欲求离心率，只需求得c a ,关系即可，注意渐近线的位置。 答案 方法一：若双曲线焦点在x 轴上，设方程为

()0,012

2

22>>=-b a b y a x 。 由题意知4

3=a b ，又222b a c +=Θ，

4

5=

∴e 。 若双曲线焦点在y 轴上，设方程为()0,0122

22>>=-b a b

x a y 。

由题意知：4

3=b a ，

3

5

=

∴e 综上知：4

5=∴e 或3

5=∴e

方法二：设具有渐近线x y 43

±=的双曲线方程为()091622≠=-λλy x ，

即

19162

2=-λ

λy x 。 若0>λ，焦点在x 轴上，λλ9,1622==b a ，λ25222=+=b a c 。

4

5,1625222

===∴e a c e 。

若0<λ，焦点在y 轴上，λλ16,922-=-=b a ，λ25222-=+=b a c ，

925925222

=--==∴λλa c e ，3

5=∴e 。

45=

∴e 或3

5=e 。 规律总结 渐近线不能确定双曲线的位置，因此不论是方法一，还是方法二，都要考虑到其位置的两种形式。

【变式训练4】 设双曲线()0122

22>>=-a b b

y a x 的半焦距为c ，直线l 过

()0,a 、()b ,0两点，已知原点到直线l 的距离为

c 4

3

，双曲线的离心率为 。

答案 直线l 的方程为1=+b

y a x

，即0=-+ab ay bx 。 于是有

c b a ab

a b 4

3

002

2=

+-⋅+⋅，即243c ab =。 两边平方得()4222422316,316c a c a c b a =-∴=， 解得42=e 或3

4

2=e ，

1,022

>∴>>a

b a b Θ，

0122

2

222

>+=+=∴a

b a b a e ，故42=e ，2=∴e 。 题型3已知渐近线求方程

【例5】 已知双曲线渐近线的方程为：032=±y x 。 (1)若双曲线经过()2,6P ，求双曲线方程； (2)若双曲线的焦距是132，求双曲线方程；

(3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程。

解析 可设出双曲线方程的统一形式，依据题设建立待定参数方程或方程组求解。

答案 解法一：（1）由双曲线渐近线的方程x y 3

2±=，可设双曲线

方程为：()012

2>=-mn n

y m x ，

Θ双曲线过点P ()2

,6P ，0,0<<∴n m 。

又渐近线斜率3

2±=k ，

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=--=-∴.3

2,14

6m n n m 解得⎪⎩⎪⎨

⎧-=-=.34,3n m 故所求双曲线方程为：13

14322=-x y 。

(2)设双曲线方程为：12222=-b y a x 或()0,0122

22>>=-b a b

x a y 。

2222213,b a b a c +=∴+=Θ。 由渐近线斜率得32=a b

或3

2=b a ，

故由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,13,3222b a a b 或⎪⎩

⎪⎨⎧=+=.13,

3

222b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==,4,922b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.

9,

422b a

∴所求双曲线方程为：14922=-y x ，或19

42

2=-x y 。

（3）由（2）所设方程可得：

⎪⎩⎪⎨⎧==62,32a a b 或⎪⎩

⎪

⎨⎧==.62,32a b a 解得⎩⎨⎧==2,3b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.29,3b a

故所求双曲线方程为：14922=-y x 或181

492

2=-

x y 。 解法二：由双曲线的渐近线方程x y 3

2

±=。

可设双曲线方程为()04

92

2≠=-λλy x ，

(1)∵双曲线过点()2,6P ，3

1

,4496-==-∴λλ。

故所求双曲线方程为：13

1

4322=-x y 。

(2)若0>λ，则λλλ13,4,922222=+===b a c b a ， 由题设1,1322=∴=λc 。

所求双曲线方程为：14

92

2=-y x 。

若0<λ，则λλλ13,9,422222-=+=-=-=b a c b a ，由1322=c ，1-=∴λ。

所求双曲线方程为：14

92

2=-x y 。

故所求双曲线方程为：14922=-y x 或14

92

2=-x y

(3)若0>λ，则λ92=a 。由题设1,62=∴=λa 。

所求双曲线方程为：14

92

2=-y x 。

若A>0，则λ42-=a 由题设4

9

,62-=∴=λa

所求双曲线方程为：181

492

2=-

x y 。 故所求双曲线方程为：14922=-y x ，或181

492

2=-

x y 。

规律总结 (1)解法一是设出双曲线的标准方程，利用条件列出独立的关于c b a ,,的等 式，解方程组求出待定系数；

(2)解法二利用了共渐近线的双曲线系，由题设条件建立参数λ的关系确定λ，但应特

别注意λ值的符号与双曲线焦点的对应。

两种解法都很重要，应认真领会。

【变式训练5】 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由。 ①渐近线方程为02=+y x 及02=-y x ；

②点()0,5A 到双曲线上动点P 的距离的最小值为6。 答案 假设存在同时满足题中的两个条件的双曲线。

(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为x y 2

1

±=，所以由条件①，设双曲线

方程为1422

22=-b

y b x ，设动点P 的坐标为()y x ,，则

()()222

2544

5

5b x y x AP -+-=

+-=

，由条件②，若2b ≤4，即b≤2，则当4=x 时，

652=-=b AP 最小，12-=b ，这不可能，无解；若2b>4，即b>2，则

当b x 2=时，

652=-=b AP 最小，解得265+=

b （22

6

5<-=

b ，应舍去)，此时存在双曲线方程为

()

1265652

22

2

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-

+y x 。

(2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为

()R x b

x b y ∈=-142

222，所以()544522

++-=b x AP ，因为R x ∈，所以当4=x 时，652=+=b AP 最小。所以12=b ，此时存在双曲线方程

为14

2

2

=-x y 。

规律 方法 总结

1.理解双曲线的几何性质应注意离心率的范围：e>1，应区别于

椭圆的离心率的范围。

2. 求双曲线的渐近线方程的方法：

双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a

b

y ±=，双曲线12222=-b x a y 的渐近

线方程为

x b

a

y ±

=，一般情况下，先求b a ,，再写出方程，两者容易混淆。可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了。

3.已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 。1F 、2F 为左、右焦点，P 为双

曲线上的一点，设θ=∠21PF F ，则有：2

tan

22

1

θ

b S PF F =

∆。

4.已知双曲线()0,0122

22>>=-b a b y a x ，直线l 过焦点，且垂直于实轴

交双曲线于A 、B 两点，弦AB 叫通径，其长为a

b 2

2。

定时 巩固 检测

第1课时双曲线的几何性质 基础训练

1.双曲线19

252

2=-y x 的顶点坐标是 （ ）

A. ()0,5±

B.()0,5±或()3,0±

C.()0,4±

D.()0,4±或()3,0± 【答案】 A(点拨：利用双曲线特点求解。)

2.双曲线116

252

2=-y x 的离心率是 （ ）

A.53

B.35

C.

541

D.41

5 【答案】 C(点拨：利用双曲线标准方程求得c b a ,,即可。) 3.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（ ）

A.34

B.3

5 C.2 D.3

【答案】B(点拨：由等差数列可得c b a ,,三者方程，再由c b a ,,三者关

系消元即可。)

4.双曲线116

252

2=-x y 的渐近线方程为 。

【答案】x y 45

±=(点拨：利用公式x b

a y ±=。）

5.与椭圆192522=+y x 共焦点，离心率为3

4

的双曲线的标准方程

为 。

【答案】17

92

2=-y x (点拨：可先求焦点坐标再利用离心率求之即可。)

能力提升

6.双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是 。 【答案】90°(点拨：离心率为2的双曲线渐近线方程为x y ±=。)

7.设圆过双曲线116

92

2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，

则圆心到双曲线中心的距离是 。 【答案】

3

16

(点拨：画出图形即可。) 8.根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程。 (1)过点()2,3-P ，离心率2

5=

e 。 (2)21,F F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且︒=∠6021PF F ，

31221=∆F PF s ，且离心率为2。

【答案】(1)若双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求，由25=e ，

得4

5

22=a c 。 ①

由点()2,3-P 在双曲线上，得

1292

2=-b a 。 ② 又222c b a =+，由①、②得4

1

,122==b a 。

若双曲线的实轴在y 轴上，设122

22=-b

x a y 为所求。

同理有2222222,192,45c b a b a a c =+=-=，解之，得2

17

2-=b (不符，舍去)。

故所求双曲线方程为1422=-y x 。

(2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a

c

e ，由双曲线的

定义，得c a PF PF ==-221。由余弦定理，得

()212122212cos 22PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=

又31260sin 2

1212

1=︒⋅⋅=

∆PF PF S F PF ， 16,48322==∴c c ，得12,422==b a 。

故所求双曲线的方程为112

42

2=-y x 。

第2课时 双曲线的几何性质的应用 基础训练

1.过点(2，-2)且与1222

=-y x 有公共渐近线的双曲线方程是 （ ）

A.12

422=--y x B.12422=-y x

C.14222=--y x

D.14

22

2=-y x

【答】A （点拨：设所求双曲线方程为k y x =-22

2）

2.双曲线18

42

2=-y x 的两条渐近线夹角是 （ ）

A.2arctan 2

B.22arctan

C.2

2

arctan

D.()

22arctan - 【答案】B （点拨：因为渐近线的斜率的地对值为12>。）

3.已知双曲线142

2=-m

y x 的离心率()2,1∈e ，则m 的取值范围（ ）

A.()0,12- B ()0,∞- C.()0,3- D.

()12,-∞-

【答案】A （点拨：显然有0

41<-<

m

。） 4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是 （ ）

A.132

2=-y x 和13922=-x y B.1322=-y x 和1322

=-x y C.1322

=-x y 和13

22

=-y x

D.132

2=-y x 和19

322=-x y 【答案】D(点拨：依据双曲线的离心率定义和渐近线的求法。) 能力提升

5.双曲线与椭圆164

162

2=-y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，

则双曲线方程为（ ）

A.9622=-y x

B.16022=-x y

C.8022=-y x

D.2422=-x y

【答案】D （点拨：可先求双曲线焦点再由渐近线公式求出a ，b 关系代入即可。)

6.双曲线的渐近线与实轴的夹角为6

π

，则离心率e 是（ ）

A.

310 B.3

32 C.3 D.2 【答案】B （点拨：由夹角为6π知，3

13

=a b ，再由222c b a =+消去b 可求a ，c 关系。)

7.双曲线()012222>>=+b a b y a x 与()0122

22>>=-b a n

y m x 有公共焦点1F 、2F ，P

是它们的一个公共点。 （1）用b 主n 表示21cos PF F ∠； （2）设()n b f S PF F ,2

1

=∆，求()n b f ,。

【答案】(1)令11r PF =、22r PF =，α=∠21PF F ，在21PF F ∆中，有

αcos 22122212

21⋅⋅-+=r r r r F F ，

P Θ是椭圆和双曲线的公共点，

则α221=+r r ，且m r r 221=-。

()()αcos 124212

212+-+=∴r r r r c ，

且()()αcos 124212212-+-=r r r r c ，

α

αcos 12cos 122

221-=+=∴n b r r ，

（2）由（1），222

2

2

22

2112n b n b n b b r r +=+-+=+， 而2

222cos 1sin n b bn

+=

-=αα，

双曲线的简单几何性质(教案)

教案 普通高中课程标准选修2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时） 教材的地位与作用 本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。 二、教学目标 （一）知识与技能 1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。 2、理解双曲线的渐近线。 （二）过程与方法 通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。 （三）情感态度与价值观 让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 三、 教学重点难点 双曲线的渐近线既是重点也是难点。 四、 教学过程 (一)课题引入 1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。 【板书】：双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的性质 2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。） 3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论）

（二）双曲线的性质 1、范围： 把双曲线方程12222=-b y a x 变形为22 221b y a x +=。 因为022≥b y ，因此122 ≥a x ，即22a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。 又因为022 ≥b y ，故R y ∈。 【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。 2、对称性： 下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线122 22=-b y a x 的标准方程， 判断它的对称性？ 在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。 【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是x 轴、y 轴，原点是它的对称中心。 3、顶点： 提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？ 在标准方程122 22=-b y a x 中，令0=y 得a x ±=；令0=x ，则y 无解。 这说明双曲线有两个顶点，)0,(),0,(21a A a A -。 （2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线122 22=-b y a x 的实轴，其长度

双曲线的几何性质教案

教学过程 一、课堂导入 前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？今天我们以双曲线的标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

二、复习预习 双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。 当2a <2c 时，轨迹是双曲线 当2a =2c 时，轨迹是两条射线 当2a >2c 时，轨迹不存在 如果双曲线的焦点在x 轴上，即()()0,,0,21c F c F -，则双曲线的标准方程为22 221x y a b -=； 如果双曲线的焦点在y 轴上，即()()c F c F -,0,,021，则双曲线的标准方程为122 22=-b x a y 。

三、知识讲解 考点1 双曲线的简单几何性质

椭圆的离心率 （1）根据方程求离心率时，应先根据方程确定a 和b ，再由222c a b =+求出c ，最后由a c e = 得到离心率； （2）根据条件求离心率时，关键是找出c b a ,,满足的等量关系式，将b c a ,的等量关系式，两边 同时除以a 的最高次数，将a c 看作一个变量求解出，要注意1e >。

1．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（0=±b y a x ） 2．等轴双曲线 a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线.渐近线方程为x y ±=.它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚 3．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1) ()(2 222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22 22b y a x

双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

3.2.2双曲线的简单几何性质 （基础知识+基本题型） 知识点一 双曲线的性质 根据双曲线的标准方程22 221(0,0)x y a b a b -=>>研究它的几何性质． 1．范围 ,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或． 双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由22 2211y x b a --≥-，得y R ∈. 提示 双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的. 2．对称性 双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示 （1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关 于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称. （2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双 曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性. （4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中 心是双曲线的对称中心. 3．顶点与实轴、虚轴 如图所示．

（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴. （3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长. 拓展 双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形： （1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边 长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上. （2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论. 4．渐近线 （1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x 轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为 双曲线的渐近线.双曲线22 221x y a b -=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近. （2）渐近线方程：b y x a =±. 拓展 （1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为a y x b =±，两 者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了. （2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. （3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22 221x y a b -=共 焦点的双曲线方程可设为22 22221()x y b a a b λλλ -=-<<-+.

高中数学教程 双曲线的几何性质

高中数学教程 双曲线的几何性质（1） 目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之； 2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义； 4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。 重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。 （一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质； （二）新课讲解：以双曲线标准方程122 22=-b y a x 为例进行说明。 1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。 注意：从双曲线的方程如何验证？ 从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122 ≥a x 即2 2a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。 2．对称性：双曲线122 22=-b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 是双曲线122 22=-b y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。 在双曲线122 22=-b y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点 )0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122 22=-b y a x 的顶点。 令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。 虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。 在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。 4．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 图上看，双曲线122 22=-b y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 在初中学习反比例函数x k y =时提到x 轴y 轴都是它的渐近线。 高中三角函数tan y x =，渐近线是)(2 Z k k x ∈+=π π。 所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？ 思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。只要证明什么？——距离趋向于0. 下面证明，取第一象限内的部分进行证明。（见课本109P ） 求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程。 5．等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式：a b = 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2 2≠=-λλy x

新课标人教A版选修2-1辅导资料—双曲线的简单几何性质(含答案)

双曲线的简单几何性质 一、要点精讲 1．双曲线的标准方程和几何性质 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为()02 2≠=-λλy x ，离心率2= e ，渐近 线方程x y ±=。 3、共渐近线的双曲线系方程：与-22a x 22b y =1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-22a x ()022 ≠=λλb y ， 若0>λ，则双曲线的焦点在轴上；若0<λ，则双曲线的焦点在轴上。 4、共焦点的双曲线系方程： 与-22a x 22b y =1焦点相同的双曲线系方程可设为()22 222 21,+x y k b k a a k b k -=<<-

二、基础自测 1.（15安徽）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( ) （A ）22 14y x -= （B ）2214x y -=（C ）22 12y x -= （D ）2212 x y -= 2．（2013湖北）已知π 04 θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :222 21cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 3．（2013课标）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>,则C 的渐近线方程为 （ ） A ．14 y x =± B ．13y x =± C ．1 2 y x =± D ．y x =± 4.（15广东）已知双曲线C ：122 22=-b y a x 的离心率54 e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为 A ．13422=-y x B.191622=-y x C.116922=-y x D. 14 32 2=-y x 5．（2013湖南）设F 1、F 2是双曲线C,22 221x y a b -=(a >0，b>0)的两个焦点。若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2， 且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为____13+_______. 6．(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2 m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______． 解：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4 m ＝5，所以m ＝2. 三、典例精析 题型一：渐近线问题 1、已知双曲线的方程()0,02 22222>>=-b a b a y a x b ，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐 近线方程． 2.（2014新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：22 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线 的距离为 A B .3 C .D .3m 解：由C ：2 2 3(0)x my m m -=>，得 22 133 x y m -=，233,c m c =+=) F ，一条 渐近线 y x = ，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d = A.

第2章 2.6.2 双曲线的几何性质-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义

2.6.2双曲线的几何性质 学习目标核心素养 1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、 顶点、实轴长和虚轴长等)． 2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方 程．(重点) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问 题．(难点) 1．通过对双曲线几何性质的学 习，培养直观想象素养． 2．借助于几何性质的应用，提 升逻辑推理，数学运算素养． 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 1．双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a＞0，b＞0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a＞0，b＞0)性质 图形 焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) 焦距2c 范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；

半实轴长：a ，半虚轴长：b 离心率 e ＝c a ∈(1，＋∞) 渐近线 y ＝± b a x y ＝± a b x 思考1：能否用a ，b 表示双曲线的离心率？ [提示] 能. e ＝c a ＝a 2＋ b 2a ＝ 1＋b 2a 2． 思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝c a ＝a 2＋ b 2a ＝ 1＋b 2a 2，故当b a 的值越大，渐近线 y ＝b a x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 2．等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝2． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为2． ( ) (2)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝± b a x ． ( ) (3)离心率越大，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的渐近线的斜率绝对值越大． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ [提示] (1)√ 因为a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝c a ＝2． (2)× 由y 2a 2－x 2 b 2＝1，得y ＝±a b x ，所以渐近线方程为y ＝± a b x ． (3)√ 由b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1(e ＞1)，所以e 越大，渐近线y ＝± b a x 斜率的

高中数学第二章2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义含解析新人教A版选修1_1

2．2.2 双曲线的简单几何性质 预习课本P49～53，思考并完成以下问题 1．双曲线有哪些几何性质？ 2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？ 3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？ [新知初探] 1．双曲线的几何性质

2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置； (2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 2 4 ＝1的焦点在y 轴上( ) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．双曲线x 2 16－y 2 ＝1的顶点坐标是( ) A ．(4,0)，(0,1) B ．(－4,0)，(4,0) C ．(0,1)，(0，－1) D ．(－4,0)，(0，－1) 答案：B 3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29 ＝1 B.x 2 25－y 2 9＝1或y 225－x 2 9＝1 C.x 2100－y 236 ＝1 D. x 2 100－y 2 36＝1或y 2100－x 2 36 ＝1 答案：B 4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3 5 x ，则a ＝ ________. 答案：5

《双曲线的简单几何性质》说课稿

《双曲线的简单几何性质》说课稿 一、教材分析 1、教材地位 本节课是新课程人教A版选修2-1 第2章第三节第二课时。它是在学生学习了“椭圆的简单几何性质”和“双曲线的标准方程”础上，进一步研究双曲线的简单几何性质。 2、教材作用（重要模型，数形结合） 圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质.圆锥曲线的几何性质是通过它们的方程展开的，这体现了解析几何通过代数方法研究几何图形的性质特点，也就是坐标法。双曲线的简单几何性质这节课蕴含了丰富的数学思想方法和研究方法。首先双曲线的范围、对称性、顶点的研究充分体现了数形结合的思想方法。其次，这节课继续采用坐标法进行研究，充分体现了由“形”到“数”,再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用。 3、设计理念：体现素质教育的要求和新课程理念，融合"知识与技能"、"过程与方法"、"情感态度与价值观"三维教学目标，利用学校白板进行课件教学，突出课堂教学的互动性、思考性、有效性和创新性。注重学生学习过程的体验，体现自主、合作、探究的学习方式；注重数学基本能力的培养和基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的教育，同时反映数学学科前沿以及与科学、技术、社会的联系；教学过程中体现过程性评价对学生发展的作用，体现教师的有效指导作用。 二、目标分析 1.知识与技能目标 ①掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等简单几何性质。 ②通过类比椭圆简单几何性质的研究过程，自主研究并讨论双曲线的简单几何性质，进一步理解坐标法的思想。 2.过程与方法目标 ①提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 ②培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。 ③培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。 3.情感、态度与价值观目标 ①亲身经历双曲线几何性质的获得过程，感受数学美的熏陶。 ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。 ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为： ①重点：掌握双曲线的简单几何性质；会简单应用。 ②难点：双曲线的渐近线的理解和应用。 三、学情分析： 1、学生程度：我所教的学生是平行班的学生，但是学生求知欲强，积极性高。 2、知识方面：学生已经学习了椭圆的简单几何性质，对方程和曲线的关系有一定的了解。 3、能力方面：具备一定的计算能力和数形结合思想解题的基础。 四、教法学法分析 在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。 新课程倡导“自主、合作、探究”学习，引导学生自主探索、发现知识；通过设计问题，以支撑学生积极的学习活动，帮助他们成为学习活动的主体；创设真实的问题情境，诱发他们进行探索与解决问题。

高二数学双曲线讲义

高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生姓名： 授课教师： 授课时间： 11.23 一、知识点讲解 （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

渐近线 通 径 （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线122 22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ； （4）等轴双曲线为2 22t y x =-，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12 222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长= （2）设双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。 例1、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心， 以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ） 2 5 （D ）31+ 例2、设P 为双曲线2 2 112 y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ） A ．63 B ．12 C.123 D ．24 例3、已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e=3 21 的双曲线过点 P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直 线l,使G 平分线段MN ，证明你的结论 同步练习 X Y O F 1 F 2 P 2r

双曲线的简单几何性质总结归纳人教

一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；2 1221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ∆∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长 ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x 渐近线方程⇒=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=0=±b y a x 双曲线可设为λ=-2222 b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当⇔=时b a 离心率2=e 两渐近线互相垂直，分别为y=， 此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2 2 y x ；y = a b x ，y =－a b x ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2 ，两准线之距为2 122a K K c =⋅ ⑹焦半径：2 1()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）； 2 2()a PF e x ex a c =-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）； 当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略） ⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x )0(≠λ ⑻与双曲线122 22=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是1222 2=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短， 当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。 ⑽双曲线的通径（即通过焦点且垂直于x 轴的弦长）为2 2 a b 。 ⑾处理双曲线的中点弦问题常用差分法，即代点相减法。 ⑿注意两类特殊的双曲线 一类是等轴双曲线：其主要性质有：a b = ，离心率e =心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 另一类是共轭双曲线：其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形，有两支双曲线，而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支双曲线。 二．例题选讲 【例1】若00(,)M x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右支上时，证明：10||MF ex a =+，20||MF ex a =- 变式1：若00(,)M x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左支上时， 证明：10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 变式2：（2010江西理）点00()A x y ，在双曲线 22 1432 x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于，则= 解：a=2.c=6,r e d =3r d ⇒=,200023()2a x x x c =-⇒= 变式2：（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 112 42 2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3， 则M 到双曲线右焦点的距离是__________ 解： 4 22 MF e d ===，为点M 到右准线1x =的距离，=2，MF=4。 变式3：（09全国Ⅱ理）已知双曲线()22 2210,0x y C a b a b -=>>：的右焦点为,过且斜率为的直线交于A B 、两点， 若4AF FB =,则的离心率为 ( ) A ．65 B. 7 5 C. 58 D. 95 解：设双曲线22 221x y C a b -=：的右准线为,过A B 、分 别作AM l ⊥于,BN l ⊥于, BD AM D ⊥于,由直线AB 的 斜率为,知直线AB 的倾斜角1 6060,||||2 BAD AD AB ︒∴∠=︒=,

3.2.2 双曲线的简单几何性质 教案-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学设计 一、教学目标 1. 理解双曲线的简单几何性质； 2. 能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题. 二、教学重难点 1. 教学重点 双曲线的几何性质. 2. 教学难点 双曲线几何性质的应用. 三、教学过程 （一）新课导入 思考：在学习椭圆的几何性质时，我们是从哪几部分进行研究的？ 答：范围、对称性、顶点、离心率. 类比椭圆的几何性质，来研究双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，的几何性质. （二）探索新知 1. 范围 如图，双曲线上点的横坐标的范围是x a ≤-，或x a ≥，纵坐标的范围是y ∈R . 下面利用双曲线的方程求出它的范围. 由方程22221(00)x y a b a b -=>>，可得22 2211x y a b =+≥， 于是，双曲线上点的坐标()x y ，都适合不等式2 21x y a ≥∈R ，，即22x a y ≥∈R ， . 所以x a ≤-，或x a ≥；y ∈R . 这说明双曲线位于直线x a =-及其左侧和直线x a =及其右侧的区域.

2. 对称性 双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，关于x 轴、y 轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲 线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 3. 顶点 在方程22 221(00)x y a b a b -=>>，中，令0y =，得x a =±，因此双曲线和x 轴有两个交点 12(0)(0)A a A a -，，，.因为x 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它 们叫做双曲线的顶点. 令0x =，得22y b =-，这个方程没有实数解，说明双曲线和y 轴没有公共点，但也把12(0)(0)B b B b -，，，两点画在y 轴上（如图）. 线段12A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段12B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长. 4. 渐近线 实际上，经过两点12A A ，作y 轴的平行线3x =±，经过两点12B B ，作x 轴的平行线2y =±，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 032 x y ±=.可以发现，双曲线22194x y -=的两支向外延伸时，与两条直线032 x y ±=逐渐接近，但永远不相交.

高二数学讲义 双曲线的定义与性质

⑴了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ⑵掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． ⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． ⑷了解圆锥曲线的简单应用． ⑸理解数形结合的思想． ⑹了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． （一）知识内容 1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程： ①22 221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为(0)c -，，(0)c ，，222c a b =+； ②22 221(00)y x a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -， ，2(0)F c ，，222c a b =+； 3．双曲线的几何性质（用标准方程22 221(00)x y a b a b -=>>，来研究） ： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图． ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． ⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． ⑷实轴与虚轴： 两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴． 在y 轴上作点1(0)B b -， ，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴． ⑸渐近线：直线b y x a =±； ⑹离心率：c e a =叫做双曲线的离心率，1e >． 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔． 高考要求 第十讲 双曲线的定义与性质 知识精讲 B 1 x=-a x=a P M A 1 A 2 B 2 F 2 F 1O y x

2021年高二数学双曲线知识点及例题

高二数学双曲线知识点及例题 一 知识点 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2距离差绝对值是常数（不大于|F 1F 2|）点轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线焦点，两焦点间距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线第二定义： 平面内与一种定点距离和到一条定直线距离比是常数e （e>1）点轨迹叫双曲线。定点叫双曲线焦点，定直线叫双曲线准线，常数e 叫双曲线离心率。 3. 双曲线原则方程： （1）焦点在x 轴上： x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上： y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>()

<>≤-≥1范围：，或x a x a <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 <>= >41离心率：e c a e () e 越大，双曲线开口就越开阔。 <>± 5渐近线：y b a x = <>=±62 准线方程：x a c 5．若双曲线渐近线方程为：x a b y ± = 则以这两条直线为公共渐近线双曲线系方程可以写成： )0(22 22≠=-λλb y a x 【典型例题】 例1. 选取题。

新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(2)双曲线的几何性质(1)(教师版)doc

新课预习讲义 选修2－1：第二章§2.3双曲线（二） §2.3.2双曲线的简单几何性质（1） ●学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念. ●学习重点： 1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用. 2.双曲线的几何性质是考查的重点，其中离心率、渐近线是考查的热点． ●学习难点 1. 是渐近线的理解和应用． 2.双曲线的几何性质经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合出题，考查学生分析问题的能力 一、自学导航 ●知识回顾： 复习1：双曲线的定义及其标准方程 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

●预习教材：第56页——第63页的内容。 ●自主梳理： 1、双曲线的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率； 2.双曲线的渐近线 ●预习检测： 1．下列双曲线中离心率为 的是( ) A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1

解析：∵e＝ ，c2＝a2＋b2，∴e2＝ ＝ ＝1＋ ＝ 2＝ ， ∴ ＝ ，观察各曲线方程得B项系数符合，故选B. 答案： B 2．双曲线 － ＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A．2 B．2 C. D．1

解析：双曲线 － ＝1的一条渐近线为y＝ x， 从而c＝ ＝4，则其中一个焦点的坐标为(4,0)， 由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为 ＝2 ，故选A. 3．双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 的值为________． 解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1， 则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－ ＝b2＝4，∴m＝－

2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程_2.3.2 双曲线的简单几何性质(讲义)

2.3.2 双曲线的简单几何性质 课标要求:1.掌握双曲线的简单几何性质.2.能够利用双曲线的简单几何性质解题.3.能区分椭圆与双曲线的性质. 研究标准方程2 2 x a - 22 y b =1(a>0,b>0)的几何性质. 1.范围 (1)从“形”的角度看,双曲线在直线x=a 与x=-a 的外侧,即双曲线在不等式x ≥a 与x ≤-a 所表示的平面区域内,而在直线x=a 与x=-a 之间没有图象. (2)从“数”的角度看,双曲线上点的坐标满足2 2 x a -1= 22 y b ≥0,即x 2≥a 2, 所以x ≥a 或x ≤-a.这说明双曲线在不等式x ≥a 与x ≤-a 所表示的平面区域内. 2.对称性 以-x 代x 可得双曲线关于y 轴对称;以-y 代y 可得双曲线关于x 轴对称;以-x 代x,-y 代y 可得双曲线关于原点对称.即坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 3.顶点与实轴、虚轴 (1)顶点

双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在方程2 2 x a - 22 y b =1(a>0,b>0)中,令y=0,得x=±a,所以双曲线与x 轴的两个交点为A 1(-a,0),A 2(a,0),即双曲线的顶点,如图. 令x=0,得y 2=-b 2,这个方程没有实数根,说明双曲线与y 轴没有交点,但是我们也把B 1(0,-b),B 2(0,b)画在y 轴上. (2)实轴、虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 通过观察双曲线的图形可以看出,当双曲线2 2 x a -2 2 y b =1的各支向外延伸 时,与两条直线y=±b a x 逐渐接近,但永不相交,我们把这两条直线称为双曲线的渐近线. 5.离心率 (1)定义 双曲线的焦距与实轴长的比c a ,叫做双曲线的离心率.由a 2+b 2=c 2可得 e=c a . (2)范围

新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版)

新课预习讲义 选修2－1：第二章§双曲线（一） §2.双曲线及其标准方程 ●学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. ●学习重点： 1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点． 2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的． ●学习难点 1. 难点是双曲线的标准方程的推导． 2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现. 一、自学导航 ●知识回顾： 复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 复习2：椭圆的标准方程分哪两种不同形式？怎样区分？ 复习3：在椭圆的标准方程22 221x y a b +=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c = ●预习教材：第52页——第55页的内容。 ●自主梳理： _____________________________ ●预习检测： 1．点F 1，F 2是两个定点，动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为非负常数)，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条射线 B ．一条直线 C ．双曲线 D ．前三种情况都有可能 答案： D 2．已知方程x 24＋k －y 2 4－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( ) A ．－40 C ．k ≥0 D ．k >4或k <－4 解析： ∵x 24＋k －y 2 4－k ＝1表示双曲线，∴(4＋k )(4－k )>0，∴(k ＋4)(k －4)<0，∴－40，0

2019-2020年人教B版数学选修1-1讲义：第2章+2.2+2.2.2 双曲线的几何性质及答案

2.2.2双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？

[提示] e ＝c a ＝ a 2＋ b 2 a ＝1＋b 2a 2. 思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝c a ＝ a 2＋ b 2 a ＝1＋b 2a 2，故当b a 的值越大，渐近线y ＝b a x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 2．等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝ 2. 1．若0

C．x2 16－ y2 9＝1 D． x2 3－ y2 4＝1 C[∵e＝c a ＝5 4 ，F2(5,0)，∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9， ∴双曲线C的标准方程为x2 16 －y 2 9 ＝1.] 4．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为______． 17或17 4 [若双曲线焦点在x轴上，依题意得，b a ＝4， ∴b2 a2＝16，即 c2－a2 a2＝16，∴e 2＝17，e＝17. 若双曲线焦点在y轴上，依题意得，a b ＝4. ∴b a ＝1 4 ，b 2 a2＝ 1 16 ，即 c2－a2 a2＝ 1 16. ∴e2＝17 16 ，故e＝17 4 ， 即双曲线的离心率是17或17 4.] 坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解]把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n>0)化为标准方程为x2 m －y 2 n ＝1(m＞0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝m， 虚半轴长b＝n，c＝m＋n， 焦点坐标为(m＋n，0)，(－m＋n，0)，