幂函数图像及性质
幂函数图像及性质
什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z =
r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。
幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。
幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即
dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。
幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数
可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。
以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。
幂函数知识点
幂函数知识要点 一．定义：形如y=x a（是常数）的函数，叫幂函数。 二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示： 三．幂函数的性质： n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1) (2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大 n<0时,(1)图象都通过(1，1）
(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小 (3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。 注意事项： 1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负” 2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。 函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0 利用幂函数的性质比较数的大小。 例3．比较的大小。 分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。 启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。 分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。 启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。 五．自测题： 1.计算的值（） 2．下列命题中正确的是（） A.当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.若幂函数y=x n的图象关于原点对称，则y=x n在定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限 3．实数a,b满足0 幂函数的性质与变化规律 幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。 一、幂函数的定义和图像特点 幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。 幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面： 1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律： （1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。 （2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第 二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。 2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律： 幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。 二、幂函数的性质 1. 定义域和值域： 幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。 2. 奇偶性： 当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。 3. 单调性： 当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。 4. 渐近线： 当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴 正半轴，即有水平渐近线。 三、幂函数的变化规律 幂函数的变化规律主要由指数n和常数项a的取值决定。 1. 当n为正数时： 幂函数图象有规律 本文作者：王佩其 江苏 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分 各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分 图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成 一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质， ,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限 （如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象 限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限 并关于原点对称（如图3）。 利用规律，解题有方。请看以下例题： 例1 分别画出（1）2527y x -= ， （2）829y x =， （3）5y x = ， （4）18y x =的大致图象。 解析： （1）25 n=-＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图27 3中的①。 （2）82 n=＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y轴对称，如图2 9 中的④。 （3）5 n==＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，5 1 如图3中的④。 （4）1 n=＝奇数/偶数，0＜n＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一8 象限中的③。 例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）。 解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。 一般地，y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考! 幂函数的图像与性质 相关内容 1、形如y=x α的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 2 二、基础练习 1、判断下列哪些是幂函数 (1)y=0. 2 (2)y=x (3)y=3-x (4)y=x -1 (5)y=4x (6)y=x 2、画出下列函数的图像 (1)y=x (2)y=x (3)y=x (5)y= 1 -6734 43 x 12 (4)y=x 13 x (6)y=x 89 3、若幂函数y=f (x )的图象经过点(9, 4、若函数f (x )既是幂函数又是反比例函数, 则这个函数是f (x )= 5、幂函数f (x ) 的图象过点(，则f (x ) 的解析式是____________ 6、函数f (x )=(m 2-m -1) x m a 2 1 ), 则f(25)的值是_________ 3 -2m -3 是幂函数，且在x ∈(0,+∞) 上是减函数，则实数m=______ 7、已知-1 13 1 , y=2x , y=x 2+x , y=( ) 2x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8 、在y= 9、已知幂函数y= f (x ) 的图象过点(2, A .1 B. 2 C.10、幂函数y=x m 2-3m -4 ，则f (4)的值为( ) 2 1 D.8 2 A .-1 2 (m ∈Z) 的图象如下图所示，则m 的值为( ) B .0或2 C.1或3 D.0,1,2或3 x 2 5 2 x 11、若y=x , y=() , y=4x , y=x +1, y=(x -1) , y=x , y=a (a >1) 上述函数是幂函数的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12、幂函数y=x (α是常数) 的图象( ) A、一定经过点(0，0) B.一定经过点(1，1) C.一定经过点(-1，1) D.一定经过点(1，-1) 13、对于幂函数f (x )=x ，若0 45 α 12 x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) ) > 22x +x 2f (x 1) +f (x 2) )=C . f (1 22 A .f ( 幂函数 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点 幂函数的图像与性质 学习难点 幂函数性质的应用 学习过程 问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征 （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 1.幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 判断下列函数哪些是幂函数. ①1 y x = ；②22y x =；③3y x x =-；④1y =. 2.幂函数的图象与性质 作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表： x y = 2x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 1.幂函数的性质： 2.幂函数图象变化规律：． 练习： 下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数 例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性. 解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则 2 1212 121212121) )(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-= ++-= -=-， 因为21x x <，021>+x x ，所以 02 121<+-x x x x ， 授课主题：幂函数 教学目标 1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质. 2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质. 3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用. 教学内容 1．幂函数的定义： 一般地，形如() R y xαα =∈的函数称为幂函数，其中α是常数． 2．幂函数的图象： 函数y x =2 y x =3 y x =12 y x =1 y x- =的图象 -1 -1 1 1 y=x y=x3 y=x2 y=x y= 1 x y x O y x =2 y x =3 y x =12 y x =1 y x- =定义域R R R[0,) +∞(0)(0) -∞+∞ ，，值域R[0,) +∞R[0,) +∞(0)(0) -∞+∞ ，，奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性单调递增 在(0] -∞，上减 在[0) +∞ ，上增 单调递增单调递增 在(0) -∞，和 (0) +∞ ，上单调递减公共点(11) ，(11) ，(11) ，(11) ，(11) ，图象所在象限一、三一、二一、三一一、三 3．幂函数的性质： （1）所有的幂函数在(0)+∞， 都有定义，并且图象都通过点(11)，； （2）0a >时，幂函数的图象通过原点，并且在[0)+∞， 上是增函数； （3）0a <时，①幂函数在(0,)+∞上是减函数； ②在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． （6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （7）幂函数n m y x =奇偶性 ①当n 为偶数时，n m y x =为偶函数； ②当n 为奇数，m 为奇数时，n m y x =为奇函数； ③当n 为奇数，m 为偶数时，n m y x =为非奇非偶函数． 特别地，幂函数n y x =（Z n ∈），当n 为偶数时，n y x =为偶函数； 当n 为奇数时，n y x =为奇函数． 题型一 幂函数概念的理解应用 例1 函数2 23 ()(1)m m f x m m x +-=--是幂函数，且当() 0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式. 幂函数的图像与性质 一: 核心梳理、茅塞顿开 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. n 为奇数 n 为偶数 例2 （1）计算：25 .021 213 25 .0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -（2）.)4()3(6 521 3321 21231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86- ?-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α （a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 答案：C 例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：() (),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 幂函数的性质 幂函数是数学中常见的一类函数，由底数与指数两部分组成。在数 学中，幂函数被广泛应用于各个领域，例如物理学、经济学和工程学等。本文将探讨幂函数的性质，包括定义、图像、导数和应用等方面。 1. 定义 幂函数的一般形式为f(x) = ax^b，其中a为非零实数，b为常数。对于a>0的情况，幂函数为正幂函数，图像呈现增长特性；对于a<0的 情况，幂函数为负幂函数，图像则出现上下颠倒的特点。 2. 图像特征 幂函数的图像特征与指数b的取值相关。当0 当x趋近于正无穷大或负无穷大时，幂函数f(x) = ax^b的极限为正 无穷或负无穷，具体取决于指数b的奇偶性。如果b>0，则幂函数的图像趋近于正无穷或负无穷；如果b<0，则幂函数的图像趋近于零。此外，指数b还决定了幂函数的渐近线，当b>1时，y轴为幂函数的水平渐近线；当0 幂函数指数函数对数函数的图像和性质 在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。 首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,a eq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。 接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其 中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也 是一种以连续变量为参数的可导函数。 最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以 看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。 接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数 联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。 以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。 以上，就是本文关于“幂函数指数函数对数函数的图像和性质”的详细介绍，从本文可以看出，它们之间有着千丝万缕的联系，熟悉这些函数的性质及它们之间的关系，对理解数学也是十分有帮助的。 幂函数图像及性质总结表格 幂函数图像及性质总结表格 ________________________________________ 一般来说，幂函数是指形式为f(x)=x^n (n是任意实数)的函数，在数学中，它被用来描述多种实际现象，并具有很强的表示能力。本文将介绍幂函数的图像特征以及性质总结表格。 #### 一、幂函数的图像特征 1、f(x)=x^n的图像有六种不同的形式： （1）当n为正奇数时，其图像为单调递增的开口向上的抛物线； （2）当n为正偶数时，其图像为单调递增的闭合曲线； （3）当n为负奇数时，其图像为单调递减的开口向下的抛物线； （4）当n为负偶数时，其图像为单调递减的闭合曲线； （5）当n=1时，其图像为直线y=x； （6）当n=0时，其图像为直线y=1。 2、f(x)=x^n的图像的性质可以通过下表总结出来。 | 指数n | 单调性 | 凹凸性 | 函数图像 | |:------:|:---------:|:---------:|:---------:| | n>0 | 递增 | 凸 | 抛物线 | | n<0 | 递减 | 凹 | 抛物线 | | n=1 | 直线 | 直线 | y=x | | n=0 | 常数 | 常数 | y=1 | #### 二、性质总结 1、f(x)=x^n (n为正实数)在x=0处取得极小值，在x→∞时取得极大值。 2、f(x)=x^n (n为负实数)在x=0处取得极大值，在x→∞时取得极小值。 3、f(x)=x^n (n为正实数)的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。 4、f(x)=x^n (n为正实数)的函数图像关于y轴对称。 5、f(x)=x^n (n为正实数)在区间[0,+∞)上是单调递增的；在区间(-∞,0]上是单调递减的。 五种基本函数图像和性质 1、幂函数 形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 （1）图像 几个常见的幂函数图像： 注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。 （2）性质： •幕函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 •所有幕函数在（0，+00）上都有定义，并且图像都经过点（1，1）。 •当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数 •当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数 •当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1) •当a=1时，函数图像为过（0,0），（1,1）且关于原点对称的射线 •当0 •当分母为偶数时，函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限 •当分母为奇数时，分子为偶数，函数为偶函数，图像在一、二象限，图像关于Y轴对称 •当分母为奇数时，分子为奇数，函数为奇函数，图像在一、三象限，图像关于原点对称 2、指数函数 函数y=a^x（a>0且a≠1）叫做指数函数，自变量x叫做指数，a叫做底数函数的定义域是R. （1）图像 （2）性质 •指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的函数值恒大于零，定义域为R，值域为（0，+00） •指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图像经过点（0，1） •指数函数y=a^x（a>1）在R上递增，指数函数y=a^x（0 幂函数知识总结 幂函数学问总结 幂函数复习 yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是一、幂函数定义：形如 常数。 留意：幂函数与指数函数有何不同？ 【思索提示】本质区分在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．观看图： 归纳：幂函数图像在第一象限的分布状况如下： 二、幂函数的性质 归纳：幂函数在第一象限的性质： 0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（0,）上单调递增。0，图像过定点（1,1），在区间（0,）上单调递减。 探究：整数m,n的奇偶与幂函数yx(m,nZ,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？ 结果：形如yx(m,nZ,且m,n互质)的幂函数的奇偶性 （1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称； （3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法： 关键先画第一象限，然后依据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结： yx(0,1)的图像：1、幂函数 mnmn yx(q,p,qZ,p,q互质)p的图像： 2、幂函数 3、比拟幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需查找一个恰当的数作为桥梁来比拟大小． 题型一：幂函数解析式特征 例1.以下函数是幂函数的是（）A．y=x xB.y=3xC.y=x+1D.y=x 221232m2m1y(mm1)x练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式． 2a9f(x)(a9a19)x练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求 幂函数的图像与性质 教学目标： 1.掌握幂函数的概念。 2.掌握幂函数的性质和图像。 3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。 4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。 教学重点：幂函数的图像与性质 教学难点：幂函数的图像 教学过程： (一)知识要点： 1定义 形如q p y x =，（其中,,0p q Z p ∈≠且,p q 互质）的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，指数是有理数 q p 。 2幂函数q p y x =的性质 小结：幂函数图像在第一象限的特点。 （1）图像必过(1,1)点。 （2）1q p >时，过(0,0)点，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸。在第一象限是增函数。 （3） 1q p =时，图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数。（在整个定义域内都是增函数。） （4）10q p >>时，随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸。在第一象限是增函数。 （5） 0q p <时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象限是减函数。 （二）例题选讲： 例1.下列各式中表示幂函数的有（ ） 答案：C E F A 、12 3y x = B 、x y x = C 、23 y x = D 、2x y = E 、y = F 、0.5y x = G 、y =例2.研究函数12 y x -=的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。 解：函数12 y x -=的定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞。 （1）奇偶性。 因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。 （2）单调性。 对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x < 可得0< <0>> 即12y y > 所以函数12 y x -=在(0,)+∞上为减函数。 描点作图： 幂函数的图像与性质 一: 核心梳理、茅塞顿开 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. n 为奇数 n 为偶数 例2 （1）计算：25 .021 213 25 .0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ⋅⋅⨯ -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ⋅⋅⋅⋅- -（2）.)4()3(6 521 3321 21231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86- ⨯-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α （a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 答案：C 例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解：2 20230 m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：() (),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 对数函数的运算、性质以及幂函数图像性质 一、对数函数的运算 1、对数的定义： 如果a x =N （a >0，a ≠1）那么数x 叫做以a 为底N 的对数。 记作: x=lo g a N ，其中i a 叫做对数的底数，N 叫做真数， x=lo g a N 叫做对数式． 常用对数：log 10N=lgN 自然对数：log e N=lnN 2、指数式和对数式的联系： 指数 对数 x a N =⇔(a>log 0a 1)a N x =≠且 3、对数的运算性质 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： log log log a a a MN M N =+；log log log a a a M M N N =- log log ()n a a M n M n R =∈ 语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 给出四个等式: 1)lg(lg10)0;2)lg(ln )0; 3)e ==2 若lgx=10,则x=10;4)若lnx=2,则x=e 4、对数换底公式 log log log m a m N N a = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 两个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则 1)log log 1a b b a ⋅=；2)log log m n a a n b b m = 二、对数函数图像与性质 三、幂函数图像及性质 1.幂函数的定义 形如 y = x a 的函数叫做幂函数，其中 a 是常数且 a ∈ R 2.幂函数的定义域： 是使 x a 有意义的实数的集合。随a 的不同而不同 幂函数的图像与性质 【知识整理】 1、幂函数的定义 一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都 是基本初等函数. 注意：y xα =中，前面的系数为1，且没有常数项。 2、幂函数的图像 （1）y x = （2） 1 2 y x = （3）2 y x =（4）1 y x- =（5）3 y x = 3、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11 x ）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴。 基础训练： 1. 下列函数是幂函数的是( ) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 2.已知函数y＝(m2＋2m－2)x m＋2＋2n－3是幂函数，则m=________，n=_________. 3.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9，3)，则f(100)＝________． 4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( ) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x 1 2 5. 下列函数中，定义域为R的是( ) A．y＝x－2B．y＝x 1 2C．y＝x2 D ．y ＝x －1 6. 函数y ＝x 5 3的图象大致是( ) 7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 13 8. 函数y ＝x －2 在区间[1 2 ，2]上的值域为________． 9. 设α∈{－1，1，1 2，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α 的值组成的集合为________． 例题精析： 例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为______________ 变式训练： 幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个 “卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 1 2的图象经过的“卦限”是___________. 例2．比较下列各组数的大小： (1) 和－52； (2)－8－78和－(19 )78； (3)(－23)－23和(－π6)－23； (4)，－23和(－－3 5 .幂函数的性质与变化规律
幂函数的图象及性质
幂函数的图像与性质(最新)
幂函数的图像与性质
3.4幂函数的图像及其性质
幂函数图象及其性质
幂函数的性质
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数图像及性质总结表格
五种基本函数图像和性质
幂函数知识总结
幂函数的图像与性质
3幂函数图象及其性质
对数函数、幂函数运算及图像性质
幂函数的图像与性质教案与练习