幂函数的概念与性质
幂函数的概念与性质
幂函数是数学中常见的一类函数，其形式为f(x) = ax^n，其中a和
n分别表示常数，x表示自变量。本文将探讨幂函数的概念以及其性质。
1. 幂函数的定义
幂函数是指以自变量的某个幂为指数的函数。其中，a表示比例常数，n表示幂指数。幂函数可以表示为f(x) = ax^n，其中a和n为常数。
2. 幂函数的例子
幂函数的例子包括二次函数、三次函数、平方根函数等。例如，二
次函数f(x) = ax^2、三次函数f(x) = ax^3以及平方根函数f(x) = ax^(1/2)等都属于幂函数。
3. 幂函数的性质
（1）定义域和值域：对于幂函数f(x) = ax^n，定义域取决于幂指数
n的奇偶性和基数a的正负性。当n为偶数时，定义域可以是全体实数；当n为奇数时，如果a为正数，定义域也是全体实数，如果a为负数，则定义域为负实数，因为负数的奇次方不能得到实数结果。对于值域，当n为奇数时，值域为全体实数；当n为偶数时，若a为正数，值域为非负实数，若a为负数，值域为非正实数。
（2）奇偶性：幂函数在n为奇数时具有奇函数的特点，即f(-x) = -
f(x)，在n为偶数时则没有这个性质。
（3）单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增的；当n 为负数时，幂函数在定义域上是递减的。
（4）图像：幂函数的图像可以是直线、抛物线、半圆等形状，具体形状取决于幂指数n的值。
通过对幂函数的定义和性质的分析，我们可以更好地理解和应用幂函数。幂函数在数学中具有广泛的应用，被用于描述自然界的现象、建模和解决实际问题等。深入理解幂函数的概念和性质有助于我们更好地掌握数学知识，并在实际应用中灵活运用。
总结起来，幂函数是一类常见的函数形式，包括了二次函数、三次函数、平方根函数等。通过对幂函数的定义和性质的研究，我们了解到它们的定义域、值域、奇偶性、单调性和图像等特点。深入理解幂函数有助于我们更好地应用它们解决实际问题，同时也对我们的数学思维能力的发展起到推动作用。
幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质 一: 核心梳理、茅塞顿开 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. n 为奇数 n 为偶数
例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()94 5()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -（2）.)4()3(6 521 3321 21231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86- ?-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α （a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 答案：C 例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞U 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
幂函数知识点
幂函数知识要点 一．定义：形如y=x a（是常数）的函数，叫幂函数。 二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示： 三．幂函数的性质： n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1) (2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大 n<0时,(1)图象都通过(1，1）
(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小 (3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。 注意事项： 1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负” 2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。 函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0 利用幂函数的性质比较数的大小。 例3．比较的大小。 分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。 启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。 分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。 启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。 五．自测题： 1.计算的值（） 2．下列命题中正确的是（） A.当n=0时，函数y=x n的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.若幂函数y=x n的图象关于原点对称，则y=x n在定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限 3．实数a,b满足0 幂函数的性质 幂函数是数学中常见的一种函数形式，由x的幂次和常数项构成。 幂函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^n + b，其中a、n和b为常数， 且n为正整数。幂函数具有独特的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点等，下面将详细探讨幂函数的各种性质。 一、定义域 幂函数的定义域取决于幂指数n的奇偶性： 当n为奇数时，幂函数的定义域为实数集； 当n为偶数时，幂函数的定义域取决于系数a的正负性： - 若a>0，则幂函数的定义域为非负实数集，即x ≥ 0； - 若a<0，则幂函数的定义域为空集，即不存在实数使幂函数的结 果为负数。 二、值域 幂函数的值域也与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关： 当n为奇数时，幂函数的值域为全体实数； 当n为偶数时，幂函数的值域取决于系数a的正负性： - 若a>0，则幂函数的值域为非负实数集，即f(x) ≥ 0； - 若a<0，则幂函数的值域在实数轴上存在最大值，即存在一个唯 一的实数C使得f(x) ≤ C。 三、奇偶性 幂函数的奇偶性由幂指数n来决定： 当n为偶数时，幂函数为偶函数，即f(x) = f(-x)，图像关于y轴对称； 当n为奇数时，幂函数为奇函数，即f(x) = -f(-x)，图像关于原点对称。 四、单调性 幂函数的单调性与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关： 当n为正整数且n为奇数时，幂函数在整个定义域上单调递增或单调递减； 当n为正整数且n为偶数时，幂函数在定义域上存在极值点，若系数a>0，则为单调递增，若系数a<0，则为单调递减。 五、图像特点 幂函数的图像具有一些特点： 当n为正整数时： - 当n为奇数时，幂函数的图像经过点(0, 0)且从第三象限经过第一象限，右上倾斜； - 当n为偶数时，幂函数的图像经过点(0, 0)，右侧在y轴上方且上升（a>0）或下降（a<0）。 幂函数图像及性质 什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z = r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。 幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。 幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即 dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。 幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数 可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。 以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。 幂函数知识点总结 幂函数是数学中常见的一类函数，主要应用于数据分析和物理学中。它有着独特的数学性质，并且能够解释一系列规律性的现象，因此在各个领域中都有着广泛的应用。本文将综合介绍幂函数的基本性质、作用机制和表达方式，以及其在实际应用中的各种特性。 一、基本性质 幂函数（Power Function）是一类函数，通常定义为 y=x^n，其中x为变量，n为常数。它同样也是一种一元函数，因为它只有一个变量X，表示函数值由变量X决定。 二、作用机制 幂函数的作用机制主要体现在它的图象与数轴上。因为x的增大会使得y的值也会加大，所以函数的图象通常是一条上凸的曲线。这条曲线在原点处发散无限，而且具有明显的拐点，即抛物线的最高点。 此外，幂函数的作用机制还表现出了其“加速增长”的性质。从图象上看，在抛物线最高点处，x增大时，y值会比较稳定，但是在x值增大之后，y值会变化得越来越快，这也是函数的最显著特征。 三、表达方式 幂函数的表达方式很简单，一般情况下，以n来表示其幂的值，并且幂的值可以是整数、实数或负数，但必须保证x的值不等于0，这里说明由于x不等于0才有意义，因为若x等于0时，n为任意值，y都等于0. 例如： y=x^2，即平方函数，n=2； y=x^3，即立方函数，n=3； y=x^2，即倒数平方函数，n=2. 四、实际应用 1、数据分析：幂函数在数据分析中应用十分广泛，其特有的“加速增长”性质，让数据分析者能够以规律的路径追求特定的结果。例如，可以利用幂函数进行回归分析，以拟合给定数据；此外，可以利用幂函数构建概率模型，更好地研究联系型数据间的关系； 2、物理学：幂函数在物理学中也有着广泛应用，可以用来模拟夸克的衰变过程，更好地理解物质的衰变规律；另外，也可以利用幂函数，研究物体受力的加速度变化，以及质量变化对物体运动的影响等。 综上所述，幂函数是一类重要的函数，它的基本性质、作用机制和表达方式构成了幂函数的基本框架，而在实际应用中，幂函数又有着广泛的用途，能够用于数据分析和物理学等领域，从而帮助人们更好地理解客观事物的变化规律。 教学过程： 一、幂函数 1．幂函数的定义 ⑴一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数； ⑵112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像 ⑵归纳幂函数的性质： ① 当0α>时： ⅰ）图象都过()()0,0,1,1点。 ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且α越大，上升速度越快。 ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时，图象上凸。 ② 当0α<时： ⅰ）图象都过()1,1点。 ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且α越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解： 2 1x 1-=x 例1 写出下列函数的定义域和奇偶性 （1）4 y x = （2）14 y x = （3）3y x -= （4）2y x -= 例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）1 16 62,3 ；（2）4 314.3- 与4 3- π ；（3）35)88.0(-与53 (0.89)-． 思考：.比较下列各数的大小：(1)2333 4 4 1.1,1.4,1.1； (2) 3338 4 2 0.16,0.5,6.25.-- 例3 已知函数()()22 1 2.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是 （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？ 例4 已知函数画出23 y x -=的大致图象。 ⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23 y x -=的大致图象。 二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点(zero point). 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴 有交点 函数y=f(x)有零点 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c ∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根. 2、二分法 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a) · f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a) · f(b)<0，给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x 1 3、计算f(x 1); (1) 若f(x 1)=0,则x 1就是函数的零点 幂函数的概念与性质 幂函数是数学中常见的一类函数，其形式为f(x) = ax^n，其中a和 n分别表示常数，x表示自变量。本文将探讨幂函数的概念以及其性质。 1. 幂函数的定义 幂函数是指以自变量的某个幂为指数的函数。其中，a表示比例常数，n表示幂指数。幂函数可以表示为f(x) = ax^n，其中a和n为常数。 2. 幂函数的例子 幂函数的例子包括二次函数、三次函数、平方根函数等。例如，二 次函数f(x) = ax^2、三次函数f(x) = ax^3以及平方根函数f(x) = ax^(1/2)等都属于幂函数。 3. 幂函数的性质 （1）定义域和值域：对于幂函数f(x) = ax^n，定义域取决于幂指数 n的奇偶性和基数a的正负性。当n为偶数时，定义域可以是全体实数；当n为奇数时，如果a为正数，定义域也是全体实数，如果a为负数，则定义域为负实数，因为负数的奇次方不能得到实数结果。对于值域，当n为奇数时，值域为全体实数；当n为偶数时，若a为正数，值域为非负实数，若a为负数，值域为非正实数。 （2）奇偶性：幂函数在n为奇数时具有奇函数的特点，即f(-x) = - f(x)，在n为偶数时则没有这个性质。 （3）单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增的；当n 为负数时，幂函数在定义域上是递减的。 （4）图像：幂函数的图像可以是直线、抛物线、半圆等形状，具体形状取决于幂指数n的值。 通过对幂函数的定义和性质的分析，我们可以更好地理解和应用幂函数。幂函数在数学中具有广泛的应用，被用于描述自然界的现象、建模和解决实际问题等。深入理解幂函数的概念和性质有助于我们更好地掌握数学知识，并在实际应用中灵活运用。 总结起来，幂函数是一类常见的函数形式，包括了二次函数、三次函数、平方根函数等。通过对幂函数的定义和性质的研究，我们了解到它们的定义域、值域、奇偶性、单调性和图像等特点。深入理解幂函数有助于我们更好地应用它们解决实际问题，同时也对我们的数学思维能力的发展起到推动作用。 幂函数的定义和性质 幂函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为f(x)=ax^b，其中a 和b是实数，且a不等于零。 1. 幂函数的定义 幂函数是由变量的幂指数决定的函数，其中底数为自变量x，指数为常数b。常见的幂函数包括平方函数和立方函数。幂函数的一般形式为f(x)=ax^b，其中a不为零。 2. 幂函数的性质 2.1 定义域和值域 幂函数的定义域是实数集R中所有使得底数非负的x值。当指数b 为正数时，幂函数的值域是正实数集R+；当指数b为负数时，幂函数的值域是(0, +∞)。 2.2 奇偶性 当指数b为偶数时，幂函数f(x)=ax^b是偶函数，即关于y轴对称；当指数b为奇数时，幂函数f(x)=ax^b是奇函数，即关于原点对称。 2.3 单调性 当底数a为正数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递增函数；当底数a为负数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递减函数。 2.4 极限性质 当指数b大于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数 f(x)=ax^b也趋近于正无穷大；当指数b小于零时，随着自变量x趋近 于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b趋近于零。 2.5 对称轴 当指数b为整数且为偶数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为y轴；当指数b为整数且为奇数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为原点。 3. 幂函数的图像特征 幂函数的图像特征与底数a和指数b的大小关系密切相关： 3.1 当底数a大于1时，幂函数的图像在x轴的右侧递增，离x轴越远函数值越大。 3.2 当底数0 < a < 1时，幂函数的图像在x轴的右侧递减，离x轴 越远函数值越小。 3.3 当底数a为负数且指数b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称。此时，随着底数a变为负数，图像会上下翻转。 3.4 当底数a为负数且指数b为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。此时，随着底数a变为负数，图像会关于原点上下翻转。 4. 应用举例 幂函数知识点总结 幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域中都有 着广泛的应用。从初中开始，我们就接触到了简单的幂函数，随着学 习的深入，我们逐渐掌握了更多关于幂函数的知识。在本文中，我们 将对幂函数的相关概念、性质和应用进行总结和探讨。 1. 幂函数的定义和表示方式 幂函数是指以一个常数为底数，自变量为指数的函数。一般表示为：f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量，f(x)为函数值。 2. 幂函数的基本性质 2.1 幂函数的奇偶性与增减性： 当底数a为正数且不等于1时，幂函数f(x) = a^x在定义域内是奇函数；当底数a为负数时，幂函数f(x) = a^x是偶函数。 当底数a大于1时，幂函数是增函数，当底数a在(0,1)之间时，幂 函数是减函数。 2.2 幂函数的单调性： 当底数大于1时，幂函数是递增的；当底数小于1时，幂函数是递 减的。 2.3 幂函数的相关性质： a^0=1，a^1=a，a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(m*n)， (a^m)/(a^n)=a^(m-n)，(a/b)^n=a^n/b^n。 3. 幂函数图像和特征 幂函数的图像具有一些独特的特征，这在解析题或者问题求解时具有重要意义。 3.1 幂函数的渐近线： 当底数大于1时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线；当底数小于1时，幂函数的图像在x轴上有一个水平渐近线。 3.2 幂函数的特殊点： 当底数大于1时，幂函数的图像经过点(0,1)；当底数小于1时，幂函数的图像经过点(0,1)和点(1,a)。 3.3 幂函数的拐点： 当幂函数的底数a大于1时，图像经过点(1,a)并且有一个拐点；当底数a小于1时，图像经过点(1,a)但没有拐点。 4. 幂函数的应用 幂函数在实际问题的解决中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景： 4.1 音乐和声音强度的计算： 幂函数的概念与性质 幂函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学领域拥有广泛的应用。本文将介绍幂函数的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应 用这一数学工具。 一、幂函数的概念 幂函数是指形如f(x)=ax^n的函数，其中a和n为常数，n为指数。 其中，a称为底数，n称为指数。这里要注意的是，底数a必须大于0 且不等于1，指数n可以是任意实数。 幂函数在底数和指数的选择上具有很大的灵活性。当n为正整数时，幂函数表现为递增或递减的特点，如f(x)=2x^3，其图像为一个开口向 上的曲线；当n为负整数时，幂函数则表现为递减或递增的特点，如 f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}，其图像为一个开口向下的曲线；当n为小数或 分数时，幂函数则表现出递增或递减的平缓特点，如f(x)=\sqrt{x}，其 图像为一条从原点开始向右上方延伸的曲线。 二、幂函数的性质 1. 定义域和值域： 幂函数的定义域为实数集，即该幂函数对于任意实数x都有定义。 值域则根据底数a和指数n的取值情况而定。 2. 奇偶性： 当指数n为偶数时，幂函数是对称于y轴的偶函数，即f(x)=f(-x)； 当指数n为奇数时，幂函数则是关于原点对称的奇函数，即f(x)=-f(-x)。 3. 单调性： 当指数n为正数时，幂函数是递增的；当指数n为负数时，幂函数 则是递减的。 4. 渐近线： 当指数n为正数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正无穷， 即具有一条水平渐近线y=0；当指数n为负数时，幂函数的图像在x轴 的右侧将趋近于正0，其图像也会具有一条水平渐近线y=0。 5. 极值点： 幂函数在底数为正且指数为正偶数时，不存在极值点；在底数为正 且指数为负偶数时，幂函数存在一个局部极大值点；在底数为负且指 数为任意实数时，幂函数既不具有极小值也不具有极大值。 6. 对称轴： 幂函数的对称轴一般位于y轴，并且是关于y轴对称的。当指数n 为奇数时，幂函数的对称轴位于原点。 7. 特殊性质： 当底数a是自然常数e（约等于2.71828）时，所得到的幂函数称为 自然指数函数，常用符号为f(x)=e^x。 幂函数的性质 幂函数是数学中常见的一类函数，由底数与指数两部分组成。在数 学中，幂函数被广泛应用于各个领域，例如物理学、经济学和工程学等。本文将探讨幂函数的性质，包括定义、图像、导数和应用等方面。 1. 定义 幂函数的一般形式为f(x) = ax^b，其中a为非零实数，b为常数。对于a>0的情况，幂函数为正幂函数，图像呈现增长特性；对于a<0的 情况，幂函数为负幂函数，图像则出现上下颠倒的特点。 2. 图像特征 幂函数的图像特征与指数b的取值相关。当0 当x趋近于正无穷大或负无穷大时，幂函数f(x) = ax^b的极限为正 无穷或负无穷，具体取决于指数b的奇偶性。如果b>0，则幂函数的图像趋近于正无穷或负无穷；如果b<0，则幂函数的图像趋近于零。此外，指数b还决定了幂函数的渐近线，当b>1时，y轴为幂函数的水平渐近线；当0 幂函数的图像与性质 一、根式与有理数指数幂 1、根式 （1 （2 ① ② 2 （1 ③0 （2 ① ② ③ 二、幂函数 1、幂函数的定形如()a y x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值 时，()f x ： （1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数； 练习：已知函数2 21 ()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何 值时，()f x 是 （1）正比例函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 （4）幂函数 三、幂函数的图像 幂函数a y x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数a y x =的图象（部分图像） 2、单调性：（只研究第一象限的单调性） 当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增； 当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数 如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数 (,,,a q q y x a p q N p p *== ∈为最简分式）的图象 备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。 4、幂的大小与函数图像的关系 总结： 在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小； 练习、右图为幂函数 y x α =在第一象限的 图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 题型分析： 一、求定义域 1、函数2 3- =x y 的定义域为 . 2、函数y ＝（x 2－2x ）2 1－的定义域 3、求函数25 y x =的定义域 练习：1、若a 2 1＜a 2 1－ ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞0 C ．1＞a ＞0 D ．1≥a ≥0 2、若2 1 )1(－＋a ＜2 1) 23(－－a ，求则a 的取值范围 二、单调性 1、函数y ＝5 2x 的单调递减区间为（ ） A ．（－∞，1） B ．（－∞，0） C ．［0，＋∞］ D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ） A ．13 y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -= 三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数2 3-=x y ，那么函数为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．减函数 2、已知幂函数25 y x = ，那么函数为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 3 22 --m m （m ∈Z ）为偶函数，且 在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ） （）（x xf b x f -的奇偶性 x O y a y x =b y x = c y x = 幂依次减小 幂函数与指数函数的概念与性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和实际生 活中的应用非常广泛。本文将重点介绍幂函数和指数函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和运用这两种函数。 一、幂函数的概念与性质 幂函数是一类以自变量的幂次为指数的函数，表达形式为f(x) = x^n。其中，n为常数，可以是整数、分数或负数。幂函数可以分为正幂函数 和负幂函数。 1. 正幂函数 当n为正数时，幂函数为正幂函数，表达式为f(x) = x^n。正幂函 数的图像随着n的变化而发生改变。 - 当n > 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变陡；当x > 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数增长的趋势。 - 当0 < n < 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变缓；当0 < x < 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数衰减的趋势。 - 当n = 1时，正幂函数是线性函数，图像为一条直线，斜率为1。 2. 负幂函数 当n为负数时，幂函数为负幂函数，表达式为f(x) = x^n。负幂函 数的图像在定义域内是连续的，它们在x轴上的负半轴上逐渐变陡， 而在x轴上的正半轴上逐渐变缓。 二、指数函数的概念与性质 指数函数是以一个正实数为底数，以自然对数e（约等于2.71828） 为底，以变量的指数作为乘幂的函数，表达形式为f(x) = a^x。 指数函数的性质如下： 1. 底数为a的指数函数与底数为1/a的指数函数互为倒数关系。即 f(x) = a^x 和 g(x) = (1/a)^x 互为倒数。 2. 指数函数在不同的底数和指数变化下，有不同的增长趋势： - 当a > 1时，指数函数呈现出指数增长的趋势，随着x的增大， f(x)的值变得更大。 - 当0 < a < 1时，指数函数呈现出指数衰减的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更小。 三、幂函数与指数函数的关系 幂函数和指数函数之间存在密切的联系，可以通过归纳法来证明它 们的相互转化关系。通过变换指数、底数等，可以将一个幂函数转化 为指数函数，反之亦然。 在实际应用中，幂函数和指数函数经常用于描述各种增长和衰减的 过程。例如，经济学中的复利计算、物理学中的指数增长和衰减等。 总结： 本文重点介绍了幂函数和指数函数的概念与性质。幂函数以自变量 的幂次为指数，可以分为正幂函数和负幂函数。指数函数以一个正实 幂函数知识点 幂函数是数学中的一种常见函数形式，它的数学表达式为f(x) = x^a，其中a 是实数。幂函数在数学和科学中有着广泛的应用，它可以描述许多自然界中的现象。本文将带您逐步了解幂函数的定义、性质和应用。 一、幂函数的定义 幂函数是指以自变量为底数的指数函数。它的一般形式为f(x) = x^a，其中x 为自变量，a为实数。在这里，a被称为幂指数，控制着函数的形状。 二、幂函数的性质 1.定义域和值域：幂函数的定义域为所有正实数和0，值域则取决于幂 指数的奇偶性。当a为正偶数时，函数图像在y轴的右侧无上界；当a为负 偶数时，函数图像在y轴的左侧无上界。当a为正奇数时，函数图像在整个 坐标平面上，有上下界；当a为负奇数时，函数图像在整个坐标平面上，有 左右界。 2.对称性：当幂指数为偶数时，幂函数关于y轴对称；当幂指数为奇 数时，幂函数关于原点对称。 3.增减性：幂函数的增减性取决于幂指数的正负。当a大于0时，函 数在定义域上是严格递增的；当a小于0时，函数在定义域上是严格递减的。 4.特殊情况：当幂指数为0时，函数为常数函数f(x) = 1；当幂指数为 1时，函数为恒等函数f(x) = x。 三、幂函数的应用 幂函数在许多科学领域中有着重要的应用。以下是一些常见的实际应用示例： 1.物理学中的运动学：在运动学中，幂函数可以描述物体的位移、速度 和加速度之间的关系。例如，当幂指数为2时，函数表示匀加速运动中的位 移和时间的关系。 2.经济学中的成本函数：在经济学中，幂函数可以用于描述成本与产量 之间的关系。例如，当幂指数为1时，函数表示线性成本函数，可以用来分 析单位成本随产量变化的情况。 3.生物学中的生长模型：在生物学中，幂函数可以用来描述生物体的生 长模型。例如，当幂指数为正时，函数表示指数生长模型，可以用来研究细菌、植物等生物体的增长规律。 高考数学复习幂函数定义与性质知识点讲 解 根据同学们的需求，查字典数学网编辑老师整理了幂函数定义与性质知识点讲解，欢迎大家关注! 掌握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，下面是中华考试网为大家整理的幂函数公式大全，希望对广大朋友有所帮助。 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0 才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的 幂函数与函数的概念 函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。而幂函数是一类特殊的函数，它的自变量为底数，因变量为指数。本 文将重点探讨幂函数和其他常见函数的不同之处，以及幂函数的性质 和应用。 一、幂函数的定义和性质 幂函数是形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数，y为因 变量。幂函数中的指数可以是整数、分数或者实数，但当指数为0时，函数将变为常函数1。不同指数的幂函数呈现出不同的特征。 1. 整数指数的幂函数： 当指数为正整数a时，幂函数将呈现出不断增长的趋势。例如，y = x^2表示抛物线，在x轴右侧永远为正，并且随着x的增大而增大。而 当指数为负整数时，幂函数将会变成反比例函数，即随着x的增大而 减小。 2. 分数指数的幂函数： 当指数为分数时，幂函数的图像将会出现不同的形状。例如，y = x^(1/2)表示平方根函数，其图像为非负的抛物线，随着x的增大而增大，但增长速度逐渐减缓。类似地，指数为倒数、立方等分数时，幂 函数的图像也会有所不同。 3. 实数指数的幂函数： 当指数为实数时，幂函数的图像将更加多样化。在指数为实数且底 数为正数时，幂函数的图像将呈现出类似指数函数的特点，即随着x 的增大而迅速增大或减小。而当底数为负数时，幂函数则具有奇偶性 的变化。 二、幂函数的应用 幂函数在自然科学、经济学等领域中有着广泛的应用。以下是其中 几个重要的应用： 1. 物理学中的功率函数： 功率函数是幂函数的一种特殊情况，其中指数为常数。在物理学中，功率函数常用于描述功率与时间、功率与速度等之间的关系。 2. 经济学中的收益函数： 在经济学中，幂函数用来描述生产函数中的产出与投入之间的关系。例如，某种产品的产量与投入的关系可以通过幂函数来表示，对经济 决策有一定的指导意义。 3. 生物学中的生长模型： 幂函数也被广泛用于描述生物体的生长模型。例如，细菌的繁殖、 植物的生长等都可以使用幂函数来描述，从而帮助我们更好地理解和 研究生物的生长规律。 三、其他常见函数与幂函数的对比 2019高考数学：幂函数定义与性质知识点归纳2019高考各科复习资料 2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。 形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各 自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。幂函数的性质
幂函数图像及性质
幂函数知识点总结
幂函数的性质
幂函数的概念与性质
幂函数的定义和性质
幂函数知识点总结
幂函数的概念与性质
幂函数的性质
幂函数图象及其性质--完整版
幂函数与指数函数的概念与性质
幂函数知识点
高考数学复习幂函数定义与性质知识点讲解
幂函数与函数的概念
高考数学：幂函数定义与性质知识点归纳