高中幂函数图像及性质
高中幂函数图像及性质
幂函数图像及性质总结：1.幂函数图像总结：α>0时，图像过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图像不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立。
1、幂函数的图像
2.幂函数性质总结：幂函数的图像一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。
（1）正值性质：当α>0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0
（2）负值性质：当α<0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0
高一数学幂函数知识点总结
高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
数学必修1—6.幂函数的图像及其性质
第6讲 幂函数 考点1 幂函数的定义 形如a y x =的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量. 1.下列函数是否为幂函数？ ①y x = ②2y x = ③-1y x = ④y ⑤3y x = ⑥2y x = ⑦3y x =+ ⑧23y x = ⑨3y x = 2.已知函数23()(1)m f x m m x -=--是幂函数，m = . 3.下列函数中，定义域为R 的是 A. 2y x -= B. 2y x = C. y D. 1y x -= 考点2 幂函数的图像与性质 考法1 幂函数的图像 ①所有幂函数图像都过点________； ②0a >时，幂函数的图像通过_________，并且在区间[)0+∞，上是_____. ③0a <时，幂函数的图像不通过_______，并且在区间(0)+∞， 上是_____. ④幂函数y x α =的图象，在第一象限内， 直线1x =的右侧，图象由上至下，指数 . 1.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是
A.①2 y x =②13 y x = ③y =④1y x -= B.①3y x =②2y x = ③y ④1y x -= C.①2 y x =②3 y x = ③y =④1 y x -= D.①13 y x = ②y =③2y x =④1y x -= 2.已知幂函数()f x 的图像过1(2，则(4)f = . 3.（1992·全国卷）图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图像，已知n 取1 2,2 ±±四个值,则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为 A. 112,,,222-- B. 112,,,222-- C. 11,2,2,22-- D. 112,,2,22 -- 4.若幂函数2 221(1)m m y m m x --=--在(0,)+∞上是增函数，则m = . 考法2幂函数的性质（奇偶性） 奇函数的定义： . 偶函数的定义： . 1.判断下列函数的奇偶性 （1）()f x x = （2）3 ()f x x x =+ （3）2 ()f x x x =+ （4）()1f x x =+ 2.（2012·陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1 y x = D. y x x = 3.（2010·陕西）函数13 y x =的图像是 3
10.高一寒假数学讲义：幂函数的图像与性质(应用)【讲师版】
高一寒假数学讲义 “幂函数的图像与性质（应用）” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。 知识梳理 一、幂函数的定义 一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常 数.如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样， 都是基本初等函数. 幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。 特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。 二、幂函数的图像 α取值范围不同，图像也不相同， α的正负： α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图 象下降，反之也成立 注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。
比如幂函数112 3 4 ,,y x y x y x - ===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。 三、 幂函数的性质 （1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近 . 四、 幂函数的运算 （一）两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪ ⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 （二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11 (0,,1)m n m n m n a a m n N n a a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 n 为奇数 n 为偶数
幂函数的性质
教学过程： 一、幂函数 1．幂函数的定义 ⑴一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数； ⑵112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像 ⑵归纳幂函数的性质： ① 当0α>时： ⅰ）图象都过()()0,0,1,1点。 ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且α越大，上升速度越快。 ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时，图象上凸。 ② 当0α<时： ⅰ）图象都过()1,1点。 ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且α越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解： 2 1x 1-=x
例1 写出下列函数的定义域和奇偶性 （1）4 y x = （2）14 y x = （3）3y x -= （4）2y x -= 例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）1 16 62,3 ；（2）4 314.3- 与4 3- π ；（3）35)88.0(-与53 (0.89)-． 思考：.比较下列各数的大小：(1)2333 4 4 1.1,1.4,1.1； (2) 3338 4 2 0.16,0.5,6.25.-- 例3 已知函数()()22 1 2.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是 （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？ 例4 已知函数画出23 y x -=的大致图象。 ⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23 y x -=的大致图象。 二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点(zero point). 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴 有交点 函数y=f(x)有零点 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c ∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根. 2、二分法 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a) · f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a) · f(b)<0，给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x 1 3、计算f(x 1); (1) 若f(x 1)=0,则x 1就是函数的零点
幂函数的图象及性质
幂函数图象有规律 本文作者：王佩其 江苏 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分 各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分 图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成 一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质， ,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限 （如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象 限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限 并关于原点对称（如图3）。 利用规律，解题有方。请看以下例题： 例1 分别画出（1）2527y x -= ， （2）829y x =， （3）5y x = ， （4）18y x =的大致图象。
解析： （1）25 n=-＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图27 3中的①。 （2）82 n=＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y轴对称，如图2 9 中的④。 （3）5 n==＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，5 1 如图3中的④。 （4）1 n=＝奇数/偶数，0＜n＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一8 象限中的③。 例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）。 解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。
幂函数的图像与性质(最新)
一般地，y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考! 幂函数的图像与性质 相关内容 1、形如y=x α的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 2 二、基础练习 1、判断下列哪些是幂函数 (1)y=0. 2 (2)y=x (3)y=3-x (4)y=x -1 (5)y=4x (6)y=x 2、画出下列函数的图像 (1)y=x (2)y=x (3)y=x (5)y= 1 -6734 43 x 12 (4)y=x 13 x (6)y=x 89 3、若幂函数y=f (x )的图象经过点(9, 4、若函数f (x )既是幂函数又是反比例函数, 则这个函数是f (x )=
5、幂函数f (x ) 的图象过点(，则f (x ) 的解析式是____________ 6、函数f (x )=(m 2-m -1) x m a 2 1 ), 则f(25)的值是_________ 3 -2m -3 是幂函数，且在x ∈(0,+∞) 上是减函数，则实数m=______ 7、已知-1 13 1 , y=2x , y=x 2+x , y=( ) 2x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8 、在y= 9、已知幂函数y= f (x ) 的图象过点(2, A .1 B. 2 C.10、幂函数y=x m 2-3m -4 ，则f (4)的值为( ) 2 1
D.8 2 A .-1 2 (m ∈Z) 的图象如下图所示，则m 的值为( ) B .0或2 C.1或3 D.0,1,2或3 x 2 5 2 x 11、若y=x , y=() , y=4x , y=x +1, y=(x -1) , y=x , y=a (a >1) 上述函数是幂函数的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12、幂函数y=x (α是常数) 的图象( ) A、一定经过点(0，0) B.一定经过点(1，1) C.一定经过点(-1，1) D.一定经过点(1，-1) 13、对于幂函数f (x )=x ，若0 45 α 12 x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) ) > 22x +x 2f (x 1) +f (x 2) )=C . f (1 22 A .f (
幂函数的图像与性质
幂函数 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点 幂函数的图像与性质 学习难点 幂函数性质的应用 学习过程 问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征 （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 1.幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 判断下列函数哪些是幂函数. ①1 y x = ；②22y x =；③3y x x =-；④1y =. 2.幂函数的图象与性质 作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表：
x y = 2x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 1.幂函数的性质： 2.幂函数图象变化规律：． 练习： 下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数 例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性. 解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则 2 1212 121212121) )(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-= ++-= -=-， 因为21x x <，021>+x x ，所以 02 121<+-x x x x ，
幂函数图像及性质总结表格
幂函数图像及性质总结表格 幂函数图像及性质总结表格 ________________________________________ 一般来说，幂函数是指形式为f(x)=x^n (n是任意实数)的函数，在数学中，它被用来描述多种实际现象，并具有很强的表示能力。本文将介绍幂函数的图像特征以及性质总结表格。 #### 一、幂函数的图像特征 1、f(x)=x^n的图像有六种不同的形式： （1）当n为正奇数时，其图像为单调递增的开口向上的抛物线； （2）当n为正偶数时，其图像为单调递增的闭合曲线； （3）当n为负奇数时，其图像为单调递减的开口向下的抛物线； （4）当n为负偶数时，其图像为单调递减的闭合曲线； （5）当n=1时，其图像为直线y=x； （6）当n=0时，其图像为直线y=1。
2、f(x)=x^n的图像的性质可以通过下表总结出来。 | 指数n | 单调性 | 凹凸性 | 函数图像 | |:------:|:---------:|:---------:|:---------:| | n>0 | 递增 | 凸 | 抛物线 | | n<0 | 递减 | 凹 | 抛物线 | | n=1 | 直线 | 直线 | y=x | | n=0 | 常数 | 常数 | y=1 | #### 二、性质总结 1、f(x)=x^n (n为正实数)在x=0处取得极小值，在x→∞时取得极大值。 2、f(x)=x^n (n为负实数)在x=0处取得极大值，在x→∞时取得极小值。 3、f(x)=x^n (n为正实数)的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。 4、f(x)=x^n (n为正实数)的函数图像关于y轴对称。 5、f(x)=x^n (n为正实数)在区间[0,+∞)上是单调递增的；在区间(-∞,0]上是单调递减的。
幂函数的图像与性质教案与练习
幂函数的图像与性质 【知识整理】 1、幂函数的定义 一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都 是基本初等函数. 注意：y xα =中，前面的系数为1，且没有常数项。 2、幂函数的图像 （1）y x = （2） 1 2 y x = （3）2 y x =（4）1 y x- =（5）3 y x =
3、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴。
基础训练： 1. 下列函数是幂函数的是( ) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 2.已知函数y＝(m2＋2m－2)x m＋2＋2n－3是幂函数，则m=________，
n=_________. 3.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (100)＝________． 4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 3 D ．y ＝x 1 2 5. 下列函数中，定义域为R 的是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x 1 2C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －1 6. 函数y ＝x 5 3的图象大致是( ) 7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 1 3 8. 函数y ＝x －2 在区间[1 2 ，2]上的值域为________． 9. 设α∈{－1，1，1 2，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的 值组成的集合为________． 例题精析： 例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，
高中数学幂函数知识点整理
高中数学幂函数知识点整理 高中数学是中学数学阶段的一个重要环节，幂函数是高中数学中一个比较重要的部分。知识点整理能够帮助我们更好地理解和掌握幂函数的知识，以下是高中数学幂函数知识点整理。 1. 幂函数的定义与性质 幂函数是指具有f(x)=kx^n（其中n是一个正整数，k是常数）形式的函数。其函数图像的形状与n的奇偶性与k的正负有关。随着x的增大，当n为偶数时，函数图像会向上和向下两侧逼近x轴变得更陡峭；当n为奇数时，函数图像会从负无穷一直上升（或下降）。 2. 幂函数的图像 从图像上看，幂函数在x轴左侧斜率比在x轴右侧小，n 的值越大，平滑度越高。而当n=1的时候，幂函数成为了一条直线，称为一次函数。 3. 幂函数的导数 在求幂函数的导数时，需要使用到求导公式。设f(x)=x^n，则有f'(x)=nx^(n-1)。幂函数的导数就是幂函数下标减一后的系 数和x的幂次。 4. 幂函数的反函数
幂函数的反函数就是开n次方函数，记作f(x)=x^(1/n)。开n次方函数是单调递增的函数，在x轴左侧取值为正，右侧为负。当n为偶数时，x轴右侧没有定义；当n为奇数时，开根号后的函数只有一个实根。 5. 幂函数的应用 幂函数在数学中有较多的应用，如在物理学上可以用幂函数描述振动、波及各种力的作用等；在生物学中可以用幂函数描述生长趋势；在经济学上可以用幂函数描述收入分配等等。 6. 幂函数的扩展 除了上述介绍的正整数幂函数，还有其他一些幂函数的形式。如分数幂函数f(x)=x^(m/n)(其中m和n为互质正整数)，虽然与正整数幂函数在形式上不同，但它们的性质是相似的。 总而言之，高中数学幂函数知识点的整理可以帮助我们更好地掌握幂函数的性质和应用，同时也为未来更深入学习相关数学领域奠定了坚实的基础。
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质 教学目标： 1.掌握幂函数的概念。 2.掌握幂函数的性质和图像。 3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。 4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。 教学重点：幂函数的图像与性质 教学难点：幂函数的图像 教学过程： (一)知识要点： 1定义 形如q p y x =，（其中,,0p q Z p ∈≠且,p q 互质）的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，指数是有理数 q p 。 2幂函数q p y x =的性质 小结：幂函数图像在第一象限的特点。 （1）图像必过(1,1)点。 （2）1q p >时，过(0,0)点，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸。在第一象限是增函数。 （3） 1q p =时，图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数。（在整个定义域内都是增函数。）
（4）10q p >>时，随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸。在第一象限是增函数。 （5） 0q p <时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象限是减函数。 （二）例题选讲： 例1.下列各式中表示幂函数的有（ ） 答案：C E F A 、12 3y x = B 、x y x = C 、23 y x = D 、2x y = E 、y = F 、0.5y x = G 、y =例2.研究函数12 y x -=的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。 解：函数12 y x -=的定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞。 （1）奇偶性。 因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。 （2）单调性。 对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x < 可得0< <0>> 即12y y > 所以函数12 y x -=在(0,)+∞上为减函数。 描点作图：
幂函数,指数函数知识点总结归纳
幂函数、指数函数知识点整理 （1）幂函数的定义： 一般地，函数y=x a 叫做幂函数，其中x 为自变量，a 是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在（0，∞）都有定义，并且图象都通过点（1，1）． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在 [0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当p q a = （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征： 幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 一、根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时， a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥． ③根式的性质：( )n n a a =；当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n a a a m n N += >∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+== >∈且1)n >． 0的负分数指数幂没有意义。注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质： ① (0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
对幂函数及其性质经典题型总结
对幂函数及其性质经典题型总结 幂函数是高中数学中的基本函数之一，它的形式为 $f(x) = ax^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。本文将对幂函数及其性质的常见题型进行总结。 幂函数的图像特点 幂函数的图像特点与幂指数 $b$ 的正负和大小有关。以下是幂函数 $f(x) = ax^b$ 的图像特点总结： - 当 $b > 0$ 时，函数图像从原点出发，随着 $x$ 的增大而不断上升或下降。当 $a > 0$ 时，图像上升；当 $a < 0$ 时，图像下降。 - 当 $b 0$ 时，图像在 $x$ 轴上方；当 $a < 0$ 时，图像在 $x$ 轴下方。 - 当 $b = 0$ 时，函数图像为常数函数，与 $a$ 有关。 幂函数图像的平移和伸缩
对于幂函数 $f(x) = ax^b$，我们可以通过平移和伸缩来改变函 数的图像。以下是常见的变换方式： - 左右平移：将函数图像水平平移 $c$ 个单位，得到 $f(x - c)$。正值 $c$ 向右平移，负值 $c$ 向左平移。 - 上下平移：将函数图像垂直平移 $d$ 个单位，得到 $f(x) + d$。正值 $d$ 向上平移，负值 $d$ 向下平移。 - 水平伸缩：将函数图像水平方向伸缩为原来的 $k$ 倍，得到 $f(kx)$。若 $k > 1$，则图像变窄；若 $0 < k < 1$，则图像变宽。 - 垂直伸缩：将函数图像垂直方向伸缩为原来的 $k$ 倍，得到$kf(x)$。若 $k > 1$，则图像变高；若 $0 < k < 1$，则图像变矮。 幂函数的性质与求导 幂函数具有一些常见的性质，其中与导数相关的有以下两条： 1. 幂函数 $f(x) = ax^b$ 在其定义域上可导。对于 $b \neq 0$， 它的导函数为 $f'(x) = abx^{b-1}$。 2. 幂函数的导数在定义域上具有以下特点： - 当 $b > 0$ 时，导数大于 $0$，表示函数单调递增。
高三数学 幂函数、指数函数与对数函数,函数的最值,函数的图像 知识精讲
高三数学 幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像 知识精讲 一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质 （1）定义 形如y x a =（a 是常数，a R ∈）的函数叫做幂函数，定义域是使x a 有意义的x 的取值范围。 （2）图像和性质 ①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。 ②a = 131 2 123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，+∞上是增函数。 ③a =---211 2 ，，时幂函数图像不过原点且在[)0，+∞上是减函数。 ④任何两个幂函数最多有三个公共点。 二、函数的最值
1. 值域与最值 值域的概念：即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合 {|()}}y y f x x A =∈，，值域是函数值的变化区域。 函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。 因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。 2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法 （1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。 （2）逆求法：通过反解x ，把x 用含有y 的式子表示出来，使含有y 的式子有意义，求出y 的范围，其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来，并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。 （3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。 （4）判别式法：把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。 （5）基本不等式法：利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥，≥23 3 ()a b c R ，，∈+可以求函数y 的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析 式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。 （6）函数图像法：当一个函数的图像可作时，通过图像可求其值域和最值。 （7）函数的性质法：当一个函数很容易得到其单调性时，利用单调性可求其值域。 （8）几何意义法：当要求的一个解析式明显具备某种几何意义时，像两点间的距离公式、直线斜率、直线在坐标轴上的截距等等，我们可以利用其几何意义来求其值域。 三、函数的图像 1. 画函数的图像主要有以下三种方法 （1）描点法（高中阶段基本不用）； （2）利用函数的性质； （3）利用图像变换或坐标平移变换。 2. 要会熟练地画出基本函数的图像 如一次函数、二次函数、反比例函数、幂指对函数、三角函数、反三角函数的图像等，这是画复杂函数的基础，复杂函数的图像往往是通过这些基本函数的图像经过变换得到的，这是画函数图像的基本方法。 3. 画函数图像的一般步骤 （1）确定函数的解析式； （2）化简函数解析式； （3）讨论函数图像的性质（如定义域、截距、奇偶性、单调性、渐近线、图像上的特殊点等）以缩小描点的范围； （4）采用描点法或利用基本函数图像画出所需的图像。 4. 掌握函数图像的几种变换 （1）平移变换 ①水平变换y f x a a =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向左（＋）或向右（－）平移a 个单位而得到。 ②竖直平移y f x b b =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向上（＋）或向下（－）