幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质是指，如果将一个函数定义为
f(x)=ax，其中a是一个正常数，那么这个函数就叫做幂函数。注意，这里的x不必要是整数，可以是任意实数值。
一般来说，如果a>0，则函数的图形表示为一条递增的直线；如果a<0，则函数的图形表示为一条递减的直线；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线。
在函数的图形中，如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
在函数的性质方面，幂函数的表达式可以写成y=ax，其中a是一个实数，x是一个实数变量，y是一个实数函数。事实上，它是一个特殊的多项式函数，可以用指数形式表示，即y=ax=e^(lna)x=exlnax。如果a>0，则此函数在定义域中是递增函数；如果a<0，则此函数在定义域中是递减函数；如果a=1，则此函数在定义域中是一条水平线。另外，幂函数的导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
此外，幂函数的图形也会因其中的参数a的值的大小而有所不同。如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
综上所述，幂函数的图形与性质取决于参数a的值，它是一个特殊的多项式函数，其导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
掌握幂数函数的图像与性质
课 题 掌握幂数函数的图像与性质 教学目标 指数函数和对数函数知识点复习 幂函数的概念、图像与性质 重点、难点 综合运用幂数函数的图像与性质解决问题。 考点及考试要求 幂函数的图象和性质 教学内容 一、幂函数定义及其图象 一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y =；（2）2 1 x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3 x y =． [解] ○1 列表（略） ○ 2 图象 二：幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴 三、观察图象，总结填写下表：
x y = 2 x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 [例1] 比较下列两个代数值的大小： （1）5.1)1(+a ，5 .1a （2）3 22 ) 2(- +a ，3 22 - [例2] 讨论函数3 2x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 课堂练习： 1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）4 33.2，4 34.2； （2）5631.0，5 635.0； （3）2 3) 2(- ，2 3) 3(- ； （4）2 11 .1- ，2 19 .0- ． 2．作出函数2 3x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明． 3．作出函数2-=x y 和函数2 )3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间． 4．用图象法解方程： （1）1-=x x ； （2）32 3 -=x x ． 探究与发现： 1．如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,2 1 ,1,1-四个值，则相应图象依次为： ． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）3 -=x y 和3 1- =x y ； （2）45x y =和5 4x y =． 作业回馈：
幂函数的性质与变化规律
幂函数的性质与变化规律 幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。 一、幂函数的定义和图像特点 幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。 幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面： 1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律： （1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。 （2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第 二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。 2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律： 幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。 二、幂函数的性质
1. 定义域和值域： 幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。 2. 奇偶性： 当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。 3. 单调性： 当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。 4. 渐近线： 当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴 正半轴，即有水平渐近线。 三、幂函数的变化规律 幂函数的变化规律主要由指数n和常数项a的取值决定。 1. 当n为正数时：
幂函数的图象及性质
幂函数图象有规律 本文作者：王佩其 江苏 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分 各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分 图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成 一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质， ,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限 （如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象 限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限 并关于原点对称（如图3）。 利用规律，解题有方。请看以下例题： 例1 分别画出（1）2527y x -= ， （2）829y x =， （3）5y x = ， （4）18y x =的大致图象。
解析： （1）25 n=-＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图27 3中的①。 （2）82 n=＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y轴对称，如图2 9 中的④。 （3）5 n==＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，5 1 如图3中的④。 （4）1 n=＝奇数/偶数，0＜n＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一8 象限中的③。 例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）。 解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。
幂函数的图像与性质(最新)
一般地，y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考! 幂函数的图像与性质 相关内容 1、形如y=x α的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 2 二、基础练习 1、判断下列哪些是幂函数 (1)y=0. 2 (2)y=x (3)y=3-x (4)y=x -1 (5)y=4x (6)y=x 2、画出下列函数的图像 (1)y=x (2)y=x (3)y=x (5)y= 1 -6734 43 x 12 (4)y=x 13 x (6)y=x 89 3、若幂函数y=f (x )的图象经过点(9, 4、若函数f (x )既是幂函数又是反比例函数, 则这个函数是f (x )=
5、幂函数f (x ) 的图象过点(，则f (x ) 的解析式是____________ 6、函数f (x )=(m 2-m -1) x m a 2 1 ), 则f(25)的值是_________ 3 -2m -3 是幂函数，且在x ∈(0,+∞) 上是减函数，则实数m=______ 7、已知-1 13 1 , y=2x , y=x 2+x , y=( ) 2x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8 、在y= 9、已知幂函数y= f (x ) 的图象过点(2, A .1 B. 2 C.10、幂函数y=x m 2-3m -4 ，则f (4)的值为( ) 2 1
D.8 2 A .-1 2 (m ∈Z) 的图象如下图所示，则m 的值为( ) B .0或2 C.1或3 D.0,1,2或3 x 2 5 2 x 11、若y=x , y=() , y=4x , y=x +1, y=(x -1) , y=x , y=a (a >1) 上述函数是幂函数的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12、幂函数y=x (α是常数) 的图象( ) A、一定经过点(0，0) B.一定经过点(1，1) C.一定经过点(-1，1) D.一定经过点(1，-1) 13、对于幂函数f (x )=x ，若0 45 α 12 x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) ) > 22x +x 2f (x 1) +f (x 2) )=C . f (1 22 A .f (
幂函数的图像与性质
幂函数 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点 幂函数的图像与性质 学习难点 幂函数性质的应用 学习过程 问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征 （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 1.幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 判断下列函数哪些是幂函数. ①1 y x = ；②22y x =；③3y x x =-；④1y =. 2.幂函数的图象与性质 作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表：
x y = 2x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 1.幂函数的性质： 2.幂函数图象变化规律：． 练习： 下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数 例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性. 解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则 2 1212 121212121) )(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-= ++-= -=-， 因为21x x <，021>+x x ，所以 02 121<+-x x x x ，
3.4幂函数的图像及其性质
授课主题：幂函数 教学目标 1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质. 2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质. 3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用. 教学内容 1．幂函数的定义： 一般地，形如() R y xαα =∈的函数称为幂函数，其中α是常数． 2．幂函数的图象： 函数y x =2 y x =3 y x =12 y x =1 y x- =的图象 -1 -1 1 1 y=x y=x3 y=x2 y=x y= 1 x y x O y x =2 y x =3 y x =12 y x =1 y x- =定义域R R R[0,) +∞(0)(0) -∞+∞ ，，值域R[0,) +∞R[0,) +∞(0)(0) -∞+∞ ，，奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性单调递增 在(0] -∞，上减 在[0) +∞ ，上增 单调递增单调递增 在(0) -∞，和 (0) +∞ ，上单调递减公共点(11) ，(11) ，(11) ，(11) ，(11) ，图象所在象限一、三一、二一、三一一、三
3．幂函数的性质： （1）所有的幂函数在(0)+∞， 都有定义，并且图象都通过点(11)，； （2）0a >时，幂函数的图象通过原点，并且在[0)+∞， 上是增函数； （3）0a <时，①幂函数在(0,)+∞上是减函数； ②在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． （6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （7）幂函数n m y x =奇偶性 ①当n 为偶数时，n m y x =为偶函数； ②当n 为奇数，m 为奇数时，n m y x =为奇函数； ③当n 为奇数，m 为偶数时，n m y x =为非奇非偶函数． 特别地，幂函数n y x =（Z n ∈），当n 为偶数时，n y x =为偶函数； 当n 为奇数时，n y x =为奇函数． 题型一 幂函数概念的理解应用 例1 函数2 23 ()(1)m m f x m m x +-=--是幂函数，且当() 0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式.
幂函数的性质
幂函数的性质 幂函数是数学中常见的一类函数，由底数与指数两部分组成。在数 学中，幂函数被广泛应用于各个领域，例如物理学、经济学和工程学等。本文将探讨幂函数的性质，包括定义、图像、导数和应用等方面。 1. 定义 幂函数的一般形式为f(x) = ax^b，其中a为非零实数，b为常数。对于a>0的情况，幂函数为正幂函数，图像呈现增长特性；对于a<0的 情况，幂函数为负幂函数，图像则出现上下颠倒的特点。 2. 图像特征 幂函数的图像特征与指数b的取值相关。当0
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，幂函数f(x) = ax^b的极限为正 无穷或负无穷，具体取决于指数b的奇偶性。如果b>0，则幂函数的图像趋近于正无穷或负无穷；如果b<0，则幂函数的图像趋近于零。此外，指数b还决定了幂函数的渐近线，当b>1时，y轴为幂函数的水平渐近线；当0 幂函数指数函数对数函数的图像和性质 在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。 首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,a eq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。 接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其 中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也 是一种以连续变量为参数的可导函数。 最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以 看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。 接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数 联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。 以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。 以上，就是本文关于“幂函数指数函数对数函数的图像和性质”的详细介绍，从本文可以看出，它们之间有着千丝万缕的联系，熟悉这些函数的性质及它们之间的关系，对理解数学也是十分有帮助的。 幂函数图像及性质总结表格 幂函数图像及性质总结表格 ________________________________________ 一般来说，幂函数是指形式为f(x)=x^n (n是任意实数)的函数，在数学中，它被用来描述多种实际现象，并具有很强的表示能力。本文将介绍幂函数的图像特征以及性质总结表格。 #### 一、幂函数的图像特征 1、f(x)=x^n的图像有六种不同的形式： （1）当n为正奇数时，其图像为单调递增的开口向上的抛物线； （2）当n为正偶数时，其图像为单调递增的闭合曲线； （3）当n为负奇数时，其图像为单调递减的开口向下的抛物线； （4）当n为负偶数时，其图像为单调递减的闭合曲线； （5）当n=1时，其图像为直线y=x； （6）当n=0时，其图像为直线y=1。 2、f(x)=x^n的图像的性质可以通过下表总结出来。 | 指数n | 单调性 | 凹凸性 | 函数图像 | |:------:|:---------:|:---------:|:---------:| | n>0 | 递增 | 凸 | 抛物线 | | n<0 | 递减 | 凹 | 抛物线 | | n=1 | 直线 | 直线 | y=x | | n=0 | 常数 | 常数 | y=1 | #### 二、性质总结 1、f(x)=x^n (n为正实数)在x=0处取得极小值，在x→∞时取得极大值。 2、f(x)=x^n (n为负实数)在x=0处取得极大值，在x→∞时取得极小值。 3、f(x)=x^n (n为正实数)的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。 4、f(x)=x^n (n为正实数)的函数图像关于y轴对称。 5、f(x)=x^n (n为正实数)在区间[0,+∞)上是单调递增的；在区间(-∞,0]上是单调递减的。 幂函数的图像与性质 【知识整理】 1、幂函数的定义 一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都 是基本初等函数. 注意：y xα =中，前面的系数为1，且没有常数项。 2、幂函数的图像 （1）y x = （2） 1 2 y x = （3）2 y x =（4）1 y x- =（5）3 y x = 3、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴。 基础训练： 1. 下列函数是幂函数的是( ) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 2.已知函数y＝(m2＋2m－2)x m＋2＋2n－3是幂函数，则m=________， n=_________. 3.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (100)＝________． 4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 3 D ．y ＝x 1 2 5. 下列函数中，定义域为R 的是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x 1 2C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －1 6. 函数y ＝x 5 3的图象大致是( ) 7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 1 3 8. 函数y ＝x －2 在区间[1 2 ，2]上的值域为________． 9. 设α∈{－1，1，1 2，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的 值组成的集合为________． 例题精析： 例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2， 幂函数与指数函数 幂函数与指数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学和实际问 题中有广泛的应用。本文将介绍幂函数和指数函数的定义、性质以及 它们在不同领域的应用。 一、幂函数的定义与性质 幂函数是指形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。幂函 数的定义域为正实数集。当a>0时，幂函数是严格递增的；当a<0时，幂函数是严格递减的。特别地，当a=0时，幂函数为常函数。 幂函数的图像可以分为几种不同的情况。当a>1时，幂函数的图像 在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0 得平缓；当底数a<0时，指数函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。 三、幂函数与指数函数的应用 1. 科学领域 幂函数与指数函数在科学领域的应用非常广泛。在物理学中，幂函数与指数函数可以描述天体运动、物体的增长规律等。在化学中，幂函数与指数函数可用于描述化学反应速率、物质的衰变等。 2. 经济领域 在经济学中，幂函数与指数函数常用于描述经济增长、人口增长等问题。其中，指数函数可以用来描述指数增长，而幂函数则可以用来描述多项式增长。 3. 网络领域 在网络传输中，幂函数与指数函数可以用于描述网络带宽的分配、传输速度的控制等问题。指数函数在网络拓扑中也有广泛的应用，如指数递增的网络节点连接数量等。 四、总结 幂函数与指数函数是数学中重要的概念，它们不仅具有丰富的性质和特点，还在各个领域中发挥着重要的作用。通过本文的介绍，我们对幂函数与指数函数的定义、性质以及应用有了更深入的了解。在实 高三数学 幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像 知识精讲 一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质 （1）定义 形如y x a =（a 是常数，a R ∈）的函数叫做幂函数，定义域是使x a 有意义的x 的取值范围。 （2）图像和性质 ①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。 ②a = 131 2 123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，+∞上是增函数。 ③a =---211 2 ，，时幂函数图像不过原点且在[)0，+∞上是减函数。 ④任何两个幂函数最多有三个公共点。 二、函数的最值 1. 值域与最值 值域的概念：即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合 {|()}}y y f x x A =∈，，值域是函数值的变化区域。 函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。 因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。 2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法 （1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。 （2）逆求法：通过反解x ，把x 用含有y 的式子表示出来，使含有y 的式子有意义，求出y 的范围，其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来，并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。 （3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。 （4）判别式法：把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。 （5）基本不等式法：利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥，≥23 3 ()a b c R ，，∈+可以求函数y 的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析 式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。 （6）函数图像法：当一个函数的图像可作时，通过图像可求其值域和最值。 （7）函数的性质法：当一个函数很容易得到其单调性时，利用单调性可求其值域。 （8）几何意义法：当要求的一个解析式明显具备某种几何意义时，像两点间的距离公式、直线斜率、直线在坐标轴上的截距等等，我们可以利用其几何意义来求其值域。 三、函数的图像 1. 画函数的图像主要有以下三种方法 （1）描点法（高中阶段基本不用）； （2）利用函数的性质； （3）利用图像变换或坐标平移变换。 2. 要会熟练地画出基本函数的图像 如一次函数、二次函数、反比例函数、幂指对函数、三角函数、反三角函数的图像等，这是画复杂函数的基础，复杂函数的图像往往是通过这些基本函数的图像经过变换得到的，这是画函数图像的基本方法。 3. 画函数图像的一般步骤 （1）确定函数的解析式； （2）化简函数解析式； （3）讨论函数图像的性质（如定义域、截距、奇偶性、单调性、渐近线、图像上的特殊点等）以缩小描点的范围； （4）采用描点法或利用基本函数图像画出所需的图像。 4. 掌握函数图像的几种变换 （1）平移变换 ①水平变换y f x a a =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向左（＋）或向右（－）平移a 个单位而得到。 ②竖直平移y f x b b =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向上（＋）或向下（－） 幂函数的图像与性质 一: 核心梳理、茅塞顿开 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. n 为奇数 n 为偶数 例2 （1）计算：25 .021 213 25 .0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ⋅⋅⨯ -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ⋅⋅⋅⋅- -（2）.)4()3(6 521 3321 21231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86- ⨯-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α （a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 答案：C 例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解：2 20230 m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：() (),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 对数函数的运算、性质以及幂函数图像性质 一、对数函数的运算 1、对数的定义： 如果a x =N （a >0，a ≠1）那么数x 叫做以a 为底N 的对数。 记作: x=lo g a N ，其中i a 叫做对数的底数，N 叫做真数， x=lo g a N 叫做对数式． 常用对数：log 10N=lgN 自然对数：log e N=lnN 2、指数式和对数式的联系： 指数 对数 x a N =⇔(a>log 0a 1)a N x =≠且 3、对数的运算性质 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： log log log a a a MN M N =+；log log log a a a M M N N =- log log ()n a a M n M n R =∈ 语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 给出四个等式: 1)lg(lg10)0;2)lg(ln )0; 3)e ==2 若lgx=10,则x=10;4)若lnx=2,则x=e 4、对数换底公式 log log log m a m N N a = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 两个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则 1)log log 1a b b a ⋅=；2)log log m n a a n b b m = 二、对数函数图像与性质 三、幂函数图像及性质 1.幂函数的定义 形如 y = x a 的函数叫做幂函数，其中 a 是常数且 a ∈ R 2.幂函数的定义域： 是使 x a 有意义的实数的集合。随a 的不同而不同 3.3幂函数 知识点一、幂函数的定义 一般地，形如函数 (α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数． 知识点二、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数x y =，2x y =，3x y =，x y =，1-=x y 的图象分别如下． 知识点三、幂函数的性质： （1）都过点 ； （2）任何幂函数都不过 象限； （3）当0>α时，幂函数的图象过 ． 知识点四、幂函数的图象在第一象限的分布规律 （1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布； （2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于 对称． 一、幂函数的定义 例1、幂函数352)1(----=m x m m y 在0(，)∞+上为减函数，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．2 5 1±≠ m 【举一反三】 1、已知y ＝(m 2＋2m －2)·2 1 1 m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值． (1,1)y 2、已知1 2 )2()(-++=m m x m m x f ，m 为何值时，)(x f 是： （1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数； （4）幂函数. 二、幂函数的图像 例2、幂函数αx y =，当α取不同的正数时，在区间0[，]1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A 1(，)0，B 0(，)1，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图象三等分，即有|BM |＝|MN |＝|NA |，那么=αβ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定 例3、已知幂函数)(x f 的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2,4 1) （1）求)(x f ，)(x g 的解析式； （2）当x 为何值时，①)()(x g x f >；②)()(x g x f =；③)()(x g x f <． 三、幂函数的性质 【考题】比较下列各组数的大小： （1）1 3 (0.95)- 13 (0.96)-； （2）13 8- - 1 319⎛⎫- ⎪⎝⎭ ； （3）30.8 3 0.7 （4）12 2 13 1.8；幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数图像及性质总结表格
幂函数的图像与性质教案与练习
幂函数与指数函数
高三数学 幂函数、指数函数与对数函数,函数的最值,函数的图像 知识精讲
3幂函数图象及其性质
对数函数、幂函数运算及图像性质
幂函数的概念及其图像