幂函数的性质与图像ppt
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于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界。
篇二：幂函数的性质与图像(一) - 黄浦教研→首页
幂函数的性质与图像（一）
学校：储能中学执教：陈云青日期：2011-12-6
教学目标
1．知道幂函数的概念，会用有代表性的k的值，讨论幂函数的定义域、单调性、奇偶性及最值；
2．在探究幂函数的性质与图像的过程中，体会研究函数性质的过程与方法； 3．在交流研究幂函数性质的活动中，感悟数学思想方法。
教学重点
幂函数的性质与图像。
教学难点
探索研究幂函数性质与图像的途径，熟悉由特殊到一般的数学思想。
情景引入
建立下列问题的函数关系：
（1）如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y?____________ ；
（2）如果一个正方体容器的体积为x，那么该正方体容器的棱
长y?____________ ；（3）如果某人在x秒内，骑自行车行了1km，那么他骑自行车的平均速度y?____________ 。
上述问题中的函数的解析式都具有形如y?x的共同特征,这就是我们要研究的“幂函数”。
k
概念形成
(教学提示：这一环节可采用教师引领下学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT素材) 幂函数概念：一般地，函数y?xk(k为常数，k?Q)叫做幂函数。譬如，y?x,y?x,y?x
?1
?1
2
等都是幂函数。
数学交流：说一说幂函数解析式的共同特征有哪些？
概念应用
例1、下列函数中，哪些是幂函数：（1）y?x
?52
，（2）y?2x，（3）y?x?2x，（4）y??x?1?，（5）y?x。
2
2
3
例2、已知某幂函数，当x?
1时，y?，求该幂函数的解析式。 2
例3、研究函数y?x
?
12
的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。
例4、研究函数y?x的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值，并且作出它的图像。
2
3
课堂反馈
(学生独立完成，教师巡视，提供指导和发现闪光点，获取第一手反馈材料,对研究函数过程理解不到位的给予个别指导) 研究五个常用幂函数y?x,y?x,y?x,y?x,y?x?1的性质，并在同一坐标系内画出
2
3
1
2
它们的图像。
课堂小结
（让学生用自己的语言归纳小结，并通过补充和订正提高参与度） (1)幂函数的概念；
(2)研究函数性质的过程与方法； (3)作函数图像的主要方法。
作业布置
(基础型)必做题：
(1)教材练习P81练习(1)1，2，3； (2) 练习册习题 A组P41 1，3。拓展题
(3)通过对幂函数y?x(k?Q)的(幂指数k的不同取值)性质的探究，你发现了幂函数有哪些性质？请写出你的发现。
k
篇三：幂函数的性质与图像
幂函数的性质与图像
一、教学内容分析与学情分析
(一) 教材分析
幂函数是上海教育出版社高一数学第四章第一节，它是高中教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的一般化和深化，更是高中教材第一个具体函数.它承接函数的基本性质后研究的第一个函数，采用何种方式方法来研究一个具体的陌生函数是高中阶段学生函数学生的一个根本目的之一。
一堂好的数学课旨在通过师生的共同探究深化数学思想与方法的渗入，让学生学会举一反三，发散思维，学会一类问题的解决策略与方法。由于上海教材幂函数的定义与全国教材的定义上有一点区别，它的研究方式也就有了一定的差别，本节课力图通过幂函数的探
究式学习，让学生体会研究函数的一种方法与策略，发现研究函数的策略，为后面学习指、对数函数打下基础。
(二) 学情状况
本校是徐汇区一般普通完中，总体层次是比区重点入学成绩略弱，比一般普通中学略高；大部分同学习惯传统的教学模式，自学能力较弱，自觉性不够，学习习惯有待进一步加强；学生学习能力一般，缺乏自主性学习方式方法，归纳总结的能力需加以强化。因此本堂课采用以学生为主体，教师为主导的课堂模式，小步伐、慢节奏，从特殊到一般让学生从中发现规律，总结规律，同时，结合函数的性质，让学生体验研究新函数的方法与策略。
二、教学目标设计
知识与技能理解幂函数的定义，掌握幂函数的基本性质，能描绘常见幂函数的图像；过程与方法通过几个有代表性的幂函数的研究获得幂函数性质的探究体验，通过图象的求作了解幂函数图象的演进，获得图形特征与代数特征对称联系的美的体验，获得函数的奇、偶性的应用所反映出来的数学的价值体验；
情感、态度、价值观通过对幂函数的学习，学会研究新函数的一种方法与策略；体验人类的认知过程由特殊到一般、一般到特殊的思想与数学学习的紧密结合；在学习和讨论的过程中，通过师生的平等探讨，体会自由、平等、民主、公平公正、和谐的社会主义核心价值；
教学重点: 幂函数的意义；幂函数的性质与图像.
教学难点: 幂函数的代数特征与图像特征的依赖关系.
教学方法：探究发现，小组合作
课前准备：几个单位长度小坐标系和一个单位长度大坐标系
三、教学流程设计
四、教学过程设计
（一）情境设计
1、给出情境：
给出y?x,y?x2,y?x?1三个具体函数。这三个函数又有什么共同特征？
2、找出共同点：
（1）______是常数（2）______是变量（3）x系数是____ （4）都是_______的形式学生通过观察题目后回答：（1）指数；（2）底数；（3）1；（4）y?xk
设计意图：从学过的具体函数入手，学会从特殊到一般的学习方法，并从中发现问题，提出疑问，总结共同点和不同点，找出共性；
（二）概念形成
1、一般地，形如y?xk(k为常数,k?Q)的函数称为幂函数．
2、概念理解
辨析：
1) 下列函数为幂函数的是：；
A、y?x4
B、y?x?2
C、y?1
D、y?2x2
E、y?x3?2
F、y?2x 学生：A
B
教师：为什么D、E不对？
学生讨论分析后，得出：从形式上看幂函数中x的系数为1，且后面没有其它的项；
2) 幂函数y?(m?2)xm,求m=_____； kk
学生：m??1；
3) 幂函数经过点（2，2），求函数f(x)的解析式；
1
2 学生：f(x)?x
设计意图：幂函数的概念来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等
函数，同样也是一种“形式定义”的函数，让学生体会定义，形成初步感知；同时引导学生注意辨析，加深对概念的理解；
（三）探索研究
问题1：请学生口答y=x,y=x,y=x的性质，并画出它们的草图；
教师：函数的性质包含哪些？
学生：定义域、奇偶性、单调性、最值与值域；
教师：这些性质有研究次序是否一定要按上述次序？
学生A：不一定；因为对于这几个函数的所有性质我们都可以很轻松的得到；学生B：不太清楚；
学生C：应该是要按上述次序；因为只有知道了定义域是否关于原点对称才能讨论奇偶23
性；若知道了奇偶性，根据奇函数在原点两侧的单调性相同，偶函数在原点两
侧的单调性相反，故只需证明原点一侧即可；单调性是求函数最值的一种方法；所以上述次序不能颠倒；
强调一： y=x3单调性的证明；
3学生A：取x1??1，x2?1，?1?1,故有(-1)?13，所以y=x3在(??,??)上单调
递增；
学生B：不对，单调性的证明不能用特殊代替一般；
22学生C：都有f(x1)?f(x2)?x13?x23?(x1?x2)(x1?x1,x2?R,x1?x2，?x1x2?x2)，22但x1的符号不法判断，所以不知道单调性；x1?x2,?x1?x2?0，?x1x2?x2
2x12?x1x2?x2?(x1?学生D：x2232)?x2?0，可以判断f(x1)?f(x2)?0，所以24
y=x3 在(??,??)上单调递增；
老师：上述做法对吧？还有没有其它解法？
学生E：对的！还可以用不等式的乘方性质来解决：?x1,x2?R,x1?x2，由不等式的
乘方性质得x13?x23，所以f(x1)?f(x2)?x13?x23?0，故y=x3在
(??,??)上单调递增；
学生F：不对！不等式的乘方性质的前提是0?x1?x2，才有x13?x23；
学生G：学生A是对的！经验证，?x1,x2?R,x1?x2都有x13?x23，即有
f(x1)?f(x2)?x13?x23?0；
学生H：虽然验证对于y=x成立，但对于y=x是不成立的；因为不等式的乘方性
质对于n?N都成立有前提是0?x1?x2，所以应先证在x?[0,??)时，?34
y=x3单调递增，再由它是奇函数，得到x?(??,0]时y=x3单调递增；所
以y=x3在(??,??)上单调递增；
老师：（鼓掌）学生H的回答非常正确！能否将证“x?[0,??)单调递增”改为
“x?(0,??)单调递增”，再由它是奇函数，得到x?(??,0)也单调递增，所
以y=x在(??,??)上单调递增呢？
学生I：不可以，x?(??,0)和x?(0,??)都递增，不能得到x?(??,0) 调递增，更不能得到y=x在(??,??)上单调递增。
老师：为什么学生H的证明可以，但改为x?(0,??)不行了呢？
学生J：学生证明x?[0,??)和x?(??,0]都包含了0且单调性相同，根据函数定义33(0,??)单
f(0)只右能只有一个值，所以y=x3在(??,??)上单调递增；
刚才的三种证明方式：证法一特殊值法，显然和单调性的定义相违背，不可取，但又是学生在初学单调性后容易犯的一种典型性错误；证明二采用因式分解然后判定每个因式的符号，是证明单调性的常规解法，思维直接，但对于无法因式分解的幂函数或其它函数而言就不再适用；证法三先利用不等式的乘方性质比较大小先证原点一侧的单调性，再根据奇偶性说明另一侧的单调性，在这一过程中很好的利用了不等式的乘方性质直接比较大小，是在无法因式分解的情形下证明单调性的另一种方法；后两种方法都是可取的，但又各有所侧重，解答过程中要注意合适的取舍，精益求精。
设计意图：理性精神的一种重要表现方式是质疑。首先，教师面对学生的错误并没有简单地直接修正，而是引导学生质疑，发现思维的缺陷，并主动改正，这是培养学生的求真意识；其次提出将“x?[0,??)”改为“x?(0,??)”请学生辨析，这是培养学生思维的严密性。通过学生之间的辨析，让学生在自由、民主、平等、和谐的学习气氛中体验社会主义的优越性；
强调二：对于函数y=x3如何取点作图并且使图像更精确呢？
学生A：由五点作图法，x??2,?1,0,1,2即可；
学生B：虽然取上述五点即考虑到了函数的奇偶性又兼顾到了函数的单调性，但所作图像精确度不够，我认为x?0,1,2,3,4更好，再由它是奇函数对称过去即可；
教师：A、B两种方案你们赞同哪一种？
学生：B的方法应该更精确；
接下来学生计算、描点。
教师：你们在作图过程中遇到什么问题？
学生C：点(3,27),(4,81)已知超出所给的坐标系范围，没法描出来；
教师：如何修正取点呢？
学生D：为描点方便，我取x?0,1,,2,；并展示图像；
教师：同学们觉得怎样？是否有还需改进的地方？
学生E：从图像中可以看出x?1时图像在y?x的上方且递增速度起来越快，但x?[0,1]内的图像连线的方式没法确定；所以我认为x?(0,1)中内也应当取点；即
13x?0,,1,,2更合适； 22
教师：是否一定要取x?0呢？
学生F：不一定，因为它是奇函数，x?0有定义，即图像一定经过原点，所以我取的123是x?,,1,,2； 232
教师：学生E的回答相当好！由奇偶性只需取x?0的点即可；为反映图像相对于y?x的变化趋势，取点时应当在x?1的左右两侧都取，且两侧取点个数相同更能精确的反映图像的变化趋势；
这三个函数性质与图像：（板书在黑板上）
设计意图：
1、描点作y=x图像是学生继初中二次函数后的第一个作图问题，它与初中在对称轴
两侧取各取两个点不同，初中只要求能做出大致图像，高中则要求力求精确，因此取点时要尽可能的考虑图像的精确性和反映函数图像细微的变化趋势；在作函数3
y=x3的图像时强调在x?(0,??)取五个点且在x?1两侧各取两个点，其目的是加深学生对函数奇偶性与图像对称性之间关系的理解和作图的精确性与取点的关系；
2、从初中已经学过的函数入手，降低学习难度，唤起学生的经验，引起学生的关注，激发学生的学习兴趣；同时让学生了解函数性质探究的一般次序和作图时的精确性；
问题2：研究函数y=x、y
强调以下内容：
教师：它们的研究过程与研究y=x3的策略是否一致？
学生：因为它们都是幂函数，应当是一致的。
教师：y=x3单调性的证明前面我们考虑了两种方法，你们认为哪一种更适合这两个
函数？
学生：利用不等式的乘方和开方性质更方便！
教师：图像呢？怎么样取点更精确？
学生：取x?12?x23的定义域与性质，并证明单调性，作出其图像； 123,,1,,2更精确； 232
这三个函数性质与图像：（板书在黑板上）
教师：把这五个函数放在一起，你所研究的幂函数k的取值范
围是什么？你可以看出它
们有哪些共同点和不同点吗？
学生：这五个函数k都大于0；它们的定义域由k具体的取值而定，但定义域都包含
[0,+ )；奇偶性也由k具体的取值而定；单调性：x?[0, )单调递增；图像特征：图象过点(1,1),(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间?0,上是单调增函数；而且当k?1时图像形状类似于“举手型”，当0?k?1时，图像形状类似于“鞠躬型”。
设计意图：①学生活动既动手操作、观察、归纳、猜想、验证、推理、提出问题等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动，意图是让学生活动中体验数学；②这两个函数的研究学生以小组形式自行完成，让学生在在研究的过程中发现问题，分析问题，解决问题，达到数学能力的提高。
问题3：①口答y=x-1的性质，并画出草图；
②研究函数y=x-2、y?x?1
2的定义域与性质，并作出它们的图像；
因问题3和前面两个类似，请学生自行研究完成，并类比y?xk(k?0)归纳其特点，
并总结性质；
学生归纳：这三个函数k都小于0；它们的定义域由k具体的取值而定，但定义域都包含(0,+ )；奇偶性也由k具体的取值而定；单调性：x?(0, )单调递减；图像特征：图象过点(1,1),，且在第一象
限随x的增大而下降；而且当k?0时图像形状类似于“双曲型”。 k 问题4：幂函数y?x(
k①像；
②当k?0时，x?[0k?1(1,1),(0,0)；当k?10
幂函数的性质与变化规律
幂函数的性质与变化规律 幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。 一、幂函数的定义和图像特点 幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。 幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面： 1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律： （1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。 （2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第 二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。 2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律： 幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。 二、幂函数的性质
1. 定义域和值域： 幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。 2. 奇偶性： 当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。 3. 单调性： 当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。 4. 渐近线： 当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴 正半轴，即有水平渐近线。 三、幂函数的变化规律 幂函数的变化规律主要由指数n和常数项a的取值决定。 1. 当n为正数时：
幂函数的图像及性质
讲义 教材与考点分析： 本节课学习的内容是了解幂函数的图像及性质，如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 幂函数 一般地，形如y=x a x（a为实数）的函数叫幂函数对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p 次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点。 （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。 练习：
幂函数的图象及性质
幂函数图象有规律 本文作者：王佩其 江苏 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分 各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分 图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成 一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质， ,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限 （如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象 限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限 并关于原点对称（如图3）。 利用规律，解题有方。请看以下例题： 例1 分别画出（1）2527y x -= ， （2）829y x =， （3）5y x = ， （4）18y x =的大致图象。
解析： （1）25 n=-＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图27 3中的①。 （2）82 n=＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y轴对称，如图2 9 中的④。 （3）5 n==＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，5 1 如图3中的④。 （4）1 n=＝奇数/偶数，0＜n＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一8 象限中的③。 例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）。 解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。
幂函数的图象及性质
课件6 幂函数图象及性质 课件编号：AB Ⅰ-2-3-1. 课件名称：幂函数图象及性质. 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：配合教科书“2.3 幂函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象 的功能，绘制出幂函数的图象，再利用幂函数的图象研究函数的性质． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph 】（图表）菜单中的【Define Coordinate System 】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl ＋K ，给原点 加注标签A ，并用【文本】工具把标签改为O ． （2）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，编辑函数f （x ）＝x ，单击【OK 】后画出函数f （x ） =x 的图象．同法编辑函数g （x ）＝x 2，h （x ）＝x 3，21)(x x q =和函数x x r 1 )(=的 图象．选中函数图象，单击【Display 】（显示）菜单中的【Line Width 】（线型） 中的【Thick 】（粗线）．把上述图象设置成粗线，单击【Display 】（显示）菜单中 的【Color 】（颜色）的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色，如图1． 图1 （3）再选中直线f （x ）＝x ，单击【Edit 】（编辑）菜单，选择【Action Buttons 】 （操作类按钮），单击【Hide/Show 】（隐藏/显示），此时屏幕上出现【Hide Function
Plot 】（隐藏对象）按钮，选择【文本工具】，双击【Hide Function Plot 】按钮， 出现对话框，将其中的【Label 】（标签）改为“f （x ）＝x ”，再单击【确定】．此 时，单击“f （x ）＝x ”按钮就会隐藏或显示直线f （x ）＝x ．用同样的方法制作 【Hide Function Plot 】按钮g （x ）＝x 2，3)(x x h =，21)(x x q =和x x r 1 )(=，如图 2． 图2 （4） 单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话 框，将【Page Name 】（页面名称） 改为“画图象”，单击【OK 】． （5）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框， 单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将页面名称改为“g （x ）＝x 2”． （6）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，在对话框内依次单击x ，^，2，单击【OK 】后画出函 数g （x ）＝x 2的图象．选中函数g （x ）＝x 2的图象，单击【Construct 】（构造） 菜单的【Point On Function Plot 】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A ， 再用【选择工具】选中点A ，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐 标），屏幕上出现点A 的坐标． （7）双击y 轴，即将y 轴标记为镜面，选中点A ，单击【Transform 】（变换） 菜单的【Reflect 】（反射），屏幕上出现点A 关于y 轴的对称点，发现该点也落在
幂函数的图像与性质(最新)
一般地，y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考! 幂函数的图像与性质 相关内容 1、形如y=x α的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 2 二、基础练习 1、判断下列哪些是幂函数 (1)y=0. 2 (2)y=x (3)y=3-x (4)y=x -1 (5)y=4x (6)y=x 2、画出下列函数的图像 (1)y=x (2)y=x (3)y=x (5)y= 1 -6734 43 x 12 (4)y=x 13 x (6)y=x 89 3、若幂函数y=f (x )的图象经过点(9, 4、若函数f (x )既是幂函数又是反比例函数, 则这个函数是f (x )=
5、幂函数f (x ) 的图象过点(，则f (x ) 的解析式是____________ 6、函数f (x )=(m 2-m -1) x m a 2 1 ), 则f(25)的值是_________ 3 -2m -3 是幂函数，且在x ∈(0,+∞) 上是减函数，则实数m=______ 7、已知-1 13 1 , y=2x , y=x 2+x , y=( ) 2x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8 、在y= 9、已知幂函数y= f (x ) 的图象过点(2, A .1 B. 2 C.10、幂函数y=x m 2-3m -4 ，则f (4)的值为( ) 2 1
D.8 2 A .-1 2 (m ∈Z) 的图象如下图所示，则m 的值为( ) B .0或2 C.1或3 D.0,1,2或3 x 2 5 2 x 11、若y=x , y=() , y=4x , y=x +1, y=(x -1) , y=x , y=a (a >1) 上述函数是幂函数的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12、幂函数y=x (α是常数) 的图象( ) A、一定经过点(0，0) B.一定经过点(1，1) C.一定经过点(-1，1) D.一定经过点(1，-1) 13、对于幂函数f (x )=x ，若0 45 α 12 x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) ) > 22x +x 2f (x 1) +f (x 2) )=C . f (1 22 A .f (
幂函数与指数函数的概念与性质
幂函数与指数函数的概念与性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和实际生 活中的应用非常广泛。本文将重点介绍幂函数和指数函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和运用这两种函数。 一、幂函数的概念与性质 幂函数是一类以自变量的幂次为指数的函数，表达形式为f(x) = x^n。其中，n为常数，可以是整数、分数或负数。幂函数可以分为正幂函数 和负幂函数。 1. 正幂函数 当n为正数时，幂函数为正幂函数，表达式为f(x) = x^n。正幂函 数的图像随着n的变化而发生改变。 - 当n > 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变陡；当x > 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数增长的趋势。 - 当0 < n < 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变缓；当0 < x < 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数衰减的趋势。 - 当n = 1时，正幂函数是线性函数，图像为一条直线，斜率为1。 2. 负幂函数 当n为负数时，幂函数为负幂函数，表达式为f(x) = x^n。负幂函 数的图像在定义域内是连续的，它们在x轴上的负半轴上逐渐变陡， 而在x轴上的正半轴上逐渐变缓。
二、指数函数的概念与性质 指数函数是以一个正实数为底数，以自然对数e（约等于2.71828） 为底，以变量的指数作为乘幂的函数，表达形式为f(x) = a^x。 指数函数的性质如下： 1. 底数为a的指数函数与底数为1/a的指数函数互为倒数关系。即 f(x) = a^x 和 g(x) = (1/a)^x 互为倒数。 2. 指数函数在不同的底数和指数变化下，有不同的增长趋势： - 当a > 1时，指数函数呈现出指数增长的趋势，随着x的增大， f(x)的值变得更大。 - 当0 < a < 1时，指数函数呈现出指数衰减的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更小。 三、幂函数与指数函数的关系 幂函数和指数函数之间存在密切的联系，可以通过归纳法来证明它 们的相互转化关系。通过变换指数、底数等，可以将一个幂函数转化 为指数函数，反之亦然。 在实际应用中，幂函数和指数函数经常用于描述各种增长和衰减的 过程。例如，经济学中的复利计算、物理学中的指数增长和衰减等。 总结： 本文重点介绍了幂函数和指数函数的概念与性质。幂函数以自变量 的幂次为指数，可以分为正幂函数和负幂函数。指数函数以一个正实
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质 教学目标： 1.掌握幂函数的概念。 2.掌握幂函数的性质和图像。 3.通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。 4.熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。 教学重点：幂函数的图像与性质 教学难点：幂函数的图像 教学过程： (一)知识要点： 1定义 形如q p y x =，（其中,,0p q Z p ∈≠且,p q 互质）的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，指数是有理数 q p 。 2幂函数q p y x =的性质 小结：幂函数图像在第一象限的特点。 （1）图像必过(1,1)点。 （2）1q p >时，过(0,0)点，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸。在第一象限是增函数。 （3） 1q p =时，图像是直线y=x 。在第一象限内是增函数。（在整个定义域内都是增函数。）
（4）10q p >>时，随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸。在第一象限是增函数。 （5） 0q p <时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交。在第一象限是减函数。 （二）例题选讲： 例1.下列各式中表示幂函数的有（ ） 答案：C E F A 、12 3y x = B 、x y x = C 、23 y x = D 、2x y = E 、y = F 、0.5y x = G 、y =例2.研究函数12 y x -=的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。 解：函数12 y x -=的定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞。 （1）奇偶性。 因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。 （2）单调性。 对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x < 可得0< <0>> 即12y y > 所以函数12 y x -=在(0,)+∞上为减函数。 描点作图：
幂函数图象及其性质--完整版
幂函数的图像与性质 一、根式与有理数指数幂 1、根式 （1 （2 ① ② 2 （1 ③0 （2 ① ② ③
二、幂函数 1、幂函数的定形如()a y x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值 时，()f x ： （1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数； 练习：已知函数2 21 ()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何 值时，()f x 是 （1）正比例函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 （4）幂函数 三、幂函数的图像 幂函数a y x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数a y x =的图象（部分图像） 2、单调性：（只研究第一象限的单调性） 当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增； 当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数 如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数 (,,,a q q y x a p q N p p *== ∈为最简分式）的图象 备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。
4、幂的大小与函数图像的关系 总结： 在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小； 练习、右图为幂函数 y x α =在第一象限的 图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 题型分析： 一、求定义域 1、函数2 3- =x y 的定义域为 . 2、函数y ＝（x 2－2x ）2 1－的定义域 3、求函数25 y x =的定义域 练习：1、若a 2 1＜a 2 1－ ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞0 C ．1＞a ＞0 D ．1≥a ≥0 2、若2 1 )1(－＋a ＜2 1) 23(－－a ，求则a 的取值范围 二、单调性 1、函数y ＝5 2x 的单调递减区间为（ ） A ．（－∞，1） B ．（－∞，0） C ．［0，＋∞］ D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ） A ．13 y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -= 三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数2 3-=x y ，那么函数为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．减函数 2、已知幂函数25 y x = ，那么函数为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 3 22 --m m （m ∈Z ）为偶函数，且 在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ） （）（x xf b x f -的奇偶性 x O y a y x =b y x = c y x = 幂依次减小
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结 幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握 幂函数的图像及其性质是非常重要的。 首先，我们来看幂函数的图像特点。当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。而当0 幂函数的性质 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．取正值 当a>0时，幂函数y=x a有下列性质： a.图像都经过点（1,1）(0,0）； b.函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数； c.在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0； 取负值 当a<0时，幂函数y=x a有下列性质： a.图像都通过点（1,1）； b.图像在区间（0，+∞）上是减函数； c.在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。 取零 当a=0时，幂函数y=x a有下列性质： =x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。(00没有意义）特性 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则 y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： a小于0时，x不等于0； a的分母为偶数时，x不小于0； a的分母为奇数时，x取R。 定义域和值域 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1.如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据a 的奇偶性来确定，即如果同时a为偶数，则y不能小于0，这时函数的值域为大于0的所有实数； 2.如果同时a为奇数，则函数的定义域为所有非零实数。 2.当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1.在x大于0时，函数的值域为大于0或大于等于0的实数。 2. 在x小于0时，则只有同时a为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 幂函数九个基本图像 幂函数的图像和性质图表 幂函数的图像： 幂函数的性质： 一、正值性质 当α>0时，幂函数y=xα有下列性质： a、图像都经过点（1,1）（0,0）； b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数； c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0； 二、负值性质 当α<0时，幂函数y=xα有下列性质： a、图像都通过点（1,1）； b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。 c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。 三、零值性质 当α=0时，幂函数y=xa有下列性质： a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。 扩展资料 一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。参考资料：百度百科—幂函数 幂函数的图像和性质 幂函数是基本初等函数之一。 一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。 正值性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 幂函数的性质与图像 幂函数的性质与图像 上海南汇中学 周静波 【教学目标】 1、掌握幂函数的概念。 2、掌握幂函数的性质和图像。 3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。 4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。 【教学重点】幂函数的图像与性质 【教学难点】幂函数的图像 教学过程 一、回顾与本堂课相关的知识点 (1) 若0a b >>，则0k k a b >>。(*k N ∈) (2) 若0a b >>0k k a b >>。（*k N ∈且1k >） (3) 有理数集Q={|,,,0,,q x x p q Z p p q p =∈≠互质} (4) 如图: 二、新课 1、引入熟悉的函数——这些函数都可以写成底数为x ，指数是一个有理数的形式。 (1) 2y x = 3 y x = 12 y x x == 13 3 y x x == (2) 11y x x -== 221y x x -== 3 31y x x -== 12y x x -== 1 33y x x -== a k 指数 底数 幂 这节课是学习一类新的 由一 些熟悉的函数通过 2、定义 形如q p y x =，（其中,,0p q Z p ∈≠且,p q 互质）的函数叫幂函数。 注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，指数是有理数q p 。 练习 判断：下列各式中表示幂函数的有（ ） 答案：C E F A 、12 3y x = B 、x y x = C 、23 y x = D 、2x y = E 、74y x = F 、0.5y x = G 、2y x = 思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？ （回顾第三章的内容——函数的性质 考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像） 3、研究探索 例1、研究函数12 y x - =的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。 解：函数12y x -=的定义域为(0,)+∞，值域为(0,)+∞。 （1）奇偶性。 因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。 （2）单调性。 对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x < 可得120x x << 则 12 0x x >> 即12y y > 所以函数1 2 y x -=在(0,)+∞上为减函数。 给出幂函数的定义， 幂函数会具有什么性质？ 第八部分幂函数 一、基本知识点 1．幂函数的概念 一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像与性质 由幂函数y＝x、y＝ 1 2 x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图像，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在________上都有定义； (2)幂函数的图像都过点__________； (3)当α>0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________； (4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________． 3．五种幂函数的比较 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较 函数 特征性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝ 1 2 x y＝x－1定义域 值域 奇偶性 单调性 二、内容扩充 1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴． 2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． 三、小练习 1．当α∈⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ －1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过第________象限． 2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，2 2，则k ＋α＝________. 3．下列函数是幂函数的序号是________． ①y ＝2x ②y ＝2x － 1 ③y ＝(x ＋2)2 ④y ＝3 x 2 ⑤y ＝1x 4．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点⎝ ⎛⎭⎫ 2，22，则f (4)的值等于 ( ) A ．16 B.1 16 C ．2 D.1 2 四、题型分析 题型一 幂函数的定义及应用 例1已知y ＝(m 2＋2m －2)· 2 1 1 m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值． 探究提高 (1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1. (2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征． 练习 已知f (x )＝(m 2＋2m )21 m m x ＋－，m 为何值时，f (x )是： (1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 题型二 幂函数的图像及性质的简单应用 例2已知幂函数f (x )的图像过点(2，2)，幂函数g (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫2，1 4. (1)求f (x )，g (x )的解析式； (2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x ) 指数函数、对数函数、幕函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果x" = a ,那么X 叫做a 的"次方根 n > 1且乃G N" 当〃为奇数时,正数的〃次方根是一个正数，负数的" 次方根是一个负数 需 零的〃次方根是零 当n 为偶数时,正数的"次方根有两个,它们互为相反 数 ±y/a(a > 0) 负数没有偶次方根 （2）.两个重要公式 ② 忸）” =a （注意Q 必须使丽有意义）。 2.有理数指数幕 （1）幕的有关概念 ① 正数的正分数指数幕:莎=> 0,/H . n G N ：且n > 1）; @0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义. 注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。 <2)有理数指数幕的性质 ®a r a 5=a r+s (a>0,rx seQ)； @(a r )s =a rs (a>0,r. seQ)； ③(ab)r =a r b 5(a>0,b>0,reQ)；. a(a > 0) -a(a < 0) n 为奇数 n 为偶数 fit ② 正数的负分数指数幕：a~^ = (a > 0,加、n e TV*,且n > 1) a 3. 注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x > (3) ,y=c x (4) ，尸cf 的图彖，如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c l >d 1>1>a 1>b 1,Ac>d>1>a>bo 即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 (二) 对数与对数函数 1、对数的概念 (1) 对数的定义 如果a x = N(a > 0且QH1),那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作x = log a N ,其中d 叫做对数的底数，N 叫做真数。 (2)幂函数的性质
幂函数九个基本图像
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
幂函数的性质与图像
第八部分 幂函数
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质