等腰三角形常见错例剖析

等腰三角形常见错例剖析

在等腰三角形的学习过程中，许多同学常常犯这样或那样的错误，下面将这部分的几种常见错误举例分析，希望能帮助同学们走出“误区”

一错用等腰三角形的性质

例1:已知:如图1,在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点,且OB=OC

求证:AO⊥BC

错解:如图1,直接由OB=OC,得到OD 平分∠BOC ,进而由等腰三角形“三线合一”的性质证得垂直

分析:一些同学在遇到等腰三角形问题时，往往

会把非特殊线段看成特殊线段，如本例中的OD ，在

题设中没有说明它是角平分线，但这些同学却仅仅

根据图形便断定它是角平分线，并作为应用的条件

正解：延长AO 交BC 于D 在△ABO 和△ACO 中,

⎪⎩⎪⎨⎧===AO AO OC OB AC AB 所以△ABO≌△ACO,所以∠BAO=∠CAO,即

∠BAD=∠CAD

C

D O B

A

图

所以AD⊥BC 即AO⊥BC

评注：要杜绝这类错误，必须养成认真审题的好习惯，根据题设及图形分析出证题思路事实上，在证题时，一般题设中的每个条件都要用到，而不会像本例错解那样没有用到条件AB=AC

二混淆等腰三角形的性质与判定

例2已知:如图2,AC 和BD 相交于点O,AB∥CD,OA=OB

求证:OC=OD

错解:因为OA=OB ，所以∠A=∠B，

又AB∥CD,所以∠C=∠D,所以OC=OD

分析:对等腰三角形的性质和判定未能很

好理解,造成性质和判定混淆,事实上,“性质”指的是在已知等腰三角形的条件下可得到的结论所以“边相等”应写在前面，即“等边对等角”；而“判定”指的是根据一些条件来判断三角形是不是等腰三角形“边相等”是推出的结论，应写在后面，即“等角对等边”，只要我们抓住上述性质与判定的特征，就能正确地区分运用等腰三角形的性质和判定

正解：因为AB∥CD,∠A=∠C,∠B=∠D

B 图C

又因为OA=OB所以∠A=∠B

所以∠C=∠D,所以OC=OD

评注：对于某些结论的掌握，最好要结合图形，这样不易出错，而且用得灵活

三错写等腰三角形性质定理的逆定理

例3请写出“等腰三角形性质定理”的逆定理

错解：因为等腰三角形性质定理是：如果一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两底角相等所以逆定理是：如果一个三角形的两底角相等，那么它是等腰三角形

分析:产生错误的主要原因是没真正明白“底角”概念,在一般情况下，我们称三角形中的某个角是三角形的底角只有先得到等腰三角形，才有“底角”这个概念，所以这里的逆定理中，不能先有“底角”再出现“等腰三角形”

正解：等腰三角形性质定理的逆定理是：如果一个三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形

评注：对于原命题和逆命题的关系，除了知道“条件”和“结论”互掉位置，还要加强有些概念的理解

14.5等腰三角形的性质易错题1

2012年 默认标题-2012年3月15日 深圳市菁优网络科技有限公司

一、填空题（共30小题） 1、（2007?双柏县）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为_________． 2、等腰三角形的对称轴最多有_________条． 3、一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为_________． 4、若等腰三角形的三条边长分别为a2+1，a+1，4a﹣3，则a可以取的值为_________． 5、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________． 6、等腰三角形的两边长为5cm，10cm，则它的周长等于 _________cm． 7、等腰三角形一个底角为36°，则此等腰三角形顶角为_________度． 8、已知等腰三角形的一个角等于100°，则它的顶角是_________． 9、一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三角形的一边长为4cm，则其他两边长分别为_________cm，_________cm． 10、如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_________度． 11、已知AD是等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB=50°，这个三角形的顶角的度数是_________． 12、等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角为60°，则其顶角为_________． 13、在等腰三角形ABC中，若∠A=70°，则∠B=_________． 14、如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB=_________度． 15、在△ABC中，AB=AC，BC=10cm，△ABC的周长不＞44cm，则AB的范围为_________． 16、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形一边的一半，则其顶角为_________． 17、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为_________． 18、如果一个等腰三角形的一个外角为140，那么顶角的度数是_________． 19、等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_________． 20、如果一个等腰三角形的一个角等于80°，则该等腰三角形的底角的度数是_________． 21、等腰三角形_________，_________，_________互相重合，等腰三角形对称轴最多有_________条． 22、等腰三角形的两边长分别是4厘米和9厘米，则周长为_________厘米． 23、顶角为60°的等腰三角形，两个底角的平分线相交所成的角是_________°． 24、两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是_________cm． 25、如图，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD=_________度．

等腰三角形易错题精粹

等腰三角形 一、选择题 1．（2010浙江宁波） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线， 则图中的等腰三角形有 (A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个 【答案】A 2．（2010 浙江义乌）如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A =5，则线段PB 的长度为（ ▲ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】B 3．（2010江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ） A ．两边之和大于第三边 B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C ．有两个锐角的和等于90° D ．内角和等于180° 【答案】B 4.（2010 黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ） A ． 13 B ．12 C ．2 3 D ．不能确定 第15题图 【答案】B ． A B C D P E D C B A (第10题)

5．（2010山东烟台）如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于 A 、80° B 、 70° C 、60° D 、50° 【答案】C 6．（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( ) A ．8 B ．7 C ． 4 D ．3 【答案】B 7．（2010湖北武汉）如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ） A.100° B.80° C.70° D.50° 【答案】A 8．（2010山东威海）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点， 连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是 A ．BC ＝2BE B ．∠A ＝∠EDA C ．BC ＝2A D D ．BD ⊥AC A D B E C

八年级数学《等腰三角形》教学反思（通用12篇）

八年级数学《等腰三角形》教学反思 八年级数学《等腰三角形》教学反思（通用12篇） 在不断进步的时代，课堂教学是我们的任务之一，反思过去，是为了以后。那么问题来了，反思应该怎么写？下面是小编整理的八年级数学《等腰三角形》教学反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 八年级数学《等腰三角形》教学反思 1 首先我让学生从概念上去认识等腰三角形，会识别它的腰、底边、顶角和底角。然后让学生在练习本上画出一个等腰三角形，锻炼学生的动手作图能力，对等腰三角形翻折让它的两条腰AB和AC重合，通过这个简单的试验让学生从中寻找、发现等腰三角形的一些性质。 学生归纳和抽象的逻辑思维能力略显不足，归纳结论也没有方向性，我及时的对学生进行引导，翻折图形的过程三角形的两部分完全重合说明该三角形是一个轴对称图形。然后从轴对称图形所具有的一般性质出发，推导等腰三角形所具有的具体的性质。通过引导学生轴对称图形的对应线段相等，对应角相等从而在等腰三角形图形中找到相应的线段和角。 学生的观察图形，抽象归纳的能力有待提高，今后也要加强这方面的训练。例如我们从图中观察出线段BD=CD，那么线段AD是三角形的什么线？有不少学生说是高线和角平分线，这也是学生一个不好的习惯导致的，做题不看清楚题目意思，不读懂题目，想当然的说出答案。当然还有一个原因：学生对概念定义的理解不够透彻，混淆了意思相近的概念，导致了解题的出错。 在结论一推出后我马上给出一例题，加强学生对结论一的理解和吸收，并能够简单的对结论一加以应用；同样在给出结论二后，为了让学生更深入的理解结论二（三线合一），在反复的强调结论二以后仍然给出了一个例子，也是为了追求思维的连贯性。 纵贯整堂课，在教学内容上，结合学生的理解程度，还是略显偏多。就结论二这个知识点学生理解起来相当吃力，等腰三角形的三线

初中数学等腰三角形存在性问题(含答案)

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形． 几何法】“两圆一线”得坐标 1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 AB=AC； 2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 BA=BC； 3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y

【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H 点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3 C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0) C3、C4 同理可求，下求 C5． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单 位，当点 为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解： AH =3， BH=2 设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x 13 解得： x= 6 19 故 C5坐标为（ ,0） 而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些． A 坐标 222 (3-

代数法】表示线段构相等 1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3）， 2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得： （m 1）2 12 （m 4）2 32 ， 【小结】 几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： 1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； 2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安 中考】 4）求解得答案：解得： 23 6 故 C 5 坐标 为 23,0

2016中考数学等腰三角形中的常见问题

等腰三角形中的常见问题 等腰三角形的知识是整个初中数学教材中的重要内容之一，中考中也作为总要的考点。在教学中笔者总结了解决等腰三角形相关问题的一些实用的解题思想方法，供大家参考。 等腰三角形的知识内容： 1、有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫等腰三角形的腰，第三条边叫 等腰三角形的底边。 2、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等。（简称“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，并且平分底边。 （3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。（简称“三线合一”） 3、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。（简称“等角对等边”） 4、等边三角形： （1）三条边均相等的三角形是等边三角形。 （2）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。 （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形中常见的结论： 1、 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； 2、 等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于一腰上的高（运用面积法，底边延长 线上的点到两腰距离的差等于一腰上的高）； 3、 三条线段能构成等腰三角形的条件是：为腰的两条线段（相等的两条线段）的和大 于第三条线段。 4、 过角的平分线上的点作一条边的平行线能构成等腰三角形。 以上知识的运用在等腰三角形的学习中占很重要的地位，现举例如下： 例1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。 解：设其腰长为x ，则底边长为（12－2x ），由题意得： 2122212 x x x >-??

数学易错题中考专题复习：《等腰三角形》易错题导学案

《等腰三角形》易错题训练 考点1等腰三角形 1．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ） A ．4，10 B ．7，7 C ．4，10或7，7 D ．无法确定 【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10， ∵4+4＝8＜10， ∴这样的三边不能构成三角形． 当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7， ∵0＜7＜7+4＝11， ∴以4，7，7为边能构成三角形 ∴其它两边长分别为7，7． 故选：B ． 2．若等边三角形ABC 的边长为a ，且三角形内一点P 到各边的距离分别是h a ，h b ，h c ，则h a +h b +h c ＝ ． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质．分别连接P A 、PB 、PC 将△ABC 分成3个小三角形，再根据等边△ABC 的面积等于三个小三角形的面积之和，就可以得出答案． 【解答】解：设△ABC 的为h ，根据等边三角形的性质h ＝ 3 2 a ， 分别链结P A ，PB ，PC ，将△ABC 分割成△APB 、△APC 、△BPC S △ABC ＝S △APB +S △APC +S △BPC ＝a ?（h a +h b +h c ）?12＝1 2 ah 那么，h a +h b +h c = 32a 3．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点M ，N ，且MN ∥BC ．若AB ＝7，AC ＝6，那么△AMN 的周长是 ．

【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO ＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO， ∴MO＝MB，NO＝NC， ∵AB＝7，AC＝6， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13． 故答案为：13． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF． （1）下面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据． 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．① 在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD， ∴△BDE≌△CDF．② ∴DE＝DF．③ （2）请你再用另法证明此题． 【分析】（1）根据等边对等角的性质和全等三角形的判定方法判断解答； （2）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质证明． 【解答】（1）解：证明过程正确． 推理依据：①等边对等角．②AAS．③全等三角形的对应边相等； （2）证明：连接AD，∵AB＝AC，D是底边BC的中点， ∴AD平分∠BAC（三线合一）， 又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

等腰三角形存在性问题(带答案)

等腰三角形存在性问题〔两圆一线〕 类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC 是格点三角形〔即顶点恰好是正方形的顶点〕,则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是〔 〕 2、.如图,在正方形网格的格点〔即最小正方形的顶点〕中找一点C, 使得△ABC 是等腰三角形,且AB 为其中一腰．这样的C 点有< >个． 3、如图,A 、B 是网格中的两个格点,点C 也是网格中的一个格点,连接AB 、BC 、AC,当△ABC 为等腰三角形时,格点C 的不同位置有处,设网格中的每个小正方形的边长为1,则所有满足题意的等腰三角形ABC 的面积之和等于． 4、如图,在图中能画出与△ABC 全等的格点三角形有几个？ 类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB 为一边的等腰直角三角形有个,请在下列图中画出来 6、〔1〕如图所示,线段OD 的一个端点O 在直线AB 上,以OD 为一边的等腰三角形ODP ,并且使点P 也在AB 上,这样的等腰三角形能画个〔在图中作出点P 〕 〔2〕若△DOB=60°,其它条件不变,则这样的等腰三角形能画个,〔只写出结果〕 〔3〕若改变〔2〕中△DOB 的度数,其他条件不变,则等腰三角形ODP 的个数和〔2〕中的结果相同,则改变后△DOB=． 7、如图,南北向的公路上有一点A,东西向的公路上有一点B,若要在南北向的公路上确定点P,使得△PAB 是等腰三角形,则这样的点P 最多能确定 〔 〕个． 8、线段AB 和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个 直线l 上恰好只有个1点P ,使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个2点P ,使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个3点P ,使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个4点P ,使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个5点P ,使△ABP 为等腰三角形 直线l 上恰好只有个6点P ,使△ABP 为等腰三角形． 9、如图AOB ∠,当 30为AOB ∠, 60, 120时,请在射线OA 上找点P ,使POB ∆为等腰三角形,并分析出当AOB ∠发生变化时,点P 个数的情况；

等腰三角形常见漏解剖析

等腰三角形常见漏解剖析 等腰三角形是八年级上学期的重点内容，除了“三线合一”外，也有多种易漏解题型。等腰三角形的边分为腰长和底边长，角分为顶角和底角，如果题目中没有明确腰、底或顶角、底角的情况，求其余量时，需要分多种情况。当然，三角形本身还分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，这也是需要考虑的情况。 01 类型一：已知两边 如果题目中已知等腰三角形的两边，而没有明确说明腰或底时，求其周长需要分两种情况进行讨论。我们在求解时，也需要通过三角形三边之间的关系进行验证，检验其是否构成三角形，若不能构成三角形，那么需要舍去。 例题1：已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，求该三角形的周长 分析：分类讨论，利用等腰三角形的性质，以及三角形三边关系确定出第三边的长，然后再求三角形的周长。 解：分两种情况考虑：若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，13cm，6+6＜13，不符合题意，舍去；若13cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，13cm，13cm，符合题意，则三角形的周长为：6+6+13=25cm。

02 类型二：已知一内角 已知等腰三角形的一个内角，没有明确说是什么角，那么我们需要分两种情况进行讨论，该角可能是顶角，也可能是底角。 例题2：等腰三角形的两个外角的度数比为1：4，求则它底角的度数 分析：先设这两个外角等于x，4x，然后分类讨论，①若底角的外角是x；②若顶角的外角是x，再结合三角形内角和定理可求x，从而求解。 解：设这两个外角等于x，4x， ①若底角的外角是x，则有2（180°-x）+（180°-4x）=180°，解得x=60°， 则底角等于120°，不合题意，舍去． ②若顶角的外角是x，则有（180°-x）+2（180°-4x）=180°，解得x=40°， 则顶角等于140°，那么底角等于20°．

等腰三角形常见错误

等腰三角形常见错例剖析 在等腰三角形的学习过程中，许多同学常常犯这样或那样的错误，下面将这部分的几种常见错误举例分析，希望能帮助同学们走出“误区”. 一.错用等腰三角形的性质 例1:已知:如图1,在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点,且OB=OC. 求证:AO ⊥BC. 错解:如图1,直接由OB=OC,得到OD 平分∠BOC,进而由等腰三角形“三线合一”的性质证得垂直. 分析:一些同学在遇到等腰三角形问题时，往往会把非特殊线段看成特殊线 段，如本例中的OD ，在题设中没有说明它是角平分线，但这些同学却仅仅根据图形便断定它是角平分线，并作为应用的条件. 正解：延长AO 交BC 于D.在△ABO 和△ACO 中, ⎪⎩⎪⎨⎧===AO AO OC OB AC AB 所以△ABO ≌△ACO, 所以∠BAO=∠CAO,即∠BAD=∠CAD. 所以AD ⊥BC 即AO ⊥BC. 评注：要杜绝这类错误，必须养成认真审题的好习惯，根据题设及图形分析出证题思路.事实上，在证题时，一般题设中的每个条件都要用到，而不会像本例错解那样没有用到条件AB=AC. 二.混淆等腰三角形的性质与判定 例2 已知:如图2,AC 和BD 相交于点O,AB ∥CD,OA=OB. 求证:OC=OD. 错解:因为OA=OB ， 所以∠A=∠B ， 又AB ∥CD, 所以∠C=∠D,所以OC=OD 分析:对等腰三角形的性质和判定未能很好理解,造成性质和判定 混淆,事实上,“性质”指的是在已知等腰三角形的条件下可得到的 结论.所以“边相等”应写在前面，即“等边对等角”；而“判定” 指的是根据一些条件来判断三角形是不是等腰三角形.“边相等”是推出的结论，应写在后面，即“等角对等边”，只要我们抓住上 述性质与判定的特征，就能正确地区分运用等腰三角形的性质和 判定. 正解：因为AB ∥CD, ∠A=∠C, ∠B=∠D. 又因为OA=OB 所以∠A=∠B 所以∠C=∠D,所以OC=OD 评注：对于某些结论的掌握，最好要结合图形，这样不易出错，而且用得灵活. 三.错写等腰三角形性质定理的逆定理 例3 请写出“等腰三角形性质定理”的逆定理. 错解：因为等腰三角形性质定理是：如果一个三角形是等腰三角形，则这个三角形的两底角相等.所以逆定理是：如果一个三角形的两底角相等，那么它是等腰三角形. 分析:产生错误的主要原因是没真正明白“底角”概念,在一般情况下，我们称三角形中的某个角是三角形的底角只有先得到等腰三角形，才有“底角”这个概念，所以这里的逆定理中，不能先有“底角”再出现“等腰三角形” . 图1

三角形易错易混点解析

三角形易错易混点解析 作者：余旭红 来源：《初中生世界·九年级》2018年第03期 易错点1 忽视构成三角形的条件 例1 已知一个三角形有两边相等，且其中某两边长分别是2cm和4cm，则这个三角形的周长为 . 【错解】这个三角形的周长为8cm和10cm. 【剖析】分两种情况讨论： （1）当相等两边长均为2cm时，由于2+2=4，不符合“三角形任何两边的和大于第三边”； （2）当相等两边长均为4cm时，由于2+4>4，此时能构成三角形，周长为10cm. 【点评】求三角形的周长时，必须考虑三角形三边关系是否成立. 易错点2 忽视三角形高线位置的分类讨论 例2 已知AD是△ABC的边BC上的高线，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC= . 【错解】∠BAC=90°. [图1][图2] 【剖析】当高AD在△ABC的内部时（如图1），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；当高AD在△ABC的外部时（如图2）， ∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上可知，∠BAC的度数为90°或50°. 【点评】三角形的高线因三角形的形状不同而位置不同，对于与三角形高线有关的问题，需根据三角形的具体形状进行分类讨论. 易错点3 忽视全等三角形的对应关系 例3 已知△ABC与△A′B′C′全等，其中∠A=60°，∠B′=40°，∠A′=80°，BC=3，则A′B′的长为（）.

A.3 B.4 C.5 D.不确定 【错解】D. 【剖析】由于思维定式，误认为A′B′=AB，且它们是未知的，故选D. ∵∠A′+∠B′+∠C′=180°，∠A′=80°，∠B′=40°，∴∠C′=60°，可得∠C′与∠A是对应角，即边A′B′与边BC是对应边，则A′B′=BC=3. 【点评】在确定全等三角形的对应角、对应边时，易受思维定式的影响而找错对应边、对应角，应根据角度相等找到对应角，从而找到对应边. 易错点4 忽视三角形全等判别方法的正确应用 例4 如图3，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE.△ADC 与△AEB全等吗？说明理由. 图3 【错解】因为AB=AC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA）. 【剖析】错解在于把“SSA”作为三角形全等的判别方法. 【正解】△ADC≌△AEB. ∵AB=AC，D、E为AB、AC的中点，∴AD=AE.在△ADC和△AEB中，∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）. 【点评】判断全等三角形的方法一般为“ASA”“SAS”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”属于直角三角形.很多同学在证明三角形全等的时候常常应用并不成立的“SSA”定理. 易错点5 忽视等腰三角形、直角三角形问题中的分类讨论 例5 等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）. A.40° B.100° C.70° D.40°或70° 【错解】A. 【剖析】等腰三角形的一个外角可以是底角的邻补角，也可以是顶角的邻补角.

专题训练(七) 与等腰三角形有关的四种常见漏解

专题训练(七)与等腰三角形有关的四种常见漏解 ►类型一与三角形的边有关的漏解或多解题 1．已知等腰三角形的一条边长为6，另一条边长是3，则此等腰三角形的周长是() A．12或15 B．12 C．15 D．9 2．若等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边长为____________． 3．在△ABC中，AB＝8，BC＝2a＋2，AC＝22. (1)求a的取值范围； (2)若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长． ►类型二与三角形的内角有关的漏解或多解题 4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为() A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 5．2019·淮北期末等腰三角形的一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为() A．50°，50° B．20°，80° C．40°，40°或50°，50° D．50°，50°或20°，80° 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为__________． 7．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数为__________． 8．2019·瑶海期末已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为__________． 9．若等腰三角形的两个外角的度数比为1∶4，试求底角的外角度数． ►类型三与三角形计数有关的漏解或多解题 10．以2，6及另一整数为三边长的三角形共有() A．2个B．3个C．4个D．5个

11．如图7－ZT－1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有() 图7－ZT－1 A．2个B．3个C．4个D．5个 ►类型四与三角形的中线或边的垂直平分线有关的漏解问题 12．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，求底角∠B的度数． 13．在△ABC中，AB＝AC，中线BD把它的周长分为9与12两部分，求它的底边BC 的长． 详解详析 1．C 2．[答案] 6，4或5，5 [解析] 此题分为两种情况：①当腰长是6时，则另两边长是4，6，且4＋6＞6，满足三角形三边关系；②当底边长是6时，另两边长是5，5，且5＋5＞6，满足三角形三边关系，故该等腰三角形的另两边长为6，4或5，5. 3．解：(1)根据三角形三边关系可知： 22－8<2a＋2<22＋8， 解得6

中考数学复习《例说等腰三角形问题的求解误区》

例说等腰三角形问题的求解误区 与等腰三角形有关的问题，它能考查学生分析问题的全面性和思考问题的周密性，是初中数学中的重点内容之一．这类问题因为存在一定的“误区”，所以往往也是初中生的“软肋”，那么怎样才能拨开迷雾，走出误区，这里举例分析，以供大家参考． 一、腰和底不分 例 1 （烟台中考题）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为_______． 误区警示在等腰三角形中，一边长为4，周长为14，设底边长为x，则 x＋4×2＝14，，∴x＝6， 所以底边长为6． 思路分析等腰三角形的一边长为4，这条边可能是腰，也可能是底，应分两种情况进行讨论： (1)当腰是4时，另两边是4，6，且4＋4>6，6－4 <4，满足三角形三边关系定理； (2)当底是4时，另两边长是5，5，又5＋4>5，5－4 <5，满足三角形三边关系定理．所以等腰三角形的底边为4或6． 例2 如图1，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边BC的长． 误区警示设AD＝x，则 2x＋x＝12，∴x＝4， 即AB＝AC＝8． ∵周长是12＋15＝27， ∴BC＝11cm． 思路分析 BD把三角形周长分为12cm和15cm两部分，可能是 AB＋AD＝12，BC＋DC＝15， 或AB＋AD＝15，BC＋DC＝12． 所以要分两种情况讨论： 设AD＝x． (1)当AB＋AD＝12，BC＋DC＝15时， 2x＋x＝12， ∴x＝4，即AB＝AC＝8． ∵周长是12＋15＝27，

∴BC＝11： (2)当AB＋AD＝15，BC＋DC＝12时， 2x＋x＝15， ∴x＝5． 即AB＝AC＝10． ∵周长是12＋15＝27， ∴BC＝7． 综上可知，底边BC的长为7cm或11cm． 点拨解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立． 二、顶角和底角不分 例3 （楚雄中考题）已知等腰三角形的一个内角为700，则另外两个内角的度数是( ) (A)55°，55° (B)70°，40° (C)55°，55°或70°，40° (D)以上都不对 误区警示在等腰三角形中，一个内角为70°，设底角的度数为x，则 2x＋70＝180，∴x＝55， 所以另外两个内角的度数是55°、55°． 思路分析等腰三角形的一个内角为70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，应分两种情况进行讨论： (1)当70°角为顶角时，设底角的度数为x，2x＋70＝180，∴x＝55， 所以另外两个内角的度数是55°、55°； (2)当70°角为底角时，设顶角的度数为y，y＋70×2＝180，∴y＝40， 所以另外两个内角的度数是70°、40°． 故选C 点拨根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论．另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在． 三、顶角顶点和底角顶点不分 例4（荆门中考题）如图2，坐标平面内一点A（2，－1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

等腰三角形经典题型总结

等腰三角形经典题型总结 一等腰三角形的概念 等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两边长度相等，并且对应的底角也相等。根据定义，等腰三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 二等腰三角形的性质 1等腰三角形的两边相等：等腰三角形的两个底边长度相等，这是等腰三角形最基本的特点。 2等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两个底角相等，这是等腰三角形另一个重要的性质。 3等腰三角形的顶角平分线与底边垂直：等腰三角形的顶角平分线将底边分为两个相等的部分，这是等腰三角形的一个重要性质。 4等腰三角形的中线与底边垂直：等腰三角形的中线将底边分为两个相等的部分，这是等腰三角形的另一个重要性质。 三等腰三角形的判定

1、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 2、如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形。 3、如果一个三角形的顶角平分线与底边垂直，那么这个三角形是等腰三角形。 4、如果一个三角形的中线与底边垂直，那么这个三角形是等腰三角形。 四等腰三角形的经典题型 1、判断是否为等腰三角形：这类题目通常给出三角形的几个边长或几个角，要求判断是否为等腰三角形。解决这类题目时，需要应用等腰三角形的定义和性质，判断是否存在两边相等或底角相等的情况。2等腰三角形的分类讨论：这类题目通常涉及到分类讨论的思想，需要根据题目中给出的条件，对几种情况进行分别讨论。在解决这类题目时，需要注意不要漏解或误解题目中的条件。 3等腰三角形的证明：这类题目通常要求证明一个三角形是等腰三角形，或者利用等腰三角形的性质证明其他命题。在解决这类题目时，需要灵活运用等腰三角形的性质和判定方法，结合其他数学知识点进

解决等腰三角形问题的常见错误剖析

解决等腰三角形问题的常见错误剖析 等腰三角形是一种特殊的三角形，它的性质在平面几何中有着广泛的应用。然而，有些同学由于忽视条件，考虑问题不周等方面的原因，解题时常常发生这样或那样的错误。错误的原因不外乎有以下几种。 一、忽视三角形存在的条件导致错误 例1一个等腰三角形的一边长为6，另一边长为12，求它的周长？ 错解：（1）当腰长为12时，周长为122+6=29 (2)当腰长为6时，周长为62+12=24。因此这个等腰三角形的周长为29或24。 分析：初看起来，上面的解答全面、周到。殊不知，当腰长为6时，两腰之和为12等于12，它不能构成三角形，从而（2）中的结果不合要求，于是本题的正确答案是：此等腰三角形的周长为29。 二、忽视高所在位置的不同情形导致错误 例2、已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求它的顶角？ 错解：如图1，∵B D⊥AC,BD=1／2AB,∴∠A=30°,即它的顶角为30°。 分析：上述解答只讨论了一腰上的高在三角形内的情况，实际上，等腰三角形的一腰上的高也可能在形外，或与另一腰重合，因此需要讨论三种情况。正确的解答应该是 这样的： 解：（1）当高在三角形内时（图1）此时顶角为30°，（2）当高在三角形外时（图2），在Rt⊿ABD中，∵BD=1／2AB,∴∠BAD=30°∴∠BAC=150°,即顶角为150°；（3）当高与三角形一腰重合时，高与腰长相等，不符合题意。 三、忽视底角的外角只能为钝角导致错误 例3、一个等腰三角形的两个外角的比为14，求底角的外角的度数？ 错解(1)设顶角的外角和底角的度数分别为X和4X,则由平角与三角形内角和定理知X+4x+4X=3180-180.解得x=40,4x=160,即底角的外角为160° (2) 设顶角的外角和底角的度数分别为X和4X，则由平角与三角形内角和定理知 X+X+4X=3180-180,解得X=60,即底角的外角为60° 分析：我们知道，等腰三角形的两底角相等，并且都只能为锐角，否则与三角形内角和定理相矛盾，因此它底角的外角只能为钝角。事实上，当底角的外角为60° 时，底角为120°，两两底角之和就为240°了。显然它大于180°，因此（2） 应舍去。于是本题的正确答案是：等腰三角形的底角的外角为160° 四、受习惯作图的影响导致错误 例4、等腰三角形一腰上的中线将其周长分为15和12两部分，求三角形各边长？ 错解：如图3，设腰长AB为X,底边BC长为Y,则由题意有﹛X+12X=15,12X+Y=12. 解得X=10,Y=7.所以等腰三角形三边长分别为10、10、7。 分析：很多同学习惯上总是把腰画得大于底边，如果腰长小于底边，问题是否有解呢？回答是肯定的。事实上，由图还可列出方程组﹛X+12X=1212X +Y=15﹜解得﹛X=8 Y=11﹜ 此时等腰三角形的三边长分别为8、8、11。 因此本题的正确的答案应为：等腰三角形的三边长分别为10、10、7或8、8、11。 总之，在这里请同学们记住我们的忠告：在解答用文字语言叙述的几何题中，当按题意画出相应的几何图形或作辅助线时，要注意符合题意的各种可能情况，否则常会发生疏漏，造成解题的失误。

等腰三角形中的“易错题”

等腰三角形中的易漏解题 于等腰三角形的边分腰和底边；角分顶角和底角；因此在已知等腰三角形的边或角在未指明腰和底边或顶角和底角的情况下，求其余未知量时，均须分两种情况进行讨论。 一、已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。 例１、已知等腰三角形的两边长为３和4；求其周长。 解：（１）当腰长为3，底长为4时；有3+3+4=10；其周长为10； （２）当腰长为4，底长为3时，有4+4+3=11；其周长为11。 ∴该等腰三形的周长为10或11。 例２、已知等腰三角形的两边长为３和７；求其周长。（2005芜湖市中考12题） 解：（１）当腰长为３，底长为７时，有3+3<7；显然不符合三角形的三边关系，组不成三角形； （２）当腰长为７，底长为３时，有7+7+3=17；其周长为17。 ∴该等腰三角形的周长为17。 二、已知等腰三角形的一内角,在未指明顶角和底角时，求其余两角；须分两种情况进行讨论，最后务必检验是否满足三角形的内角和定理。 例３、已知等腰三角形的一内角为70°；求其余两个内角。 解：（１）当顶角为70°时；其余两底角为55°，55°； （２）当底角为70°时，其余两角为70°，40°； ∴该等腰三角形其余两角为55°，55°或70°，40°。 例４已知等腰三角形的一内角为95°；求其两个内角。 解：（１）当顶角为95°时，其余两角为42.5°,42.5°； （２）当底角为95°时，两角之和为95°+95°＞180°；不符合三角形的内角和定理。显然不成立。 ∴该三角形的其余两角为42.5°，42.5°。 三、已知等腰三角形的一个外角（未指明顶角还是底角的情况下），应分两种情况进行讨论。 例５已知等腰三角形的一个外角为75°；求其内角。 解：（１）当顶角的外角为75°时，等腰三角形的三个内角分别为105°，37.5°，37.5°。 (2)当底角的外角为75°时，则底角为105°，此时有105°+105°＞180°，不符合三角形的内角和定理；因而组不成三角形。 ∴该等腰三角形的三个内角为105°，37.5°，37.5°。 111

各种等腰三角形难题

各种等腰三角形难题 例1.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D 在AB上，AD=BC，连接CD，求∠XXX的度数。 解析：利用全等三角形的性质，构造全等三角形 ⊿DAE≌⊿CBA，得到DE=CE，∠DEC=40°，∠ADE=80°。 因此，∠ADC=150°，∠BDC=30°。 例2.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点 D和E分别在AB和AC上，且∠BCD=50°，∠CBE=60°，求 ∠DEB的度数。 解析：通过连线，构造等边三角形⊿GEF和⊿GBC。得 到∠XXX∠EFG=60°，∠AFG=140°，∠DFG=40°， ∠XXX∠BCD，BD=BC=BG，∠BGD=80°，∠DGF=40°。因此，通过全等三角形的性质得到∠DEG=∠DEF=30°。因此， ∠DEB=30°。 例3.在等腰三角形⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点 D和E分别为AB和AC上的点，且∠ABE=10°，∠ACD=20°，求∠DEB的度数。

解析：通过连线，构造等边三角形⊿BCF和⊿DGF，得 到CM=CB=CF，∠CMF=∠CFM=80°，∠GMF=100°， ∠XXX∠FGM=40°，FM=GM。因此，通过全等三角形的性质得到∠DMG=∠DMF=50°。因此，∠DEB=30°。 根据已知条件，可以得到∠DMC=130°=∠EMB，且 ∠DCM=∠EBM=20°。因此，可以得到⊿DMC∽⊿EMB，进 而得到DM/MC=EM/MB。同时，由于∠DME=∠BMC=50°， 可以得到⊿DME∽⊿CMB，且∠DEM=∠XXX°。又因为 ∠BEC=∠ABE+∠A=30°，因此可以得到∠DEB=∠DEG- ∠BEC=50°-30°=20°。 要证明M是BE的中点，可以连结BD，证明BD=ED。 由于△ABC是等边三角形，可以得到∠DBE＝∠ABC。又由 于CE＝CD，因此可以证明∠E＝∠XXX，从而得到∠1＝∠E，进而得到BD＝BE。又因为DM⊥BC，垂足为M，因此根据 等腰三角形三线合一定理可以得到M是BE的中点。 根据已知条件，可以得到∠XXX∠XXX，且BE=BE。又 因为BE⊥CF，因此可以得到∠XXX∠BEC，进而可以根据ASA得到△BFE≌△BCE，从而得到CE=EF。又因为

易错05 等腰三角形中分类讨论漏解从而产生易错(解析版)-2021学年八上期末提优训练

1 2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版） 易错05 等腰三角形中分类讨论漏解从而产生易错 【典型例题】 1．（2020·信阳市商城思源实验学校八年级月考）（1）发现：如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =______，BC =_______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型； （2）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（-1，-4），点B 为平面内一点．若△AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标 【答案】（1）AC ＝DE ，BC ＝AE ；（2）35，22⎛⎫ ⎪⎝ ⎭或53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （1）∵△ABC ≌△DAE ， ∴AC ＝DE ，BC ＝AE ； （2）分两种情况： ①过点A 作AC ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，如图3所示：则∠C ＝90° ∵点A 坐标为（﹣1，﹣4） ∴AD ＝1，OD ＝CE ＝4，

∵∠OBA＝90° ∴∠OBE＋∠ABC＝90°∵∠ABC＋∠BAC＝90°∴∠BAC＝∠OBE 在△ABC和△BOE中， 90 C BEO BAC OBE AB BO ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ∠ = ⎩ ∠=︒∠∠ ＝ ＝ ∴△ABC≌△BOE（AAS） ∴AC＝BE，BC＝OE， 设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x ∴AC＝BE＝x＋1， ∴CE＝BE＋BC＝x＋1＋x＝OD＝4， ∴ 35 ,1 22 x x =+= ∴点B坐标 35 , 22 ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， ②过点A作AC⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如下图所示：则∠C＝90° 2

等腰三角形存在性问题(带标准答案)

等腰三角形存在性问题（两圆一线） 类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的 5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、 .如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ABC是等腰三角形，且 AB为其中一腰．这样的 C点有（）个． 3、如图， A、B是网格中的两个格点，点 C也是网格中的一个格点，连接 AB、BC、AC，当△ ABC为等腰三角形 时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角 形 ABC 的面积之和等于．

4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？

类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段 AB 为一边的等腰直角三角形有 个，请在下列图中画出来 6、（1）如图所示，线段 OD 的一个端点 O 在直线 AB 上，以 OD 为一边的等腰三角形 ODP ，并且使点 上，这样的等腰三角形能画 个（在图中作出点 P ） P 也在 AB

2）若 △DOB=6°0，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 个，（只写出结果） （ 3）若改变（ 2）中 △DOB 的度数，其他条件不变，则等腰三角形 ODP 的个数和（ 2）中的结果相同，则改变后 △ DOB= ． 7、如图，南北向的公路上有一点 A ，东西向的公路上有一点 B ，若要在南北向的公路上确定点 P ，使得△ PAB 是 等腰三角形，则这样的点 P 最多能确定 （ ）个． 8、线段 AB 和直线 l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有 个 直线 l 上恰好只有个 1点 P ，使△ABP 为等腰三角形 直线 l 上恰好只有 个 2点 P ，使△ABP 为等腰三角形 直线 l 上恰好只有 个 3点 P ，使△ABP 为等腰三角形 直线 l 上恰好只有个 4点 P ，使△ABP 为等腰三角形 直线 l 上恰好只有个 5点 P ，使△ABP 为等腰三角形 直线 l 上恰好只有个 6点 P ，使△ABP 为等腰三角形．