三角函数图像和平移
1．已知函数()sin ,,03f x A x x R A π???
=+∈>
???
，02π?<<，()y f x =的部分图像如图所示，,P Q 分别
为该图像的最高点和最低点，点PR 垂x 轴于R ，R 的坐标为()1,0，若23
PRQ π
∠=
，则()0f =（ ） A.
12 B. 3 C. 3 D. 2 2．将函数()sin 6f x x π?
?
=+
??
?
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
12，再向右平移6
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ）
A. 12
x π
=
B. 6
x π
=
C. 3
x π
=
D. 23
x π=
3．要得到函数3sin 24y x π??
=+ ??
?
的图象，只需将函数3sin2y x =的图象( ) A. 向左平移
4π个单位 B. 向左平移8π
个单位 C. 向右平移4π个单位 D. 向右平移8
π
个单位
4．将函数s i n 2y x =图象上的点(),1P t 向右平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数
sin 23y x π?
?=- ??
?的图象上，则
A. ,4t k k Z π
π=
+∈，s 的最小值为
3π B. ,4t k k Z ππ=+∈，s 的最小值为6π
C. ,2t k k Z ππ=+∈，s 的最小值为6π
D. ,2t k k Z ππ=+∈，s 的最小值为3
π
5．将函数()sin 23f x x π?
?
=-
??
?
的图象向左平移
3
π
个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
2
，那么所得图象的函数表达式为（ ） A. sin y x = B. sin 43y x π??
=+
??
?
C. 2sin 43
y x π??=+
?
?
?
D. sin 3y x π?
?=+ ??? 6．已知函数()sin 3f x x π?
?
=- ??
?
，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（） 5πππ5π
7．把曲线1:2sin 6C y x π??
=- ??
?
上所有点向右平移
6
π
个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的
1
2
，得到曲线2C ，则2C （ ） A. 关于直线4
x π
=
对称 B. 关于直线512
x π
=
对称 C. 关于点,012π??
???
对称 D. 关于点(),0π对称 8．将函数2sin 43y x π??
=+
??
?
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴为（ ） A. 12
x π
=
B. 3
x π
=
C. 512x π=
D. 23
x π= 9．若将函数()22f x sin x cos x =+的图像向右平移?个单位，所得图像关于y 轴对称，则?的最小正值是（ ） A.
8π B. 4
π C. 38π D. 34π
10．把函数y =πsin 52x ??
- ??
?
的图象向右平移π4个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为 A. 3πsin 104y x ?
?=-
??? B. 7πsin 102y x ??=-
??? C. 3πsin 102y x ??=-
??
? D. 7πsin 104y x ??=-
??
?
11．函数()()sin f x A x B ω?=++的一部分图象如下图所示，则()()113f f -+=（ ）
A. 3
B.
32 C. 2 D. 12
12．已知函数()1
sin 2
3f x x π??=-
???，则（ ）
A. ()f x 的最小正周期为π
B. ()f x 为偶函数
C. ()f x 的图象关于2,03π??
???对称 D. 3f x π?
?- ??
?为奇函数
13．函数()()2sin (0f x x ω?ω=+>，)2
π
?<
的部分图象如图所示，则ω?，
的值分别是（）
A. 23
π
-，
B. 26
π
-，
C. 46
π
-，
D. 43
π，
14．定义行列式运算
1214233
4
a a a a a a a a =-，将函数(
)sin cos x
f x x
=
的图像向左平移(0)n n >个单位，所得
图像关于y 轴对称，则n 的最小值为（） A.
6π B. 3
π C. 23π D. 56π
15．函数()()cos (0,02)f x x ω?ω?π=+><<的部分图象如下图所示，则?的值是（）
A.
74π B. 54π C. 34π D. 4
π
16．函数()()2sin f x x ωφ=+的图象过点29π??
???
，，
相邻两个对称中心的距离是3π，则下列说法不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为23π
B. ()f x 的一条对称轴为49
x π
=
C. ()f x 的图像向左平移9
π
个单位所得图像关于y 轴对称 D. ()f x 在,99ππ??
-
???
?上是减函数
17．将函数()()
212sin cos cos 2sin 2f x x x π????
=-++ ??
?
的图象向右平移3π
个单位后，所得函数图象关于原点对称，则?的取值可能为（ ） A.
56π B. 3π- C. 2π D. 6
π
18．将函数()2sin 4f x x π?
?
=+ ??
?
的图象上各点的横坐标缩小为原来的
1
2
，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线2
x π
=对称，则φ的最小值是( )
A.
4πB. 3
πC. 34π D. 38π
19．已知函数()sin y A x B ωφ=++的图象一部分如图（0,0,2
A π
ωφ>><
），则 （ ）
A. 4A =
B. 1ω=
C. 4B =
D. 6
π
φ=
20．已知函数()sin (0,0,)2
y A x B A π
ωφωφ=++>><
的一部分图像，如图所示，则下列式子成立的是（）
A. 4A =
B. 1ω=
C. 4B =
D. 6
π
φ=
21．若将函数2sin2y x =的图象向左平移
π
12
个单位长度,则平移后图象的对称轴为 A. ()ππ26k x k =
-∈Z B. ()ππ26k x k =+∈Z C. ()ππ212k x k =-∈Z D. ()ππ212
k x k =+∈Z 22．已知函数()2
2cos sin21f x x x =--，则以下判断中正确的是（ ）
A. 函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移
8π
而得到
B. 函数()f x 的图象可由函数y x 的图象向左平移4π
而得到
C. 函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向右平移38π
而得到
D. 函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移34
π
而得到
小值是（ ） A.
4π B. 8
π C. 38π D. 58π
24．将函数sin 3y x π??
=- ??
?
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，再将所得的图象向左平移
3
π
个单位，得到的图象对应的僻析式是（） A. 1sin
2y x = B. 1sin 22y x π??=- ??? C. 1sin 26y x π??=- ??? D. sin 26y x π?
?=- ??
? 25．将函数sin 4y x π?
?
=-
??
?
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，再向右平移6
π
个单位，则所得函数图像的解析式为（） A. 5sin 224x y π??=-
??? B. sin 23x y π??
=- ???
C. 5sin 212x y π??=-
??? D. 7sin 212y x π?
?=- ???
26．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，2
2
π
π
?-
<<
)的部分图象如图所示，则f(0)＝( )
A. B. 2
-
C. －1
D. 12-
27．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)0,0,2A πωφ??
>><
??
?
的部分图象如图，则f 8π??
???
的值为( )
A.
B. C. D. 28．已知函数()sin (0,0)y x π
ω?ω?=+><<
一个周期内的图象如图所示，,0A π??
- ?，C 为图象上的最
高点，则,ω?的值为（ ）
A. 1,212πω?=
= B. 1,23πω?== C. 2,3πω?== D. 2,6
πω?== 29．函数()sin y A x ω?
=+(0,)2π
ω?>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为
A. 4sin 84y x ππ??=-+
??? B. 4sin 8
4y x π
π??
=-
???
C. 4sin 8
4y x ππ??=--
??? D. 4sin 84y x π
π??=+ ???
30．函数()()sin f x A x ω?=+ (0A >，0ω>，2
π
?<的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右
平移
6
π
个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )
A. 2sin 23
y x π??=+ ?
?
?
B. sin 26y x π?
?=- ??? C. sin2y x = D. cos2y x =
参考答案
1．B
【解析】过Q 作QH x ⊥轴，设()()1,,,P A Q a A -，由图象，得2π
2|1)|6π3
a -=
=，即13a -=，
因为23PRQ π∠=，所以6HRQ π∠=，
则t a n 33
A QRH ∠==
即A =又31,
2P ??
???
是图象的最高点，所以ππ12π32k ??+=+，又因为02π?<<，所以π6?=，则(
)π06f ==
.故选B.
2．C
【解析】由题设有()sin 2sin 2666g x x x πππ??
?
??
?=-+=- ? ????
??
???，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,23
k x k Z ππ
=+∈，故选C. 3．B
【解析】因为428
π
π
=，所以将函数3sin2y x =的图象向左平移8π个单位得函数
3sin 24y x π?
?=+ ??
?的图象，选B.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在
题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 4．B
【解析】由题意可知，t 为函数sin2y x =最高点横坐标，则：()222
t k k Z π
π=+∈，据此
可得：()4
t k k Z π
π=
+∈，
函数sin 2sin236y x x ππ??
?
?=-
=- ? ??
??
?，则将函数sin2y x =的图象向右平移6π
个单位即可
的函数sin 23y x π??
=- ??
?
的图象，即s 的最小值为
6
π. 本题选择B 选项. 5．B
【解析】将函数()sin 23f x x π?
?
=- ??
?
的图象向左平移
3
π
个单位后所得图象对应的的解析式为
sin[2]sin(2)333y x x πππ?
?=+-=+ ??
?；再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
12，所得图象对应的解析式为()sin[22]sin 433y x x ππ?
?=+=+ ??
?．选B ． 6．D
【解析】∵5cos sin sin 263x x x πππ??
?
?
??=+=+- ? ????
?????
，∴应向左平移56π个单位，故选D ． 7．B
【解析】由题意可得，曲线2C 的解析式为：2sin 22sin 26
63y x x π
ππ??
?
?=--
=- ? ??
??
?， 当4
x π
=时，23
6
x π
π
-
=
，故4
x π
=
不是2C 的对称轴；
当512x π=
时，232x ππ-=，故512x π=是2C 的对称轴，,012π??
???
不是2C 的对称中心； 当x π=时，523
3
x π
π
-=
，故(),0π不是2C 的对称中心； 本题选择B 选项.
8．C
【解析】根据题意得到
()2sin 23g x x π?
?=- ?
?
?，对称轴为
5
22,3
2
12
x k x k k
z
π
π
πππ
-
=
+
?=+∈
得到512
x π
=
. 故答案为：C 。 9．C
【解析】函数()22f x sin x cos x =+24x π?
?=
+ ??
?的图象向右平移?个单位，所得图
象是函数224y x π???=
+- ??? 的图象，因为224y x π???
=+- ???
图象关于y 轴
对称，所以24
2
k π
π
?π-=+
，即28k ππ?=-
-，当1k =-时，?的最小正值是38
π，故选D.
10．D
【解析】把函数y =πsin 52x ?
?-
??
?的图象向右平移π4个单位,得到y =ππsin[5]42x ?
?-- ??
?=7πsin 54x ??- ???,再把y =7πsin 54x ?
?- ???
的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为7πsin 104y x ??=- ???
. 故选D ．
点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型. 首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；
其次，在平移时，还要注意自变量x 的系数是否为1，如果x 有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”. 11．C
【解析】由图形得 1.5{
0.5
A B A B +=-+=，解得0.5{
1
A B ==．
又函数的周期4T =，所以2
π
ω=．
∴()1sin 122f x x π???
=
++ ???． 由题意得，点31,
2??
???
在函数的图象上， ∴
31sin 1222π???=++ ???，即sin 12π???
+= ???
． ∴
2,2
2
k k Z π
π
?π+=
+∈，
∴2,k k Z ?π=∈
∴()1sin 122
f x x π
=
+， ∴()()1113113sin()sin
222222
f f ππ
-+=-++=．选C ． 点睛：已知图象求函数()()sin f x A x B ω?=++解析式的方法 （1）根据图象得到函数的最大值和最小值，由()(){ max min
A B f x A B f x +=-+=可求得,A B ．
（2）根据图象得到函数的周期T ，再根据2T
π
ω=
求得ω． （3）?可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出?的值． 12．C
【解析】因为()1
s i n 2
3f x x π??
=-
???
，所以周期为4T π=，故 A 错；(
)0sin 132f π??
=-=-≠± ???
，所以()f x 不是偶函数，否则在0x =函数值应该是最大
值或最小值，故B 错；又2sin 0333f π
ππ????=-=
? ?????，所以2,03π??
???
是()f x 图像的对称中心，故C 对；11
1sin sin cos 3263222f x x x x ππππ?
?
????-
=--=-=- ? ? ??
?????
，所以3f x π?
?- ??
?是偶函数，故D 错，选C.
点睛：（1）判断x m =是否为()()sin f x A x B ω?=++的图像的对称轴，我们只需要检验()f m B A =±是否成立；（2）判断(),m B 是否为()()sin f x A x B ω?=++的图像的对称中心，我们只需要检验()f m B =是否成立. 13．A 【解析】
1152=221212T T T
πππ
πω-?=∴== ()55sin 212126223k k Z πππππ??π????
?+=∴+=+∈<∴=- ???
，选A.
点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ω?ω=++>>的图象求解析式
(1)max min max min
,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω
=
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求?. 14．D
【解析】函数()sin 2cos 6cos x f x sinx x x π?
?==-=+ ??
?的图象向左平移n （n ＞
0）个单位，
所得图象对应的函数为y=2cos （x+n+6π），根据所得函数为偶函数，可得n+6
π
=kπ，k ∈z ，
则n 的最小值为56
π
， 故选：D ． 15．D
【解析】 由图象可知，周期()22518,
84T w w ππ=-==?=，所以()cos 4f x x π???=+ ???
， 又()31f -=-，3cos 14x π???
+=- ???
，
所以322,44x k k k Z ππ?ππ?π+=+?=+∈， 所以4
π
?=，故选D .
16．D
【解析】∵函数()f x 的图象相邻两个对称中心的距离是3
π，∴23T π=，故23T π
ω=
=，又∵函数()()2s i n
f
x x ωφ=+的图象过点29π?? ?
??
，，∴2sin 329π???
?+= ???，2,6k k Z π
?π=
+∈，则()2sin 36f x x π?
?=+ ???，最小正周期为23T π=，故A 正确；442sin 329
96f π
ππ????
=?+=- ? ?????
，即()f x 的一条对称轴为49x π=，故B 正确；向左平移
9π个单位得2sin 32cos396y x x ππ??
??=++= ????
???为偶函数，即关于y 轴对称，故C 正确；
当,99x ππ??
∈-
????
时，3662x πππ-≤+≤，由三角函数的性质可得在该区间内有增有减，故
D 错误，故选D.
17．D 【
解
析
】
函
数
()(
)
2
12
s i n c o s
2f
x x x π???
?=-++ ?
?
?()c o s 2c o s 2c o s 2x s
i n x s
i n x ???=-=+，故向右平移3
π
个单位后，得到2cos 23y x π??
?
=+-
??
?
，因为得函数图象关于原点对称，故()232k k Z ππ?π-=-+∈，则()6
k k Z π
?π=+∈，令=0,6
k π
?=
，故选D.
18．D
【解析】将函数()π2sin 4f x x ?
?
=+
??
?
的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数π2sin 24y x ??=+ ???的图象，再向右平移?个单位，得到π2sin 224y x ??
?=-+ ??
?的图象，此
图象关于直线π2x =对称，故πππ22π(Z)242k k ??-+=+∈，解得()3ππ,Z 82k
k ?=
-∈，又0?>，故min
3π8
?=；故选D. 点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量
x 而言，如：将
sin (0)y A x ωω=>的图象将左平移(0)??>个单位时得到函数()sin y A x ω???=+??的
图象，而不是()sin y A x ω?=+的图象. 19．D
【解析】根据函数y=Asin （ωx+φ）+B 的图象知， A=2，B=2，∴A 、C 错误； 又
14T=512π﹣6π=4π
， ∴T=
2π
ω
=π，解得ω=2，B 错误；
由五点法画图知x=
6π时，ωx+φ=2×6π+φ=2
π，
解得φ=
6
π
，∴D 正确； 故答案为：D 。 20．D
【解析】由函数的图象可得b=2、A=2、再由
14T=14?2πω=5126
ππ
-，求得ω=2，
再根据五点法作图可得 2×
6π+φ=2π，∴φ=6
π
， 故选：D
点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ω?ω=++>>的图象求解析式
(1)max min max min
,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω
=
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求?. 21．B
【解析】2sin2y x =的对称轴为,24k x k Z ππ=
+∈，左移12
π
个单位长度后，对称轴为,241226
k k x k Z πππππ
=
+-=+∈，选B . 22．A
【解析】因为()2
2cos sin 21=cos 2
sin 2cos 24f x x x x x x π?
?=---=+
???
，所以函数()
f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移
8
π
而得到，故选A. 23．B
【解析】函数()sin2cos224f x x x x π?
?=+=
+ ??
?的图象向左平移()0??>个单位，
得到224y x π??
?=
++ ??? 图象关于y 轴对称，即()242k k Z ππ?π+=+∈，解得
1
=28
k π
?π+
，又0?>，当0k =时，?的最小值为
8
π
，故选B. 24．C
【解析】将函数sin 3y x π?
?
=-
??
?
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），所得图象对应的解析式为1
sin 2
3y x π??=-
???；再将所得的图象向左平移3π个单位，所得图
象对应的解析式为11
sin sin 2332
6y x x πππ??
?
???=+-=- ? ????
?????。选C 。 25．B
【解析】函数πs i n 4y x ?
?=-
??
?经伸长变换得1πsin 24y x ??=- ???
，再作平移变换得1ππsin 264y x ????=-- ????
???1
πsin 23x ??=- ???，
故选：B ． 26．A
【解析】由图象，得
π11π5ππ
212122
T ω==-=，即2ω=， 因为该函数图象过点5π,212?? ???
，得5π2sin 26???
+= ???，
取
5π5π62?+=，得5π3?=，则()5π2ππ
02sin 2sin 2sin 333
f ==-=-= A. 点睛：本题考查三角函数的解析式和图象；由三角函数的图象求()()sin f x A k ω?=++时，往往先利用最高点和最低点的纵坐标确定,A k 值，利用关键点的横坐标间的距离确定T 值，进而确定ω值，易错点是要正确求出?值（优先选择最高点或最低点）. 27．A
【解析】由f(x)＝Asin(ωx ＋φ)0,0,2A πωφ?
?
>><
??
?
的部分图象可得: A=1,
741234T πππ=-= , T π∴=，
2ω∴=，又2+3
π
φπ?
=，3
π
φ∴=
()sin 23f x x π?
?∴=+ ??
?，
7sin 2sin 883124f ππππ????
∴=?+==
? ????
?. 28．C
【解析】方法一：由图象得4126T πππ??
??=--= ??
?????
，故2ω=，所以()sin 2y x ?=+．
又点,112π??
???在函数的图象上，故sin 16π???
+= ???
，解得()262k k Z ππ?π+=+∈,
所以()23
k k Z π
?π=
+∈，又02
π
?<<
，所以3
π
?=
．综上选C ．
方法二：由题意得0
6
{
12
2
x x ωπ
?ωπ
π?-
+=+=
，解得2
{ 3
ωπ?==
．选C ． 点睛：已知函数()sin y A x ω?=+的图象求解析式的方法： （1）根据图象可得到A 的值及函数的周期T ，从而得到ω的值； （2）确定?的方法有两个，
①代点法，若图形中有函数图象的最值点，则将最值点的坐标代入解析式，并根据?的范围求得它的值（此法中尽量不将零点的坐标代入）．
②“五点法”，结合图象确定出“五点”中的“第一点”，然后根据图中给出的点的坐标可求出?． 29．A
【解析】由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以4A =±，观察
图象可得函数的周期T =16，
2==168
ππ
?，若4A =，则4s i n 8
y x π
???
=+ ???
，当6x =时，2k π,k Z 8
x π
?+=∈, 32k π,k Z 4π?=-
+∈，∵,2
π
??φ<∴∈；当4A =-，又函数的图象过
()
2,4-代入可得s i n
14π???
+= ???
，∴
2,4
2
k k Z π
π
?π+=+
∈，∵
,2
4
π
π
??<
∴=
，∴函数的表达式4sin 8
4y x π
π??=-+
???，故选A .
点睛：本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题．A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T π
ω
=
，通常通过图象我们可得
2T 和4
T
，φ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点. 30．B
【解析】由图象知A=1，15241264T T w ππππ=
-=∴=∴=由sin （2×6
π
+φ）=1，|φ|＜
2π得()326f x πππ??+=∴=∴sin 26x π?
?=- ??
? 故选B
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和 伸缩 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由 ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换 称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >
先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质教案 考纲要求 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在(－π 2，π 2)上的性质. 要点识记 1个必会思想——整体思想的运用 研究y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、值域、对称轴(中心)时，首先把“ωx＋φ”视为一个整体，再结合基本初等函数y＝sin x的图象和性质求解． 2个重要性质——三角函数的周期性与单调性 (1)周期性：函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最 小正周期为π |ω|. (2)单调性：三角函数的单调性应在定义域内考虑，注意以下两个三角函数单调区间的不同： ①y＝sin(π 4－x)，②y＝sin(x－ π 4)． 教材回归 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)． (1)y＝cos x在第一、二象限上是减函数．(×) (2)y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1 . (×) (3)y＝cos(x＋π 3)在[0，π]的值域是[－1， 1 2]．(√) (4)y＝sin(2x＋5 2π)是非奇非偶函数．(×) 考向一三角函数的定义域、值域 例1(1)[2014·天津高考]函数f(x)＝sin(2x－π 4)在区间[0， π 2]上的最小值为() A. －1 B. － 2 2 C. 2 2 D. 0 (2)函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域是________．
[解析] (1)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，34π]， ∴y ∈[－22，1]，选B 项． (2)由题意，得????? 2sin x －1>0，1－2cos x ≥0， 即????? sin x >12，cos x ≤12， [2k π＋π3，2k π＋56π)(k ∈Z ) 变式练习 1.已知f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为__[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) ______． 2.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为 __2__． 3.函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为____[－9,1]____． [易错点拨] 求解三角函数的最值和值域时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出现错误． 三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 考向二 三角函数的单调性 例2 (1)[2014·唐山模考]已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个
三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数图像平移变换及图像解析式
三角函数图像题 ---图像求解析式及平移变换 一．根据图像求解析式 1.图 1 是函数π2sin()2y x ω??? ?=+< ???的图象上的一段，则（ ） A.10π116ω?= =， B.10π116ω?==-， C.π 26ω?==， D.π 26 ω?==-， 2．已知函数()sin()f x A x ω?=+，x ∈R （其中2 2 ,0,0π π ω< <->>x A ），其部 分图像如图5所示．求函数()f x 的解析式； 3.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( ) A.sin()6y x π=+ B.cos(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.sin(2)6y x π=- 4.已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右图所示，则（ ） A. 6 ,1π ?ω= = B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω= = D. 6 ,2π ?ω- == 5.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 A.sin 6y x π?? =+ ?? ? B.sin 26y x π?? =- ?? ? C.cos 43y x π?? =- ?? ? D.cos 26y x π?? =- ?? ? 6.函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。（其中 π?πω<<->>,0,0A ） 7.已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>，π?<||）的一段图象如图所示，求函数的解析式； 二．图像平移变换问题 1.为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像（ ） A.向左平移4π B.向右平移4π C.向左平移2π D.向右平移2 π 图5 y x 2 -1-0 1 -1 1 2345 6
高中数学教案三角函数的图象与性质
高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草
图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究
三角函数图像的平移变换专项练习
三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ） A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后，再作关于x 轴的对 称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是＿＿＿＿＿＿＿。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ） （A ）向左平移 4π个单位 （B ）向右平移4π 个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 （A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 （C ）向右平移18π 个单位 （D ）向左平移18 π 个单位 3．将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 （纵坐标不变），再把 所得图象向左平移6π 个单位，得到的函数解析式为（ ） ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4 π 个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ）??? ??+=42cos πx y （B ）??? ??+=42cos πx y （C ）x y 2sin = （D ）x y 2sin -= 5．要得到函数x y cos 2=的图象，需将函数)42sin(2π +=x y 的图象（ ） (A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4 π个单位长度
三角函数的图像及性质复习教案教学设计方案
【百度参赛】《三角函数的图像及性质复习教案》 教学设计方案 设计者：郝春菊 设计者单位：通榆县实验高中 一、教学内容概括 1、《三角函数的图像及性质》是人教版必修4第一章1.4节的内容.所用时间为一课时. 2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 二、教学目标分析 1、知识与技能：（ 1）．能画出y =sin x , y =c os x 的图像，了解三角函数的周期性； （2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点及奇偶性等）； （3）．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 图像性质及常见问题的处理方 法 2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。 教 学 重 点：使学生掌握三角函数图像及性质，并能应用解决问题 教学难点、关键：正弦函数，余弦函数的图像及性质应用方法和技巧 教 学 方 法：启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率 教 学 课 时：一课时 三 导言：预测2011年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换； 一、复习提问： 1、什么叫做正弦函数，余弦函数？定义域，值域各是什么？ https://www.sodocs.net/doc/be12179204.html,/view/536305.htm https://www.sodocs.net/doc/be12179204.html,/view/536314.htm 2、正弦函数，余弦函数都有那些性质？正弦函数，余弦函数图像如何？ https://www.sodocs.net/doc/be12179204.html,/upfiles/ztjj/jyrjdjs/11/gzkj/015.ppt#321,3,幻灯片 3
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
三角函数的图像和性质(第一课时)
【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？
再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，及2π-，4π-， 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x 成立，函 数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的
(精心整理)三角函数之平移
三角函数图像的平移、变换 一、 引入 以简单函数为例，讲解“左加右减、上加下减”。讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ； 二、三角函数图像的平移之历年高考真题 1、（2010全国卷2理）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像， 只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像（ ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π 个长度单位 2、（2010四川理）（6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5y x π =- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220 y x π =- 3、（2010天津文）（8） 5y Asin x x R 66ππω??? =∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只 要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点 (A)向左平移3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解 析式是( ).A.cos 2y x = B.2 2cos y x = C.)4 2sin(1π++=x y D.2 2sin y x =
三角函数图象的平移和伸缩
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