全等三角形证明题专练(培优)

1.（★★★）已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．

P

D

Q

C

B

E

A

2.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．

F

E

D

C B

A

3.（★★★★）已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．

F

E A

B D C

4.（★★）如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ． 求证：∠E =∠F

5.（★★）如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．

A

B

C

D

E F

6.（★★★）如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB

F

A C

D E B

7.（★★★）如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．

M

D C

B

A

8.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．

21E

C

B

A

9.（★★★）已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM

∆、CBN

∆是等边三角形．

（1）求证：AN BM

=．（2）求证：CD=CE (3) 求证：CF平分∠MCN （4）求证：DE∥AB

10.（★★★）等边ABD

∆和等边CBD

∆的边长均为1，

E是BE AD

⊥上异于A D

、的任意一点，F是CD上一

点，满足1

AE CF

+=，当E F

、移动时，试判断BEF

∆的

形状．

D

F

E

C

B

A

11．（★★★★）如图，在ABC

∆中，BE是∠ABC的平

分线，AD BE

⊥，垂足为D。求证：21C

∠=∠+∠。

N

M

A

E

D

N

M

A C

F

E

D

N

M

A C

F

E

D

N

M

A C

12．（★★）如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 边的中点，连接BE 交AD 于点F ，过点E 作BE 的第一线交BC 于点G ，求证：AF=CG.

B

C

D

A

E

F G

13.（★★★）已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； (2)求证：CE =

1

2

BF ； (3)CE 与BC 的大小关系如何？试证明你的结论。

14．（★★）如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ，延长BD 交CE 于点P ，求证：∠BAC=∠DAE ；

15.（★）如图，已知，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2. （1）求证：BC=DE ；（2）若AF 平分∠BAC ，求证：AF=AC.

16.（★★★★）在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD ，AC 、BD 交于点P. （1）①如图1，∠AOB=∠COD=60°，则∠APD= ，AC 与BD 的数量关系是 ；

②如图2，∠AOB=∠COD=90°，则∠APD= ，

AC 与BD 的数量关系是 ；

（2）如图3，∠AOB=∠COD=α°，则∠APD 的度数

为 （用含α的式子表示），AC 与BD 之间的等量关系是 ；填写你的结论，并给出你的证明；

图1 图2

图3

17：（★★★★）点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为腰在直线AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE ，直线AE 、BD 交于点F. （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ； （2）如图2，若∠ACD=α°，则∠AFB= ；（用α的代数式表示）

（3）如图3，将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转一个角度，延长BD 交线段AE 于点F ，试探究∠AFB 与α之间的数量关系，并给出你的证明.

O

P

D

C

B A

O

P D

C B

A

α

αO P D

C

B

A

18.（★★）已知：如图，△ABC 中，∠BAC=∠BCA ，延长BC 边的中线AD 到E 点，使AD=DE ，F 为BC 延长线上一点，且CE=CF ， 求证：AF=2AD.

19.（★★）如图，等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，过A 任作直线l ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E.

(1) 若l 与BC 不相交，求证：BD+CE=DE ；

(2) 当直线l 绕A 点旋转到与BC 相交时，其它条件不变，试猜想BD 、CE 和DE 的关系？画图并给出证明.

20．（★）如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ，求证：BE=CF ．

21.（★★）如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，过C

作AD 的垂线交AB 于E 点，O 为垂足，AE=AC ，EF ∥BC ，

A

B

C

E F

D

A C

D

E

A B C

E

A

O

F D

C

B

求证：CE 平分∠DEF.

全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' ． 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌ ”． 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理 ( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS 能够相互重合的顶 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于． E D

全等三角形培优专题训练

探索三角形全等 1、一长方形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两纸片摆成如以下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ； ⑵假设PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明 2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，那么结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的选项是〔 〕

3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数. 中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、 F在直线M、N上，且OE＝OF. ⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； ⑵求证：∠MAE＝∠NCF 全等三角形的应用 全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明： ①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系 ③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明. 2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD， 求证：BE⊥AC B

3、如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°. ⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系"证明你猜测的结论. ⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由. 4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点〔不与B、C重合〕，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE. ⑴如图①，当点D在线段BC上时，假设∠BAC＝90°，那么∠BCE＝_______度. ⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎 样的数量关系？请说明理由. ② B ① ①

全等三角形培优专题训练

全等三角形培优专题训练 第一篇：全等三角形培优专题训练 做最适合你的数学培训 八年级数学培优专题训练 （二）探索三角形全等的条件 1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D CA在同一条直线上.EAEP MN⑴求证：AB⊥ED； ⑵若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明 2、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：①AD＝BF；②CF ＝CD；③AC＋CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE.其中正确的是（） 3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.DFFBDBFCDBEDCAE ACBF__________________________________________________________ ______________________________________________________ 周老师·数学培优 做最适合你的数学培训 4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC 的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F 在直线M、N上，且OE＝OF.⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；⑵求证：∠MAE＝∠NCF AEBMONCDF5、在△ABC中，高所在直线AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝_____________.6、下列三个判断： ⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.上述判断是否正确？若正确，说明理

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形》培优专题训练 1 全等三角形的概念 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边. 全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题 如图所示， ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长. 解题策略 在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以 1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以 ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以 2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛 1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边 相等、对应角相等的结论. 2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求 线段长的一种常用的转化方法. 举一反三 1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对 应角是 . 2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.

3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF 平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由. 融会贯通 4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 . 2 三角形全等的判定 判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题 已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.

全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B'C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： SAS HL SSS →⎧⎪ →⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边

全等三角形经典培优题型(含标准答案)

三角形培优练习 题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 7 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证： PC-PB

9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7， 求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、 BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，?=∠90ACB ， BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转 到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ， CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的 垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ ADC ＝∠BDE ． P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A M F E C B A A C B D E F A E B M C F C D F

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案) 1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。 解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3. 2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2. 解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2. 3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。 解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而 EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得 EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD， 证明∠B=2∠C。 解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而 ∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得 ∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于 ∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。 5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB， ∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。 解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而 △ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于 ∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即 AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以 AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1

全等三角形证明培优题

模块一：基本辅助线 1.如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC. 2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点， （1）求证：AF⊥CD. （2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明） 3.如图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD. 4.如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O 重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点． ①如图（1），当OE⊥AB时，四边形OMBN的面积为___； ②如图（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论． 5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。

6.如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG =BF+CG． 模块二：母子型 1已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM 交CN于点F. (1)求证：AN=BM; (2)求证：△CEF为等边三角形 2.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。

3.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE； （1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M． ①求证：AG⊥CH； 4.如图，已知△ABD、△AEC都是等边三角形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：（1）BE 与CD有何数量关系？为什么？（2）AF、AH有何数量关系？为什么？ 5.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

全等三角形证明题专练(培优)

1.（★★★）已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥． P D Q C B E A 2.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． F E D C B A 3.（★★★★）已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>． F E A B D C 4.（★★）如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ． 求证：∠E =∠F

5.（★★）如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =． A B C D E F 6.（★★★）如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB F A C D E B 7.（★★★）如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=． M D C B A 8.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=． 21E C B A

全等三角形培优(含答案)

三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

13已知：如图，AB =AC ，BD ?AC ，CE ?AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =， 直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到 图1的位置时， 求证：①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成 立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ； （2）EC ⊥BF 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． 全等三角形证明经典 （答案） 1.延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2在三角形ABE 中,AB-BE

三角形全等的判定专题训练题(培优)19份

三角形全等的判定专题训练题（1）1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。 求证：△ABD≌△ACD。 2、如图（2）：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。 求证：△ABC≌△EDF。 3、如图（3）：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。 求证：△AED≌△BFC。 4、如图（4）：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。 求证：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD， BC=DE。 求证：AC⊥CE。 6、如图（6）：CG=CF，BC=DC，AB=ED，点A、B、C、D、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG，（2）BF∥DG。 7、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是 AB的中点且BN=BC。 求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。 8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥ CF，AE∥DF。 求证：△ABE≌△DCF。 9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 10、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。求证： AB=AC。 11、如图（11）在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC 上任一点。求证：PA=PD。 12、如图（12）AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一 直线上，AE=DF。求证：EB∥CF。 13、如图（13）△ABC≌△EDC。求证：BE=AD。 （图1）D C B A F E（图2）D C B A F E （图3） D C B A E （图4） D C B A G F E （图6） D C B A N M （图7） C B A F E （图8）D C B A A E （图10） D C B A P 4 3 2 1 （图11） D B A F E E A E A

三角形全等培优证明题100题(有答案)

全等三角形证明题专项练习(100题) 1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB． 3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．

4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由． （1）∠DBH=∠DAC； （2）△BDH≌△ADC． 5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由． 6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？

7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC． 求证：△AEF≌△BCD． 8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．

10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC． 11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ABC≌△FDE． 12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．

《全等三角形》培优题型全集

《全等三角形》培优题型全集 题型一：倍长中线（线段）造全等 1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证： AC=BF C 2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______. D C B A 3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1

题型三：角平分线上的点向角两边引垂线段 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD， 求证：∠BAD+∠C=180° D C B A 2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E ，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补，为什么？ 3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC. 4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。 求证：∠ADC＋∠B＝180°。 图九 2 1 C B A D 5、如图，在△ABC中∠A BC,∠A CB的外角平分线相交于点P，求证：AP是∠BAC的角平分线 图十一 4 3 2 1 P A B C 6、如图，∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC。求证:点M为BC的中点 A B C D

人教版八年级数学上册三角形全等的证明培优综合训练(含答案)

人教版八年级数学上册三角形全等的证明培优综合训练（含答案）考点1 利用SSS求证三角形全等 1．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数． 2．如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE． 求证：(1)△DCA≌△EBC； (2)AD//CE．

3．已知：如图，已知线段AB、CD相交于点O、AD、CB的延长线交于点E、OA=OC、EA=EC，求证：∠A=∠C、 考点2 利用SAS求证三角形全等 4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，AB=DE，BF=CE，AB‖DE，求证：△ABC≅△DEF．

5．在△ABC中,AD为边BC上的中线,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.△ABC的面积与△ABE的面积相等吗?说明理由 6．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC ＝DC，AC，BD相交于点O． (1)求证：①△ABC≌△ADC；②OB＝OD，AC⊥BD； (2)如果AC＝6，BD＝4，求筝形ABCD的面积．

考点3 利用AAS 或ASA 求证三角形全等 7．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ． （1）证明：BDA AEC ≌； （2）3BD =，4CE =，求DE 的长． 8．如图，已知AD 为ABC ∆的中线，延长AD ，分别过点B ，C 作BE AD ⊥，CF AD ⊥．求证：BED CFD ∆≅∆．

《全等三角形》培优题型全集

. 《全等三角形》培优题型全集 题型一：倍长中线（线段）造全等 1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证： AC=BF C 2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______. D C B A 3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD， 求证：∠BAD+∠C=180° D C B A 2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E ，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补，为什么？ 3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC. 4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。求证：∠ADC＋∠B＝180°。 图九 2 1 C B A D 5、如图，在△ABC中∠A BC,∠A CB的外角平分线相交于点P，求证：AP是∠BAC的角平分线 图十一 4 3 2 1 A B C 6、如图，∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC。求证:点M为BC的中点 A B C D .

全等三角形-培优练习

全等三角形练习A 1.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 2.如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 3.已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 4.AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 5. 如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 6..已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是 DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 A B C D O E D C B A F D C B A F E D C B A D A F E

D C B A E 7.如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 8.已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ． 9.已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ． 10.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？ 11.如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC 12.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明： 654 32 1E D C B A A C B D E F C F E B C Ｄ Ｅ

人教版八年级上册第13章 全等三角形 几何证明培优训练题

第13章《全等三角形》几何证明培优训练题 1、如图，等腰直角ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点D 在BA 的延长线上，连接CD ，过点C 作CD CE ⊥，使CD CE =，连接BE ，若点N 为BD 的中点，连接CN 、BE . （1）求证：BE AB ⊥ （2）求证：CN AE 2= 2、（1）如图1：在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠=∠90ADC B ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且FD BE EF +=，探究图中BAE ∠、FAD ∠、EAF ∠之间的数量关系。小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使BE DG =.连接AG ，先证明ADG ABE ∆≅∆，再证明AGF AEF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是 ； （2）如图2，若在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠+∠180D B ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且FD BE EF +=，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，已知在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180ADC ABC ，AD AB =，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，如图3所示，仍然满足FD BE EF +=，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程。 F 图 1 B A G E D F 图 2 B A E C D 图 3 B A E C D B A N E C D

3、已知：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AC AB =，点D 在直线AB 上，连接CD ，在CD 的右侧作CD CE ⊥，CE CD = （1）如图1，①点D 在AB 边上，直接写出线段BE 和线段AD 的关系； （2）如图2，点D 在B 右侧，1=BD ，5=BE ，求CE 的长； （3）拓展延伸，如图3，︒=∠=∠90DBE DCE ，CE CD =，2=BC ，1=BE ，请直接写出线段EC 的长。 4、已知ABC ∆是等腰直角三角形，AC AB =，︒=∠90BAC ，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合)、以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF . （1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：CD CF BC +=且CF BD ⊥； （2）在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出BC 、CF 、CD 之间的数量关系以及BD 、CF 的位置关系，不必说明理由； （3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，其它条件不变， ①请直接写出BC 、CF 、CD 之间的数量关系以及BD 、CF 的位置关系，不必说明理由； ②若连接正方形的对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，在①结论的基础上，继续探究AOC ∆的形状，并说明理由。 E C A 图 1 B D E C A 图 2 B C 图 3 B D F E A 图 1 B F E A 图 2 B O F E C A 图 3 B D

全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)(含答案)

全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道） 考卷信息： 本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！ 1．（2021春•道里区期末）如图，点A ，C 在EF 上，AD ∥BC ，DE ∥BF ，AE ＝CF ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）直接写出图中所有相等的线段（AE ＝CF 除外）． 【解题思路】（1）利用ASA 证明△ADE ≌△CBF 即可； （2）根据△ADE ≌△CBF 即可得图中所有相等的线段． 【解答过程】（1）证明：∵AD ∥BC ∴∠DAC ＝∠BCA ， 又∵∠DAC +∠EAD ＝180°，∠BCA +∠FCB ＝180°， ∴∠EAD ＝∠FCB ， ∵DE ∥BF ， ∴∠E ＝∠F ， 在△ADE 和△CBF 中， {∠EAD =∠FCB AE =CF ∠E =∠F ， ∴△ADE ≌△CBF （ASA ）， （2）∵△ADE ≌△CBF ， ∴ED ＝FB ，DA ＝BC ，EC ＝F A ． ∵AD ∥BC ，

∴∠DAC ＝∠BCA ， 在△ADC 和△CBA 中， {AD =CB ∠DAC =∠CBA AC =CA ， ∴△ADC ≌△CBA （SAS ）， ∴AB ＝CD ； ∴图中所有相等的线段有：ED ＝FB ，DA ＝BC ，AB ＝CD ，EC ＝F A ． 2．（2021春•宁德期末）如图，AB ，CD 交于点O ，AC ＝DB ，∠ACD ＝∠DBA ． （1）说明△AOC ≌△DOB 的理由； （2）若∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°，求∠OCB 的度数． 【解题思路】（1）直接利用AAS 即可证明△AOC ≌△DOB ； （2）利用三角形外角的性质得到∠COB ，再根据△AOC ≌△DOB 得到OC ＝OB ，即可求得∠OCB ． 【解答过程】解：（1）在△AOC 和△DOB 中， {∠AOC =∠DOB ∠ACO =∠DBO AC =DB ， ∴△AOC ≌△DOB （AAS ）； （2）∵∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°， ∴∠COB ＝∠ACD +∠CAO ＝122°， ∵△AOC ≌△DOB ， ∴OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝（180°﹣122°）÷2＝29°． 3．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，连接CD ，DE ．已知∠ACD ＝∠BDE ，CD ＝DE ． （1）猜想AC 与BD 的数量关系，并证明你的猜想； （2）若AD ＝3，BD ＝5，求CE 的长．