全等三角形培优(含答案)

三角形培优练习题

1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC

4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C

5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C

8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC

10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与

∠CBA 的平分线相交于E ，

CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2

∠B

12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。

A

D

B

C

A B

C D

E

F 2 1

C

D

B

A B C D P D

A C

B

F A

E

D

C B

A

B

A C

D

F

2 1

E

13已知：如图，AB =AC ，BD ?AC ，CE ?AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ．

14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，

直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到

图1的位置时，

求证：①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成

立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；

（2）EC ⊥BF

16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD

过点E ，则AB

与AC+BD 相等吗？请说明理由

17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，

AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC

＝∠BDE ．

全等三角形证明经典

（答案）

1.延长AD 到E,使DE=AD,

则三角形ADC 全等于三角形EBD

即BE=AC=2在三角形ABE 中,AB-BE

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。 所以∠EBF=∠BEF 。 又因为∠ABC=∠AED 。 所以∠ABE=∠AEB 。 所以AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。 所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。 所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。 3证明：

A

C

B

D E

F

A E

B

M C

F

A

B

C

D

E

F

图9

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G

则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2

又∵CD=DE

∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）

∴EG=AC

∵EF//AB

∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE

∴EF=EG

∴EF=AC

4证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）

∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C

5证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

因为CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90°

因为EB＝EF，CE＝CE，

所以△CEB≌△CEF

所以∠B＝∠CFE

因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

所以∠D＝∠CFA

因为AC平分∠BAD

所以∠DAC＝∠FAC

又因为AC＝AC

所以△ADC≌△AFC（SAS）

所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

7证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC

的交点）。 则：

△AED 是等腰三角形。 所以：AE=DE 而AB=CD

所以：BE=CE(等量加等量，或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.

8作B 关于AD 的对称点B‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）

因为PC

AF=AG=5

所以DC=CF=2

10证明：

做BE 的延长线，与AP 相交于F 点， ∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，

∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

11证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD

∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD ，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B 12证明： ∵BE ‖CF

∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM

∴AM 是△ABC 的中线.

13证明：因为AB=AC ， 所以∠EBC=∠DCB

P D A

C

B

因为BD⊥AC，CE⊥AB

所以∠BEC=∠CDB

BC=CB(公共边)

则有三角形EBC全等于三角形DCB

所以BE＝CD

14

（1）证明：∵∠ACB=90°，

（2）∴∠ACD+∠BCE=90°，

（3）而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

（4）∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

（5）∴∠ACD=∠CBE．

（6）在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，

（7）∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），

（8）∴AD=CE，DC=BE，

（9）∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

15

（1）证明;因为AE垂直AB

（2）所以角EAB=角EAC+角CAB=90度

（3）因为AF垂直AC

（4）所以角CAF=角CAB+角BAF=90度

（5）所以角EAC=角BAF

（6）因为AE=ABAF=AC

（7）所以三角形EAC和三角形FAB全等

（8）所以EC=BF

（9）角ECA=角F

（10）延长FB与EC的延长线交于点G

（11）因为角ECA=角F(已证）

（12）所以角G=角CAF

（13）因为角CAF=90度

（14）所以EC垂直BF

16在AB上取点N,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE

又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE为公共边,

所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD

17证明：作CG平分∠ACB交AD于G ∵∠ACB=90°

∴∠ACG=∠DCG=45°

∵∠ACB=90°AC=BC

∴∠B=∠BAC=45°

∴∠B=∠DCG=∠ACG

∵CF⊥AD

∴∠ACF+∠DCF=90°

∵∠ACF+∠CAF=90°

∴∠CAF=∠DCF

∵AC=CB∠ACG=∠B

∴△ACG≌△CBE

∴CG=BE

∵∠DCG=∠BCD=BD

∴△CDG≌△BDE

∴∠ADC=∠BDE

2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优(含答案)

2020年人教版八年级数学上册 《全等三角形》单元培优 一、选择题 1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（） A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA 2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（） A.PM＞PN B.PM＜PN C.PM=PN D.不能确定 4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。 A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定 5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（） A．25° B．30° C．35° D．40°

6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE. 以下四个结论： ①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°. 其中结论正确的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（） A.3 B.5 C.7 D.3或7 二、填空题 9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）． 10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．

人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形 综合培优训练(含答案)

人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形 综合培优训练 一、选择题（本大题共12道小题） 1. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定( ) A ．形状、大小均不相同 B ．形状相同，但大小不同 C ．大小相同，但形状不同 D ．形状、大小均相同 2. 如图 1所示的图形中与图2中图形全等的是 ( ) 图1 图2 3. 如图，△ABC ≌△EDF ，DF=BC ，AB=ED ，AC=15，EC=10，则CF 的长是 ( ) A .5 B .8 C .10 D .15 4. 如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB ＝DE ，还需添加两个条件才能使 △ABC△△DEC ，不能添加的一组条件是( ) A ．BC ＝EC ，△ B ＝△E B ．B C ＝EC ，AC ＝DC C ．BC ＝DC ，△A ＝△D D ．△B ＝△ E ，△A ＝△D 5. (2019•临沂)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥， 若4AB =，3CF =，则BD 的长是

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 6. 下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容． 如图，已知△AOB，求作：△DEF，使△DEF＝△AOB. 作法：(1)以__△__为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； (2)作射线EG，并以点E为圆心，__○__长为半径画弧交EG于点D； (3)以点D为圆心，__△__长为半径画弧交前弧于点F； (4)作__△__，则△DEF即为所求作的角． 则下列回答正确的是() A．△表示点E B．○表示ED C．△表示OP D．△表示射线EF 7. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是() A．AB＝DE B．AC＝DF C．△A＝△D D．BF＝EC 8. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()

全等三角形 苏科版数学八年级上册培优练习(含答案)

1.2全等三角形培优练习 一、选择题 1、有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们 一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形． 其中正确的说法是（） A．①②B．②③C．①③D．②④ ∠等于( ) 2、如图中的两个三角形全等，则α A．65︒B．60︒C．55︒D．50︒ 3、如图，ABC AEF ∠=∠； =；③FAB EAB =；②EF BC ∆≅∆，观察以下结论：①AC AF ④EAB FAC ∠=∠，其中正确结论的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个 4、如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是() A．DB平分∠ADC B．△ABD和△CDB的周长相等 C．AD∥BC，且AD＝BC D．△ABD和△CDB的面积相等 5、如图，OAC OBD AD=) ∆≅∆．若12 OC=，7 OB=，则(

A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6、如图所示，△ABC ≌△ADE ，AB=AD ，AC=AE ，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于 点G ，∠AED=105°，∠CAD=15°，∠B=30°，则∠1的度数为（ ）． A ．50° B ．60° C ．40° D ．20° 7、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DEF DEA ∆≅∆，若60BDF CEF ∠-∠=︒， 则A ∠的度数为( ) A ．30︒ B ．32︒ C ．35︒ D ．40︒ 8、如图，N ，C ，A 三点在同一直线上，在ABC ∆中，::3:5:10A ABC ACB ∠∠∠=，又 MNC ABC ∆≅∆，则:BCM BCN ∠∠等于（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．1:4 9、如图所示，锐角ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，ADC ADC ∆≅∆'，AEB AEB ∆≅∆'， 且////C D EB BC ''，BE 、CD 交于点F ，若40BAC ∠=︒，则BFC ∠的大小是( )

全等三角形专题培优(带答案)

全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供 选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得 第1页，共7页

人教版 八年级数学 第12章 全等三角形 培优训练 (含答案)

人教版八年级数学第12章全等三角形培优 训练 一、选择题 1. 下列各组的两个图形属于全等图形的是() 2. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE相交于点M，则∠DCE等于() A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB 3. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是() A．HL B．ASA C．SSS D．SAS 4. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是() A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°

5. 如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是() A.点O在点A的南偏东60°方向上 B.点B在点A的北偏东30°方向上 C.点B在点O的北偏东60°方向上 D.点B在点O的北偏东30°方向上 6. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是() 7. 现已知线段a，b(a

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形》培优专题训练 1 全等三角形的概念 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边. 全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题 如图所示， ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长. 解题策略 在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以 1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以 ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以 2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛 1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边 相等、对应角相等的结论. 2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求 线段长的一种常用的转化方法. 举一反三 1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对 应角是 . 2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.

3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF 平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由. 融会贯通 4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 . 2 三角形全等的判定 判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题 已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.

人教版八上数学第12章《全等三角形》单元测试培优(含答案)

第12章全等三角形 一、选择题 1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（） A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1） 3．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（） A．B． C．D． 4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）

A．2 B．3 C．4 D．5 5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（） A．110°B．125°C．130°D．155° 6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（） A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF 7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）

全等三角形经典培优题型(含标准答案)

三角形培优练习 题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 7 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证： PC-PB

9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7， 求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、 BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，?=∠90ACB ， BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转 到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ， CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的 垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ ADC ＝∠BDE ． P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A M F E C B A A C B D E F A E B M C F C D F

2019-2020人教版数学八年级上册期末压轴题培优：全等三角形(含答案)

八年级上学期期末压轴题培优：全等三角形 1．某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC 至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长． 方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离 问：（1）方案1是否可行？并说明理由； （2）方案2是否可行？并说明理由； （3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF” 换成条件AB∥DE也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上． 解：（1）在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE； （2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，

∴∠B＝∠BDE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE； （3）只需AB∥DE即可， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠BDE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE， 故答案为：AB∥DE． 2．小明用大小相同高度为2cm的10块小长方体垒了两堵与地面垂直的木墙AD，BE，当他将一个等腰直角三角板ABC如图垂直放入时，直角顶点C正好在水平线DE上，锐角顶点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm． 3．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A： ②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④ 测得DE的长为5米． （1）河的宽度是5米． （2）请你说明他们做法的正确性．

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案) 1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。 解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3. 2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2. 解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2. 3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。 解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而 EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得 EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD， 证明∠B=2∠C。 解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而 ∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得 ∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于 ∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。 5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB， ∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。 解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而 △ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于 ∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即 AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以 AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____． 【答案】AD的中点 【解析】 【分析】 【详解】 分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′， 根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______

【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD ，则∠AOD=∠ADO ，②OA=OD ，则∠OAD=∠ADO ，③OD=AD ，则∠OAD=∠AOD ，分别求出α的角度即可. 【详解】 解：∵设∠CBO=∠CAD=a ，∠ABO=b ，∠BAO=c ，∠CAO=d ， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b ﹣d=10°， ∴（60°﹣a ）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论： ①AO=AD ，则∠AOD=∠ADO ， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②OA=OD ，则∠OAD=∠ADO ， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③OD=AD ，则∠OAD=∠AOD ， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°； 所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD 是等腰三角形， 故答案为：110°、125°、140°. 【点睛】 本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键. 3．如图，在01A BA △中，20B ∠=?，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．

全等三角形培优(含答案)

三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

13已知：如图，AB =AC ，BD ?AC ，CE ?AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =， 直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到 图1的位置时， 求证：①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成 立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ； （2）EC ⊥BF 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． 全等三角形证明经典 （答案） 1.延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2在三角形ABE 中,AB-BE

三角形全等培优证明题100题(有答案)

全等三角形证明题专项练习(100题) 1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB． 3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．

4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由． （1）∠DBH=∠DAC； （2）△BDH≌△ADC． 5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由． 6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？

7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC． 求证：△AEF≌△BCD． 8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．

10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC． 11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ABC≌△FDE． 12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A B C D E F 2 1 A D B C

人教版八年级上册第12章《全等三角形》培优练习题 含答案

人教版2020年八年级上册第12章《全等三角形》培优练习题一．选择题 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（） A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F 2．如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED ＝90°，AE＝DE，则BE＝（） A．13B．8C．6D．5 3．平面内，到三角形三边距离相等的点有（）个． A．4B．3C．2D．1 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠DAC交CD于点F，点E为AB上一点，AE＝AC，连接EF，若∠B＝56°，则∠AEF＝（） A．34°B．46°C．56°D．60° 5．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）

A．四处B．三处C．两处D．一处 6．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为（） A．40°B．30°C．50°D．60° 7．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） A．1B．2C．3D．4 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（） A．15B．30C．45D．60 9．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（）对．

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》期末复习解答培优训练题(附答案)

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》期末复习 解答培优训练题（附答案） 1．如图，CA＝CD，CB＝CE，AB＝DE，AB与DE交于点M． （1）求证：∠ACD＝∠BCE； （2）连MC，若∠BMC＝78°，求∠BMD的度数． 2．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝36°，求∠BDE的度数． 3．如图，在∠EAP中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，BD＝DF．证明： （1）CF＝EB； （2）AB＝AF+2EB． 4．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，延长AE、DC相交于点F，∠BEF＝∠B+∠F．求证：AB＝CF．

5．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB的长． 6．如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MOW； （2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长． 7．如图，两根旗杆AC与BD相距12m，某人从A点沿AB走向B，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM＝MD．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为0.5m/s，求这个人的行走时间． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．请用等式表示线段AB，BC，CE之间的数量关系，并证明你的结论．

人教版八年级数学上册课时练：第十二章 《全等三角形》 (培优篇)解析版

课时练：第十二章《全等三角形》（培优篇） 一．选择题 1．已知△ACB≌△A'CB'，∠CBA＝30°，则∠CB'A'的度数为（） A．20°B．30°C．35°D．40° 2．在下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（） A．一个锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．一条斜边和另外一条直角边对应相等 3．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是（） A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝32，DE＝4，AB ＝6，则AC的长是（）

A．8 B．9 C．10 D．11 6．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝28°，∠CGF＝85°，则∠E的度数是（） A．38°B．36°C．34°D．32° 7．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（）个． A．9 B．10 C．11 D．12 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论错误的是（） A．CB＝CD B．DA＝DC C．AB＝AD D．△ABC≌△ADC 9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

人教版八年级数学上册第12章全等三角形培优训练(Word版含答案)

人教版八年级数学第12章全等三角形培 优训练 一、选择题 1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是() A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 2. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图，则能说明OC是∠AOB的平分线的依据是() A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 3. 如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E; DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点(2)分别以点D,E为圆心,大于1 2 C; (3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线. 这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是() 4. 如图，OC平分∠AOB，P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD＝3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是()

A．2 B．3 C．4 D．5 5. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是() A．HL B．ASA C．SSS D．SAS 6. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是() A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80° 7. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC ＝ED，当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是() A．①或②B．②或③ C．①或③D．①或④ 8. (2022•陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为

初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案

初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案 一、全等三角形截长补短 1．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC . （1）求证：∠ABD =∠ACD ； （2）求证：AD 平分∠CDE ； （3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？ 2．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°． （1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF； （3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．

3．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠． （1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+； （2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数； （3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+． 4．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度． （2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC （3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程． 5．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系? （尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明