全等三角形证明培优题

模块一：基本辅助线

1.如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.

2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点，

（1）求证：AF⊥CD.

（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）

3.如图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.

4.如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O 重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点．

①如图（1），当OE⊥AB时，四边形OMBN的面积为___；

②如图（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论．

5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。

6.如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG =BF+CG．

模块二：母子型

1已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM 交CN于点F.

(1)求证：AN=BM;

(2)求证：△CEF为等边三角形

2.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。

3.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．

①求证：AG⊥CH；

4.如图，已知△ABD、△AEC都是等边三角形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：（1）BE 与CD有何数量关系？为什么？（2）AF、AH有何数量关系？为什么？

5.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6.（2009•丰台区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

模块三倍长中线

（1）倍长中线（2）倍长类中线

1.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．

2.已知，如图△ABC 中，AC>AB,AM 是BC 边上的中线，求证：21

（AC-AB ）＜AM ＜2

1(AB+AC)．

3. 如图所示，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC,E,F 分别在BD,AD 上，DE=CD,EF=AC,求证:EF//AB.

4.如图，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF 求证：BE+CF ＞EF ．

5. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

7.分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,M为BC的中点，求证：AM⊥EG.

8如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，求FC的长．

9.在△ABC中，AM是BC边上的中线，（1）求证：AB+AC>2AM;(2)若AB=5，AC=9，求AM的取值范围。

10.△ABC中，AC=8，BC边上的中线AD=6，则边AB的取值范围是。

11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．

12.如图，已知在△ABC中，AD平分BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.

13.如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1）CD=2AM,（2）AM⊥CD．

14.在△ABC中，分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点，（1）求证：AM丄EG;（2）求证:EG=2AM.

模块四、截长补短

一．截长：截取较长线段，使其和较短线段长度相等。

二．补短：延长较短线段，使其和较长线段长度相等。

适用范围：条件或题目中出现“a+b=c”或“a-b=c”

目的：构造全等三角形

1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB.

2.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，∠MAN=45°．

求证：MB+ND=MN．

3、如图所示，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC,E 、F 分别在BD 、AD 上，DE=CD,已知ABCD 是正方形，E 、F 分别在CB 、CD 的延长线上，∠EAF=135°，求证：BE+DF=EF.

4. 如图，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+∠AED=180°．连接AD ．

（1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出 △ABC 绕着点A 按逆时针旋转“∠BAE 的度数”后的像；

（2）试判断AD 是否平分∠CDE ，并说明理由．

5.如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=180°,AB=AD,EF 分别是线段BC 、CD 上的一点，且BE+FD=EF.求证：∠EAF=2

1∠BAD.

6. 已知：如图，在正方形ABCD 中，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°，AH ⊥MN ，垂足为H ，求证：（1）MN=DN-BM ；（2）AH=AB ．

7.已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE ．求证：BE+DF=AE ．

8.如图，△ABC是正三角形，∠ADC=120°，求证：BD=AD+CD.

模块五角平分线的性质与判定

1.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，

求证：AD是∠BAC的平分线．

2.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是______．

3.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠C=（）度.

4.已知，如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.

5.如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°

角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：（1）线段BM、MN、NC之间

的数量关系．（2）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、

MN、NC之间的数量关系，在图中画出图形．并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以

证明．

6.如图：在△ABC中，∠C=90°， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

7.如图，已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D．求证：AD是∠BAC的平分线．

模块六、角平分线的四大基本模型

1.角平分线+平分线，等腰三角形必呈现

2.点垂线，垂两边，线等全等都出现

3.角平分线+垂线，中点全等必可见

4.角分线，分两边，对称全等要记全

1.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB.DE//AB,FD//AC,如果BC=6，求△DEF 的周长

2.△ABC中.（1）如图1，若∠BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。

（2）如图2，若∠BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E，过E 作EF⊥ AB,垂足为F,猜想2BF、AB、AC的关系并证明。

3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗？

°，AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证：(1)BD·BE=AB·BC；

5.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．∠C=20°，AB+BD=AC，则∠B的度数是______．

6.已知，等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于D,BD=BE,(1)求∠DEC;(2)求证：AD=EC.

7.如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．

（1）求证：∠B与∠AHD互补；

（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．

8.(1)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC的大小，并说明理由．

（2）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：AB- AC＞PB-PC．

9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使B M=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.

10.（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．

11.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．

12.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于点E、F．且FG⊥AB，

垂足为G，求证：CE=FG．

模块七垂直平分线

1.如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm，BC=10cm，∠A=50°，求△BCE 的周长和∠EBC的度数。

2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离

必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺

规作图，不写作法，保留作图痕迹）

3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC 的延长线于点F．

求证：（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

(3)若∠ABC=50°,求∠F.

4.已知：如图AB=CD,线段AC的垂直平分线于线段BD的垂直平分线相交于点E,求证：∠ABE=∠CDE.

模块八大角夹半角

模型特征：组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。

方法：旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。

1.操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．

附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

1 2.如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=

2∠DAB．（1）试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想

(2)过点A作AM⊥EF于点M,证明EF=BE+DF;

(3)试猜想AM与 AB之间的数量关系，并证明你的猜想。

3.如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．

（1）求证：AF=FG；

（2）如图②，连接G，当BG=3，DE=2时，求EG的长．

4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点做一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长

模块九 K字模型

1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

2.在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和

ACFG ，连接CE 、BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，试证明：①BG=CE ②BG ⊥CE ③AM

是△AEG 的中线 ④AMG ABC S S ∆∆=2.

3.平面内有一等腰直角三角形（∠ACB=90°）和一直线MN 。过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ，当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF+BF=2CE ，当三角板绕点A 顺时针旋转转到图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明。

全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' ． 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌ ”． 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理 ( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS 能够相互重合的顶 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于． E D

全等三角形培优专题训练

探索三角形全等 1、一长方形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两纸片摆成如以下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ； ⑵假设PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明 2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，那么结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的选项是〔 〕

3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数. 中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、 F在直线M、N上，且OE＝OF. ⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； ⑵求证：∠MAE＝∠NCF 全等三角形的应用 全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明： ①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系 ③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明. 2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD， 求证：BE⊥AC B

3、如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°. ⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系"证明你猜测的结论. ⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由. 4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点〔不与B、C重合〕，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE. ⑴如图①，当点D在线段BC上时，假设∠BAC＝90°，那么∠BCE＝_______度. ⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎 样的数量关系？请说明理由. ② B ① ①

【全等三角形】培优题型全集

《全等三角形》培优题型全集 题型一：倍长中线（线段）造全等 1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证： AC=BF C 2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______. D C B A 3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1

题型三：角平分线上的点向角两边引垂线段 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD， 求证：∠BAD+∠C=180° C 2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E， AD+AB=2AE， 则∠B与∠ADC互补，为什么？ 3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC. 4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。 求证：∠ADC＋∠B＝180°。 图九 D 5、如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线相交于点P，求证：AP是∠BAC的角平分线 图十一 6、如图，∠B= ∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC。 求证:点M为BC的中点 A B C D

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形》培优专题训练 1 全等三角形的概念 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边. 全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题 如图所示， ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长. 解题策略 在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以 1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以 ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以 2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛 1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边 相等、对应角相等的结论. 2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求 线段长的一种常用的转化方法. 举一反三 1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对 应角是 . 2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.

3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF 平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由. 融会贯通 4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 . 2 三角形全等的判定 判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题 已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.

全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B'C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： SAS HL SSS →⎧⎪ →⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边

全等三角形经典培优题型(含标准答案)

三角形培优练习 题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 7 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证： PC-PB

9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7， 求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、 BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，?=∠90ACB ， BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转 到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ， CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的 垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ ADC ＝∠BDE ． P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A M F E C B A A C B D E F A E B M C F C D F

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形经典培优题型(含答案) 1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。 解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3. 2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2. 解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2. 3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。 解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而 EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得 EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。

4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD， 证明∠B=2∠C。 解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而 ∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得 ∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于 ∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。 5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB， ∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。 解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而 △ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于 ∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即 AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以 AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1

《全等三角形》培优题型全集

1ABC的中线，BE交AC 于E，交AD于F，且 AE=EF，求证：AC=BF 2、如图，△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取 值范围是______. 3、在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取 值范围是( ) A、1

D O E C B A 题型三：角平分线上的点向角两边引垂线段 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD， 求证：∠BAD+∠C=180° D C B A 2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE ⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补，为什么？ 3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC. 4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。求证：∠ADC＋∠B＝180°。 图九 2 1 C B A D 5、如图，在△ABC中∠A BC,∠A CB的外角平分线相交于点P， 求证：AP是∠BAC的角平分线 图十一 4 3 2 1 P A B C 6、如图，∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC。 求证:点M为BC的中点 A B C D

全等三角形-培优整理

全等三角形-培优整理

H E B D A C B'C B A D 题图第1题图 第2全等三角形 1．将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B ’处，若∠ ACB ’=60°，则∠ACD 度数为 ______． 2．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠EFC 的度数为_________． 3．△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则BH 的长度为______． 4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点，

A F D B C 2 1P F M D B A C E （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？ 试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立 吗？试证明你的结论． 5．如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）

6．△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由． D C A 7.已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是

BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：12 CE BF =； D A E F C H G B 8. 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o ，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60o 得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形； （2）当150α=o 时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？ A B C D O 110o α 9．如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点．①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，DF

全等三角形证明题专练(培优)

1.（★★★）已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥． P D Q C B E A 2.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． F E D C B A 3.（★★★★）已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>． F E A B D C 4.（★★）如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ． 求证：∠E =∠F

5.（★★）如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =． A B C D E F 6.（★★★）如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB F A C D E B 7.（★★★）如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=． M D C B A 8.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=． 21E C B A

全等三角形培优(含答案)

三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

13已知：如图，AB =AC ，BD ?AC ，CE ?AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =， 直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到 图1的位置时， 求证：①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成 立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ； （2）EC ⊥BF 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． 全等三角形证明经典 （答案） 1.延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2在三角形ABE 中,AB-BE

三角形全等的判定专题训练题(培优)19份

三角形全等的判定专题训练题（1）1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。 求证：△ABD≌△ACD。 2、如图（2）：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。 求证：△ABC≌△EDF。 3、如图（3）：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。 求证：△AED≌△BFC。 4、如图（4）：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。 求证：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD， BC=DE。 求证：AC⊥CE。 6、如图（6）：CG=CF，BC=DC，AB=ED，点A、B、C、D、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG，（2）BF∥DG。 7、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是 AB的中点且BN=BC。 求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。 8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥ CF，AE∥DF。 求证：△ABE≌△DCF。 9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 10、如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。求证： AB=AC。 11、如图（11）在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC 上任一点。求证：PA=PD。 12、如图（12）AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一 直线上，AE=DF。求证：EB∥CF。 13、如图（13）△ABC≌△EDC。求证：BE=AD。 （图1）D C B A F E（图2）D C B A F E （图3） D C B A E （图4） D C B A G F E （图6） D C B A N M （图7） C B A F E （图8）D C B A A E （图10） D C B A P 4 3 2 1 （图11） D B A F E E A E A

三角形全等培优证明题100题(有答案)

全等三角形证明题专项练习(100题) 1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB． 3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．

4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由． （1）∠DBH=∠DAC； （2）△BDH≌△ADC． 5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由． 6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？

7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC． 求证：△AEF≌△BCD． 8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．

10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC． 11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ABC≌△FDE． 12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．

全等三角形综合培优测试题

A B C D E 12A B C D E A B D C E .34 21D C B A 全等三角形综合试题 1、如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 、BD 交于E 点，求证：CE=DE 2、如图，已知AB=AD ，AC 平分∠DAB ，求证：EDC EBC ∠=∠。 3、已知如图，E.F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相平分. 4、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．猜想线段AC 与EF 的关系，并证明你的结论. 5、如图∠ABC ＝90°AB ＝BC ，D 为AC 上一点分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE. 6、如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，E.F 是BD 上两点，且BF ＝DE ，则图中共有 对 全等三角形. 7、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF,图中全等三 角形共有______对. 8、两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边 9、如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ） A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等 10、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等 11、如图在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于D ， DE ⊥AB 于E ，若AB=6cm 则DEB ∆的周长是（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9 cm 12、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB 与CD 相等吗？请你说明理由. 13、已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=2 1BF ； 14、如图,已知在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 上一点,BF =CD ,CE =BD ,那么∠EDF 等于( ) A..90°－∠A B. 90°－ 21∠A C. 180°－∠A D. 45°－2 1 ∠A 15、已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE)，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE)，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系． 16、已知：如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，CDA BAD ∠=∠。 求证：DCB ABC ∠=∠。 17、已知：如图5—132，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：PQ ∥AB ． A B E O F D C F G E D C B A A B C F D E A D B C E F D A C B

全等三角形证明培优题

模块一：根本辅助线 1.如图，AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC. 2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点， 〔1〕求证：AF⊥CD. 〔2〕在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个〔不要求证明〕 3.如图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD. 4.如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O 重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点． ①如图〔1〕，当OE⊥AB时，四边形OMBN的面积为___； ②如图〔2〕，当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论． 5.如下图，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。

6.如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．〔1〕假设∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；〔2〕假设BD=CE，求证：FG=BF+CG． 模块二：母子型 1：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM 交CN于点F. (1)求证：AN=BM; (2)求证：△CEF为等边三角形 2.如图，，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。求证：〔1〕AE=BF；〔2〕AE⊥BF。

3.如图1，假设四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE； 〔1〕当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由； 〔2〕当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M． ①求证：AG⊥CH； ②当AD=4，DG=2时，求CH的长． 4.如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：〔1〕BE与CD 有何数量关系？为什么？〔2〕AF、AH有何数量关系？为什么？ 5.：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． 〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； 〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立； 〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

全等三角形经典培优题型(含答案)

三角形全等培优练习题 如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF M F E C B A A C B D E F A E M F

已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E

4已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B A

6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. F A E D C B

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A B C D E F 2 1 A D B C

八年级上册数学同步和培优-全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点， AD是整数，求AD 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2 2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°， 求证： 1 2 CD AB 延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB 3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D， F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF。 ∵∠ABC=∠AED。 ∴∠ABE=∠AEB。 ∴AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB， 求证：EF=AC 过C作CG∥EF交AD的延长线于点 G A D B C B A C D F 2 1 E

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD， 求证：∠B=2∠C 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠ B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC， BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 A

全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)(含答案)

全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道） 考卷信息： 本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！ 1．（2021春•道里区期末）如图，点A ，C 在EF 上，AD ∥BC ，DE ∥BF ，AE ＝CF ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）直接写出图中所有相等的线段（AE ＝CF 除外）． 【解题思路】（1）利用ASA 证明△ADE ≌△CBF 即可； （2）根据△ADE ≌△CBF 即可得图中所有相等的线段． 【解答过程】（1）证明：∵AD ∥BC ∴∠DAC ＝∠BCA ， 又∵∠DAC +∠EAD ＝180°，∠BCA +∠FCB ＝180°， ∴∠EAD ＝∠FCB ， ∵DE ∥BF ， ∴∠E ＝∠F ， 在△ADE 和△CBF 中， {∠EAD =∠FCB AE =CF ∠E =∠F ， ∴△ADE ≌△CBF （ASA ）， （2）∵△ADE ≌△CBF ， ∴ED ＝FB ，DA ＝BC ，EC ＝F A ． ∵AD ∥BC ，

∴∠DAC ＝∠BCA ， 在△ADC 和△CBA 中， {AD =CB ∠DAC =∠CBA AC =CA ， ∴△ADC ≌△CBA （SAS ）， ∴AB ＝CD ； ∴图中所有相等的线段有：ED ＝FB ，DA ＝BC ，AB ＝CD ，EC ＝F A ． 2．（2021春•宁德期末）如图，AB ，CD 交于点O ，AC ＝DB ，∠ACD ＝∠DBA ． （1）说明△AOC ≌△DOB 的理由； （2）若∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°，求∠OCB 的度数． 【解题思路】（1）直接利用AAS 即可证明△AOC ≌△DOB ； （2）利用三角形外角的性质得到∠COB ，再根据△AOC ≌△DOB 得到OC ＝OB ，即可求得∠OCB ． 【解答过程】解：（1）在△AOC 和△DOB 中， {∠AOC =∠DOB ∠ACO =∠DBO AC =DB ， ∴△AOC ≌△DOB （AAS ）； （2）∵∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°， ∴∠COB ＝∠ACD +∠CAO ＝122°， ∵△AOC ≌△DOB ， ∴OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝（180°﹣122°）÷2＝29°． 3．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，连接CD ，DE ．已知∠ACD ＝∠BDE ，CD ＝DE ． （1）猜想AC 与BD 的数量关系，并证明你的猜想； （2）若AD ＝3，BD ＝5，求CE 的长．