大学课程《高等数学B》期末试卷及参考答案

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《高等数学B 》课程期末试卷

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分3 6分)

1. 幂级数1(3)3

n

n

n x n ∞

=-⋅∑的收敛域为 ； 2. 设222

()z y f x y =+-，其中()f u 可微， 则y

z

x x z y

∂∂+∂∂= ； 3. 曲线2

2

4x y z z x y

++=⎧⎨

=+⎩在点(1,1,2)处的法平面方程是 ；

4. 设C 为曲线22241

x y z z z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分ds z y x c

2

22++⎰= ；

5. 交换二次积分的次序⎰

⎰

--x

x x dy y x f 222

2

),(dx = ；

6.

三次积分

12220

d )d x y x y z z ++⎰

⎰

⎰

的值是 ；

7. 散度()

3(2,0,)

div cos(2)x y y z π+-+=i j k ；

8. 已知第二型曲线积分

4124(4)d (65)d B

n n A

x xy x x y y y -++-⎰

与路径无关，则n = ；

9.平面5431x y z ++=被椭圆柱面2

2

491x y +=所截的有限部分的面积为 . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)

10．设(,)z z x y =是由方程1xy yz xz ++=所确定的隐函数，0x y +≠，试求2z

x y

∂∂∂.

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11．计算二重积分2

()d d D

x y x y +⎰⎰

，其中区域{}

22(,)24D x y y x y y =≤+≤.

12．设立体Ω由曲面222

1x y z +-=

及平面0,z z ==围成，密度1ρ=，求它对z 轴

的转动惯量.

13. 计算曲面积分d S z ∑

⎰⎰，∑为球面2222

x y z R ++=上满足0h z R <≤≤的部分.

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三（14）．（本题满分8分）求函数2

2

(,)f x y x x y =-- 在区域{}

22

(,)21

D x y x y =+≤上的最大值和最小值.

四（15）。（本题满分8分）计算

(1)d d d d S

z x y y z x +∧-∧⎰⎰，其中S 为圆柱面2

24

x

y +=被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧.

五（16）.（本题满分7分）计算

(

(

)ln d I x y xy x y =

+++⎰

，

其中C 是由点(1,0)B π+沿曲线sin(1)y x =-到点(1,0)A 的一段弧.

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六（17）（本题满分7分）设121,2a a ==，当3n ≥时，有12n n n a a a --=+， （1） 证明不等式113

02,42

n n n a a a n --<

<<≥； （2） 证明级数11n n a ∞

=∑收敛，且满足不等式115

22n n

a ∞

=≤≤∑.

七（18）（本题满分6分）设C 是圆周2

2

x y x y +=+，取逆时针方向，连续函数()0f u >，证明 ()d d ()

C

y

xf y y x f x π-

≥⎰

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高数B 期末试卷参考答案及评分标准

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分3 6分)

1. 幂级数1

(3)3n

n

n x n ∞

=-⋅∑的收敛域为[0,6)； 2. 设222

()z y f x y =+-，其中()f u 可微， 则2z z

y

x xy x y

∂∂+=∂∂； 3. 曲线22

4

x y z z x y ++=⎧⎨=+⎩

在点(1,1,2)处的法平面方程是0x y -=； 4. 设C 为曲线22241x y z z z ⎧++=⎨=⎩

，则曲线积分222

()d C

x y z s ++=⎰；

5. 交换二次积分的次序

(

)(

)()220

122

1

10

2

d ,d d ,d d ,d y x f x y y y f x y x y f x y x -=+⎰

⎰⎰

⎰⎰；

6.

三次积分

12220

d )d x y x y z z ++⎰

⎰

⎰

的值是

10

π

； 7. 散度()

3(2,0,)

div cos(2)x y y z π+-+=i j k

13；

8. 已知第二型曲线积分

4124(4)d (65)d B

n n A

x xy x x y y y -++-⎰

与路径无关，则3n =；

9.平面5431x y z ++=被椭圆柱面2

2

491x y +=

所截的有限部分的面积为18

. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)

10．设(,)z z x y =是由方程1xy yz xz ++=所确定的隐函数，0x y +≠，试求2z

x y

∂∂∂.

解

d d d d d d 0

y x x y z y y z z x x z +++++=，

d d d y z x z

z x y x y x y

++=-

-++，

z y z

x x y

∂+=-∂+，

z x z

y x y

∂+=-∂+，

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2222

112()()()z x z

z y z y z z y x y

x y x y x y x y x y x y ∂++

-

∂++∂+=-=-=∂∂+++++（4+3分） 11．计算二重积分

2

()d d D

x y x y +⎰⎰

，其中区域{}

22(,)24D x y y x y y =≤+≤. 解

()4sin 2

2

2

3

4220

2sin 0

45

()d d d d 2d d 120sin d 2

D

D

x y x y x y x y π

π

θθ

θρρθθπ+=+===

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰ （2+2+3分）

12．设立体Ω由曲面222

1x y z +-=

及平面0,z z ==密度1ρ=，求它对z

轴的转动惯量. 解

(

)

)22

2

2

3

20

d d d 1d 2x

y v z z z ππ

θρΩ

+==

+=

⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰

（2+3+2分）

13. 计算曲面积分

d S z ∑

⎰⎰，∑为球面2222

x y z R ++=上满足0h z R <≤≤的部分. 解 ∑在

xOy 平面上的投影区域为22:0

x y D z ⎧⎪+≤⎨=⎪⎩（1分）

222220d d d 22ln D

S R

R R R z R x y R h σρρππρ∑===---⎰⎰⎰⎰（3+1+2分） 三（14）．（本题满分8分）求函数2

2

(,)f x y x x y =-- 在区域{}

22

(,)21

D x y x y =+≤上的最大值和最小值.

解 令120,20x y f x f y =-==-=，得1

,02

x y =

=；

（1分）在区域D 的边界 {}

22(,)21D x y x y ∂=+=上，2()1D

g x f

x x ∂==+-

，x ≤≤，令 ()210g x x '=+=，得1

2

x =-

，（2分）11,024f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1524g ⎛⎫

-=- ⎪⎝⎭

，

12g ⎛=- ⎝

1

2g =，（3分）由比较得max min 15,44f f ==-（2

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分）

四（15）。（本题满分8分）计算

(1)d d d d S

z x y y z x

+∧-∧⎰⎰，其中S 为圆柱面

224x y +=被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧.

解 补两个面，1S ：平面2x z +=被圆柱面2

2

4x y +=所截部分，取上侧，在xOy 平

面的投影区域记为224:0x y D z ⎧+≤⎨=⎩；2S ：2240

x y z ⎧+≤⎨=⎩，取下侧，由曲面12,,S S S 所

围成的内部区域记为V ，（2分）由Gauss 公式得

(1)d d d d S

z x y y z x +∧-∧⎰⎰

12

1

2

(1)d d d d (1)d d d d S S S S S z x y y z x z x y x y ++=

+∧-∧-+∧-∧⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1分）

0d (3)d d d d 2d d 8V

D

D

D

v x x y x y x y π=--+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3+1+1分）

五（16）.（本题满分7分）计算

(

(

)ln d C

I x y xy x y =

++⎰

，

其中C 是由点(1,0)B π+沿曲线sin(1)y x =-到点(1,0)A 的一段弧.

解 补有向直线AB ，由C 与AB 所围成的内部区域记为D ，（1分）由Green 公式得

(

(

)

221

ln d d d d 2C AB D

I x y xy x y x x y x y ππ=+++-=--⎰

⎰⎰⎰

（2+2+1

分）241

92

ππ=

--（1分） 六（17）（本题满分7分）设121,2a a ==，当3n ≥时，有12n n n a a a --=+， （3） 证明不等式113

02,42

n n n a a a n --<

<<≥； （4） 证明级数11n n a ∞

=∑收敛，且满足不等式115

22n n

a ∞

=≤≤∑

. 解 （1）首先易见{}n a 单调递增，所以当3n ≥时，1212n n n n a a a a ---=+<，因而当4

n ≥时，2112n n a a -->

，1213

2

n n n n a a a a ---=+> （2分）

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（2）2

3

3

12

312121211233333n n n n n a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⋅<⋅<

<⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

，4n ≥

由比较判别法得级数11n n a ∞

=∑收敛。（2分）3

1311125

12332

n n n n

a -∞

∞==⎛⎫

≤++=

⎪

⎝⎭∑∑， 2

2

1

122111*********n n n n n a a a a ----⎛⎫⎛⎫

⎛⎫>⋅>⋅>>⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

，3n ≥

1

1

1321111112222n n n n n n

a --∞

∞∞

===⎛⎫⎛⎫

≥++=+= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

∑∑∑（3分）

七（18）（本题满分6分）设C 是圆周2

2

x y x y +=+，取逆时针方向，连续函数

()0f u >，证明

()d d ()

C

y

xf y y x f x π-

≥⎰ 证 圆周C 所围的内部区域记为D ，由Green 公式得

1()d d ()d ()()C

D y xf y y x f y f x f x σ⎛⎫

-

=+ ⎪⎝

⎭⎰⎰⎰，

（2分）由于区域D 关于直线y x =对称，利用轮换对称性，得

()d ()d D

D

f y f x σσ=⎰⎰⎰⎰，

（2分）于是 1()d d ()d 2d ()()C

D D

y xf y y x f x f x f x σσπ⎛⎫-

=+≥= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（2分）

2020-2021学年第一学期高等数学D (B卷)期末试题

2020---2021第一学期高等数学D (B 卷) 一．填空题（本题满分28分，，每道小题4分），请将合适的答案填在空中． 1．设二元函数 () y x f z ，=由方程0=+----y x z xe y x z 所确定，则=dz ______________________． 2．设函数()x f 在区间()∞+∞-，上连续，且()20=f ，且设()()⎰= 2 sin x x dt t f x F ，则()='0F _________． 3微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________________________． 4 _________________)1 1(lim =-→∞x x x 5 1． ()()() =++-∞ →502 80 201 52312lim x x x x _________． 6．抛物线()a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 ___________________ 7 曲线⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos 2sin 在点()10，处的法线方程为 ______________________． 二．选择填空题（本题满分24分，每道小题4分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1． 极坐标系下的累次积分()⎰⎰θ π ρρθρθρθ cos 0 2 sin cos d f d ，在直角坐标系下的累次积分可 写为_____________ ． （A ）. ()⎰⎰-2 1 y y dx y x f dy ，； （B ）. ()⎰⎰-2 10 1 y dx y x f dy ，； （C ）. ()⎰⎰1 10 dy y x f dx ，； （D ）. ()⎰⎰-2 1 x x dy y x f dx ，． 2设()x y 1与()x y 2是方程()()0=+'+''y x Q y x P y 的_________，则()()x y C x y C y 2211+=（1C 与2C 为任意常数）是该方程的通解． （A ）．两个不同的解 ； （B ）．任意两个解； （C ）．两个线性无关的解 ； （D ）．两个线性相关的解． 3 二元函数⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =≠+=) 0,0(),(,0) 0,0(),(,2),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 （A ）极限存在； （B ）连续； （C ）偏导数存在； （D ）可微。 4 ．二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x ''存在，是),(y x f 在该点连续的

第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案

武汉大学数学与统计学院 2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题 （180学时） 一、（87'?）试解下列各题： 1、计算n →∞ 2、计算0ln(1)lim cos 1 x x x x →+-- 3、计算arctan d x x x ? 4、 计算4 x ? 5、计算 d x x e x +∞ -? 6、设曲线方程为sin cos 2x t y t =??=?，求此曲线在点4t π =处的切线方程。 7、已知2200d cos d y x t e t t t =??，求x y d d 8、设11x y x -=+，求() n y 二、（15分）已知函数3 2 (1) x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。 三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0 ()()d x f x g t t =? 1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导； 2、证明()f x 在1x =处右连续； 四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2 y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x 轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2 (08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴 所围图形面积最大。 五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f b b ξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b b ξ→

大学课程《高等数学B》期末试卷及参考答案

共 8 页 第 1 页 《高等数学B 》课程期末试卷 一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分3 6分) 1. 幂级数1(3)3 n n n x n ∞ =-⋅∑的收敛域为 ； 2. 设222 ()z y f x y =+-，其中()f u 可微， 则y z x x z y ∂∂+∂∂= ； 3. 曲线2 2 4x y z z x y ++=⎧⎨ =+⎩在点(1,1,2)处的法平面方程是 ； 4. 设C 为曲线22241 x y z z z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分ds z y x c 2 22++⎰= ； 5. 交换二次积分的次序⎰ ⎰ --x x x dy y x f 222 2 ),(dx = ； 6. 三次积分 12220 d )d x y x y z z ++⎰ ⎰ ⎰ 的值是 ； 7. 散度() 3(2,0,) div cos(2)x y y z π+-+=i j k ； 8. 已知第二型曲线积分 4124(4)d (65)d B n n A x xy x x y y y -++-⎰ 与路径无关，则n = ； 9.平面5431x y z ++=被椭圆柱面2 2 491x y +=所截的有限部分的面积为 . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分) 10．设(,)z z x y =是由方程1xy yz xz ++=所确定的隐函数，0x y +≠，试求2z x y ∂∂∂.

共 8 页 第 2 页 11．计算二重积分2 ()d d D x y x y +⎰⎰ ，其中区域{} 22(,)24D x y y x y y =≤+≤. 12．设立体Ω由曲面222 1x y z +-= 及平面0,z z ==围成，密度1ρ=，求它对z 轴 的转动惯量. 13. 计算曲面积分d S z ∑ ⎰⎰，∑为球面2222 x y z R ++=上满足0h z R <≤≤的部分.

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题 一。选择题（每题4分，共20分） 1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B） 2. 2.已知 $2x^2y=2$，求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。 3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1- x|)+C$。 4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。 5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$- F(x)-xF'(x)$。 二。填空：（每题4分，共20分）

1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|- 1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的 值为（未完成）。 2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^ 2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n- 1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。 3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则 $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。 4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若 $\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。 5.求 $\int\frac{x+1}{(x+2)(x^2+1)}dx$，答案为（未完成）。 三。解答题（每题5分，共20分） 1.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$，求 $F''(x)$。

临沂大学2021年《高等数学B》上学期期末试题

一、选择题 1、设C +⎰2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2222 -x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 2、若函数()f x 在（a,b ）内存在原函数，则原函数有（ ） A 、一个 B 、两个 C 、无穷多个 D 、都不对 3、若2 ()2x f x dx e C =+⎰ ，()f x =（ ） A 、2 2x e B 、24x e C 、2 x e C + D 、2x e 4、x xe dx -⎰=（ ） A 、x x xe e C ---+ B 、x x xe e C ---++ C 、x x xe e C --++ D 、 x x xe e C ----+ 5、设()P x 为多项式，n 为自然数，则()(1)n P x x dx --⎰（ ） A 、不含有对数函数 B 、含有反三角函数 C 、是初等函数 D 、是有理函数 6、211 f dx x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）、 A 、1f C x ⎛⎫ -+ ⎪⎝⎭ B 、1f C x ⎛⎫ --+ ⎪⎝⎭ C 、1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D 、1f C x ⎛⎫ -+ ⎪⎝⎭ 7、x x dx e e -+⎰ 的结果是（ ）、 A 、arctan x e C + B 、arctan x e C -+ C 、x x e e C --+ D 、ln()x x e e C -++ 二、填空题 1、⎰= （ ） 2、若()()F x f x '=，则()dF x ⎰= （ ） 3、若22()x f x dx x e C =+⎰，则()f x = ( ) 三、计算题 1、求不定积分2 2d 3x x x ⎛⎫ + ⎪⎝⎭ ⎰；

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分 22 π π - ⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2 3x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分）2 1 lim sin x x x →= . 4. （3分）3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2 ln(1).x x dx +⎰ 4. （6分）求 3 (1),f x dx -⎰ 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪ =+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=⎰ ⎰所确定,求.dy 6. （6分）设 2 ()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞⎛ ⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π⎛⎫=- ≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线32 32419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰ ⎰ （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 31 22+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第类间断点. 2．函数( )2 1ln x y +=，则='y . 3．= ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1= 在点⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为. 5．函数2 3 32x x y -=在[]4,1-上的最大值，最小值 . 6．=+⎰dx x x 2 1arctan . 二、 单项选择题（每小题4分，共20分）

高等数学大一期末试卷(B)及答案 (2)

高等数学大一期末试卷(B)及答案 (2) ___ 高等数学A（上）测试班级：29级工科各班 测试方式：闭卷 一。填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计9分） 1、f'(x)是可导函数f(x)在x点处取得极值的必要条件。 2、设确定函数，则t^2dx+y=tan(1+e)-etcottsec^2(1+et)。 3、∫dx/(x^2+2x+5)=arctan(1/x+1)+C。 二。单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。本大题共3小题，每小题3分，总计9分） 1、设f(x)=(4x^2+3ax+b)/(x-1)，若lim f(x)=1，则a=（B）。

A。1.B。2.C。3.D。4 2、下列结论正确的是（A）。 A。初等函数必存在原函数； B。每个不定积分都可以表示为初等函数； C。初等函数的原函数必定是初等函数； D。A,B,C都不对。 3、若∫f(t)dt=e^x，则f(x)=（A）。 A。e^(-x)。B。-e^(-x)。C。e^x。D。-e^x 三。解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分） 1、求极限lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x]。 解：(3分) lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x] lim(x→0) [(1/√(1-x^2))-1/(sin x)^2]/3 lim(x→0) [(1-x^2)/(√(1-x^2)(sin x)^2)]/6

lim(x→0) [(1-x^2)/(x^2)]/6 1/6 所以，lim(x→0) [(x-arcsin x)/sin^3 x] = 1/6.(7分) 2、y=ln(tan x)，求dy/dx。 解：(3分) dy/dx = d/dx[ln(tan x)] 1/tan x * sec^2 x sec^2 x/sin x 1+cos^2 x)/sin x 1/x) * (sin x/cos x + cos x/sin x) 1/x) * (1/cos x * tan x + cos x/sin x) 1/x) * (1/tan x + cos^2 x/sin xcos x) 1/x) * (1/tan x + cos x) 1/x) * (1/sin xcos x + cos x) 1/x) * (1/sin 2x + cos x) (5分) 四。解答下列各题（本大题共3小题，每小题8分，总计24分）

高等数学期末试卷B答案

参考答案（B ） 一、填空题： 1、（x-y ）2＋2y ; 2、);(12 2xdy ydx y x +-+ 3、;),(2110 1dy y x f dx x x ⎰⎰-+- 4、发散； 5、x c x x +-|cos |ln ； 二、选择题： 1、D ； 2、C ； 3、B ； 4、B ； 5、D 三、解： 212f ye xf x z y x +=∂∂ )2()2(222212212112f xe yf ye f xye f e f xe yf x y x z y x y x y x y x y x +-++++-=∂∂∂ 222212211)1()2(4f xye f e xy f e y x xyf y x y x y x +++-+-= 四、解： 令F(x,y,z)=1+--e xyz e z , xy e yz F F x z z z x -=-=∂∂， xy e z y x xyz x z yz x xyz f z x -+=∂∂+='∴32232 233232，132)1,1,1(-+='e f x 五、解： 用球面坐标 5 4sin 2001022πϕϕθππ== ⎰⎰⎰dr r r d d I 六、解： 由格林公式 1|3|)()(2)(21031022102210===--=-=-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x dx x dx y x dy y x dx dxdy y x I x x x x D 七、解： 22,2;1,;1,2-=∂∂-==∂∂==∂∂=z z R z z R y Q y Q x P x P 由高斯公式： ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ω πθ20101222r zdz rdr d zdv I πππ32]6121[2)1(21062410=-=-=⎰r r dr r r 。

高等数学B(1)学习通课后章节答案期末考试题库2023年

高等数学B(1)学习通课后章节答案期末考试题库2023年 1.已知某产品的边际成本函数为,当产量从6个单位增加到9个单位，成本的 增加量为[ ] 参考答案: 99 2.的单调区间 参考答案: 选择1 (-∞,1］###选择2 [1,2]###选择3 [2,+∞) 3.测试导入单选题25 一个奇函数和一个偶函数的乘积是偶函数 参考答案: 选择2 错误 4.测试导入单选题24 不是初等函数 参考答案: 选择1 正确 5.测试导入单选题22 是函数 参考答案: 选择2 错误 6.测试导入单选题21 定义在对称区间上的函数都能写成一个奇函数和一个偶 函数的和

参考答案: 选择1 正确 7.测试导入单选题20 下列函数是奇函数的是（） 参考答案: 选择3 8.测试导入单选题19 求的反函数 参考答案: 选择1 9.测试导入单选题18 已知, 求 参考答案: 选择2 10.测试导入单选题17 求函数的定义域() 参考答案: 选择3 11.测试导入单选题16 下列函数哪个是无界函数 参考答案: 选择4

12.测试导入单选题15 参考答案: 选择4 13.测试导入单选题14 某商品的需求函数为,供给函数为,求均衡价格 参考答案: 选择2 70 14.测试导入单选题13 某厂生产录音机的成本是每台40元，预计当以每台售 出，消费者每月购买,将该厂的月利润表示成价格的函数. 参考答案: 选择1 15.测试导入单选题12 拟建一个容积为v的长方体水池，设它的底为正方形， 如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数 参考答案: 选择3 16.测试导入单选题11 参考答案: 选择4 17.测试导入单选题10

电大高等数学B期末考试复习题含答案

高等数学（B ）（1）模拟练习题（一） 一、选择题 1.下列函数中，哪个函数是奇函数？ A ．)12sin()(++=x x x f B ．)1ln()(2++=x x x f C ．x e x x f x -=)( D ．x x x x f sin 1)(2⋅-= 2. 函数f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上连续的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3.下列结论正确的是（ ） A ． 无穷小量是很小的正数 B. 无限变小的变量称为无穷小量 C. 无穷小量是零 D. 零是无穷小量 4.函数y x x =-+2128在区间(,)-1010内满足（ ）。 A.单调上升； B.先单调下降再单调上升； C.先单调上升再单调下降； D.单调下降 5.下列凑微分正确的是（ ） A.)1 (ln x d xdx = B.x d x sin 112=- C. )1(12 x d dx x -= D.x d dx x = 二、填空题 1.已知函数f(x)=x+1,则f(2)=( ),f(x 2)= ( ) 2．函数121 2-=x y 的间断点是__________ 3．极限x x x )31(lim ++∞→的值为___________ 4.曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))的切线斜率为________ 5.⎰=-dx x 211__________ 三、判断题 1．函数在某点a 有定义，则该函数在点a 连续。 （ ） 2．导数概念与导函数概念是不同的。 ( ) 3．任何函数都存在反函数。 ( ）

4．函数)(x f 在区间有定义，则它在()b a ,上的极大值必大于它在该区间上的极小值。（ ） 四、计算题 1．函数23)(2+-= x x x f 的定义域 2.3 432lim 221++---→x x x x x 3. 求22)(x e x y +=的导数 4．x x x d )sin (⎰+ 5． dx e x ⎰1 6. 求曲线2y x =与x =2, y=0 所围成的图形的面积。 答案： 一、选择题 1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 二、 填空题 1. 3 12+x 2. 22± 3. 3e 4. 0()f x ' 5. 1ln 122 x C - -+ 三、判断题 1. 否 2. 是 3. 否 4. 否 四、计算题 1． 2≥x 或1≤x 2. 原式=2)3)(1()3)(1(lim 1-=++-+-→x x x x x 3. 22()(2)x x y x e x e '=++

《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期 高等数学B2本科期末考试试卷A 卷 (2)L x y dx ++⎰该曲线积分= C.6D.8 11)n n 的敛散性为．绝对收敛B.条件收敛二、填空题共5题;每小题

4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________.. 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角;则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=⎰⎰.. 三、解答题1-2小题每题8分;3-8小题每题9分;共70分 1、求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程.. 2、设2 2 (,),z f x y xy =-;其中f 具有连续的二阶偏导数;求2z x y ∂∂∂.. 3、求函数4242z x xy y =-+的极值.. 4、计算|1|D I x y dxdy =+-⎰⎰;其中[0,1][0,1]D =⨯.. 5、把二次积分4 2200 )dx x y dy +⎰化为极坐标形式;并计算积分值.. 62)n n -的收敛半径与收敛域74(2L xy y -的一段弧.. 82(xy dydz x ∑ +⎰⎰所围成的立体Ω的边界曲面西南科技大学高等数学选择题每小题3分;共1511100(,,n x y =1 9 9 0 0

000 123 x y z k ===令 ;代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分; 在点1;2;3处的切平面为2314x y z ++=-————----2分; 在点-1;-2;-3处的切平面为23140x y z +++=----————-2分.. 2、解： 122(3)z xf yf x ∂''=+∂分.. 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为0;0;1;1;-1;-1..3分 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==;在点0;0处2160AC B -=-<没有极值;3分 在点1;1和-1;-1处2320,0AC B A -=>>;所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-3分 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===⎰⎰⎰ ⎰分 分 分 .. 6、解：131lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+;所以收敛半径为3;收敛区间为323x -<-<;即15x -<<3分 当5x =时11313n n n n n n ∞ ∞===∑∑发散2分;当1x =-时11 (3)(1)3n n n n n n n ∞∞==--=∑∑收敛;2分因此原级数的收 敛域为[1,5)-..2分 7、解：42332,4, 24Q P P xy y Q x xy x y x y ∂∂=-=-==-∂∂;所以该曲线积分和积分路径无关..4分 1 142330 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-⎰ ⎰⎰（5分 8、解：由高斯公式得22322()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++⎰⎰⎰⎰⎰4分 由柱面坐标2 24 2 2 30028()3 r x y dxdydz d r dz ππ θΩ +== ⎰⎰⎰⎰⎰5分

西南科技大学高等数学期末试题第一套题答案

西南科技大学本科期末考试试卷 《 高等数学B1》（第1套） 参考答案及评分细则 一、填空题（每空3分，共15分） 1、答案：3 分析：易；考查知识点微分方程的阶。 2、答案：2 解 : 200lim x A A e dx +∞-→+∞=⎰⎰02lim 2A e x A -+∞→⋅-=2)22(lim 2=-=-+∞ →A A e 分析：易；考查知识点反常积分的计算方法。 3、答案：12s inx C x C -++ 分析：易；考查知识点原函数与不定积分的概念。 4、答案：dx xy x xy y dy ) cos(1)cos(1++-= 分析：中；考查复合函数微分法、隐函数微分法及在某点处的微分表达式。 5、答案： 23 2)1(61 t t + 分析：难；考查在参数方程形式的曲率计算。 二、选择题（每题3分，共15分） 1、答案：B 分析：易；考查变限定积分求导、特值代入法。 2、答案：A 分析：易；考查知识点利用定积分的定义求数列极限。 3、答案：C 分析：易；考查极限的运算、洛必达法则。

4、答案：C 分析：中；考查函数左右连续的定义及连续与左右连续的关系。 5、答案：B 分析：易；考查拐点的定义及判定条件。 三、解答题(每小题8分，共56分) 1、解：原极限 2222232000cos (-sin )-sin 1-cos 1=lim =lim =lim =sin 36x x x x x x x x x x x x x →→→分 分分分 分析：易；考查等价无穷小、罗比达法则。 2、解： 3232()()3232dy x x f dx x x --''=⋅++……………………...3分 22 3212arctan()32(32)x x x -=⋅++……………………………3分 03|arctan134 x dy dx π=∴=⋅=……………………………...2分 分析：易；考查复合函数的导数及利用链式法则求导。 3、解：设ln y x =上一点(,ln )x x ，切线1ln ()Y x X x x -=-与2,6x x ==交点 11(2,ln (2)),(6,ln (6))x x x x x x +-+- 2分 切线与直线2,6x x ==和曲线ln y x =所围成的图形面积是 6212[2ln (82)]ln A x x xdx x =+-+⎰ 3分 设1()ln (4)f x x x x =+-得214()04f x x x x '=-=⇒= 这就是使得A 取得最小值的点，此时切线方程是12ln 2(4)4 y x -=- 3分 分析：难；考查切线方程与最值的综合运用。 4、解：原式3'2'3' 2231 tan (sec )(sec 1)(sec )sec sec 3xd x x d x x x C ==-=-+⎰⎰ 分析：易；考查直接积分及凑微分法。

高等数学大一期末试卷(B)及答案

高等数学大一期末试卷(B)及答案 中国传媒高校 2009-2010学年第一学期期末考试试卷（B 卷） 及参考解答与评分标准 考试科目：高等数学（上）考试班级：级工科各班 考试方式：闭卷命题老师： 一填空题（将正确答案填在横线上。本大题共小题，每小题分，总计分）、0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件。 、设)20() 1tan(cos ln π >b a ）。 证：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续。（分）又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f 。（分） 若0)(=+b a f ，则结论成立。（分） 若0)(+。 证：令x x x x f 2tan sin )(-+=，（分） 2sec cos )(2 -+='x x x f ， )1sec 2(sin sec tan 2sin )(3 2-=+-=''x x x x x x f 。 明显，当2 0π ''x f 。 （分）

)(x f '∴在)2,0(π 内单调增加。又0)0(='f ， )(x f '∴在)2 ,0(π 内大于零。 )(x f ∴在)2,0(π 内单调增加。而)0(f ， ) (x f ∴在 )2 ,0(π 内恒大于零。 （分） 即当2 0π -+=x x x x f ， 即 . 2tan sin x x x >+。 （分） 五解答下列各题（本大题共小题，每小题分，总计分）、试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值？ 它是极大值还是微小值？并求出此极值。 解：x x a x f 2cos 32 cos )(+='，令0)(='x f ，则

武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案

武汉理工大学 2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（B 卷） 考生姓名： 班级： 学号： 一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满 分24分） ),(y x f 在 1、二元函数点) ,(00y x 处两个偏导 数都存在，是),(y x f 在该点可微的（ ）． （A ）充分而非必要条件 （B ）既非充分又非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）必要而非充分条件 2、设),(y x f 是连续函数，则0 (,)(0)a x I dx f x y dy a =>⎰ ⎰=（ ）． （A ）0 (,)a y dy f x y dx ⎰ ⎰ （B ）0(,)a a y dy f x y dx ⎰⎰ （C ） (,)a y a dy f x y dx ⎰ ⎰ （D ）0 (,)a a dy f x y dx ⎰⎰ 3、下列级数条件收敛的是（ ）． （A ） n n n 1 ) 1(1∑∞ =- （B ）2 11)1(n n n ∑∞ =- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）)1(1)1(1 +-∑∞ =n n n n 4、若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛。 （A ） )001.0(1 +∑∞ =n n u （B ）∑∞ =1n n u （C ） ∑∞ =+1 1000n n u （D ）∑ ∞ =11000 n n u 5、以12cos ,sin y x y x ==为特解的二阶线性齐次微分方程是（ ） （A ）''0y y -= （B ）'''0y y += （C ）''0y y += （D ）'''0y y -= 6、设{ }2 22:),(a y x y x D ≤+=，则当=a （ ）时，⎰⎰ =--D dxdy y x a π2222 （A ）1 （B ）2 （C ）33 （D ）3 2 3 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1、 设sin xy z e =，则dz = 。 2、 设{}(,):01,1D x y x x y =≤≤≤≤，则 =⎰⎰-D y dxdy e 2 。 3、 曲线族x e x c c y 221)(+=中满足条件001 0,'2 x x y y ==== 的曲线是 ．

2023年电大高等数学B期末考试复习题含答案

高等数学（B ）(1）模拟练习题（一) 一、选择题 1.下列函数中，哪个函数是奇函数？ A ．)12sin()(++=x x x f B.)1ln()(2++=x x x f C.x e x x f x -=)( Ｄ.x x x x f sin 1)(2⋅-= 2. 函数f （x)在[a,b]上有界是ｆ（x)在[a,ｂ]上持续旳（ ) A. 充足条件 Ｂ. 必要条件 C. 充要条件 D. 无 关条件 3.下列结论对旳旳是( ） A. 无穷小量是很小旳正数 B. 无限变小旳变量称为无穷小量 Ｃ. 无穷小量是零 Ｄ. 零是无穷小量 ４．函数y x x =-+2128在区间(,)-1010内满足( ）。 A.单调上升； B ．先单调下降再单调上升； Ｃ.先单调上升再单调下降； D.单调下降 5.下列凑微分对旳旳是（ ） A ．)1 (ln x d xdx = B ．x d x sin 112=- C ． )1(12 x d dx x -= D ．x d dx x =

二、填空题 1.已知函数f （x)＝x+1,则f(２)=( ),f(x 2)= ( ） 2．函数121 2-=x y 旳间断点是__________ 3.极限x x x )31(lim ++∞→旳值为_＿_______＿＿ 4.曲线y=f （x)在点（x 0，ｆ(ｘ0))旳切线斜率为____＿＿＿_ ５．⎰=-dx x 211＿__＿__＿___ 三、判断题 1.函数在某点a 有定义，则该函数在点a 持续。 ( ） 2．导数概念与导函数概念是不同样旳。 ( ) ３.任何函数都存在反函数。 ( ) 4．函数)(x f 在区间有定义，则它在()b a ,上旳极大值必不不大于它在该区间上旳极小值。 ( ) 四、计算题 1.函数23)(2+-= x x x f 旳定义域 2.3 432lim 221++---→x x x x x ３. 求2 2)(x e x y +=旳导数 4.x x x d )sin (⎰ +

理工大学高数B2卷B及答案

2013 2 高等数学B2（ B 卷） 校区 校区2012级化工、国贸专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 微分方程6y x ''=的通解为_________. 2. 已知向量a =( -2, c, 6)与向量b =( 1, 4, -3)垂直，则常数c=______. 3. 设二次积分I= ⎰⎰ 1 x dy )y ,x (f dx ，则交换积分次序后得I=_________. 4. 设L 是圆周2 2 1x y +=，则曲线积分 2 2(1)L x y ds ++⎰= 。 5. 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π]上表达式为 ⎩ ⎨⎧π<≤<≤π-=x 0,10x ,x )x (f 则f(x)的傅里叶级数的和函数在x=0处的值为_________. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1微分方程ln 0xy y y '-=的通解是（ ） ()A arctan x y Ce = ； ()B x y e C =+ ； ()C Cx y e = ； ()D ln y Cx = 2. 函数(,)f x y = 0，0）处（ ） 。 ()A 偏导数存在 ()B 连续但偏导数不存在 ()C 可微 ()D 连续且偏导数存在 3．过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为（ ） ()A .211 123 x y z ++-== -- ()B 112 103 x y z -+-== - ()C 211123x y z --+==- ()D 112 103 x y z +-+== - 4下列条件收敛的无穷级数是 ()A 31(1)n n n ∞ =-∑ ()B 1(1)1n n n n ∞=-+∑ ()C 1 (1)2n n n ∞ =-∑ ()D 1n n ∞=∑5．下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为（ ）。 () A (2)d (2)d L x y x x y y -+-⎰ () B (2)d (2)d L x y x y x y ++-⎰ ()C (2)d (2)d L x y x x y y +++⎰ () D (2)d (2)d L x y x x y y ++-⎰. 三、计算题（每题8分，共64 分） 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:

2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷B(含答案)

第1页 共2页 2020-2021《高等数学（下）》期末课程考试 试卷B 适用专业：工科专业等 考试日期： 试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分 一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共10分） 1、若函数(,)0D f x y dxdy =⎰⎰则在D 上(,)0f x y ≡。 （ ） 2、若级数1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠。 （ ） 3 、函数z =(0,0)连续但偏导数不存在。 （ ） 4、L 为平面上任一闭区域的边界，则曲线积分L ydx xdy +⎰=0。 （ ） 5、函数4422(,)2f x y x y x y xy =+---的极小值为-2。 （ ） 二、填空题：（共8小题，每小题2分，共16分） 1、L 为抛物线2y x =上点(0,0)与点(1,1) 之间的一段弧，则L 等于 。 2、改变累次积分次序：2 22 (,)y y dy f x y dx ⎰⎰等于 。 3、22 xy dx x ydy +的原函数是 。 4、球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程为 。 5、设S 为柱面222x y R +=被平面0z =和z H =所截取的部分，则22 S dS x y +⎰⎰ 等 于 。 6、函数2y z xe =在点(1,0)P 处沿点(1,0)P 到点(2,1)Q -的方向的方向导数为 。 7、设()f x 是以2π为周期的连续函数，且0 1 ()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞ == ++∑，则n a = ，n b = 。 8、过(1,2,3),(4,0,5)两点的直线方程是 。 三、计算题：（共5小题，每小题9分，共45分） 1、已知：sin ,u z e v =其中,u xy v x y ==+，求,z z x y ∂∂∂∂。 2、求函数33z x y =的所有二阶偏导数。 3、利用格林公式计算曲线积分：22()(sin )L x y dx x y dy --+⎰，其中L 是在圆周

高等数学B试卷 答案

2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷 一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分） 1． =⋅+∞→x x x x 2) sin(lim 22 . 2 . =+-⎰-2 2 21) 1(dx e e x x x 3 . 级数 +⋅-+-⋅+⋅-+n n n )2 1()1()21(31)21(212113 2的和是 . 4. 微分方程 1)1(2 )(2)('=-=-⋅⎩ ⎨ ⎧y x x y x y x 的解是 5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ； E 为三阶单位矩阵 , 则 E A A ++22 = 6. 有两个箱子, 第一个箱子里有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子里有4个新球, 5个旧球 . 现从第一个箱子里随 机地取出一个球放到第二个箱子里, 再从第二个箱子里取出一个球, 若已知从第二个箱子里取出的球是新球, 则从第一个箱子里取出的是 新球的概率为 二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．函数 x e x x f 1)(-⋅= 有 ( ) 条渐近线 . （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 2. 下列级数中 ，（ ）是条件收敛级数 . （A ） ∑+∞ =⋅-1)1(n n n n （B ） ∑+∞ =+-1 1 2)1(n n n （C ） ∑ +∞ =-1 )1(n n n （D ） ∑+∞ =⋅-1 2sin )1(n n n n . 3．设函数 )(x f y = 在 [ 0 ，1 ] 上可导. 从定性上看，下列三个图像按 ( ) 的排序，依次分别是 )(x f y = 、)('x f y = 和 dt t f y x )(0⎰ = 的函数图像 . （A ） 321L L L 和、 （B ） 132L L L 和、 （C ） 213L L L 和、 （D ） 123L L L 和、 4. 设 n 维行向量 )2 1,0,,0,21(⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α, 矩阵 A = E + 2ααT , B = E ααT - , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则 B = ( ) （A ）. O （B ） E （ C ） E - （ D ） ααT E +

高等数学B-下册-历年考试题目及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2004学年第2学期 考试科目 高等数学（经济类） 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟 学号 姓名 专业年级 一、填空题（每空2分） 1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim 2x f x f x x →+--=，则1 1 x y f x ==∂∂= 。 2．设(){} 2 2,4D x y x y y = +≤，则(),D f x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为 。 3．() 200 sin lim x y xy x →→= 。 4．级数1 025n n +∞ =⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ∑= 。 5．设2 x xy z y e =+，则 () 1,2z y ∂∂= 。 6．320y y y '''-+=的通解为 。 7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是 。 8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为 。 9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，处的全微分为 。 10. 若级数2 11 p n n ∞ +=∑ 发散，则p ≤ 。 二、选择题（每题3分） 1. 若lim 0n n u →∞ =，则级数1n n u ∞ =∑（ ） A 条件收敛 B 发散 C 不能确定 D 收敛 2. 设22D 14x y ≤+≤： ，则二重积分D dxdy ⎰⎰=（ ） A π B 4π C 3π D 15π

3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（ ） () 11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭ 4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值 5. 若级数1 n n u ∞ =∑及1 n n v ∞ =∑都发散，则（ ） A ()1n n n u v ∞ =+∑必发散 B ()1n n n u v ∞ =∑必发散 C ()1 n n n u v ∞ =+∑必发散 D ()22 1 n n n u v ∞ =+∑必发散 三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz 2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求 z x ∂∂ 3. 求级数1 3n n n x n ∞ =⋅∑的收敛域 4. 将函数()1 4f x x = -展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。 四、应用题（每题10分） 1. 求曲线ln y x =在区间（2，6）内一点，使该点的切线与直线2,6x x ==以及ln y x =所围成的平面图形面积最小。 2. 某公司通过电台及报纸两种方式做销售某产品的广告，根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间有如下关系式： 221212121514328210R x x x x x x =++--- （1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； （2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。 五、证明题（每题5分） 设()f x 在[],a b 上连续，利用二重积分证明：()()()2 2b b a a f x dx b a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦ ⎰⎰，其中 等号仅当()f x 为常数时成立。