第七章 学案39 数学归纳法

学案39 数学归纳法

导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

自主梳理 1．归纳法

由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．

2．数学归纳法

设{P n }是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{P n }对一切正整数成立．

3．数学归纳法证题的步骤

(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值__________时命题成立．

(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．

自我检测

1．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋

1＝1－a n ＋2

1－a

(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端

计算所得的项为( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

2．如果命题P (n )对于n ＝k (k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又若P (n )对于n ＝2时成立，则下列结论正确的是( )

A ．P (n )对所有正整数n 成立

B ．P (n )对所有正偶数n 成立

C ．P (n )对所有正奇数n 成立

D ．P (n )对所有大于1的正整数n 成立

3．(2011·台州月考)证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋1

2

n 1)，当n ＝2时，中间式子等

于( )

A ．1

B ．1＋1

2

C ．1＋12＋13

D ．1＋12＋13＋1

4

4．用数学归纳法证明“2n >n 2

＋1对于n >n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3

＋(n ＋2)3 (n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )

A ．(k ＋3)3

B ．(k ＋2)3

C ．(k ＋1)3

D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3

探究点一 用数学归纳法证明等式

例1 对于n ∈N *，用数学归纳法证明：

1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝1

6

n (n ＋1)(n ＋2)．

变式迁移1 (2011·金华月考)用数学归纳法证明：

对任意的n ∈N *,1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋1

2n .

探究点二 用数学归纳法证明不等式

例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式???

?1＋13????1＋15…????1＋12n －1>2n ＋12

均成立．

变式迁移2 已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当x >－1时，(1＋x )m ≥1＋mx .

探究点三 用数学归纳法证明整除问题

例3 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －

1能被a 2＋a ＋1整除．

变式迁移3 用数学归纳法证明：当n 为正整数时，f (n )＝32n ＋

2－8n －9能被64整除．

从特殊到一般的思想

例 (14分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，

数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－1

2

b n .

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；

(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1

b n

与S n ＋1的大小，并说明理由．

【答题模板】

解 (1)由已知得?????

a 2＋a 5＝12

a 2a 5

＝27，又∵{a n }的公差大于0，

∴a 5>a 2，∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－3

3

＝2，a 1＝1，

∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.[2分]

∵T n ＝1－12b n ，∴b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－1

2

b n －1，

∴b n ＝T n －T n －1＝1－1

2

b n －????1－12b n －1， 化简，得b n ＝1

3b n －1，[4分]

∴{b n }是首项为23，公比为1

3

的等比数列，

即b n ＝23·????13n －1＝2

3

n ，

∴a n ＝2n －1，b n ＝2

3

n .[6分]

(2)∵S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2

，1b n ＝3n 2.

以下比较1

b n

与S n ＋1的大小：

当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1

b 2

当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，∴1b 3

b 4

>S 5.

猜想：n ≥4时，1

b n

>S n ＋1.[9分]

下面用数学归纳法证明：

①当n ＝4时，已证．

②假设当n ＝k (k ∈N *

，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k

2

>(k ＋1)2.[10分]

那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1

＝3k ＋12＝3·3

k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k

＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，1

b n >S n ＋1也成立．[12分]

由①②可知n ∈N *，n ≥4时，1

b n >S n ＋1都成立．

综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n

b n

>S n ＋1.[14分]

【突破思维障碍】 1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．

2．数列是定义在N *上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．

【易错点剖析】

1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．

2．在进行n ＝k ＋1命题证明时，一定要用n ＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．

1．数学归纳法：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N *

，k ≥n 0)时命题成立，并证明当n ＝k ＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n 取第一个值n 0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k ＝n 0时命题成立，由假设合理推证出n ＝k ＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n 0＝1成立，又证明了n ＝k ＋1也成立，这就一定有n ＝2成立，n ＝2成立，则n ＝3成立，n ＝3成立，则n ＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n ≥n 0的整数就都成立了．

2．(1)第①步验证n ＝n 0使命题成立时n 0不一定是1，是使命题成立的最小正整数． (2)第②步证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )

A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1命题成立

B ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋1命题成立

C ．假设n ＝2k ＋1 (k ∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1命题成立

D ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋2命题成立

2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

n

2，则( )

A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1

3

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1

4

3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( )

A ．P (n )对n ∈N *成立

B ．P (n )对n >4且n ∈N *成立

C ．P (n )对n <4且n ∈N *成立

D ．P (n )对n ≤4且n ∈N *不成立

4．(2011·日照模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22

，则当n ＝k ＋1时左端

应在n ＝k 的基础上加上( )

A ．k 2＋1

B ．(k ＋1)2

C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22

D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 5．(2011·湛江月考)已知f (x )是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若f (k )≥k 2成立，则f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，下列命题成立的是( )

A ．若f (3)≥9成立，且对于任意的k ≥1，均有f (k )≥k 2成立

B ．若f (4)≥16成立，则对于任意的k ≥4，均有f (k )

C ．若f (7)≥49成立，则对于任意的k <7，均有f (k )

D ．若f (4)＝25成立，则对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立 二、填空题(每小题4分，共12分)

6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2 (n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________．

7．(2011·南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >13

24

的过程中，由n

＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是______________．

8．凸n 边形有f (n )条对角线，凸n ＋1边形有f (n ＋1)条对角线，则f (n ＋1)＝f (n )＋________. 三、解答题(共38分)

9．(12分)用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1

2

＋n (n ∈N *)．

10．(12分)(2011·新乡月考)数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1

a n

)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用

数学归纳法证明．

11．(14分)(2011·郑州月考)已知函数f (x )＝1x 2e －1

|x |

(其中e 为自然对数的底数)．

(1)判断f (x )的奇偶性；

(2)在(－∞，0)上求函数f (x )的极值；

(3)用数学归纳法证明：当x >0时，对任意正整数n 都有f (1x

)

n .

学案39 数学归纳法

自主梳理

1．一般结论 完全 不完全 2.(1)P 1 P 0 (2)P k P k ＋1 3．(1)n 0 (n 0∈N *) (2)n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *) n ＝k ＋1 自我检测

1．C [当n ＝1时左端有n ＋2项，∴左端＝1＋a ＋a 2.]

2．B [由n ＝2成立，根据递推关系“P (n )对于n ＝k 时成立，则它对n ＝k ＋2也成立”，可以推出n ＝4时成立，再推出n ＝6时成立，…，依次类推，P (n )对所有正偶数n 成立”．]

3．D [当n ＝2时，中间的式子 1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14

.] 4．C [当n ＝1时，21＝12＋1；

当n ＝2时，22<22＋1；当n ＝3时，23<32＋1；

当n ＝4时，24<42＋1.而当n ＝5时，25>52＋1，∴n 0＝5.] 5．A [假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．]

课堂活动区

例1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

证明 设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1. (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立； (2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时等式成立， 即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1 ＝1

6

k (k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1 ＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋1

2(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝1

6

(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立． 变式迁移1 证明 (1)当n ＝1时，

左边＝1－12＝12＝1

1＋1

＝右边，

∴等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k .

则当n ＝k ＋1时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2

＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2

＋…＋12k ＋1

2k ＋1＋????1k ＋1－12k ＋2

＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2

＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，

即当n ＝k ＋1时，等式也成立，

所以由(1)(2)知对任意的n ∈N *等式都成立．

例2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．

证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝5

2

.

∵左边>右边，∴不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，

即????1＋13????1＋1

5…????1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，

????1＋13????1＋15…????1＋12k －1???

?1＋

12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1

>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1

＝2(k ＋1)＋12.

∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 变式迁移2 证明 (1)当m ＝1时，原不等式成立； 当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ， 因为x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立； (2)假设当m ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即(1＋x )k ≥1＋kx ，则当m ＝k ＋1时， ∵x >－1，∴1＋x >0.

于是在不等式(1＋x )k ≥1＋kx 两边同时乘以1＋x 得， (1＋x )k ·(1＋x )≥(1＋kx )(1＋x )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2 ≥1＋(k ＋1)x .

所以(1＋x )k ＋

1≥1＋(k ＋1)x ，

即当m ＝k ＋1时，不等式也成立．

综合(1)(2)知，对一切正整数m ，不等式都成立． 例3 解题导引 用数学归纳法证明整除问题，由k 过渡到k ＋1时常使用“配凑法”．在证明n ＝k ＋1成立时，先将n ＝k ＋1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，

最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得n ＝k ＋1时也成立．

证明 (1)当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1能被a 2＋a ＋1整除． (2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时， a k ＋1＋(a ＋1)2k －

1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时， a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1

＝a ·a k ＋1＋a ·(a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －

1

＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －

1，

由假设可知a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －

1]能被a 2＋a ＋1整除，

∴a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋

1也能被a 2＋a ＋1整除， 即n ＝k ＋1时命题也成立．

综合(1)(2)知，对任意的n ∈N *命题都成立．

变式迁移3 证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝34－8－9＝64， 命题显然成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，

f (k )＝32k ＋

2－8k －9能被64整除． 则当n ＝k ＋1时， 32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)

即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1) ∴n ＝k ＋1时命题也成立．

综合(1)(2)可知，对任意的n ∈N *，命题都成立． 课后练习区

1．D [A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数．] 2．D

3．D [由题意可知，P (n )对n ＝3不成立(否则P (n )对n ＝4也成立)．同理可推P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立．]

4．D [∵当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，

左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.] 5．D [f (4)＝25>42，∴k ≥4，均有f (k )≥k 2. 仅有D 选项符合题意．] 6．2k ＋1

解析 ∵当n ＝k ＋1时，

左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，

∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添加的代数式为(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.

7.1

(2k ＋1)(2k ＋2)

解析 不等式的左边增加的式子是 12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 8．n －1

解析 ∵f (4)＝f (3)＋2，f (5)＝f (4)＋3， f (6)＝f (5)＋4，…，∴f (n ＋1)＝f (n )＋n －1.

9．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1

2

＋1，

∴32≤1＋12≤3

2

，命题成立．(2分)

当n ＝2时，左边＝1＋22＝2；右边＝12＋2＝5

2

，

∴2<1＋12＋13＋14<5

2

，命题成立．(4分)

(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，

即1＋k 2<1＋12＋13＋…＋12k <1

2＋k ，(6分)

则当n ＝k ＋1时，

1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12

k ＋1＝1＋k ＋12.(8分) 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题也成立．(10分)

由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．(12分) 10．解 ∵a n >0，∴S n >0，

由S 1＝12(a 1＋1

a 1)，变形整理得S 21＝1， 取正根得S 1＝1.

由S 2＝12(a 2＋1

a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得

S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，

变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.

同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n .(4分) 用数学归纳法证明如下：

(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (6分)

(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，

S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k )

＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k )． 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．(11分)

由(1)、(2)可知，对一切n ∈N *，S n ＝n 都成立． (12分)

11．(1)解 ∵函数f (x )定义域为{x ∈R |x ≠0}

且f (－x )＝1(－x )2

1

x

e --＝1x 21

x e -＝f (x )，

∴f (x )是偶函数．(4分)

(2)解 当x <0时，f (x )＝1

x 21

x e ，

f ′(x )＝－2x 31

x e ＋1x 21

x e (－1

x

2)

＝－1

x

41

x e (2x ＋1)，(6分)

令f ′(x )＝0有x ＝－1

2

，

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

由表可知：当x ＝－12

时，f (x )取极大值4e －

2，

无极小值．(8分)

(3)证明 当x >0时f (x )＝1x 21

x e -，∴f (1x )＝x 2e －

x .

考虑到：x >0时，不等式f (1x

)

n ?x n

所以只要用数学归纳法证明不等式(ⅰ)对一切n ∈N *都成立即可． ①当n ＝1时，设g (x )＝e x －x (x >0)，

∵x >0时，g ′(x )＝e x －1>0，∴g (x )是增函数， 故g (x )>g (0)＝1>0，即e x >x (x >0)．

所以当n ＝1时，不等式(ⅰ)成立．(10分)

②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式(ⅰ)成立， 即x k

当n ＝k ＋1时，设h (x )＝(k ＋1)！·e x －x k ＋

1(x >0)， h ′(x )＝(k ＋1)！e x －(k ＋1)x k ＝(k ＋1)(k ！e x －x k )>0，

故h (x )＝(k ＋1)！·e x －x k ＋

1(x >0)为增函数， ∴h (x )>h (0)＝(k ＋1)！>0，

∴x k ＋

1<(k ＋1)！·e x ，

即n ＝k ＋1时，不等式(ⅰ)也成立，(13分) 由①②知不等式(ⅰ)对一切n ∈N *都成立，

故当x >0时，原不等式对n ∈N *都成立．(14分)

《数学归纳法》导学案

第5课时数学归纳法 1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题. 多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的. 问题1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件 (1); (2). 问题2:数学归纳法:证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行 (1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立; (2)(归纳递推)假 设. 问题3:数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可. 问题4:在证明过程中要防范以下两点 (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求. (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法. (n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4) 2 (). A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得(). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

数学归纳法教学设计与反思

数学归纳法教学设计与反思 长春市十一高中杨君 一、教学内容解析 就本节课的题目而言，它有两个意思，一个是归纳法，另一个是数学归纳法。归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，是现实生活中人们自觉或不自觉普遍运用的方法，特别是不完全归纳法所得到的命题虽然不一定成立因而并不能作为一种论证方法，同时也应该看到不完全归纳法是数学中普遍存在的一种方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，具有很好的创造性。在科学发现中也是如此。 数学归纳法呢？它是证明与正整数n(n取无限个值)有关命题的重要工具，是一种重要的数学思想方法．其理论依据是归纳公理(即设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合)和最小数原理(即自然数集的任何非空子集必有一个最小数)，其实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程( )真? ( +1)真? ( +2)真?…用具有高度代表性、概括性的( )真? ( +1)真来代替，而核心与关键是如何利用归纳假设和递推关系．数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”。 二、教学目标设置 1、知识和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。 2、过程与方法目标 通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

电阻导学案1

《电阻》导学案 编写人：徐寿浩审核人：_______________ 编写时间：2013年10月 九（）班 ___ 组组名：______________ 姓名：__________ 【目标导引】： 1.知道什么是电阻，知道电阻的单位及其换算。 2.探究理解电阻的大小与导体的材料、长度、横截面积、温度有关。 前置测评： 1、什么叫导体： 导体容易导电是因为： 2、什么叫绝缘体： 绝缘体不容易导电是因为： 【学习过程】： 目标一：. 知道什么是电阻，知道电阻的单位及其换算。 活动一：阅读教材63--64页，回答下列问题。 自主评价： 1、电阻的定义： 2、电阻的符号,, 电阻的单位，符号 2Ω= KΩ= MΩ 3KΩ= MΩ= Ω 3、定值电阻的电路符号： 目标二：.探究电阻的大小与导体的材料、长度、横截面积、温度有关。 活动二：探究电阻的大小与导体的材料有关。 一、选用电阻定律实验器上的1、3号导线，分别接入电路，观察灯泡的亮度和电流 表的变化情况，得出结论：1、观察：1、3号导线的材料（相同、不同），长度（相同、不同），横截面积（相同、不同），温度（相同、不同）。2、实验：分别将1、3号导线接入电路，观察灯泡的亮度和电流表的变化情况： 你观察到的现象是： 3、由现象你得出的结论是： 活动三：探究电阻的大小与导体的长度有关。 二、选用电阻定律实验器上的3号导线，3、4号导线，分别接入电路，观察灯泡的 亮度变化情况，得出结论： 1、观察：3号导线，3、4号导线的材料（相同、不同），长度（相同、不同），横截面积（相同、不同），温度（相同、不同）。 2、实验：分别将3号导线， 3、4号导线接入电路，观察灯泡的亮度和电流表的变化情况： 你观察到的现象是： 3、由现象你得出的结论是： 4、将一个线头在3号导线上滑动，观察灯泡的亮度变化情况： 你观察到的现象是： 思考：产生这种现象的原因是： 活动四：探究电阻的大小与导体的横截面积的有关。 三、选用电阻定律实验器上的3、5号导线，分别接入电路，观察灯泡的亮度变化情 况，得出结论： 1、观察：3、5号导线的材料（相同、不同），长度（相同、不同），横截面积（相同、不同），温度（相同、不同）。 2、实验：分别将 3、5号导线接入电路，观察观察灯泡的亮度和电流表的变化情况：你观察到的现象是： 3、由现象你得出的结论是：

高中数学数学归纳法教案新人教A版选修

第一课时 4.1 数学归纳法 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备： 1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明. 3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ?+?+?+++= 21()6 n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法的应用： ① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n - +-+???+-=++??+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？ 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除. 分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·y k =x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ). ③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点， 求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分. 分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平 面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－ (k +1)+2. 2. 练习： ① 求证: 11(11)(1)(1)321 n ++???+-g g n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明： （Ⅰ）2274297n n --能被264整除； （Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数） ③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在， 求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.

《电 阻》导学案

见《导学测评》P18 第3节电阻 1.经历观察电阻对电路的影响,讨论电阻的作用;知道电阻是导体本身的一种性质。掌握电阻的单位及其换算。 2.重点:电阻的大小与导体的长度、横截面积等因素的关系的探究过程。 3.在探究决定电阻大小的因素的过程中,体验用控制变量法来研究物理问题。 4.区分半导体和超导现象,体验电阻在日常生活中的应用,感受科学技术给人类带来的便捷。 一、电阻 1.小实验:在课本中图16.3-1的装置中接入电流表,把长度、粗细相同的铜丝和镍铬合金丝分别连入电路,闭合开关,观察电路中灯泡的亮度和电流表的示数。 (1)观察到的现象:当接入铜丝时,灯泡较亮,电流表示数较大;当接入镍铬合金丝时,灯泡较暗,电流表的示数较小。由此说明,在相同的电压下,通过铜丝的电流比通过镍铬合金丝的电流大。 (2)出现以上现象的原因是什么呢? 答:铜丝和镍铬合金丝都是导体,虽然容易导电,但对电流也有一定阻碍作用。在相同的电压下,通过铜丝的电流较大,表明铜丝对电流的阻碍作用较小;通过镍铬合金丝的电流较小,表明镍铬合金丝对电流的阻碍作用较大。 2.在物理学中,用电阻来表示导体对电流阻碍作用的大小。电阻是导体本身的一种性质。导体的电阻通常用字母R 表示,电阻的国际单位是欧姆,简称欧,符号是Ω。比较大的电阻的单位有千欧(kΩ)、兆欧(MΩ)。它们之间的换算关系是1 MΩ= 103kΩ=106Ω,1 kΩ=103Ω。 3.在电子技术中要经常用到具有一定电阻值的元件——电阻器,也叫定值电阻,简 称电阻,在电路图中用表示。 二、决定电阻大小的因素 4.将两根粗细相同、长度不同的镍铬合金丝分别接入同一个电路中,观察并比较电流表的示数,你有什么发现?能得出什么结论? (1)现象:当接入较短的镍铬合金丝时电流表示数较大,说明电路中的电流较大;当接入较长的镍铬合金丝时电流表示数较小,说明电路中的电流较小; (2)结论:粗细相同的镍铬合金线,较短的电阻较小,较长的电阻较大。说明导体的电阻大小跟导体的长度有关。 5.将两根长度相同、粗细不同的镍铬合金丝分别接入同一个电路中,观察并比较电流表的示数,你有什么发现?能得出什么结论? (1)现象:当接入较粗的镍铬合金丝时电流表示数较大,说明电路中的电流较小;当接入较细的镍铬合金丝时电流表示数较小,说明电路中的电流较小;

数学归纳法教学设计电子教案

数学归纳法教学设计

授课日期： 2016 年 4 月 8 日授课班级：高二年级2 班

【教学难点】 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性； （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确. 教法、学法分析 教法： 学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的，通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤，尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中，类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 学法： 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行： 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 教学资源 导学案、PPT 教学过程 教学环 节 教师活动学生活动设计意图 课前复习准备 1、布置导学案内容; 2、批改纠正学生出现的错误; 3、及时了解学生学习情. 完成学案内容 1、归纳推理： 2、回忆等差数列,等比数 列的通项公式；思考等 差、等比数列通项公式的 得出过程，你能证明该公 式吗？ 3、已知数列{}n a中， 1 1 = a, ) (* + ∈ + =N n a a a n n n2 2 1 ， 试猜想这个数列的通项公 式并证明你的猜想. 复习公式及 其得出过 程，为本节 学习做好铺 垫. 使学生发现 不能解决的 问题，激发 学生学习新 知的愿望. 创设问题情景，引出新课问题情景：引导学生共同回顾学案 第3小题数列{}n a通项公式的得出过 程，提问：你的猜测正确吗？如何证 明？ 学生回忆第3小题数列 {} n a通项公式的得出过 程，并思考老师的问题. 发现问题， 突出矛盾． 合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏. 引导学生共同探讨多米诺骨牌全 部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; 学生类比多米诺骨牌依顺 序倒下的原理，探究出证 明有关正整数命题的方 播放视频活 跃课堂氛 围，激发学 生的兴趣. 提 出 问 分 析 问 猜想与 置疑 论证 观察 情景 应用

四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 数学归纳法

§2.3.1 数学归纳法 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.数学归纳法中递推思想的理解. 【学习重点】数学归纳法的原理 【学习难点】数学归纳法的操作步骤及应用 【课前预习】 【预习自测】 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值__________________时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k(k≥n o,k∈N+)时命题成立，证明当_________________时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从___________________________开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 【我的疑问】 【课内探究】 探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 探究教材69页的证明（*）

新知：数学归纳法两大步： （1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立; （2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 试试：你能证明数列的通项公式1n a n =这个猜想吗? 反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立. ※ 典型例题 例1 用数学归纳法证明 如果{a n }是一个等差数列，公差为d ，那么1(1)n a a n d =+-对一切n N +∈都成立 变式：用数学归纳法证明：首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是：11n n a a q -= 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 例2用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6n n n n n N +++++ +=∈ 变式：用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n +++ +-= 小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. 【当堂检测】

人教版数学高二学案2.3数学归纳法

学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 知识点数学归纳法 对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0. 思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？ 思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？ 梳理(1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与__________n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； ②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)数学归纳法的框图表示

类型一 用数学归纳法证明等式 例1 (1)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________． (2)用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． (3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1. 类型二 利用数学归纳法证明不等式 例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋13n >5 6(n ≥2，n ∈N *)．

《电阻》教学设计》word文档

《电阻》教学设计

先将铁丝接入电路，合上开关，观察小灯泡的亮度。 将铁丝换成长短、粗细相同的铜丝，合上开关，观察小灯泡的亮 度。 【现象】接铜丝时灯泡亮，铁丝时灯泡暗。 学生观察、 【分析】实验中用的是相同的电池，也就是说电压相同，为什 么两条导线中的电流不同呢？ 原来，导体能导电，但同时对电流又有阻碍作用；相同电压下， 导线中电流不同，说明两条导线对电流的阻碍作用不同。在物 理学中用“电阻”这个物理量来表示导体对电流阻碍作用的大 小。 板书：电阻是导体对电流的一种阻碍作用。 （三）电阻的单位和换算（5min） 1．电阻的符号：R；电路图中的符号是。2．电阻的单位：欧姆，简称欧，符号“Ω”。师生一起 分析 一定要 强调电 压相同

常用单位：千欧（kΩ），兆欧（MΩ） 1 kΩ=103Ω；1 MΩ=106Ω 3．几占常见的电阻值。 4．【名人倚事】欧姆灵巧的手艺是从事科学实验之本，他的家境十分困难，但从小受到良好的重陶，父亲是个技术熟练的锁匠，还爱好数学和哲学。父亲对他的技术启蒙，使欧姆养成了动手的好习惯，他心灵手巧，做什么都像样。物理是一门实验学科，如果只会动脑不会动手，那么就好像是用一条腿走路，走不快也走不远。欧姆要不是有这一手好手艺，木工、车工、钳工样样都能来一手，那么他是不可能获得如此成就的。 （四）影响电阻大小的因素（15min） 【问题】影响电阻大小的因素有哪些呢？ ［师］请同学们看书P13“几种长1m，横截面积1mm2的金属导线在20℃时的电阻值”比较几种材料导线的电阻值，能得出猜测出影响电阻大小的因素吗？ 【猜想】电阻的大小可能与长度、横截面积、材料、温度有关。学生记忆 单位和读 法 强化单 位词头 的代表 作用 实施情 感教学 目标

数学归纳法优秀教学设计

数学归纳法 【教学目标】 1．进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点：特殊→一般 2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。 4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： )时命题成立，证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

5． 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n0，k ∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立。 6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）假设当n=k(k ∈N*，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。 由（1），（2）可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习： 1．用数学归纳法证明：().125312n n =-++++ 证明：（1）当1=n ，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当k n =时，等式成立，就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说，当1+=k n 时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2．用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时，左边应为_____________。 3．判断下列推证是否正确，并指出原因。 用数学归纳法证明：126422++=++++n n n 证明：假设k n =时，等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立， 所以*N n ∈时等式成立。

2014届高考数学一轮复习教学案数学归纳法(理)(含解析)

第七节 数学归纳法(理) [知识能否忆起] 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [小题能否全取] 1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 答案：C 2．(教材习题改编)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1 n ＝ 2????1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1 2n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 解析：选B 因为n 为偶数，故假设n ＝k 成立后，再证n ＝k ＋2时等式成立． 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1 3 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1 3

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 解析：选D 由f (n )可知，共有n 2－n ＋1项，且n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 . 4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋ 1＝2n ＋ 2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时， 左端计算所得的项为________． 答案：1＋2＋22 5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1 2n －11)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推 证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________． 解析：当n ＝k 时，不等式为1＋12＋13＋…＋1 2k －1

电阻导学案.

《电阻》导学案 一、学习目标： 知道电阻是表示导体对电流阻碍作用的物理量。 能记住电阻的单位及单位换算 学会运用控制变量法来探究电阻的大小与哪些因素有关。 二、知识链接 1.什么是导体和绝缘体？各举三例。 2.你知道生活中的导线通常用什么做的吗？为什么不用又多又便宜的铁呢？ 三、学习过程 动手实验1：将小灯泡接在一节干电池两端，闭合开关，观察灯泡的亮度；再连接一节干电池，重做上述实验，观察现象。说明了什么？ 小组交流实验现象 结论：电流的大小与_________有关。 动手实验2：把铜丝和镍铬合金丝分别与小灯泡串联接入电路，闭合开关，观察电路中小灯泡的亮度。你观察到了什么现象？此现象说明了什么？ 【学点一】电阻 （请你先阅读课本86页的相关内容，自主学习完成下列题目，然后小组内交流，把不能解决的疑问提出来，看哪个小组做得又快又好） 1.电阻表示的大小。导体的电阻越大，表示导体对电流的阻碍作用越。电阻是导体本身的一种，不同的导体，电阻一般。 2.电阻用字母表示，电阻的国际单位是，简称，符号是，比较大的单位还有、，符号分别为、，它们的换算关系是。 3.电阻器简称，在电路中的符号是。 4.了解课本87页中一些常见的电阻值。 【学点二】决定电阻大小的因素 1.提出问题：导体电阻的大小与哪些因素有关？ 2.你的猜想：。（并说出猜想的依据） 3.设计实验：

（请你阅读课本88页相关内容，小组内交流，设计实验步骤） 1）.你采用什么研究方法来探究电阻的大小与哪些因素有关？ 2）.你选择的器材有：。 3）.在实验中通过什么现象判断导体电阻的大小？ 4）.实验步骤： 1.进行实验并收集证据：（各小组根据所设计的实验方案进行实验探究，并做好记录。） 实验表格。 2.分析论证：（认真分析实验现象，你能得出什么结论？ 比较1、2得出； 比较2、3得出； 比较3、4得出。 演示：在电路中接入日光灯钨丝，用酒精灯给钨丝加热，观察并比较前后两次小灯泡的亮度和电流表的示数，你观察到了什么现象，此现象说明了什么？ 小组交流实验现象与结论 综上所述，请你归纳出：决定导体电阻大小的因素是，，，和。 反馈练习： 关于导体的电阻下列说法正确的是（） A．短的导线的电阻比长导线的电阻大 B．铜导线的电阻一定比铝导线的电阻小 C．电阻是导体对电流的阻碍作用，当导体中无电流时导体就无电阻 D．以上说法都不对

高中数学 2.3数学归纳法教学设计 新人教A版选修22

数学归纳法教学设计 【教学目标】 （1）知识与技能： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题； ③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。 （2）过程与方法： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 （3）情感态度与价值观： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 【教学重点】 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题； 【教学难点】 数学归纳法中递推关系的应用。 【辅助教学】 多媒体技术辅助课堂教学。 【教学过程】 一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。 【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。 （情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ 二、搜索生活实例，激发学生兴趣

2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法教学案新人教A版选修2_2

2.3 数学归纳法 预习课本P92～95，思考并完成下列问题 (1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？ (2)数学归纳法的证题步骤是什么？ [新知初探] 1．数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的框图表示

[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________成立． 答案：2 3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52 ，f (16)＞3，f (32)＞72 ，由此推测，当n ＞2时，有______________．

16.3电阻学案(个案)

16.3电阻 【学习人】【班级】【学习日期】 学习目标 1. 认识电阻的概念、知道电阻是导体本身的一种性质。 2. 能画出电阻在电路图中的符号，知道电阻的单位及其单位换算。 3.能在实验研究的基础上理解电阻的大小与导体的材料、长度、横截面积及温度 有关。 4.体会用控制变量法探究电阻与哪些因素有关，积极动手进行实验。 一、温故互查： 1.串联电路中电流规律：。 2.串联电路的电压规律：。 3.并联电路中电流规律：。 4.并联电路的电压规律：。 二、学习探究： 设问导读：问题1.电阻阅读P63内容完成下列问题。 1.通过实验比较两次实验，灯泡亮度高，电流表示数大（“铜丝”或“合金丝”）表明在相同电压下通过铜丝的电流比通过镍铬合金丝的电流______（大/小）；铜丝对电流的阻碍比镍铬合金丝对电流的阻碍_________（大/小）。 2.电阻的概念：。符号：，单位：，电阻的元件符号：。 3.2MΩ= KΩ= Ω 4.阅读P65小资料，观察图16.3-4能说明什么道理？______________________。问题2.阅读p64影响电阻大小的因素，完成下列问题 1.上面图16.3-1实验中，我们知道电阻大小与导体的什么有关？。 2.猜想影响电阻大小的因素： 3.在验证这些猜想时，我们要用_________方法。 4.通过实验可得，导体的电阻是导体性质，它的大小与导体的、、等因素有关。 5.阅读科学世界，回答下列为题。 ①半导体的材料有哪些？能制作成哪些元件？ ②什么是超导现象？超导现象说明电阻与什么有关？ ③玻璃受温度的影响与铝、铅等物质的规律相反，即温度越高，电阻。自学检测 1、电阻的国际单位是。10MΩ= KΩ= Ω 2. 有两条粗细相同、材料相同的导线，一条长20厘米，另一条长1．3米，哪条导线电阻大，为什么？ 3. “铜导线比铁导线的电阻小。”这种说法对吗？应当怎么说？ 三、巩固练习： ★1.468Ω＝ MΩ = KΩ ★★2.我能做：同种材料组成的四根导线，R1＜R2＜R3＜R4，如果它们的长度相等，横截面积最大的是：，如果它们的横截面积相等，则电阻线的长度最长的是：。

数学归纳法教学内容

数学归纳法

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 数学归纳法及其应用举例单元练习（二） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为 21n (n －3)条时，第一步验证n 等于 A. 1 B.2 C.3 D.0 2.等式12+22+32+…+n 2=2 4752+-n n A.n 为任何自然数时都成立；B.仅当n =1，2，3时成立 C.n =4时成立，n =5时不成立； D.仅当n =4时不成立 3.用数学归纳法证明不等式312111+++++n n n +…+24 1321>n （n ≥2,n ∈N *)的过程中，由n =k 逆推到n =k +1时的不等式左边 A. 增加了1项 )1(21+k ； B.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“1 1+k ” C.增加了2项 )1(21121+++k k D.增加了)1(21+k ，减少了11+k 4.用数学归纳法证明（n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3·5·…（2n －1)(n ∈N *)时，假设n =k 时成立，若证n =k +1时也成立，两边同乘 A.2k +1 B.112++k k C.1)22)(12(+++k k k D.1 32+-k k

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5.证明1+413121+++…+2 121n n >- (n ∈N *)，假设n =k 时成立，当n =k +1时，左端增加的项数是 A. 1项 B.k －1项 C.k 项 D.2k 项 6.上一个n 级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f (n ),则下列猜想中正确的是 A.f (n )=n B.f (n )=f (n －1)+f (n －2) C.f (n )=f (n －1)·f (n －2) D.f (n )=???≥-+-=3 )2()1(2,1,n n f n f n n 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.凸n 边形内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和 f (k +1)=f (k )+___________. 8.观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+474 13121222<++,…则可归纳出：___________. 9.设f (n )=（1+)11()111)(1n n n n ++???++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后，f (k +1)与f (k )的关系是 f (k +1)=f (k )·___________. 10.有以下四个命题：（1）2n ＞2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+… +2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n －1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2 )2(-n n (n ≥4)．其中满足“假设n =k (k

18年高考数学专题14二项式定理及数学归纳法教学案理

专题14 二项式定理及数学归纳法 【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1) 二项式定理的简单应用，B级要求； (2)数学归纳法的简单应用，B级要求 【重点、难点剖析】 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中C r n(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r； (2)(a＋b)n展开式中二项式系数C r n(r＝1,2,3，…，n)的性质： ①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C r n＝C n－r n； ②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1. 2．二项式定理的应用 (1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”． (2)二项式展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，而不是第r项． 3．数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可． 4．数学归纳法的应用 (1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论． (2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法． (3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用． (4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．

电阻学案

第三节：电阻学案 学习目标： 知识与技能：知道电阻、电阻的单位及单位之间的换算关系。 理解电阻的大小与导体的材料、长度、横截面积有关。 过程与方法：在探究决定电阻大小因素的过程中，体会用控制变量法研究物理问题。 情感态度与价值观：激发学生“对电阻与哪些因素有关”产生兴趣 学习重点: 电阻 学习难点: 影响电阻大小的因素 课前预习学案 一．独学预习：（我学习，我快乐，我思考，我收获！）： （预习要求：根据“学习目标”，仔细阅读课本P14-15相关内容，简要回答以下几个问题，请将答案写在题目下面的空白处。） 1、说出电阻的定义、单位、符号及单位之间的换算关系？ 2、知道导体和绝缘体之间有没有绝对的界限？ 3、电阻的大小与哪些因素有关？ 二、独学感悟：（自主学习，知识感悟） 1、一切导体都有阻碍电流的性质，这种性质叫导体的______，在国际上通用字母 ______表示。 2、在相同电压下通过不同导体的电流不同，通过导体电流小的导体对电流阻碍作用就______，表示导体的电阻越大，它对_______的阻碍作用就越大。电阻是本身的一种性质。 3、电阻的单位是______，简称______，符号是____。比较大的单位有_______符号_______、______、符号________。 4、5MΩ=________KΩ=________Ω 三、预习反思：你还存在哪些疑惑请记录下来。 课内探究学案

一、群学探究：（集体的智慧是无穷的，携手解决下面问题吧！） 探究问题：决定电阻大小的因素 器材：电源、小灯泡、开关、导线、电阻定律演示器、电流表 （温馨提示：请同学们看书P17“几种长1m，横截面积1mm2的金属导线在20℃时的电阻值”比较几种材料导线的电阻值，你能猜测出影响电阻大小的因素吗？）猜想：电阻的大小可能与___ _____、__ ______、__ ______。 设计实验：应该采用控制变量的方法去研究。 实验1：材料、横截面积一定时，研究电阻R与长度L的关系； （小组讨论用电阻定律演示器中的哪些导线，通过观察灯泡的亮度得出结论。完成表格） 实验2：材料、长度一定，电阻R与横截面积的关系；（仿照着实验一，自己动手设计表格） 实验3：长度、横截面积一定，电阻R与材料的关系；（仿照着实验一，自己动手设计表格） 小组讨论总结出： 1、导体电阻的大小与导体的哪些因素有关？什么关系？ 活学创新：（开动脑筋，启迪智慧） 电阻是导体本身的一种性质，与其两端的电压、通过的电流有没有关系？ 二、快乐淘宝（学以致用，融会贯通）