2021年高考数学一轮复习数学归纳法教学案

2021年高考数学一轮复习数学归纳法教学案

一、考纲要求

二、教学目标：了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

三、教学重点：用数学归纳法证明简单的命题

教学难点：数学归纳法原理的理解

四、知识导学

用数学归纳法证明与自然数有关命题的步骤：

（1）证明当n取第一个值时结论正确；

（2）假定设当n=k+1时（K k）时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。

由（1）（2）可知对一切 n的自然数，命题都正确。

五、课前自学

1．用数学归纳法证明

1

231*

1

1(,1)

1

n

n

a

a a a a n N a

a

+

+

-

+++++=∈≠

-

在验证n=1成

立时，左边所对应的项为。

2. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k

到k＋1”，左端需乘的代数式为__ ___。

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3. 用数学归纳法证明3＋5 (n ∈N)能被14整除，当n ＝k ＋1时对于式子 3＋5应变形为_______________________。

4．数列{a}中，已知a ＝1，当n ≥2时a ＝a ＋2n －1，依次计算a 、a 、a 后，猜想a 的表达式是 。

六、合作、探究、展示

1．用数学归纳法证明：能被整除。

2．111111111()234212122n N n n n n n

*-

+-+???+-=++???+∈-++

3．用数学归纳法证明：2

12131211n n >-++++

（）

4．已知的三边长都是有理数

（1）求证：是有理数；

（2）求证：对任意正整数，是有理数。

5．试比较与的大小，分别取加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明。

七、总结反思

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《数学归纳法》导学案

第5课时数学归纳法 1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题. 多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的. 问题1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件 (1); (2). 问题2:数学归纳法:证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行 (1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立; (2)(归纳递推)假 设. 问题3:数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可. 问题4:在证明过程中要防范以下两点 (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求. (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法. (n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4) 2 (). A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得(). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

(完整版)1数学归纳法习题(含答案)

1# 数学归纳法 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1 1)”时，由n ＝ k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是 ( ) A ．2k － 1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1 3．(2011·巢湖联考)对于不等式n 2＋n 12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13 ＋…＋131>52 ，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 8．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

数学归纳法教学设计与反思

数学归纳法教学设计与反思 长春市十一高中杨君 一、教学内容解析 就本节课的题目而言，它有两个意思，一个是归纳法，另一个是数学归纳法。归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，是现实生活中人们自觉或不自觉普遍运用的方法，特别是不完全归纳法所得到的命题虽然不一定成立因而并不能作为一种论证方法，同时也应该看到不完全归纳法是数学中普遍存在的一种方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，具有很好的创造性。在科学发现中也是如此。 数学归纳法呢？它是证明与正整数n(n取无限个值)有关命题的重要工具，是一种重要的数学思想方法．其理论依据是归纳公理(即设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合)和最小数原理(即自然数集的任何非空子集必有一个最小数)，其实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程( )真? ( +1)真? ( +2)真?…用具有高度代表性、概括性的( )真? ( +1)真来代替，而核心与关键是如何利用归纳假设和递推关系．数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”。 二、教学目标设置 1、知识和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。 2、过程与方法目标 通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

高中数学数学归纳法教案新人教A版选修

第一课时 4.1 数学归纳法 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备： 1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明. 3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ?+?+?+++= 21()6 n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法的应用： ① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n - +-+???+-=++??+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？ 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. ② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除. 分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·y k =x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ). ③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点， 求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分. 分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平 面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－ (k +1)+2. 2. 练习： ① 求证: 11(11)(1)(1)321 n ++???+-g g n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明： （Ⅰ）2274297n n --能被264整除； （Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数） ③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在， 求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.

《数学归纳法及其应用举例》教案

《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？

数学归纳法教学设计电子教案

数学归纳法教学设计

授课日期： 2016 年 4 月 8 日授课班级：高二年级2 班

【教学难点】 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性； （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确. 教法、学法分析 教法： 学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的，通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤，尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中，类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 学法： 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行： 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 教学资源 导学案、PPT 教学过程 教学环 节 教师活动学生活动设计意图 课前复习准备 1、布置导学案内容; 2、批改纠正学生出现的错误; 3、及时了解学生学习情. 完成学案内容 1、归纳推理： 2、回忆等差数列,等比数 列的通项公式；思考等 差、等比数列通项公式的 得出过程，你能证明该公 式吗？ 3、已知数列{}n a中， 1 1 = a, ) (* + ∈ + =N n a a a n n n2 2 1 ， 试猜想这个数列的通项公 式并证明你的猜想. 复习公式及 其得出过 程，为本节 学习做好铺 垫. 使学生发现 不能解决的 问题，激发 学生学习新 知的愿望. 创设问题情景，引出新课问题情景：引导学生共同回顾学案 第3小题数列{}n a通项公式的得出过 程，提问：你的猜测正确吗？如何证 明？ 学生回忆第3小题数列 {} n a通项公式的得出过 程，并思考老师的问题. 发现问题， 突出矛盾． 合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏. 引导学生共同探讨多米诺骨牌全 部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; 学生类比多米诺骨牌依顺 序倒下的原理，探究出证 明有关正整数命题的方 播放视频活 跃课堂氛 围，激发学 生的兴趣. 提 出 问 分 析 问 猜想与 置疑 论证 观察 情景 应用

人教版数学高二学案2.3数学归纳法

学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 知识点数学归纳法 对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0. 思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？ 思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？ 梳理(1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与__________n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； ②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)数学归纳法的框图表示

类型一 用数学归纳法证明等式 例1 (1)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________． (2)用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n . 反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． (3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1. 类型二 利用数学归纳法证明不等式 例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋13n >5 6(n ≥2，n ∈N *)．

解析数学归纳法思想

解析数学归纳法思想 嘉兴教育学院吴明华 从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式． 数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立． 在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想 对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题： ，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，

，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过： 设，则， 所以，故． 我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察 ，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是． 让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质． 有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思

数学归纳法优秀教学设计

数学归纳法 【教学目标】 1．进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点：特殊→一般 2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。 4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： )时命题成立，证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

5． 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n0，k ∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立。 6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）假设当n=k(k ∈N*，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。 由（1），（2）可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习： 1．用数学归纳法证明：().125312n n =-++++ 证明：（1）当1=n ，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当k n =时，等式成立，就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说，当1+=k n 时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2．用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时，左边应为_____________。 3．判断下列推证是否正确，并指出原因。 用数学归纳法证明：126422++=++++n n n 证明：假设k n =时，等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立， 所以*N n ∈时等式成立。

数学归纳法及其应用举例1

数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法

前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。

2014届高考数学一轮复习教学案数学归纳法(理)(含解析)

第七节 数学归纳法(理) [知识能否忆起] 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [小题能否全取] 1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4 答案：C 2．(教材习题改编)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1 n ＝ 2????1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1 2n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 解析：选B 因为n 为偶数，故假设n ＝k 成立后，再证n ＝k ＋2时等式成立． 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1 3 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1 3

D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 解析：选D 由f (n )可知，共有n 2－n ＋1项，且n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 . 4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋ 1＝2n ＋ 2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时， 左端计算所得的项为________． 答案：1＋2＋22 5．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1 2n －11)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推 证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________． 解析：当n ＝k 时，不等式为1＋12＋13＋…＋1 2k －1

高中数学 2.3数学归纳法教学设计 新人教A版选修22

数学归纳法教学设计 【教学目标】 （1）知识与技能： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题； ③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。 （2）过程与方法： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 （3）情感态度与价值观： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 【教学重点】 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题； 【教学难点】 数学归纳法中递推关系的应用。 【辅助教学】 多媒体技术辅助课堂教学。 【教学过程】 一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。 【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。 （情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ 二、搜索生活实例，激发学生兴趣

高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思

课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常

2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法教学案新人教A版选修2_2

2.3 数学归纳法 预习课本P92～95，思考并完成下列问题 (1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？ (2)数学归纳法的证题步骤是什么？ [新知初探] 1．数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的框图表示

[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________成立． 答案：2 3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52 ，f (16)＞3，f (32)＞72 ，由此推测，当n ＞2时，有______________．

各种数学归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．

数学归纳法教学内容

数学归纳法

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 数学归纳法及其应用举例单元练习（二） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为 21n (n －3)条时，第一步验证n 等于 A. 1 B.2 C.3 D.0 2.等式12+22+32+…+n 2=2 4752+-n n A.n 为任何自然数时都成立；B.仅当n =1，2，3时成立 C.n =4时成立，n =5时不成立； D.仅当n =4时不成立 3.用数学归纳法证明不等式312111+++++n n n +…+24 1321>n （n ≥2,n ∈N *)的过程中，由n =k 逆推到n =k +1时的不等式左边 A. 增加了1项 )1(21+k ； B.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“1 1+k ” C.增加了2项 )1(21121+++k k D.增加了)1(21+k ，减少了11+k 4.用数学归纳法证明（n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3·5·…（2n －1)(n ∈N *)时，假设n =k 时成立，若证n =k +1时也成立，两边同乘 A.2k +1 B.112++k k C.1)22)(12(+++k k k D.1 32+-k k

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5.证明1+413121+++…+2 121n n >- (n ∈N *)，假设n =k 时成立，当n =k +1时，左端增加的项数是 A. 1项 B.k －1项 C.k 项 D.2k 项 6.上一个n 级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f (n ),则下列猜想中正确的是 A.f (n )=n B.f (n )=f (n －1)+f (n －2) C.f (n )=f (n －1)·f (n －2) D.f (n )=???≥-+-=3 )2()1(2,1,n n f n f n n 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.凸n 边形内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和 f (k +1)=f (k )+___________. 8.观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+474 13121222<++,…则可归纳出：___________. 9.设f (n )=（1+)11()111)(1n n n n ++???++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后，f (k +1)与f (k )的关系是 f (k +1)=f (k )·___________. 10.有以下四个命题：（1）2n ＞2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+… +2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n －1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2 )2(-n n (n ≥4)．其中满足“假设n =k (k