绝对值不等式证明
绝对值不等式证明
要证明一个绝对值不等式，我们需要根据绝对值的定义逐个考虑不同的情况，并进行推导。
假设我们要证明的绝对值不等式为：|x| ≤a，其中a为一个正数。
情况1：x ≥0
在这种情况下，绝对值|x|就等于x本身。因此我们可以将不等式简化为x ≤a。由题设知x ≥0，因此可以得出结论x ≤a。
情况2：x < 0
在这种情况下，绝对值|x|就等于-x。因此我们可以将不等式简化为-x ≤a。由题设知x < 0，因此可以得出结论-x ≤a。两边同时乘以-1，得到x ≥-a。
综合上述两种情况，我们可以得出结论：当x ≥0时，x ≤a；当x < 0时，x ≥-a。将两种情况综合起来，即可得到整个不等式的证明：-a ≤x ≤a。这就证明了绝对值不等式|x| ≤a。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+- 绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离； b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。 b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。 x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。 分区间讨论：()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22 c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可． 若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1
绝对值的不等式
绝对值的不等式 绝对值的不等式是数学中的一种重要概念，它在日常生活中也有 着广泛的应用。在不等式中，绝对值表示一个数与0的距离，因此它 的结果始终为正数。绝对值的不等式可以用来描述两个数之间的关系，掌握它的原理和应用对于我们做好数学和生活中的问题都非常有帮助。 首先，我们要了解绝对值的符号，用两条竖线括起来，例如|3|表 示3的绝对值，也就是3与0的距离，即3。如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这个数的大小也一定更大。 然后，要理解绝对值的不等式。绝对值不等式的一般形式为|a|b，其中a和b均为实数。这意味着，如果|a| 对值不等式，我们需要根据车速限制和实际行驶速度来调整车速，以保证自己和他人的安全。 总之，绝对值的不等式是数学中一个非常重要的概念，它在日常生活中也有着广泛的应用。通过掌握绝对值的符号、原理和应用，我们可以更好地理解和解决数学问题，也可以更好地应对生活中的各种挑战，成为一个更加全面发展的人。 绝对值不等式 一、绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ?a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c . 3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|a x ＋b|≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 例1：解不等式x ＋|2x －1|<3. 解：原不等式可化为????? 2x －1≥0， x ＋(2x －1)<3或????? 2x －1<0，x －(2x －1)<3.解得12≤x <43或－2 1.2.2 绝对值不等式的解法 课堂导学 三点剖析 一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8. 解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨ ⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨ ⎧<+>+. 37,315251 25|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1 在本例中主要利用了绝对值的概念,|x| 第5讲 绝对值不等式 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集 a ＞0 a ＝0 a ＜0 |x |＜a {x |－a ＜x ＜a } ∅ ∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0} R ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ． 2．绝对值三角不等式 定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |.当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 上述定理还可以推广得到以下几个不等式： (1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |； (2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； (3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |. [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( ) (3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ [教材衍化] 1．(选修4-5P20T7改编)不等式3≤|5－2x |<9的解集为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9， |2x －5|≥3， 不等式的性质及绝对值不等式 课前双击巩固 1.不等式的性质 (1)如果a>b,那么;如果b 1 若对于实数x ,y ,有|x+y+1|≤13,|y -13|≤23,求证:|23x +1|≤7 9. [总结反思] (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式. (2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便. 式题 若x ,y 满足|x-3y|<1 2 ,|x+2y|<1 6 ,求证:|x|<3 10 . 探究点二 绝对值不等式的解法 2 已知函数f (x )=|x+2|-|2x-2|. (1)解不等式f (x )≥-2; (2)设g (x )=x-a ,若对任意x ∈[a ,+∞),都有 g (x )≥f (x ),求a 的取值范围. [总结反思] 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12 } (2)原不等式等价于－3x <2 x －2x －6<3x 即 222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2 选修4－5⎪ ⎪⎪ 不等式选讲 突破点一 绝对值不等式的解法 [基本知识] (1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集 (2)|ax ＋b ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . (3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解； ③构造函数，利用函数的图象求解． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式|x |＜a 的解集为{x |－a ＜x ＜a }．( ) (2)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (3)不等式|2x －3|≤5的解集为{x |－1≤x ≤4}．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 答案：[1，＋∞) 2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案：2 3．函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________． 答案：8 [典例] 解下列不等式： (1)|2x ＋1|－2|x －1|＞0； (2)|x ＋3|－|2x －1|＜x 2 ＋1. [解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|＞2|x －1|， 两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)， 解得x ＞1 4 ， 所以原不等式的解集为⎩ ⎨⎧ ⎭ ⎬⎫x |x ＞14. 法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－12， －(2x ＋1)＋2(x －1)＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1， (2x ＋1)－2(x －1)＞0. 解得x ＞1 4，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14. (2)①当x ＜－3时， 原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x 2＋1， 解得x ＜10，∴x ＜－3. ②当－3≤x ≤1 2 时， 原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x 2＋1， 解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－2 5. ③当x ＞1 2 时， 原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x 2＋1， 解得x ＞2，∴x ＞2. 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立; 几何说明：1当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和; 2如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释; |a－b|表示a－b与原点的距离,也表示a到b之间的距离; 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间; 推论1 推论2 不等式证明的基本方法 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的; 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负; 比较法证不等式有作差商、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述; 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证; 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用; 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不 等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述; 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用; 3、反证法：从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法; 4、放缩法：欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得 ,,再利用传递性,达到证明的目的．这种方法叫做放缩法; 典型例题 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 绝对值三角不等式证明 绝对值三角不等式是高中数学中十分重要的一个命题，它是直角三角形中最基本的不等式之一，同时也可用于证明其他重要的数学问题。本文将从定义、性质、证明等方面详细介绍这一命题。 一、定义 绝对值三角不等式是指对于任意实数a和b，有以下不等式成立： |a + b| ≤ |a| + |b| 二、性质 1.绝对值三角不等式成立的充分必要条件是a和b至少有一个非负。 2.此外，若a和b异号（即a和b一个正，一个负），则等式成立。 三、证明 下面，我们将证明绝对值三角不等式。证明有多种方法，这里我们简述其中一种。 假设a和b为任意实数，则不妨设a≥0，b≥0（因为若a≤0，b≤0，则将 a、b都取相反数，不等式仍然成立）。 则有以下三种情况： 1.当a≥0，b≥0时，不等式右边为a+b，因为a、b都为非负数，所以不等式左边也为a+b。即|a + b| ≤ |a| + |b|。 2.当a≥0，b<0时，不等式右边为a–b，同样由于a≥0，b<0，所以不等式左边为|a–b|。因为a≥0，所以|a|=a，因此有|a–b|=a–(–b)=a+b。此时，不等式变为： |a–b| ≤ |a| + |b|， 即|a+b| ≤ |a| + |b|。 3.当a<0，b<0时，不妨将a和b都取相反数，即将a、b同时乘-1，不等式左右两边同时乘-1，此时不等式变为： |–a + (–b)| ≤ |–a | + |–b| 即|a+b| ≤ |a| + |b|。 因此，无论a和b处于何种情况，不等式都成立。 四、应用 绝对值三角不等式可应用于各种数学问题中，如以下几个例子： 1.证明两点之间的最短距离。 假设有A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，此时AB的距离即为d=√[(x2– x1)^2+(y2–y1)^2]，而d≤|x2–x1|+|y2–y1|。 2.证明柯西不等式。 对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有： |(a1b1+a2b2+…+anbn)| ≤ √(a1^2+a2^2+…+an^2) √(b1^2+b2^2+…+bn^2) 3.证明均值不等式。 对于非负实数a1、a2、…、an，则有： (a1+a2+…+an)/n ≥ √(a1a2…an)， 即a1+a2+…+an ≥ n√(a1a2…an) 以上就是绝对值三角不等式的定义、性质、证明及应用的介绍。掌握这一不等式，将有助于理解和解决更多的数学问题。 [本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明 [重点难点]1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据,是解含绝对值符号的不等式的基础. 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解. 若a>0时,则 |x|a x<-a或x>a. 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的,即|x|可看作是数轴上的动点P 例3．解不等式||≤1...........①解:① <2> |2x+3|2≤|x-1|2<2x+3>2- 绝对值不等式6个基本公式证明 我们来证明绝对值的非负性质： 1. 对于任意实数x，有|x| ≥ 0. 证明：根据绝对值的定义，如果x ≥ 0，则有|x| = x ≥ 0；若x < 0，则有|x| = -x ≥ 0。无论x的值如何，都有|x| ≥ 0，即绝对值非负。 接下来，我们证明绝对值的不等性质： 2. 对于任意实数x和y，若x ≤ y，则有|x| ≤ |y|. 证明：根据绝对值的定义，如果x ≤ y，则y - x ≥ 0。而|x| = x 或 -x，|y| = y 或 -y。分以下两种情况进行讨论： a. 若x ≥ 0，则|x| = x，|y| = y。此时有x ≤ y，即y - x ≥ 0。由于绝对值的非负性质，可以得到|x| = x ≤ y = |y|。 b. 若x < 0，则|x| = -x，|y| = y 或 -y。此时有y - x ≥ 0，即y ≥ x。对于|x| = -x和|y| = y有以下子情况： i. 若y ≥ 0，则|y| = y。由于 x < 0，所以-x > 0，即 -x > x。所以，|x| = -x ≤ -x ≤ y = |y|。 ii. 若y < 0，则|y| = -y。又因为y ≥ x > 0，所以-y ≥ -x > 0。由绝对值的非负性质，可以得到|x| = -x ≤ -y = |y|。 3. 对于任意实数x和y，有|x + y| ≤ |x| + |y|. 证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论： a. 若x + y ≥ 0，则|x + y| = x + y，并且|x| = x，|y| = y。由于x + y ≥ 0，所以x + y ≤ |x| + |y|。即|x + y| ≤ |x| + |y|。 b. 若x + y < 0，则|x + y| = -(x + y)，而|x| = -x，|y| = -y。此时有： i. 若x ≥ 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x -y = |x| + |y|。 ii. 若x < 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x - y = |x| + |y|。 iii. 若x < 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x + y = |x| + |y|。 iv. 若x ≥ 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ x - y = |x| + |y|。 绝对值的不等式 什么是绝对值 绝对值是一个数的非负值，也可以理解为该数到0的距离。表示一个数a的绝对值记作|a|，定义如下： 1.如果a ≥ 0，则|a| = a。 2.如果a < 0，则|a| = -a。 一元一次绝对值不等式 一元一次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的不等式，且该未知数的绝对值与常数的线性关系。 例子 假设有如下不等式：|x + 2| ≤ 3。 要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论： 1.x + 2 ≥ 0 当x + 2 ≥ 0时，|x + 2| = x + 2。此时原不等式可以转化为x + 2 ≤ 3，解得x ≤ 1。 2.x + 2 < 0 当x + 2 < 0时，|x + 2| = -(x + 2)。此时原不等式可以转化为-(x + 2) ≤ 3，解得x ≥ -5。 综合以上两种情况的解集，得到最终解为-5 ≤ x ≤ 1。 绝对值不等式的解集可以表示为一个区间。 一元二次绝对值不等式 一元二次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的二次函数与常数的不等式。 假设有如下不等式：|x² - 4| > 3。 要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论： 1.x² - 4 ≥ 0 当x² - 4 ≥ 0时，|x² - 4| = x² - 4。此时原不等式可以转化为x² - 4 > 3，解得x < -1 或 x > 3。 2.x² - 4 < 0 当x² - 4 < 0时，|x² - 4| = -(x² - 4)。此时原不等式可以转化为-(x² - 4) > 3，解得-1 < x < 3。 综合以上两种情况的解集，得到最终解为x < -1 或 -1 < x < 3 或 x > 3。 二元一次绝对值不等式 二元一次绝对值不等式是指含有两个未知数x和y的一次函数与常数的不等式。 例子 假设有如下不等式：|2x - y| < 4。 要求解这个不等式，我们可以分成以下几种情况进行讨论： 1.2x - y ≥ 0 当2x - y ≥ 0时，|2x - y| = 2x - y。此时原不等式可以转化为2x - y < 4，解得y > 2x - 4。 2.2x - y < 0 当2x - y < 0时，|2x - y| = -(2x - y)。此时原不等式可以转化为-(2x - y) < 4，解得y < 2x + 4。 综合以上两种情况的解集，得到最终解为y < 2x + 4 或 y > 2x - 4。 二元二次绝对值不等式 二元二次绝对值不等式是指含有两个未知数x和y的二次函数与常数的不等式。 绝对值不等式的取等条件 绝对值不等式是数学中比较广泛的知识内容之一，它的定义是指一个不等式中的绝对值不等于某个常量，即|x|≠ k，其中 k 为常数。绝对值不等式在复杂的数学作图、数学分析以及数学归纳等中都有自己特殊的应用，特别是在研究等值线、曲线的分析以及方程的求解中，都可以使用绝对值不等式来解决相关的问题。 绝对值不等式取等条件是指使绝对值不等式成立的条件。绝对值不等式取等条件中有两种可能，第一种是使得 x于 k情况，即 x=k，这种情况下绝对值不等式 |x|≠k立。第二种情况是使 x 不等于 k 情况，即x≠k，这种情况下，绝对值不等式 |x|≠k 也成立。这里要注意的是，x≠k |x|≠k不同的，因为 |x| 代表的是 x绝对值，而 x -x绝对值都是 x，所以当 x≠k，|x|≠k 也成立。 要证明绝对值不等式取等条件，必须要根据绝对值的定义，即 |x|=max{x,-x} 。据此，根据绝对值的定义，绝对值不等式 |x|≠k 取等条件有： （1）x=k，即x等于常数 k，此时 |x|=max{x,-x}=x=k，这个也就贯穿了前文中提到的 x=k情况； （2）x≠k，即x不等于常数 k，此时 |x|=max{x,-x}≠k，此时也可以满足绝对值不等式 |x|≠k。 经过上面的分析，可以得出结论，使绝对值不等式|x|≠k立的取等条件，有两种情况：（1）x=k；（2）x≠k。 绝对值不等式的取等条件的重要的应用之一就在研究含有绝对 值的不等式的一些问题，如求一定等值线的分析。例如：考虑不等式|x-2|+|y+1|≤2，经过上面的分析，可以得出这样的结论：要使得不等式成立，x y取值范围是：(x=2,y≤-1)或(x≤0,y=-1)或（x≥ 4,y=-1)。 绝对值不等式在多项式、多元函数的求根中也有重要的应用。比如，考虑多项式方程 x2+2x-3=0，根据数学分析，可以得出结论：要使得多项式方程成立，x取值范围是：x=3或者x=-1，即唯一的解是x=3者x=-1。 再比如，考虑多元函数 f(x,y)=0，根据数学分析，可以得出结论：要使得多元函数成立，x y取值范围是：(x=3,y=2)或(x=2,y=3)或（x=1,y=4)。 综上所述，可以看出，绝对值不等式的取等条件在数学中有着广泛的应用。它不仅可以用来求解等值线和曲线，也可以用来解一些复杂的方程，有助于我们更好的理解数学，并且能够发现更多数学现象。 绝对值不等式公式大全推导过程 绝对值不等式是解决实际问题中的一种常见方法。在解决实际问 题时，往往会涉及到不等式的求解。而绝对值不等式是一种特殊的不 等式，其求解方法也相对更为简单。本文将介绍绝对值不等式的基本 定义、性质以及相关的求解方法。 1、绝对值的定义 绝对值是数的大小的表示，一般用符号“| | ”表示。它表示一 个数距离0点的距离，例如|5|=5，|-7|=7。 2、绝对值不等式的基本定义 绝对值不等式是指一个表达式的绝对值与另一个表达式的关系式，它的基本形式如下： |a|0。当绝对值与一个正数比较时，就 会出现这种形式的不等式。 3、绝对值不等式的性质 （1）如果 a<0，则 |a|=-a。 （2）如果 a>0，则 |a|=a。 （3）如果 a=0，则 |a|=0。 这些性质可以表示成下面的式子： |a|={a (a>0) 或 -a (a<0)} 4、绝对值不等式的求解方法 （1）绝对值不等式的求解方法有两种基本方法：分情况讨论法和代数变形法。 （2）分情况讨论法：将不等式转化成两个不等式，一个是a≥0的情况，一个是a<0的情况，然后用数集图形法或解各自的不等式，得到其解集，再将两个解集合并即可。 （3）代数变形法：通过对式子的变形，化简成为一个可以直接求解的不等式。 例如，对于|2x+1|<3这个不等式，可以采用代数变形法求解。 首先，提取绝对值内的数进行考虑： - 当2x+1≥0 时，|2x+1|=2x+1，因此，不等式可以变形为： 2x+1<3 解得：x<1 - 当 2x+1<0 时，|2x+1|=-(2x+1)，因此，不等式变形为： -(2x+1)<3 解得：x>-2 两个解合起来，得到不等式的解集：-2 典型例题一绝对值不等式 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩ ⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1
绝对值不等式
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
5 第5讲 绝对值不等式
不等式的性质及绝对值不等式讲义
高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印
选修4-5 第一节 绝对值不等式
不等式证明的基本方法
绝对值三角不等式证明
含绝对值符号的不等式的解法与证明
绝对值不等式6个基本公式证明
绝对值的不等式
绝对值不等式的取等条件
绝对值不等式公式大全推导过程
高考数学 百大经典例题——绝对值不等式
相关文档
- 高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印
- 选修4-5 第一节 绝对值不等式
- 5 第5讲 绝对值不等式
- 高考知识点绝对值不等式
- 绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
- 含绝对值符号的不等式的解法与证明
- 解绝对值不等式的方法总结
- 绝对值不等式证明
- 绝对不等式的证明
- 与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
- 高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
- 张云华——一道绝对值不等式的一种证明
- 绝对值三角不等式的证明方法
- 绝对值的三角不等式公式证明
- 绝对值不等式的综合应用..
- 与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
- (新)绝对值不等式PPT课件
- 绝对值不等式的证明
- 绝对值不等式的性质定理及推论
- 含绝对值不等式证明(精)