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选修4-5 第一节绝对值不等式

选修4－5⎪

⎪⎪

不等式选讲

突破点一绝对值不等式的解法

[基本知识]

(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集

(2)|ax ＋b ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .

(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；

③构造函数，利用函数的图象求解．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式|x |＜a 的解集为{x |－a ＜x ＜a }．( )

(2)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (3)不等式|2x －3|≤5的解集为{x |－1≤x ≤4}．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题

1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．答案：[1，＋∞)

2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案：2

3．函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________．答案：8

[典例] 解下列不等式： (1)|2x ＋1|－2|x －1|＞0； (2)|x ＋3|－|2x －1|＜x

＋1.

[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|＞2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)，解得x ＞1

，

所以原不等式的解集为⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫x |x ＞14.

法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧

x ＜－12，

－(2x ＋1)＋2(x －1)＞0

或⎩⎪⎨⎪⎧

－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0

或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＞1，

(2x ＋1)－2(x －1)＞0.

解得x ＞1

4，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.

(2)①当x ＜－3时，

原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x

2＋1，

解得x ＜10，∴x ＜－3. ②当－3≤x ≤1

时，

原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x

2＋1，

解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－2

③当x ＞1

时，

原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x

2＋1，

解得x ＞2，∴x ＞2.

综上可知，原不等式的解集为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x ＜－25或x ＞2.

[方法技巧]

绝对值不等式的常用解法

(1)基本性质法

对a ∈R ＋，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ， |x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . (2)平方法

两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法

含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．

[针对训练]

1．(2019·广州模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |.

(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤|2x ＋1|－1的解集；

(2)若函数g (x )＝f (x )－|x ＋3|的值域为A ，且[－2,1]⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|，

①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1≤－2x －2，解得x ≤－1；

②当－1＜x ＜－1

2时，原不等式可化为x ＋1≤－2x －2，解得x ≤－1，此时原不等式无

解；

③当x ≥－1

2时，原不等式可化为x ＋1≤2x ，解得x ≥1.

综上可知，原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)因为||x ＋a |－|x ＋3||≤|(x ＋a )－(x ＋3)|＝|a －3|，

所以g (x )＝f (x )－|x ＋3|＝|x ＋a |－|x ＋3|∈[－|a －3|，|a －3|]．所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．

因为[－2,1]⊆A ，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

－|a －3|≤－2，

|a －3|≥1，

解得a ≤1或a ≥5.

所以a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)． 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；

(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．

解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，

2，x ≥1.

故不等式f (x )＞1的解集为⎩

⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫x ＞12

. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩

⎨⎧

x ⎪

⎪⎭

⎬⎫0＜x ＜2a ，所以2

a ≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．

突破点二绝对值三角不等式

[基本知识]

绝对值三角不等式定理

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)|a ＋b |＋|a －b |≥|2a |.( )

(2)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题

1．设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么下列正确的是________(填序号)． ①|a ＋b |＞|a －b |； ②|a ＋b |＜|a －b |； ③|a －b |＜||a |－|b ||;

④|a －b |＜|a |＋|b |.

解析：∵ab ＜0，∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |. 答案：②

2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.

答案：[－2,4]

3．若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤5. 答案：5

[全析考法]

考法一证明绝对值不等式

[例1] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤1

4，

求证：|x ＋5y |≤1.

[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|， ∴由绝对值不等式的性质，得

|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×1

4＝1.

即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]

绝对值不等式证明的3种主要方法

(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．

考法二与绝对值不等式有关的参数范围问题

[例2] 设函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＜g (x )；

(2)若2f (x )＋g (x )＞ax ＋4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)由已知，可得|x ＋3|＜|2x －1|，即|x ＋3|2＜|2x －1|2，则有3x 2－10x －8＞0， ∴x ＜－2

或x ＞4.

故所求不等式的解集为⎝

⎛⎭⎫－∞，－2

3∪(4，＋∞)．

(2)设h (x )＝2f (x )＋g (x )＝2|x ＋3|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨

⎪⎧

－4x －5，x ≤－3，7，－3＜x ＜－12，

4x ＋5，x ≥12.

当x ≤－3时，－4x －5＞ax ＋4，即ax ＜－4x －9， ∵x ≤－3＜0，∴a ＞

－4x －9x ＝－4－9

x .

∴a ＞⎝⎛⎭

⎫－4－9

x max ，∴a ＞－1. 当－3＜x ＜1

2时，7＞ax ＋4，即ax －3＜0.

则⎩⎪⎨⎪⎧

－3a －3≤0，12

a －3≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ≥－1，a ≤6，∴－1≤a ≤6.

当x ≥1

2时，4x ＋5＞ax ＋4，即ax ＜4x ＋1.

∵x ≥12＞0，∴a ＜4x ＋1x ＝4＋1

x .

∵4＋1

x ＞4，且无限趋近于4，∴a ≤4.

综上，a 的取值范围是(－1,4]． [方法技巧]

两招解不等式问题中的含参问题

[集训冲关]

1.[考法一]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )＞0的解集． (1)求M ；

(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |＜15.

解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

x －3，x ＜－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，

－x ＋3，x ＞12

，

当x ＜－2时，由x －3＞0，得x ＞3，舍去；当－2≤x ≤12时，由3x ＋1＞0，得x ＞－1

3，

即－13＜x ≤1

；

当x ＞12时，由－x ＋3＞0，得x ＜3，即1

2＜x ＜3，

综上，M ＝⎝⎛⎭

⎫－1

3，3. (2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |＜3，|y |＜3，

∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |＜3＋3＋3×3＝15. 2.[考法二]已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R ，g (x )＝x 2－2x －4＋4

(x －1)2

. (1)若f (2a 2－1)＞4|a －1|，求实数a 的取值范围；

(2)若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (2a 2－1)＞4|a －1|， ∴|2a 2－2a |＋|a 2－1|＞4|a －1|， ∴|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)＞0， ∴|2a |＋|a ＋1|＞4且a ≠1.

①若a ≤－1，则－2a －a －1＞4，∴a ＜－5

；

②若－1＜a ＜0，则－2a ＋a ＋1＞4，∴a ＜－3，此时无解； ③若a ≥0且a ≠1，则2a ＋a ＋1＞4，∴a ＞1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－5

3∪(1，＋∞)． (2)∵g (x )＝(x －1)2＋4

(x －1)2

－5≥2(x －1)2·4

(x －1)2

－5＝－1，显然可取等号，

∴g (x )min ＝－1.

于是，若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，只需f (x )min ≤1. 又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2， ∴(a －1)2≤1，∴－1≤a －1≤1，∴0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为[0,2]．

[课时跟踪检测]

1．(2019·广东宝安中学等七校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜1；

(2)当x ∈(－1,0)时，f (x )＞1有解，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，

f (x )＝|2x －1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－x ，x ≤12

，

3x －2，12

＜x ≤1， x ，x ＞1，

当x ≤12时，－x ＜1，解得x ＞－1，∴－1＜x ≤12；

当12＜x ≤1时，3x －2＜1，解得x ＜1，∴1

2＜x ＜1；当x ＞1时，x ＜1，无解．

综上所述，不等式f (x )＜1的解集为{x |－1＜x ＜1}．

(2)当x ∈(－1,0)时，f (x )＞1有解⇔|x －a |＜－2x 有解⇔2x ＜x －a ＜－2x 有解⇔3x ＜a ＜－x 有解，

∵3x ＞－3，－x ＜1，

∴－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．

2．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )＞9；

(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ，x ≥1

，2－x ，－1＜x ＜12

，－3x ，x ≤－1.

f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧

－1＜x ＜12，2－x ＞9

或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤－1，

－3x ＞9.

综上，原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}． (2)|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |.由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝3

2，所以2|a |≤32，－34＜a ＜34，

所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦

⎤－34，3

3．(2019·陕西部分学校摸底测试)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －a |(a ∈R )． (1)若a ＝1，求不等式f (x )≥5的解集； (2)若函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解：(1)若a ＝1，

则f (x )＝2|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋1，x ≥1，x ＋3，－1＜x ＜1，

－3x －1，x ≤－1，

当x ≥1时，3x ＋1≥5，即x ≥43，∴x ≥4

3；

当－1＜x ＜1时，x ＋3≥5，即x ≥2，此时x 无解；当x ≤－1时，－3x －1≥5，即x ≤－2，∴x ≤－2. 综上所述，不等式f (x )≥5的解集为⎩

⎨⎧

x ⎪

⎪⎭

⎬⎫x ≤－2或x ≥43. (2)当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|的最小值为0，不符合题意；当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋2－a ，x ≥a ，x ＋2＋a ，－1＜x ＜a ，

－3x －2＋a ，x ≤－1，

∴f (x )min ＝f (－1)＝1＋a ＝3，此时a ＝2；当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋2－a ，x ≥－1，－x －2－a ，a ＜x ＜－1，

－3x －2＋a ，x ≤a ，

∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－a ＝3，此时a ＝－4. 综上所述，a ＝2或a ＝－4.

4．(2019·惠州模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )＞2的解集；

(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图象与函数f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．

解：(1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

5＋2x ，x ＜－1，3，－1≤x ≤1，

5－2x ，x ＞1，

由f (x )＞2得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x ⎪⎪

－32＜x ＜32. (2)二次函数y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，该函数在x ＝－1处取得最小值2，

因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋2x ，x ＜－1，m －2，－1≤x ≤1，

m －2x ，x ＞1

在x ＝－1处取得最大值m －2，

所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图象与函数f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.

所以实数m 的取值范围为[4，＋∞)．

5．(2019·长春模拟)设不等式||x ＋1|－|x －1||＜2的解集为A . (1)求集合A ；

(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪1－abc ab －c ＞1.

解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2，x ≥1，2x ，－1＜x ＜1，

－2，x ≤－1，

由|f (x )|＜2得－1＜x ＜1，即A ＝{x |－1＜x ＜1}．

(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪1－abc ab －c ＞1，只需证|1－abc |＞|ab －c |，

只需证1＋a 2b 2c 2＞a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2＞c 2(1－a 2b 2)，只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)＞0，

由a ，b ，c ∈A ，得－1＜ab ＜1，c 2＜1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)＞0恒成立．

综上，⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪1－abc ab －c ＞1.

6．(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋

(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；

(2)当a ＜1

2时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．

解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋

(a ≠0)， ∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋1

，

∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴－1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1.

(2)当a ＜12

时， g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋12a ＋1，x ＜a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x ＞12

，

又函数g (x )有零点，

∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＜0，－2a 2＋a ＋1≥0，∴－12≤a ＜0， ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭

⎫－12，0. 7．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.

(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；

(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．

解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ＜－1，2，－1≤x ≤2，

－2x ＋6，x ＞2.

当x ＜－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x ＜－1；当－1≤x ≤2时，显然满足题意；

当x ＞2时，由－2x ＋6≥0，解得2＜x ≤3，

故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．

(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.

而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.

由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.

所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．

8．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R .

(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集；

(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，

由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，

当x ＞1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；

当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12

≤x ≤0；当x ＜－12时，1－x ＋(2x ＋1)≥0，得－2≤x ＜－12

. ∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．

(2)法一：由|x －a |＋3x ≤0，

可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＜a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＜a ，x ≤－a 2. 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由－a 2

＝－1，得a ＝2. 当a ＝0时，不等式的解集为{}x |x ≤0，不合题意．

当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≤a 4. 由a 4

＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.

法二：当x ≥a 时，f (x )＝4x －a ，函数f (x )为增函数，由不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}得，

f (－1)＝4×(－1)－a ＝0，得a ＝－4.

当x ＜a 时，f (x )＝2x ＋a ，函数f (x )为增函数，由不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}得，

f (－1)＝2×(－1)＋a ＝0，得a ＝2.

经检验，a ＝2或a ＝－4都符合题意，

故a 的值为2或－4.

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5：第一章 1.3 绝对值不等式的解法

[对应学生用书P10] [读教材·填要点] 1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集 2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键． (2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解． (3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解． [小问题·大思维] 1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)． 2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解． [对应学生用书P10]

[例1] 解下列不等式： (1)1＜|x －2|≤3； (2)|2x ＋5|＞7＋x ； (3)1x 2－2≤1|x | . [思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax ＋b |＞c (c ＞0)或|ax ＋b |＜c (c ＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式． (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． [精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组 ????? |x －2|＞1，|x －2|≤3，即????? x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}．法二：原不等式可转化为： ①????? x －2≥0，1＜x －2≤3，或②????? x －2＜0，1＜－(x －2)≤3，由①得3＜x ≤5，由②得－1≤x ＜1，所以原不等式的解集是{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． (2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )，整理得x ＞2或x ＜－4. ∴原不等式的解集是{x |x ＜－4或x ＞2}． (3)①当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2，且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2－2＞0时，

高中数学选修4-5不等式选讲导学案及课后作业加答案

第一节不等式和绝对值不等式第一课时不等式基本性质一、知识要点 1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的．在数轴上，右边的数总比左边的数．（2）如果a －b ＞0，则；如果a －b ＝0，则；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：（1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ? . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > . （4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)．（8）如果a >b >0 n ∈N ，n ≥2)． 3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种： ①c ＞0时得不等式；②c ＝0时得；③c <0时得不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ?a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以；而a >b >0，c >d >0?ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为时，可以相乘，但不可以．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ?a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ?n a >n b (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一实数大小的比较 [例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4 x ＋y ，试比较m 和n 的大小．方法规律小结比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较4 4 b a +与3 3 ab b a +的大小． 2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 2 9＋a 4 ，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二不等式的证明 [例2] 已知a >b >0，c e b －d . 方法规律小结进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由．（1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ；（2）若a >b >0，c >d >0，则a c >b d ；（3）若a >b ，c b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >n b (n ∈N 且n ≥2)． 2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b . 考点三利用不等式的性质求范围 [例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π 2 ，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π 2”，求α＋β2，α－β2 的取值范围． 2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．三、课后作业 1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,，则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．c b d a > 2．下列不等式成立的是 ( ) A ．log 32-b a ，则下列不等式正确的是( ) A ．0>-a b B ．033<+b a C ．02 2<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα，则下列各式中恒成立的是 ( )