张云华——一道绝对值不等式的一种证明
张云华——一道绝对值不等式的一种证明特级教师——张云华
张云华专集
2021-02-15 第47届俄罗斯数学奥林匹克(2021)联邦区域竞赛9.2题解
2021-01-29 一个参数最大值问题求解的一个视角
2021-01-26 综合法证明《数学通讯》2021年第1期征解问题478
2021-01-25 CRUX(BONUS)问题B71另证
2021-01-22 2017年土耳其EGMO不等式试题证明
2021-01-21 《数学爱好者通讯》第148期问题研究A解
2020-12-21 吴伟朝2021年“新年献题”第1题解
2020-12-11 初中数学竞赛训练题(080)解答
2020-12-09 加拿大CRUX杂志第4588，4590问题的证明
2020-12-01 2020年阿塞拜疆数学奥林匹克第3题的证明
2020-11-16 初中数学竞赛训练题(072)解答
2020-11-14 “不妨设”的否与可
2020-10-17 2020年印度尼西亚数学奥林匹克第2 题解
2020-10-12 2020意大利数学奥林匹克第1题解答
2020-09-26 2020年第24届巴尔干初中数学奥林匹克第1题解答
2020-09-24 2020年巴尔干初中数学奥林匹克
2020-09-22 初中数学竞赛训练题(050)解答
2020-09-20 初中数学竞赛训练题(048)解答
2020-09-20 初中数学竞赛训练题(049)解答
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2020-09-15 2020年全国数学联赛B卷第10题解
2020-09-07 初中数学竞赛训练题(045)解答
2020-09-05 初中数学竞赛训练题(043)解答
2020-09-04 初中数学竞赛训练题(042)解答
2020-09-03 初中数学竞赛训练题(041)解答
2020-08-27 初中数学竞赛训练题(032)第1题解答
2020-08-20 初中数学竞赛训练题(026)解答
2020-08-11 初中数学竞赛训练题(021)解答
2020-08-10 初中数学竞赛训练题(020)解答
2020-08-08 初中数学竞赛训练题(016)解答
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2020-08-06 初中数学竞赛训练题(012)第1题解答
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2020-07-01 2020年德国数学奥林匹克不等式题另证
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解答
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2020-01-24 解2020年日本初中数学奧林匹克预选题第8题
2020-01-23 解2020年日本初中数学奧林匹克预选题第4题
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高三数学 教案 绝对值不等式教案
绝对值不等式教案 人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的选修4系列第5专题“不等式选讲”的要求编写的. 根据课程标准,本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用. 一、内容与要求 1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式. 2．理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣； （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a. 3．认识柯西不等式的几种不同形式.理解它们的几何意义. （1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|. （2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2. （3）证明： ≥. 4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况： 5．用向量递归方法讨论排序不等式. 6．了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）. 了解当n为实数时贝努利不等式也成立. 8．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 二、内容安排 本专题内容分成四讲,结构如下图所示： 本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念,学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法,多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题,教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性． 第一讲是“不等式和绝对值不等式”,它是本专题的最基本内容,也是其余三讲的基础． 本讲的第一部分类比等式的基本性质,从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质,这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式,介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”,并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式,则只作简单介绍,不给出证明．在此基础上,介绍了它们在解决实际问题中的一些应用,如最基本的等周问题,简单的极值问题等. 第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念,讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义． 绝对值三角不等式是一个基本的结论,教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义,引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式,接着联系向量形式
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+- 绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离； b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。 b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。 x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。 分区间讨论：()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22 c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可． 若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1
最新人教版高中数学选修4-5《绝对值的三角不等式》知识讲解
数学人教B选修4-5第一章1.4 绝对值的三角不等式 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值的不等式的几何意义证明不等式．2．会用绝对值三角不等式的两个性质定理证明简单的含绝对值的不等式以及解决含绝对值的不等式的最值问题． 1．定理1(绝对值的三角不等式)及推论 (1)若a，b为实数，则|a＋b|____|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立． (2)推论1：______≤|a＋b|. 推论2：______≤|a－b|. (1)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0. (2)这个定理是含有绝对值的不等式中一个非常重要的不等式，证明的最重要依据是对于一切实数a，b，都有|a|≤|b|a2≤b2|a|2≤|b|2. (3)注意等号成立的条件是ab≥0，与以前学习过的不等式有所不同． (4)根据定理及推论易得：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 【做一做1－1】已知实数a，b满足ab＜0，那么有() A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a|－|b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b|| 【做一做1－2】若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是() A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b| C．b＞||c|－|a|| D．b＜|a|－|c| 2．定理2(三个实数的绝对值的三角不等式) 设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立______，即b落在a，c之间． (1)在应用定理1证明定理2时，用到了a－c＝(a－b)＋(b－c)这一条件，这种处理问题的方法在解决不等式问题时常用到，在处理实际问题时应特别注意． (2)应用定理时应特别注意条件、适用范围及等号成立的条件． 【做一做2】函数y＝|x－1|＋|x＋3|的最小值为__________． 答案： 1．(1)≤ab≥0(2)||a|－|b||||a|－|b|| 【做一做1－1】C∵ab＜0，∴a，b异号， ∴|a－b|＞|a＋b|成立． 【做一做1－2】D由|a－c|＜b，可知b＞0，∴b＝|b|. ∵|a|－|c|≤|a－c|， ∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|， 故选项A成立． 同理，由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|＜b， ∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|. 故选项B成立． 而由选项A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由选项B成立，得|c|－|a|＜|b|， ∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|， 即||c|－|a||＜|b|＝b.故选项C成立． 由选项A成立知选项D不成立．故选D. 2．(a－b)(b－c)≥0 【做一做2】4y＝|x－1|＋|x＋3|＝|1－x|＋|x＋3|≥|1－x＋x＋3|＝4， 当且仅当(1－x)(x＋3)≥0，即－3≤x≤1时，等号成立，
高中绝对值不等式 (精华版) 适合高三复习用 可直接打印
绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2 x －2x － 6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ f(x)｜>g(x) ?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >1 2 } (2)原不等式等价于－3x <2 x －2x －6<3x 即 22 2 226360 (3)(2)032(1)(6)0 16263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<--x 2-3x-4；（2）234x x -≤ 1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2 绝对值不等式 一、绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ?a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c . 3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|a x ＋b|≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 例1：解不等式x ＋|2x －1|<3. 解：原不等式可化为????? 2x －1≥0， x ＋(2x －1)<3或????? 2x －1<0，x －(2x －1)<3.解得12≤x <43或－2 第5讲 绝对值不等式 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集 a ＞0 a ＝0 a ＜0 |x |＜a {x |－a ＜x ＜a } ∅ ∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0} R ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ． 2．绝对值三角不等式 定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |.当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 上述定理还可以推广得到以下几个不等式： (1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |； (2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； (3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |. [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( ) (3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ [教材衍化] 1．(选修4-5P20T7改编)不等式3≤|5－2x |<9的解集为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9， |2x －5|≥3， 第一节绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 (2)|ax＋ ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类计论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 1．不等式|x －2|＞x －2的解集是________． 解析：原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 答案：x ＜2 2．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于________． 解析：由|x －a |＜b 得a －b ＜x ＜a ＋b ， 由已知得⎩ ⎪⎨⎪⎧ a － b ＝2， a ＋ b ＝4，解得a ＝3，b ＝1. 答案：3 3．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为________． 解析：据题意可得|8x ＋9|＜7⇒－2＜x ＜－1 4， 故由{x |－2＜x ＜－1 4 }是二次不等式的解集可知 x 1＝－2，x 2＝－1 4 是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根， 根据根与系数关系可知x 1x 2＝－2a ＝12⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－9 4⇒b ＝－9. 答案：a ＝－4，b ＝－9 4．不等式|2x －1|＜3的解集为________． 解析：原不等式可化为－3＜2x －1＜3， 解得－1＜x ＜2. 故所求解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案：{x |－1＜x ＜2} 5．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是______________. 解析：令y ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知应|a |≥y min ，而y ＝|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴a ≥3或a ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 高考选修专题二绝对值不等式 【高频考点解读】 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①|a+b|≤|a|+|b|;②|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 3.会用绝对值不等式、平均值不等式求解或证明一些简单问题； 【重点知识梳理】 一、绝对值不等式的解法 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c (2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为 ，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法： (1)零点分区间法； (2)利用绝对值的几何意义 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观． 3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法 (1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． 二、绝对值不等式的证明 证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法： 1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． 2．利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． 3．转化为函数问题，数形结合进行证明． 三、绝对值不等式的综合应用 1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题． 2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a. 【高考考点突破】 考点一、绝对值不等式的解法 [本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明 [重点难点]1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据,是解含绝对值符号的不等式的基础. 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解. 若a>0时,则 |x|a x<-a或x>a. 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的,即|x|可看作是数轴上的动点P 例3．解不等式||≤1...........①解:① <2> |2x+3|2≤|x-1|2<2x+3>2- 高二数学绝对值不等式试题答案及解析 1.已知实数满足，证明：. 【答案】见解析 【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理 即可。 证明：证法一，∴，， ∴，. 2分 ∴，即， 4分 ∴， ∴， 6分 即， ∴. 8分 证法二：要证， 只需证 2分 只需证 只需证 4分 即. 6分 ，∴，，∴成立. ∴要证明的不等式成立. 8分 【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法. 2.不等式的解集是 ( ) A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由得，即或，解得或 【考点】解含绝对值不等式 3.不等式的解集为 A．[-5.7]B．[-4,6] C．D． 【答案】C 【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。 不等式的解集为，选C。 【考点】绝对值不等式解法 点评：简单题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。 4.已知关于x的不等式的解集是非空集合，则的取值范围 是 【答案】 【解析】根据题意，关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，即为存在 y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方． y=|x+a|+|x-1|的图形是一条有两个折点的折 线．y=2013-a是一条平行于x轴的直线．a的取值范围是（-∞，1006）；6所以答案为：（-∞，1006）． 【考点】绝对值不等式 点评：（1）关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，等价于存在 y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方．与恒成立是有本质区别的．（2）y=|x+a|+|x+b|的图形 为一条带有两个折点的直线． 5.在实数范围内，不等式的解集为__________ 【答案】 【解析】解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得①-(2x-1)+(-2x-1)≤6, x＜-，或②-(2x- 1)+(2x+1)≤6 -≤x＜，或③2x-1+2x+1≤6,X解①得-≤x＜-，解②得-≤x＜，解③得≤x≤把 ①②③的解集取并集可得不等式的解集为 【考点】分式不等式 点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．6.不等式的解集为。 【答案】 【解析】化为或或，解集为 【考点】解绝对值不等式 点评：解绝对值不等式首要是根据绝对值内式子的正负分情况去掉绝对值符号转化为其他类型的 不等式 7.如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】依据绝对值的几何意义表示数轴上表示x的点到10与20的距离之和， 借助数轴可知其和，要满足的解集不是空集，所以 【考点】绝对值不等式 点评：本题还可以通过函数来求解，设，不等式有解即在图像 下方有图像，画图得的范围 8.不等式＞2的解集为 . 【答案】＞或＜ 【解析】因为不等式＞2等价于的解集为＞或＜ 9.设存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围是__________。 【答案】 【解析】解：因为设存在实数，使不等式成立，则根据去掉绝对值符号得 到不等式，机诶和函数的单调性得到实数的取值范围 一 不等式 2.基本不等式 1．了解两个正数的几何平均与算术平均． 2．会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题． 1．定理1 如果a ，b ∈________，那么a 2＋b 2 ≥2ab ，当且仅当______ 时，等号成立． 2．定理2(基本不等式) (1)定理2：如果________，那么 a ＋b 2 ≥ab ，当且仅当________ 时，等号成立． (2)________称为a ，b 的算术平均，__________称为a ，b 的几何平均． (3)基本不等式可以表述为： 两个正数的________不小于(即大于或等于)它们的________． (4)基本不等式的几何意义． 直角三角形斜边上的______不小于斜边上的______． 基本不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”． 【做一做1－1】 log a b ＋log b a ≥2成立的必要条件是( ) A ．a ＞1，b ＞1 B ．a ＞0,0＜b ＜1 C ．(a －1)(b －1)＞0 D ．以上都不正确 【做一做1－2】 下列各式中，最小值等于2的是( ) A.x y ＋y x B.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x 3．重要的不等式链 设0＜a ≤b ，则a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤__________________≤ a 2＋ b 2 2 ≤b . 【做一做2】 下列结论中不正确的是( ) A ．a ＞0时，a ＋1 a ≥2 B.b a ＋a b ≥2 C ．a 2＋b 2 ≥2ab D ．a 2 ＋b 2 ≥ a ＋b 2 2 4．应用基本不等式求函数最值 已知x ，y 都为正数，则 (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当且仅当______时，积xy 取得最大值________； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当且仅当______时，和x ＋y 取得最小值__________． 基本不等式应用中有“积定和最小，和定积最大”的规律． 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立; 几何说明：1当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和; 2如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释; |a－b|表示a－b与原点的距离,也表示a到b之间的距离; 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间; 推论1 推论2 不等式证明的基本方法 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的; 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负; 比较法证不等式有作差商、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述; 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证; 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用; 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不 等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述; 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用; 3、反证法：从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法; 4、放缩法：欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得 ,,再利用传递性,达到证明的目的．这种方法叫做放缩法; 典型例题 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 课 题：含有绝对值的不等式（1） 教学目的： 1．理解含有绝对值的不等式的性质； 2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识； 3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质； 4．认识不等式证法的多样性、灵活性 教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用 教学难点：对性质的理解、常见证明技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题 我们知道，当a ＞0时， |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a , |x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a 根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质 二、讲解新课： 定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤- 证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭ ⎬⎫≤≤-≤≤- ||||||b a b a +≤+⇒ ① 又∵a =a +b -b |-b |=|b | 由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ② 综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤- 注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤- 2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=” 推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤- 证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤-- 即 ||||||||||b a b a b a +≤-≤- 三、讲解范例： 例1 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9 ε, 求证 |x +2y －3z |＜ε 证明：|x +2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z | ∵|x |＜ 3ε，|y |＜6ε,|z |＜9 ε, ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε 说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备 例2 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证|||||||| a d d c c b b a +++≥4证明：∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>a d a c c b b a ∴,||2||2||||2||||c a c b b a c b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||a c a d d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又 2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+a c c a a c c a a c c a ③ 由①，②，③式，得 4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++a c c a a c c a a d d c c b b a 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式 （浙江专版）2018年高中数学第三章不等式3.5 绝对值不等式学案新人教A版必修5 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018年高中数学第三章不等式3.5 绝对值不等式学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2018年高中数学第三章不等式3.5 绝对值不等式学案新人教A版必修5的全部内容。 3。5 错误! 预习课本，思考并完成以下 (1)什么是绝对值三角不等式？它的几何意义是什么？ （2)怎样求解形如｜x|＜a型、｜x｜＞a型、｜ax＋b｜≤c型、|ax＋b｜≥c型、｜x－a|＋|x－b｜≤c型、|x－a|＋｜x－b｜≥c型的不等式？ (3）怎样利用分类讨论求解含参数的绝对值不等式？ [新知初探］ 1．绝对值三角不等式 （1）实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离． （2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b｜的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离,即线段AB的长度． （3)定理1:如果a，b是实数，则｜a＋b|≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释:用向量a,b分别替换a，b. ①当a与b不共线时，有｜a＋b|〈|a|＋|b|,其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边． ②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b｜＝|a｜＋|b|，当a与b反向时，|a＋b｜<|a|＋|b｜。 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广:如果a，b是实数，则||a|－|b｜|≤｜a±b|≤｜a｜＋｜b｜. (4)定理2：如果a，b，c是实数，那么｜a－c|≤|a－b|＋|b－c|。当且仅当(a－b)（b －c)≥0时，等号成立． [点睛] 绝对值不等式｜a－c｜≤|a－b｜＋｜b－c|的几何解释是在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C,当点B在点A，C之间时，|a－c|＝｜a－b|＋｜b－c｜；当点B不在点A，C之间时，|a－c｜＜|a－b|＋|b－c|.利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．2．含绝对值的不等式解法 选修4—5不等式选讲 必备知识预案自诊 知识梳理 1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤,当且仅当时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤,当且仅当时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|绝对值不等式
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